Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9.. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB.. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đườ
UBND HUYỆN ĐÔNG HƯNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI THÁNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 - 2024 MƠN TỐN (Thời gian làm bài:120 phút) Câu (5,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2x2 y y2 Tính giá trị biểu thức M = x2 + y2 − 5x − 2xy + 5y + 30, biết x = y + 30 1 x3 1 x2 Cho biểu thức A = x : 1 x 1 x x x2 a, Rút gọn biểu thức A 22 b, Tính giá trị biểu thức A x 3 c, Tìm giá trị x, để A < Câu (4,0 điểm) Cho x, y số hữu tỉ khác thỏa mãn 1 2x 1 2y 1 1 x 1 y Chứng minh M x2 y2 xy bình phương số hữu tỷ Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình: 5x4 10x2 2y6 4y3 Câu (3,0 điểm) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho Cho a b c a2 b2 c2 14 Tính giá trị biểu thức N a4 b4 c4 Câu (6,0 điểm) Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB kẻ hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C C A Từ O kẻ đường thẳng vng góc với OC, đường thẳng cắt By D Từ O hạ đường vng góc OM xuống CD (M thuộc CD) a, Đường thẳng OD cắt đường thẳng AC E Chứng minh: ∆CDE cân CD = AC + BD b, Gọi N giao điểm tia BM tia Ax Chứng minh: C trung điểm AN c, Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh: MI // AC d, Gọi H giao điểm MI AB Tính tỉ số diện tích ∆OIB ∆AMB Câu (2,0 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z Chứng minh x y xyz -Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI THÁNG NĂM HỌC 2023 - 2024 MƠN TỐN Câu Đáp án Điểm Câu 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2x2 y y2 (5,0 điểm) x4 2x2 y y2 9 = ( x4 2x2 y y2) 9 0,25 = (x2 y)2 0,5 = (x2 y 3)(x2 y 3) 0,25 2.Tính giá trị biểu thức 𝐌 = 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝟓𝐱 − 𝟐𝐱𝐲 + 𝟓𝐲 + 𝟑𝟎, biết 𝐱 = 𝐲 + 𝟑𝟎 Ta có: M = (x2 − 2xy + y2) − 5(x − y) + 30 = (x − y)2 − 5(x − y) + 30 0,25 Theo ra: x = y + 30 => x − y = 30, Thay x − y = 30 vào biểu thức M, ta được: 0,25 M = 302 − 5.30 + 30 = 780 0,25 Vậy M = 780 x = y + 30 0,25 (3,0 điểm) a) (1,25 điểm) ĐKXĐ: x 1 0,25 Với x 1, ta có: A=[(1−𝑥).(1+𝑥+𝑥2) 1−𝑥 − 𝑥] : (1−𝑥).(1−𝑥2 1−𝑥2 0,25 ) =(1 + x + x2 − x): 0,25 1−x =(1 + x2) (1 − x) 0,25 Vậy A = (1 x2 )(1 x) với x 1 0,25 b) (1,0 điểm) 22 21 1 ĐKXĐ: x 1 Ta có: x x x 0,25 3 33 33 x (không TMĐK) x (TMĐK) 0,25 Với x , ta có: 2 10 20 0,25 A = 1 1 = = 27 2 20 Vậy x A = 0,25 3 27 c) (0,75 điểm) Ta có: A < (1 x2 )(1 x) (1) Mà 1 x2 với x 1 0,25 Nên (1) 1 x x 0,25 Vậy với x > A < 0,25 2.1) (2,0 điểm)Cho x, y số hữu tỉ khác thỏa mãn 1 2x 1 2y 1 1 x 1 y Chứng minh M x2 y2 xy bình phương số hữu tỷ Với x y số hữu tỉ khác 1, theo ta có 1 2x 1 y 1 2x1 y 1 2y1 x 1 x1 y 1 x 1 y 1,0 1 y 2x 2xy 1 x y 2xy 1 x y xy x y 3xy 1 Ta có: M x2 y2 xy x y 2 3xy 3xy 2 3xy 1 2 3xy 0,75 2 2 Vì x, y nên 3xy 1 số hữu tỷ , Vậy M bình phương số (4 điểm) Câu 2 0,25 hữu tỷ 2.2) (2,0điểm) 5x4 10x2 2y6 4y3 5x4 10x2 5 2y6 4y3 2 13 0,25 5(x4 2x2 1) 2(y6 2y3 1) 13 5( x2 1)2 2(y3 