Dang toan xac dinh goc nhi dien toan 11

Đường thẳng a và các nửa mặt phẳng  P ,  Q tương ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị diện đó.. a Tính gần đúng số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa

Chun đề QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Toán 11 Dạng tốn: XÁC ĐỊNH GĨC NHỊ DIỆN I LÝ THUYẾT Góc nhị diện Hình gồm hai nửa mặt phẳng  P , Q có chung bờ a gọi góc nhị diện, kí hiệu P, a,Q Đường thẳng a nửa mặt phẳng  P , Q tương ứng gọi cạnh mặt góc nhị diện Từ điểm O thuộc cạnh a góc nhị diện P, a,Q vẽ tia Ox , Oy tương ứng thuộc  P , Q vng góc với a Góc xOy gọi góc phẳng góc nhị diện P, a,Q (gọi tắt góc phẳng nhị diện) Số đo góc xOy khơng phụ thuộc vào vị trí O a , gọi số đo góc nhị diện P, a,Q Mặt phẳng chứa góc phẳng nhị diện xOy P, a,Q vng góc với cạnh a Chú ý: + Số đo góc nhị diện nhận giá trị từ 0 đến 180 Góc nhị diện gọi vng, nhọn, tù có số đo tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn 90 + Đối với hai điểm M , N không thuộc đường thẳng a , ta kí hiệu M , a, N  góc nhị diện có cạnh a mặt tương ứng chứa M , N + Hai mặt phẳng cắt tạo thành bốn góc nhị diện Nếu bốn góc nhị diện góc nhị diện vng góc nhị diện lại góc nhị diện vng Phương pháp xác định góc nhị diện Để xác định góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng  P Q , ta thực hiện theo bước: Bước 1: Tìm giao tuyến a   P  Q Bước 2: Tìm Ox   P : Ox  a Oy  Q : Oy  a Bước 3: Kết luận P, a,Q Chun đề QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Toán 11 II BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  Gọi H hình chiếu A BC a) Chứng minh SAB   ABC  SAH   SBC  Câu 2: b) Giả sử tam giác ABC vuông A, ABC  30, AC  a, SA  a Tính số đo góc nhị diện S, BC, A Cho hình lập phương ABCD  ABCD có cạnh a a) Tính độ dài đường chéo hình lập phương b) Chứng minh  ACCA   BDDB Câu 3: c) Gọi O tâm hình vng ABCD Chứng minh COC góc phẳng góc nhị diện C, BD,C Tính (gần đúng) số đo góc nhị diệnC, BD,C ,  A, BD,C Cho hình chóp S  ABCD có SA   ABCD , đáy ABCD hình thoi có cạnh a, AC  a, SA  a Gọi O giao điểm hai đường chéo hình thoi ABCD H hình chiếu O SC a) Tính số đo góc nhị diện B, SA, D;S, BD, A;S, BD,C  b) Chứng minh BHD góc phẳng góc nhị diện B, SC, D Câu 4: Cho hình lập phương ABCD  ABCD cạnh a Xác định tính góc phẳng nhị diện: Câu 5: Câu 6: a)  A, BD, A; b) C, BD, A Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC , AB  AC  a, BAC  120, SA  a Gọi M trung 23 điểm BC Tính số đo góc nhị diện S, BC, A Cho biết kim tự tháp Memphis bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác với chiều cao 98 m cạnh đáy 180 m Tính số đo góc nhị diện tạo mặt bên mặt đáy? Chun đề QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Toán 11 Câu 7: Hai mái nhà Hình 7.72 hai hình chữ nhật Giả sử AB  4,8 m ; OA  2,8 m;OB  m a) Tính (gần đúng) số đo góc nhị diện tạo hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà b) Chứng minh mặt phẳng OAB vng góc với mặt đất phẳng Lưu ý: Đường giao hai mái (đường nóc) song song với mặt đất c) Điểm A độ cao (so với mặt đất) điểm B 0,5 m Tính (gần đúng) góc mái nhà (chứa OB ) so với mặt đất Câu 8: Hình 7.72 Câu 9: Độ dốc mái nhà, mặt sân, đường thẳng tang góc tạo mái nhà mặt sân, đường thẳng với mặt phẳng nằm ngang Độ dốc đường thẳng dành cho người khuyết tật quy định khơng q Hỏi theo đó, góc tạo đường dành cho người khuyết 12 tật mặt phẳng nằm ngang không vượt độ? (Làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) Trong cửa sổ Hình 7.56 , cánh khung cửa nửa hình trịn có đường kính 80 cm , lề đính điểm O cung tròn khung cánh cửa Khi cửa mở, đường kính khung đường kính cánh song song với cách khoảng d ; cửa đóng, hai đường kính trùng Hãy tính số đo góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa d  40 cm III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Phát biểu sau đúng? A Số đo góc nhị diện S, AB,C SBC B Số đo góc nhị diện D, SA, B 90 C Số đo góc nhị diện S, AC, B 90 Chuyên đề QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Toán 11 D Số đo góc nhị diện D, SA, B BSD Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB  4a, AD  3a Các cạnh bên có độ dài 5a Góc nhị diện S, BC, A có số đo gần giá trị đây? A 7546 ' B 7121' C 6831' D 6512 ' Câu 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC , cạnh đáy a , cạnh bên a Góc nhị diện 12 S, BC, A có số đo gần giá trị đây? A 7546 ' B 7121' C 2933' D 2633' Câu 13: Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA , SB , SC đơi vng góc SA  SB  SC  Gọi  góc phẳng nhị diện S, BC, A Tính cos A B C D Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , biết AD  2a , AB  BC  a , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA  a Gọi E trung điểm AD Tính số đo góc phẳng nhị diện S, BE, A A 45 B 120 C 30 D 60 Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA  a Biết AB  2AD  2DC  2a Tính số đo góc phẳng nhị diện C, SB, A A 45 B 120 C 30 D 60 IV LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  Gọi H hình chiếu A BC a) Chứng minh SAB   ABC  SAH   SBC  b) Giả sử tam giác ABC vuông A, ABC  30, AC  a, SA  a Tính số đo góc nhị diện S, BC, A Lời giải: a) Ta có SA   ABC  mà SA  (SAB) SAB   ABC  Chun đề QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Tốn 11 Ta có: SA  BC  SA  (ABC)  BC  SAH  Mà BC  (SBC) SAH   SBC  AH  BC b) Ta có (SBC)  ( ABC)  BC  AH  BC    SHA góc phẳng góc nhị diện S, BC, A SH  BC (do SH  (SAH )) Xét AHC vng H có: sin ACH  AH  AH  sin ACH.AC  sin 60.a  a AC Xét SAH vuông cân A nên góc nhị diện S, BC, A  SHA  45 Câu 2: Cho hình lập phương ABCD  ABCD có cạnh a a) Tính độ dài đường chéo hình lập phương b) Chứng minh  ACCA   BDDB c) Gọi O tâm hình vng ABCD Chứng minh COC góc phẳng góc nhị diện C, BD,C Tính (gần đúng) số đo góc nhị diệnC, BD,C ,  A, BD,C Lời giải: a) Một đường chéo hình lập phương ABCD  ABCD AC AAC tam giác vng A có AC  AA'2  AC2  a2  a   a AC  DD b) Ta có:   AC   BDDB Mà AC   ACCA nên  ACCA  (BDDB) AC  BD  c) Ta có (CBD)  (CBD)  BD  CO  BD    COC góc phẳng góc nhị diện C, BD,C CO  BD (do BDCcan) Tương tự AOC góc phẳng góc nhị diện  A, BD,C Xét COC vng C có: tan COC  CC  a   COC  55 OC a Chuyên đề QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Toán 11 Câu 3: Ta có: COC AOC hai góc bù nên AOC  125 Cho hình chóp S  ABCD có SA   ABCD , đáy ABCD hình thoi có cạnh a, AC  a, SA  a Gọi O giao điểm hai đường chéo hình thoi ABCD H hình chiếu O SC a) Tính số đo góc nhị diện B, SA, D;S, BD, A;S, BD,C  b) Chứng minh BHD góc phẳng góc nhị diện B, SC, D Lời giải: a) Vì SA   ABCD nên AB AD vng góc với SA Vậy BAD góc phẳng góc nhị diện B, SA, D Hình thoi ABCD có cạnh a AC  a nên tam giác ABC, ACD Do BAD  120 Vậy số đo góc nhị diện B, SA, D 120 Vì BD  AC BD  SA nên BD  SAC  Vậy AC SO vng góc với BD Suy AOS góc phẳng góc nhị diện S, BD, A COS góc phẳng góc nhị diện S, BD,C Tam giác SAO vng A có SA  a  AO nên AOS  45 Suy COS  180  AOS  135 Vậy góc nhị diện S, BD, A,S, BD, C tương ứng có số đo 45 ,135 b) Theo chứng minh trên, BD  SAC  nên BD  SC Mătkhác, OH  SC nên SC   BOD Do đó, BHD góc phẳng góc nhị diện B, SC, D Câu 4: Cho hình lập phương ABCD  ABCD cạnh a Xác định tính góc phẳng nhị diện: a)  A, BD, A; b) C, BD, A Lời giải: Chun đề QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Toán 11 Câu 5: a) Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có OA  BD AA'  BD  BD  OAA'  BD  OA' Ta có OA  BD OA  BD , suy AOA góc phẳng nhị diện  A, BD, A Xét tam giác AOA vng A , ta có: tan AOA  AA  a   AOA  5444 ' AO a b) Ta có OC  BD OA  BD , suy AOC góc phẳng nhị diện C, BD, A Ta có AOC  180  AOA  12513' Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC , AB  AC  a, BAC  120, SA  a Gọi M trung 23 điểm BC Tính số đo góc nhị diện S, BC, A Lời giải: Ta có AM  BC, SA  BC suy BC  SAM   BC  SM AM  BC, SM  BC suy SMA góc phẳng nhị diện S, BC, A a Xét tam giác SMA có tan SMA  SA    SMA  30 AM a Câu 6: Cho biết kim tự tháp Memphis bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác với chiều cao 98 m cạnh đáy 180 m Tính số đo góc nhị diện tạo mặt bên mặt đáy? Chuyên đề QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Tốn 11 Lời giải: Câu 7: Gọi hình chóp tứ giác S.ABCD hình vẽ , O  AC  BD, M trung điểm DC Khi góc nhị diện tạo mặt bên  SCD mặt đáy  ABCD S,CD,O Ta có SM  CD OM  CD , suy SMO góc phẳng nhị diện S,CD,O Xét tam giác SMO ta có OM  BC  90 (m) tan SMO  SO  98  49  SMO  4726 OM 90 45 Hai mái nhà Hình 7.72 hai hình chữ nhật Giả sử AB  4,8 m ; OA  2,8 m;OB  m a) Tính (gần đúng) số đo góc nhị diện tạo hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà b) Chứng minh mặt phẳng OAB vng góc với mặt đất phẳng Lưu ý: Đường giao hai mái (đường nóc) song song với mặt đất c) Điểm A độ cao (so với mặt đất) điểm B 0,5 m Tính (gần đúng) góc mái nhà (chứa OB ) so với mặt đất Chun đề QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Toán 11 Hình 7.72 Lời giải: a) Vì hai mái nhà hai hình chữ nhật nên góc nhị diện tạo hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà hình góc AOB Áp dụng định lý Cosin tam giác AOB ta có: cos AOB  OA2  OB2  AB2  2,82  42  4,82   AOB  88 2OA.OB 2.2, 8.4 28 b) Gọi đường giao hai mái (đường nóc) OO OO  OA  Ta có   OO  (OAB) OO  OB  Mà OO song song với mặt đất không nằm mặt đất nên mặt phẳng OAB vng góc với mặt đất phẳng c) Góc mái nhà (chứa OB ) so với mặt đất góc OBH Ta có: OBH  OBA  ABH Áp dụng định lý Cosin tam giác AOB ta có: cos OBA  BA2  BO2  OA2  4,82  42  2,82  13  OBA  36 2BA.BO 2.4, 8.4 16 ABH vng H có: sin ABH  AH  0,5   ABH  6 AB 4,8 48 Do OBH  OBA  ABH  42 Góc mái nhà (chứa OB ) so với mặt đất khoảng 42 Chun đề QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Toán 11 Câu 8: Độ dốc mái nhà, mặt sân, đường thẳng tang góc tạo mái nhà mặt sân, Câu 9: đường thẳng với mặt phẳng nằm ngang Độ dốc đường thẳng dành cho người khuyết tật quy định khơng q Hỏi theo đó, góc tạo đường dành cho người khuyết 12 tật mặt phẳng nằm ngang không vượt độ? (Làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) Lời giải: Gọi  góc tạo đường dành cho người khuyết tật mặt phẳng nằm ngang 0    90 Theo đề ta có tan     4, 76 12 Vậy góc tạo đường dành cho người khuyết tật mặt phẳng nằm ngang không vượt 4, 76 Trong cửa sổ Hình 7.56 , cánh khung cửa nửa hình trịn có đường kính 80 cm , lề đính điểm O cung trịn khung cánh cửa Khi cửa mở, đường kính khung đường kính cánh song song với cách khoảng d ; cửa đóng, hai đường kính trùng Hãy tính số đo góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa d  40 cm Lời giải: Gọi X giao điểm đường thẳng qua M song song với AB đường thẳng qua O vng góc với AB Ta có XM  d  40 cm XO  AB  40 cm Do tam giác OXM vng O nên ta có: cos(OXM )  OM  40  OX 40 Từ đó, ta suy OXM  0 , cos( XOM )  XM  40  OX 40 Từ đó, ta suy XOM  0 ta có: AOM  AOX  XOM  AOX  cos1(0,5)  60 Vậy số đo góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa d = 40 cm 60 III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Phát biểu sau đúng? A Số đo góc nhị diện S, AB,C SBC B Số đo góc nhị diện D, SA, B 90 C Số đo góc nhị diện S, AC, B 90 Chuyên đề QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Tốn 11 D Số đo góc nhị diện D, SA, B BSD Lời giải: Gọi O tâm hình vuông ABCD  SO   ABCD  SO  AC , SO  BD Ta có SO  AC BO  AC , suy SOB góc phẳng nhị diện S, AC, B Câu 11: Vì SO  BD nên SOB  90 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB  4a, AD  3a Các cạnh bên có độ dài 5a Góc nhị diện S, BC, A có số đo gần giá trị đây? A 7546 ' B 7121' C 6831' D 6512 ' Lời giải: Gọi O  AC  BD, M trung điểm BC Ta có SM  BC OM  BC , suy SMO góc phẳng nhị diện S, BC, A OM  AB  2a, DB  AB2  AD2  5a,OD  DB  5a , SO  SD2  OD2  3a 22 Xét tam giác SMO vuông O, ta có: 3a tan SMO  SO    SMO  65 12 ' OM 2a Câu 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC , cạnh đáy a , cạnh bên a Góc nhị diện 12 S, BC, A có số đo gần giá trị đây? A 7546 ' B 7121' C 2933' D 2633' Lời giải: Chuyên đề QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Toán 11 Gọi M trung điểm BC ABC cạnh a, tâm H, => SH   ABC  SA  SB  SC  a 12 Do ABC cạnh a  AM  a , H trọng tâm tam giác ABC nên AH  AM  AH=a  a 23 Ta có: cos(SAH )  AH SA  33 : 512  5  SAH  cos1        2633'  Vậy góc nhị diện S, BC, A có số đo là: SAH  2633' Câu 13: Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA , SB , SC đơi vng góc SA  SB  SC  Gọi  góc phẳng nhị diện S, BC, A Tính cos A B C D Lời giải: Gọi D trung điểm cạnh BC Suy SD  BC ( tam giác SBC cân S ) SA  SB  SA  SBC   SA  BC Ta có:  SA  SC Và SD  BC  BC  SAD  BC  SD Chun đề QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Toán 11 SBC    ABC   BC  Khi đó: SD  BC  S, BC, A  SDA    AD  BC  Xét SAD vng S , ta có: cos  cos SDA  SD  AD Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , biết AD  2a , AB  BC  a , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA  a Gọi E trung điểm AD Tính số đo góc phẳng nhị diện S, BE, A A 45 B 120 C 30 D 60 Lời giải: Nhận xét: ABCE hình vuông cạnh a Gọi I  AC  BE BE  AI  BE  SAI   BE  SI Ta có:  BE  SA SBE    ABE   BE  Khi  AI  BE  S, BE, A  SIA SI  BE  Câu 15: Xét SIA vng A , ta có: tan SIA  SA  a : a   SIA  60 IA 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA  a Biết AB  2AD  2DC  2a Tính số đo góc phẳng nhị diện C, SB, A A 45 B 120 C 30 D 60 Lời giải: Chun đề QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN Toán 11 CM  AB Gọi M trung điểm AB   CM  SAB CM  SA Trong mặt phẳng SAB , từ M kẻ MK  SB K SB  MK  SB  CMK   SB  CK Khi đó:  SB  CM SAB  SBC   SB  Ta có: MK  SB  C, SB, A  CKM CK  SB  BKM BAS nên KM  BM  a   KM  a SA SB a 6 Xét CKM vng M , ta có: tan CKM  CM   CKM  60 MK _HẾT _ Huế, 16h35’ Ngày 27 tháng 02 năm 2024