Chuong 2 logic toan compress

Toán logic và các bài tập Toán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tậpToán logic và các bài tập

Chương 2: LÔGIC TOÁN

§1 Lôgic mệnh đề 1.1 Mệnh đề

Ta biết rằng đặc trưng của toán học là tiến hành các chứng minh, tức là đưa ranhững định lý mới từ những định lý khác mà tính đúng đắn đã được xác lập hay đượccông nhận như là xuất phát điểm

Việc đó được tiến hành nhờ các suy luận toán học Một trong những nhiệm vụ chínhcủa lôgic mệnh đề là đặt cơ sở ban đầu để nghiên cứu thực chất của các phép suy luậntoán học và thiết lập các tiêu chuẩn về sự đúng đắn của các tiêu chuẩn đó

Đối tượng chính của lôgic mệnh đề là mệnh đề

Trong ngôn ngữ thông thường, ta hiểu mệnh đề là những câu biểu thị hay diễn đạtmột ý gì đó Chẳng hạn:

1 Hà Nội là thủ đô của nước Việt nam

Như vậy, các câu 1, 2, 3, là những mệnh đề; các câu 4, 5 không là mệnh đề (xéttrong lôgic mệnh đề)

Trong lôgic mệnh đề, ta chỉ quan tâm đến tính đúng hoặc sai của mệnh đề mà khôngquan tâm đến ý nghĩa, nội dung và cấu trúc ngữ pháp của nó

Ta quy ước mệnh đề có giá trị 1 nếu nó đúng, có giá trị 0 nếu nó sai Vì mỗi mệnh

đề chỉ có thể hoặc đúng hoặc sai nên nó chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 1 hoặc 0.Các giá trị 1 hoặc 0 gọi là giá trị chân lý của mệnh đề

Chẳng hạn, giá trị chân lý của mệnh đề “Hà Nội là thủ đô của nước Việt nam” là 1,

Như vậy, các mệnh đề p, q, r, lấy giá trị trong tập {0, 1}

Trong đại số, từ các số a, b nào đó ta có thể lập được các số mới bằng các phép toánđại số như: -x, x + y, x – y, x.y,…

Tương tự như thế, trên tập hợp các mệnh đề, với các mệnh đề cho trước, bằng cácquy tắc nhất định, ta có thể lập được các mệnh đề mới

Các quy tắc thiết lập mệnh đề mới này gọi là các phép toán mệnh đề (hay các phéptoán lôgic)

Sau đây ta sẽ lần lượt nghiên cứu một số phép toán mệnh đề cơ bản

Các mệnh đề “5 không là số nguyên tố” và “10 không chia hết cho 3” lần lượt gọi làmệnh đề phủ định của các mệnh đề “5 là số nguyên tố” và “10 chia hết cho 3”.

Ta thấy rằng nếu mệnh đề đúng thì mệnh đề phủ định là sai và ngược lại

a Định nghĩa

Cho mệnh đề p Phủ định của p là một mệnh đề: “không p”.

Ký hiệu: ´p

Mệnh đề ´p sai khi p đúng và ´p đúng khi p sai

Ta có thể biểu diễn bảng giá trị chân lý của phép phủ định như sau:

10

01

b Ví dụ

1) Phủ định của mệnh đề “2 > 4” là mệnh đề “2  4”

2) Phủ định của mệnh đề “Hình chữ nhật có hai đường chéo dài bằng nhau” là mệnh

đề “Hình chữ nhật không có hai đường chéo dài bằng nhau”

c Chú ý

Khi tìm phủ định của một mệnh đề cho trước cần cẩn thận để tránh sai sót Chẳnghạn phủ định của mệnh đề “2 > 4” là mệnh đề “2  4” chứ không phải là “2 < 4”, phủđịnh của mệnh đề “-1 là số âm” là mệnh đề “-1 là số không âm” chứ không phải là “-1 là

số dương”,

1.2.2 Phép hội

Cho hai mệnh đề “ > 3” và “ < 4” Nối hai mệnh đề này bởi liên từ “và” ta đượcmệnh đề mới “ > 3 và  < 4”

Mệnh đề mới này gọi là hội của hai mệnh đề đã cho, ta thấy mệnh đề hội này đúng

vì cả hai mệnh đề tạo thành đều đúng

Còn các mệnh đề hội: “ > 3 và  là số tự nhiên”, “ là số nguyên và <4”, “ < 3

và  là số tự nhiên” là các mệnh đề sai vì trong các mệnh đề đó có ít nhất một trong haimệnh đề tạo thành là sai

Phép toán hội xuất hiện từ việc toán học hóa việc sử dụng từ “và” trong đời sốnghằng ngày

a Định nghĩa

Cho hai mệnh đề p và q Hội của p và q là mệnh đề: “p và q”.

Ký hiệu: p  q

Mệnh đề p  q đúng nếu cả p và q đều đúng, p  q sai trong mọi trường hợp khác

Ta có bảng giá trị chân lý của phép hội như sau:

1100

1010

1000

b Ví dụ

1) Mệnh đề “Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau và có bốn góc vuông” là hội củahai mệnh đề “Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau” và “hình vuông có bốn góc vuông” Mệnh đề hội này đúng vì cả hai mệnh đề để tạo thành đều đúng

2) Mệnh đề “Số 2007 vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3” là hội của hai mệnh đề

“Số 2007 chia hết cho 2” và “Số 2007 chia hết cho 3”

Mệnh đề hội này sai vì có mệnh đề “Số 2007 chia hết cho 2” sai

1.2.3 Phép tuyển

Cho hai mệnh đề “4 là số lẻ” và “4 là số chẵn” Nối hai mệnh đề này bằng liên từ

“hoặc” ta được mệnh đề “4 là số lẻ hoặc 4 là số chẵn”

Mệnh đề mới này gọi là tuyển của hai mệnh đề đã cho Ta thấy mệnh đề tuyển nàyđúng vì có mệnh đề “4 là số chẵn” là đúng

Tương tự ta có các mệnh đề “3 là số lẻ hoặc 3 là số chẵn” hay “4 lớn hơn 1 hoặc 4

là số chẵn” cũng là các mệnh đề đúng

Ngược lại mệnh đề “4 là số lẻ hoặc 3 là số chẵn” là mệnh đề sai

Phép toán tuyển chính là sự toán học hóa việc sử dụng từ “hoặc” trong đời sốnghằng ngày

a Định nghĩa

Cho hai mệnh đề p và q Tuyển của p và q là mệnh đề: “p hoặc q”.

Ký hiệu: p  q

Mệnh đề p  q sai nếu cả p và q đều sai, p  q đúng trong mọi trường hợp khác

Ta có bảng giá trị chân lý của phép tuyển như sau:

1100

1010

1110

b Ví dụ

1) Mệnh đề “ Hàm số y = (x + 1)2 là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ” là tuyển của haimệnh đề “Hàm số y = (x + 1)2 là hàm số chẵn” và “Hàm số y=(x+ 1)2 là hàm số lẻ”.Mệnh đề tuyển này sai vì cả hai mệnh đề tạo thành đều sai

2) Mệnh đề “1 bé thua hay bằng 5” là tuyển của hai mệnh đề “1 bé thua 5” và “1bằng 5”

Mệnh đề tuyển này đúng vì có mệnh đề “1 bé thua 5” là đúng

Ta gọi mệnh đề “Nếu A đi học thì A đeo khăn quàng đỏ” là mệnh đề kéo theo, kýhiệu là p  q

Sau đây ta sẽ xét tất cả các tình huống có thể xảy ra đối với bản cam kết của A:

- A đi học (p = 1) nhưng A không đeo khăn quàng đỏ (q = 0) thì điều cam kết bị viphạm, mệnh đề p  q sai (p  q = 0)

- A đi học (p = 1) và A đeo khăn quàng đỏ (q = 1) thì điều cam kết không bị viphạm, mệnh đề p  q đúng (p  q = 1)

- A không đi học (p = 0) và A đeo khăn quàng đỏ (q = 1) thì điều cam kết không bị

0101

0111

b Ví dụ

1) Ghép hai mệnh đề p : “Số 3 là số chẵn” và q : “Số 5 chia hết cho 2” ta được mệnh

đề p  q : “Nếu 3 là số chẵn thì 5 chia hết cho 2”

Mệnh đề trên là đúng (p  q = 1) vì p = 0 và q = 0

2) Mệnh đề “Nếu 2 là số hữu tỉ thì √ 2 là số hữu tỉ” là mệnh đề sai vì mệnh đề “2

là số hữu tỉ” đúng và mệnh đề “ √ 2 là số hữu tỉ” sai

1100

b Ví dụ

1) Cho mệnh đề p là “5  2” và mệnh đề q là “2 < 4” Ta có mệnh đề p q là “5  2khi và chỉ khi 2  4”

Nếu p  q là mệnh đề đúng thì ta nói: p là điều kiện đủ để có q

Nếu p  q là mệnh đề đúng thì ta nói: có p khi và chỉ khi có q, hay p là điều kiệncần và đủ để có q, hoặc p tương đương q,…

Ta xét ví dụ sau: mệnh đề “Tứ giác ABCD là hình bình hành” tương đương với “Tứgiác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường” Tương đươngnày được phát biểu dưới dạng:

“Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu hai đường chéo của nó cắt nhautại trung điểm của mỗi đường” hoặc “Điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành làhai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điềm của mỗi đường”

Như vậy ta đã nghiên cứu các phép toán lôgic: phép phủ định ( ), phép hội (),phép tuyển (), phép kéo theo () và phép tương đương () Trong các phép toán này,phép phủ định là phép toán một ngôi, các phép toán còn lại là các phép toán hai ngôi

1.3 Công thức và luật của lôgic mệnh đề

1.3.1 Khái niệm công thức lôgic mệnh đề

Giả sử cho p, q, r,… là các biến mệnh đề Từ các biến mệnh đề đó, sử dụng các

phép toán lôgic , , ,  và  ta lập được những mệnh đề mới phức tạp hơn như: p

- Các phép toán phép toán lôgic: , , , , ;

- Các dấu ngoặc ( ) chỉ thứ tự các phép toán.

b Chú ý

- Các biến mệnh đề sơ cấp cũng là các công thức

- Nếu P, Q là các công thức thì´P, P  Q , P  Q , P  Q , P  Q cũng là các côngthức.

Ta thấy rằng khái niệm công thức trong lôgic mệnh đề tương tự như khái niệm biểuthức đại số trong đại số Vì thế có thể hiểu một cách đơn giản công thức của lôgic mệnh

đề như là biểu thức của lôgic mệnh đề

1.3.2 Giá trị của công thức

Ta biết rằng các biến mệnh đề p, q, r,… trong công thức đều có giá trị chân lý cụ thểcủa chúng (phụ thuộc vào tính đúng sai của mỗi mệnh đề), như vậy công thức cũng làmột mệnh đề xác định Sau khi thực hiện các phép tính lôgic có trong công thức với cácgiá trị chân lý cụ thể của các biến mệnh đề, ta sẽ có kết quả là một giá trị xác định, kếtquả này chính là giá trị của công thức

a Khái niệm

Cho công thức S(p1, p2, , pn) là công thức của các biến mệnh đề p1, p2, , pn Nếu gán các biến mệnh đề này các giá trị chân lý và thực hiện các phép toán mệnh đề ta sẽ được giá trị chân lý của công thức S(p 1 , p 2 , , p n ), giá trị đó gọi là giá trị của công thức ứng với bộ giá trị đã cho của các biến mệnh đề.

Ví dụ: Cho công thức ( p  q )  ´r và cho p = 1 , q = 0 , r = 1, khi đó:

(1  0 )  1 = 0  0 = 0

b Chú ý

Các biến mệnh đề p1, p2, , pn lấy giá trị trong tập I ={0, 1}, do vậy khi thay cácbiến này bằng các giá trị là thực chất ta đã cho bộ n biến (p1, p2, , pn) một bộ giá trịthuộc tập II…I Khi đó công thức S(p1, p2, …, pn) nhận giá trị trong tập I

Như vậy, ta có thể coi mỗi công thức S(p1, p2, …, pn) là một ánh xạ từ In đến I

Ta có thể xét hết tất cả các bộ giá trị của các biến mệnh đề bằng cách lập bảng giátrị chân lý của công thức

c Ví dụ

Lập bảng giá trị chân lý của công thức (p  q)  ´r

p q r p  q ´r (pq) ´r

11110000

11001100

10101010

11001111

01010101

11011111

Trong ví dụ này, qua bảng chân lý ta thấy:

Nếu p và r là các mệnh đề đúng, q là mệnh đề sai thì (p  q)  ´r là mệnh đề sai.Tất cả các trường hợp khác của p, q và r đều làm cho (p  q)  ´r là mệnh đề đúng

1.3.3 Hai công thức bằng nhau

a Định nghĩa

Cho S (p, q, r, ) và T (p, q, r, ) là 2 công thức của cùng các biến mệnh đề p,q,r,

Nếu ta thay mọi bộ giá trị vào các biến mệnh đề mà giá trị của hai công thức luôn bằng nhau thì hai công thức đó gọi là bằng nhau (hoặc gọi là tương đương).

1100

1010

0001

1110

1110

Dựa vào bảng trên và theo định nghĩa hai công thức bằng nhau ta có:

p∧q  ´p  q´.Như vậy muốn biết hai công thức có bằng nhau hay không ta lập bảng chân lý củahai công thức đấy và nên lập chung một bảng

1.3.4 Phép biến đổi công thức

a Phép biến đổi tương đương

Trong đại số chúng ta quen dùng các hằng đẳng thức để biến đổi các biểu thức đại

số về một dạng khác

Tương tự như vậy, trong lôgic mệnh đề ta có thể dùng các đẳng thức cơ bản từ 1đến 9 (mục 1.3.3c) để biến đổi công thức đã cho về một dạng khác tương đương với côngthức ban đầu Phép biến đổi này gọi là phép biến đổi đồng nhất

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức:

( p  q  r)  ( p  q  r)  (q  r)  (p  q)  r Chứng minh.

Ta biến đổi vế trái:

( p  q  r)  ( p  q  r)  (q  r)

 [( p  q  r)  ( p  q  r)]  (q  r)

 [(( p  q)  ( p  q )  r)]  (q  r) (theo 5.2)

Ta đã biến đổi vế trái về vế phải Đẳng thức đã được chứng minh.

Nhận xét: Để chứng minh một đẳng thức (hay hai công thức bằng nhau) có thể sử

dụng hai cách: Lập bảng giá trị chân lý của hai công thức hoặc biến đổi đồng nhất thức(dùng các đẳng thức cơ bản)

Ví dụ: (p  q´  r )  (´p q  r)  (´p q´  r) là công thức có dạng chuẩn tắc tuyển

- Biến đổi về dạng chuẩn tắc tuyển: Ta có thể dùng phép biến đổi tương đương để

đưa một công thức bất kỳ về dạng chuẩn tăc tuyển

Ví dụ: Dưa công thức sau về dạng chuẩn tắc tuyển: (p  (p  q))  q.

Định nghĩa Giải sử S(p, q, , r) là công thức chỉ chứa các phép toán -, , .

Nếu trong công thức S(p, q, , r) ta thay phép  bởi  và ngược lại thay  bởi  thìcông thức mới nhận được sau phép thay thế đó gọi là công thức đối ngẫu của công thứcS(p, q, , r), kí hiệu bởi S*(p, q, , r)

Phép biến đổi từ S(p, q, , r) sang S*(p, q, , r) gọi là phép đối ngẫu

Ta cũng nói phép  và phép  là hai phép đối ngẫu nhau

Ví dụ: Công thức đối ngẫu của công thức (p  q)  (p  r) là:

(p  q)  (p  q  r)Công thức đối ngẫu của công thức (p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r) là (p 

q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)

Chú ý: Dễ dàng thấy rằng: nếu S*(p, q, , r) là đối ngẫu của S(p, q, , r) thì S(p,

q, , r) lại là đối ngẫu của S*(p, q, , r) Vì thế ta gọi S và S* là hai công thức đối ngẫunhau

Công thức đối ngẫu của công thức dạng chuẩn tắc tuyển gọi là công thức dạngchuẩn tắc hội

Dùng khái niệm công thức đối ngẫu ta có thể mở rộng công thức Đờ-moóc-găng đãbiết về sự phủ định của hội và tuyển:

q p q p

q p q p

ta thấy rằng muốn phủ định công thức S, trước hết trong S ta thay dấu ,  lần lượt bởi ,

 sau đó trong công thức mới nhận được thay p, q, , r tương ứng bởi p, q, , r.

Như vậy ta có: S ( p , q , )  S * ( p , q , , r ).

Đó là nội dung định lý sau đây:

Định lý Cho S(p, q, , r) là một công thức ở dạng chỉ chứa các phép toán , , .

nên p  q  p  q p  q.

Hệ quả Nếu có S(p, q, , r)  T(p, q, , r) thì có đẳng thức

S*(p, q, , r)  T*(p, q, , r)(Nếu hai công thức tương đương nhau thì đối ngẫu của chúng cũng tương đươngnhau)

1.3.5 Luật của lôgic mệnh đề

a Luật của lôgic mệnh đề

Khi tính giá trị của một công thức, có thể xẩy ra trường hợp công thức luôn luôn nhậngiá trị 1 với tất cả các bộ giá trị có thể có của các mệnh đề chứa trong nó

Trong trường hợp này, công thức được gọi là một luật lôgic (hay mệnh đề hằngđúng)

Định nghĩa Cho công thức S(p, q, , r) Nếu mệnh đề biểu thị bởi công thức S luôn luôn đúng với các mệnh đề p, q, , r bất kì thì gọi S(p, q, , r) là một luật lôgic Ta dùng kí

Để làm ví dụ, ta xét một số luật quan trọng dưới đây của lôgic mệnh đề:

1 Luật bài trung: [p  p (1)

2 Luật mâu thuẫn: [( p  p ) (2).

Ta dễ dàng chứng minh ( p  p ) là một luật bằng cách lập bảng chân lí.

Luật này nói rằng: không có đồng thời cả p lẫn phủ định của p

Luật mâu thuẫn cho thấy không thể xẩy ra khả năng cả hai mệnh đề phủ định lẫnnhau ắt phải có một cái sai một cái đúng

3 Luật đồng nhất của phép kéo theo: [ p  p (3).

Ta dễ dàng chứng minh p  p là một luật bằng cách lập bảng

Như vậy dù p = 0 hay p = 1 ta luôn có p  p  1 Luật này nói lên rằng với mọimệnh đề p, mệnh đề “p kéo theo p”, “Nếu có p thì có p” luôn luôn đúng Đây là một kếtquả hiển nhiên

4 Ta sẽ chứng minh rằng công thức ( p  (p  q))  q là một luật (4)

Chú ý Như trên đã thấy, từ các mệnh đề p, q, , r nào đó, ta có thể dùng các phép

toán lôgic để lập nên những mệnh đề phức tạp hơn

Nói chung, giá trị chân lí của mệnh đề mới này phụ thuộc vào giá trị chân lí của cácmệnh đề p, q, , r và vào cấu trúc của bản thân mệnh đề tạo thành

Trong những mệnh đề mới được tạo thành, những mệnh đề luôn luôn đùng dù cácmệnh đề p, q, , r nhận giá trị nào, giữ một vai trò quan trọng Đó là những luật của lôgicmệnh đề

Chẳng hạn, dù p, q là những mệnh đề như thế nào, mệnh đề ( p (p  q))  q cũng luôn luôn đúng

Điều đó chứng tỏ rằng cấu trúc của công thức ( p  (p  q))  q là một lược đồxây dựng các mệnh đề luôn luôn đúng hay một quy tắc kiến thiết sự đúng đắn

Việc xây dựng và nghiên cứu các quy tắc kiến thiết sự đúng đắn, tức là các luật củalôgic mệnh đề, đóng vai trò quan trọng trong các thao tác tư duy lôgic

Cần chú ý thêm rằng, phủ định của một luật (tức là một mệnh đề hằng đúng) là mộtmệnh đề hằng sai

b Đẳng thức và luật

Định lí Giả sử S(p, q, , r) và T(p, q, , r) là các công thức cùng chứa các biến p,

q, , r Ta có luật S(p, q, , r)  T(p, q, , r) khi và chỉ khi có đẳng thức (tương đương)S(p, q, , r))  T(p, q, , r)

Như vậy định lí đã được chứng minh

Định lí trên cho phép xây dựng các luật từ các đẳng thức đã biết Chẳng hạn:

+ Áp dụng định lí này, cho các đẳng thức (1)  (9) của phần 1.3.3c ta có những luật mới: từ

Nhưng khi thay n = 2 câu trở thành: “2 là ước của 12”, đó là mệnh đề đúng, khi thay

n = 5 câu trên trở thành: “5 là ước của 12”, đó là một mệnh đề sai Một cách tổng quát, khi

thay n bằng một số cụ thể trong tập các số tự nhiên N thì câu trên trở thành một mệnh đề, mệnh

đề này có thể đúng, có thể sai

Trong toán học, ở bất kì lĩnh vực nào, ta cũng thường gặp những câu có dạng nhưvậy Ví dụ các câu: “x là số tự nhiên có hai chữ số”; “x là số nguyên tố”; “x là số tự nhiênchia cho 3 còn dư 1”; “x là số tự nhiên lớn hơn 3 nhỏ hơn 7”, “x là số thỏa mãn đẳng thức

Ta gọi các câu như thế là những hàm mệnh đề một biến (còn gọi là vị từ một ngôi).Trong hàm mệnh đề “n là ước của 12”, n là số không xác định, nó lấy giá trị cụ thể trongtập số tự nhiên N, n được gọi là biến tử và N được gọi là miền xác định của hàm mệnhđề

Hàm mệnh đề “x là số nguyên tố” xác định trên tập số tự nhiên N, x là biến tử.Hàm mệnh đề “M là điểm cách điểm cố định O một khoảng r cho trước” xác địnhtrên tập hợp các điểm trên mặt phẳng (hay trong không gian) với điểm M là biến tử,

Qua các ví dụ trên, ta có thể hiểu: “Hàm mệnh đề một biến là một câu chứa một biến tử mà khi thay đổi biến tử bằng các phần tử của một tập hợp nào đó thì ta được những mệnh đề”

Hàm mệnh đề với biến tử x thường được ký hiệu bởi (x), (x), Khi x nhận cácgiá trị cụ thể a, b, c thuộc miền xác định X thì (x) trở thành các mệnh đề (a), (b),

(c), Các mệnh đề này có thể đúng có thể sai

Ví dụ: Xét hàm mệnh đề trên tập N (x): “x là số nguyên tố”.

Ta có (2) là mệnh đề “2 là số nguyên tố”, đố là mệnh đề đúng Ta viết (2)=1

(4) là mệnh đề “4 là số nguyên tố” đó là mệnh đề sai Ta viết (4)=0

Trong lôgic người ta chỉ quan tâm đến tính đúng sai của các mệnh đề, vì vậy có thểcoi hàm mệnh đề một biến như một ánh xạ từ tập X đến tập I = {0, 1} Ta nhận thấy rằngmỗi hàm mệnh đề (x) xác định trên tập X chia tập X thành hai lớp: lớp thứ nhất gồm cácphần tử của X làm cho khẳng định (x) trở thành mệnh đề đúng (tức là gồm các phần tửcủa X mà (x) = 1); lớp thứ hai gồm các phần tử của X làm cho (x) trở thành mệnh đềsai (tức là gồm các phần tử của X mà (x) = 0)

1) Giả sử (x) là hàm mệnh đề “x là ước của 12” thì miền đúng của (x) là tập tất

cả các số tự nhiên là ước của 12

E(x) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Tất cả các số tự nhiên không thuộc E(x) tức là thuộc tập N - E(x) đều không phải làước của 12 Hàm (x) nhận giá trị 0 với mọi x thuộc tập N - E(x) (Ta nhận xét rằng E(x)

là tập con của N và N - E(x) là phần bù của E(x) trong tập N, ta viết N - E(x) = CNE(x)).2) Miền đúng của hàm mệnh đề "x là số nguyên tố" là tập hợp tất cả các số nguyêntố

3) Miền đúng của hàm mệnh đề "x là số tự nhiên lớn hơn 3 nhỏ hơn 7" là:

E(x) = {4, 5, 6}

4) Miền đúng của hàm mệnh đề : "M là điểm cách điểm cố định O một khoảng r chotrước"

Xét trong mặt phẳng là đường tròn tâm O bán kính r

5) Miền đúng của hàm mệnh đề “x là số thoả mãn đẳng thức (x-2

Chẳng hạn, ta có thể dùng hàm mệnh đề để định nghĩa phương trình như sau: Người

ta gọi hàm mệnh đề “f(x) = g(x)” trong đó f, g là các hàm số là phương trình với ẩn số x.Mỗi số thuộc miền đúng của hàm mệnh đề này gọi là một nghiệm của phương trình.Như vậy giải một phương trình tức là tìm miền đúng của nó

Nếu miền đúng của khác rỗng thì phương trình có nghiệm, nếu miền đúng là rỗngthì phương trình vô nghiệm

2.1.3 Hàm mệnh đề hai biến

Trong phạm vi các số thực xét câu “x lớn hơn y” (“x > y”)

Khi ta cho x, y những giá trị cụ thể thì câu "x > y" sẽ trở thành một mệnh đề

Chẳng hạn khi x = 7, y = 3 ta có mệnh đề đúng “7 > 3”

Khi x = 2, y = 5 ta có mệnh đề sai “2 > 5”.

Khi x = 4, y =4 ta có mệnh đề sai “4 >4” ,v.v

Ta kí hiệu câu “x >y” bởi (x,y)

Ta gọi (x,y) là hàm mệnh đề hai biến

a Khái niệm

Hàm mệnh đề hai biến là một câu chứa hai biến tử x, y mà khi x, y lấy những giá trị

cụ thể trên một tập hợp nào đó thì câu đó trở thành một mệnh đề.

Cũng như hàm mệnh đề một biến ta có thể nói: “Hàm mệnh đề hai biến xác địnhtrên X là 1 ánh xạ từ X  X đến I = {0, 1}”

(x,y) là hàm mệnh đề với hai biến tử x, y xác định trên tập hợp X

Cũng như đối với hàm mệnh đề một biến, hàm mệnh đề hai biến chia tập tích X  Xthành hai lớp: lớp thứ nhất gồm các phần tử (x,y) của X  X mà (x,y) = 1; lớp thứ haigồm các phần tử (x,y) của X  X mà (x,y) = 0

Lớp thứ nhất gọi là miền đúng (miền chân lí) của hàm mệnh đề (x,y) Ta có thểviết:

Ta đã giới thiệu các hàm mệnh đề (các vị từ) một biến và hai biến, tương tự ta cóthể mở rộng cho hàm mệnh đề nhiều biến.

Phần toán học nghiên cứu những vấn đề của lí thuyết về các vị từ gọi là lôgic vị từ Dưới đây ta sẽ mở rộng các phép toán của lôgic mệnh đề thành các phép toán củalôgic vị từ

2.2 Các phép toán của lôgic vị từ

Như đã biết, khi thay các biến tử trong hàm mệnh đề bởi các phần tử cụ thể thuộc miền xác định ta được các mệnh đề

Vì vậy các phép toán trên các hàm mệnh đề phải được xây dựng sao cho sau quátrình thay thế đó, các phép toán trên các hàm mệnh đề trở thành các phép toán đã biết trêntập các mệnh đề

Ta sẽ chỉ trình bày các phép toán cơ bản trên các hàm mệnh đề một biến, các phéptoán trên các hàm nhiều biến được xây dựng tượng tự

2.2.1 Phép phủ định

a Định nghĩa

Cho hàm mệnh đề (x) trên tập X Phủ định của (x) đọc là “không (x)” là một

hàm mệnh đề sao cho với cùng một giá trị của biến tử thì (x) và (x) là hai mệnh đề

phủ định lẫn nhau.

Kí hiệu: (x)

Nói khác đi, a  X, (a) và (a )là hai mệnh đề phủ định nhau.

Điều đó có nghĩa là (a) đúng khi và chỉ khi (a) sai và ngược lại Như thế miền

đúng của  (x) là phần bù của miền đúng của hàm mệnh đề (x) đối với X.

E ( x ) = X - E(x) = CNE(x)

X

E(x)

E(x)

Từ đó ta có thể phát biểu:

“Phủ định của hàm mệnh đề (x) xác định trên X là hàm mệnh đề trên X có miền đúng là phần bù đối với X của miền đúng của hàm mệnh đề (x)”.

b Ví dụ

1) Cho hàm mệnh đề (x): “x là ước của 12” trên tập N Khi đó phủ định của (x)

là hàm mệnh đề φ (x)´ : “x không là ước của 12”

E(x) (x)

“Hội của hai mệnh đề (x), (x), ký hiệu bởi

(x)  (x) là hàm mệnh đề có miền đúng là giao

của miền đúng của hàm mệnh đề (x) với miền

đúng của hàm mệnh đề (x)”

Nói khác đi, hội của hai hàm mệnh đề (x) và (x) xác định trên X là hàm mệnh đề

(x)  (x), xác định trên X sao cho nó nhận giá trị 1 trên tập hợp các phần tử a của X

mà (a) =1 và (a) =1, và nhận giá trị 0 trong các trường hợp còn lại

Ví dụ:

1 ) Xét hai hàm mệnh đề xác định trên N:

(x): “x là ước của 12” và (x): “x là ước của 15”

Khi đó hàm mệnh đề (x)  (x) là “x là ước của 12 và x là ước của 15” (hay “x làước chung của 12 và 15”)

x

5

x2

2.2.3 Phép tuyển

Cũng như đối với phép hội, ta có thể coi tuyển của các hàm mệnh đề (x) và (x)

là câu “(x) hoặc (x)”

Ký hiệu: (x)  (x)

Nhận thấy với mọi phần tử aX, mệnh đề

(a)  (a) sai khi và chỉ khi (a) và (a) cùng

sai Như vậy miền đúng của hàm mệnh đề (x)

 (x) là hợp các miền đúng của (x) và (x)

Ta có: E (x)  (x) = E(x)  E(x)

Nói khác đi, tuyển của hai hàm mệnh đề (x), (x) xác định trên X kí hiệu bởi (x)

(x) là hàm mệnh đề xác định trên X sao cho giá trị 0 trên tập hợp tất cả các phần tử a của M mà (a) = 0 và (a) = 0 và nhận giá trị 1 trong các trường hợp còn lại.

Ví dụ:

Cho hàm mệnh đề “| x - 1| > 3” trên tập số thực R.

Trong đại số ta đã biết bất phương trình | x - 1| > 3 tương đương với x -1 > 3 hoặc x

- 1 < -3

Nếu gọi (x), (x) lần lượt là các hàm mệnh đề “x-1 > 3” và “x-1< -3” thì hàm mệnh

đề “| x - 1| > 3” chính là tuyển của hai hàm mệnh đề (x) và (x)

Do đó để tìm miền đúng của “| x 1| > 3” (tức là nghiệm của bất phương trình | x 1| > 3) ta tìm miền đúng của (x) và (x)

Cũng như đối với phép hội, phép tuyển ta có thể coi câu “(x) kéo theo (x)” làhàm mệnh đề có được nhờ sự thực hiện phép toán kéo theo lên các hàm mệnh đề (x) và

(x)

Ký hiệu: “(x)  (x)”

Ta nhận xét rằng: khi thay x bởi phần tử cụ thể a  X ta có mệnh đề (a)  (a)

Mệnh đề này sai khi và chỉ khi (a) = 1 và (a) = 0 và đúng trong các trường hợpcòn lại (bằng chân lí của phép kéo theo của lôgic mệnh đề)

Như vậy miền đúng của hàm mệnh đề (x)  (x) là hợp của phần bù của miềnđúng của (x) với miền đúng của (x)

E(x)  (x) = CX (E(x)  E (x))  E (x)

Nói khác đi, kéo theo của hai hàm mệnh đề (x), (x) xác định trên X là hàm mệnh

đề trên X sao cho nó nhận giá trị 0 trên tập các phần tử aX mà (a) = 1 và (a) = 0 và nhận giá trị 1 trong các trường hợp còn lại

Ví dụ:

1) Cho các hàm mệnh đề (n), (n) xác định trên N:

(n): “n là số có tổng các chữ số chia hết cho 3” và (n): “n chia hết cho 3”

Hàm mệnh đề (n)  (n) là: “Nếu số tự nhiên n có tổng các chữ số chia hết cho 3thì số tự nhiên đó chia hết cho 3”

Miền đúng của hàm mệnh đề này là toàn bộ tập N.

2) Cho (x) là hàm mệnh đề “Tứ giác x có các đường chéo bằng nhau”

Xét trên tập các tứ giác thì hàm mệnh đề (x)  (x) là “Nếu tứ giác x là hìnhvuông thì tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau” Miền đúng của hàm mệnh đề này làtoàn bộ tập các tứ giác

Chú ý:

E(x)

E (x)