1)2 13 0,25 x Z x2 1 Z Vì: 0,25 y Z y 1 Z Mà 5( x2 1)2 13 x2 1 0,25 Mặt khác x2 11 với x x2 11 0,25 x2 x Với x , ta có: 2(y3 1)2 13 2(y3 1)2 (y3 1)2 0,25 y3 1 y3 1 y 1 2 y 3 0,25 0,25 Vì y Z nên y3 = y = Vậy phương trình có nghiệm ngun x; y 0;1 3.1 (1,5 điểm) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho Câu tổng lập phương chúng chia hết cho (3 điểm) Gọi hai số thỏa mãn đầu x, y x y 0,25 Ta có: x3 y3 x y x2 xy y2 0,25 x y x2 2xy y2 3xy x y x y2 3xy 0,25 Vì x y nên x y2 3xy 0,25 x y x y2 3xy 9 0,25 Vậy tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương 0,25 chúng chia hết cho 3.2 (1,5 điểm) Cho a b c a2 b2 c2 14 Tính giá trị biểu thức N a4 b4 c4 Từ a2 b2 c2 14 a2 b2 c2 2 196 0,25 a4 b4 c4 196 2a2b2 b2c2 c2a2 0,25 Ta lại có: a b c a b c2 0,25 a2 b2 c2 2ab bc ca ab bc ca 7 ab bc ca2 49 0,5 a2b2 b2c2 c2a2 2abca b c 49 a2b2 b2c2 c2a2 49 Do đó: N a4 b4 c4 196 2a2b2 b2c2 c2a2 196 2.49 98 0,25 Câu (6,0 điểm) a) (2,0 điểm) - Chỉ ra: ∆AOE = ∆BOD (g − c − g) => OE = OD 0,5 - Xét ∆CED có CO đường cao, đồng thời đường trung tuyến => ∆CED cân C 0,25 - ∆CED cân C => CO đồng thời đường phân giác đỉnh C 0,25 => 𝐴̂ 𝐶𝑂 = 𝑀̂ 𝐶𝑂 - Chỉ ∆ACO = ∆MCO(CH − GN) => AC = CM OA = OM 0,25 - Ta có OA= OM, OA=OB => OM = OB - Chỉ ∆BOD = ∆MOD(CH − CGV) => BD = MD 0,5 - Có CD = CM + MD mà AC = CM, BD = MD => CD = AC + BD 0,25 b) (1,5 điểm) Ta có: OB = OM => O thuộc đường trung trực BM DB = DM => D thuộc đường trung trực BM 0,25 Do đó: OD đường trung trực BM => BM vng góc với OD 0,25 Ta có: OC vng góc với OD, BM vng góc với OD = > OC//BM hay 0,25 OC//BN Xét ∆ABN có OC // BN, nên theo định lí Thalès ta có => 𝐴𝐶 = 𝐴𝑂 mà AO = OB 0,5 𝐶𝑁 𝑂𝐵 => AC = CN = > N trung điểm AC 0,25 c) (1,0 điểm) Xét ∆BID có AC // BD (cùng vng góc với AB) nên theo hệ định lí Thalès ta có: 𝐴𝐶 𝐴𝐼 0,5 𝐵𝐷 = 𝐼𝐷 Mà AC = CM, BD = DM => 𝐶𝑀 𝑀𝐷 = 𝐴𝐼 𝐼𝐷 0,25 Xét ∆CMD có 𝐶𝑀 = 𝐴𝐼, nên theo định lí Thalès đảo ta có: MI // AC 𝑀𝐷 𝐼𝐷 0,25 d) ( 1,5 điểm) Xét ∆BCN có MI//CN, nên theo hệ định lí Thalès ta có: 𝑀𝐼 𝐵𝐼 𝐶𝑁 = 𝐵𝐶 Xét ∆BCA có IH//CA, nên theo hệ định lí Thalès ta có: 0,5 𝐼𝐻 𝐵𝐼 𝐶𝐴 = 𝐵𝐶 Do ta được; 𝑀𝐼 = 𝐼𝐻 mà CN = CA => MI = IH => IH = MH 𝐶𝑁 𝐶𝐴 0.25 Ta có: 𝑆∆𝑂𝐼𝐵 = 12 𝐼𝐻 𝑂𝐵, 𝑆∆𝑀𝐴𝐵 = 12 𝑀𝐻 𝐴𝐵 0.25 0.5 𝑆∆𝑂𝐼𝐵 12.𝐼𝐻.𝑂𝐵 𝐼𝐻 𝑂𝐵 1 => =1 = =.= 𝑆𝑀𝐴𝐵 2.𝑀𝐻.𝐴𝐵 𝑀𝐻 𝐴𝐵 2 5.1(1,0 điểm) Câu Ta có: (2,0điểm) Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z ; cạnh huyền z 0,25 ( x, y, z số nguyên dương) Ta có: xy 2 x y z1 x2 y2 z2(2) Từ (2) suy z2 x y2 2xy, t hay (1) vào ta có: z2 x y2 4 x y z 0,25 => 𝑧2 = (𝑥 + 𝑦)2 − 4(𝑥 + 𝑦) − 4𝑧 => 𝑧2 + 4𝑧 + = (𝑥 + 𝑦)2 − 4(𝑥 + 𝑦) + 0,25 => z 22 x y 22 , suy z x y z x y 4, thay vào 1 ta được: xy 2 x y x y 4 xy 4x 4y 8 x 4 y 4 1.8 2.4 0,25 Từ ta tìm giá trị x, y, z là: x; y; z 5;12;13;12;5;13;6;8;10;8;6;10 5.2(1,0 điểm) Ta có: x y2 4xy (1) 0,25 x y z 4(x y)z 0,25 36 4(x y)z (vì x y z ) 36(x y) 4(x y)2z (vì x, y dương nên x + y dương) (2) 0,25 Từ (1) (2), ta có: 36(x y) 16xyz x y xyz x y (đpcm) 0,25 xyz Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng - Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm