Toán 8

Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9.. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB.. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đườ

UBND HUYỆN ĐÔNG HƯNG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI THÁNG 1

NĂM HỌC 2023 - 2024 MÔN TOÁN 8

(Thời gian làm bài:120 phút)

Câu 1 (5,0 điểm)

1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 4 2 2

x  x yy 

2 Tính giá trị của biểu thức M = x2+ y2− 5x − 2xy + 5y + 30, biết x = y + 30

2 3

1

1 : 1

1

x x x

x x

x

x



























a, Rút gọn biểu thức A

b, Tính giá trị của biểu thức A khi

2

x

   

c, Tìm giá trị của x, để A < 0

Câu 2 (4,0 điểm)

1 Cho ,x y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn 1 2 1 2 1

Chứng minh M  x2  y2 xylà bình phương của một số hữu tỷ

2 Tìm cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn phương trình:

5 x410x22y64y3 6 0

Câu 3 (3,0 điểm)

1 Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9

2 Cho a b c  0và a2 b2 c2 14.Tính giá trị của biểu thức N a4 b4 c4

Câu 4 (6,0 điểm)

Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C C A Từ O

kẻ đường thẳng vuông góc với OC,đường thẳng này cắt By tại D Từ O hạ đường vuông

góc OM xuống CD (M thuộc CD)

a, Đường thẳng OD cắt đường thẳng AC tại E Chứng minh: ∆CDE cân và CD = AC + BD

b, Gọi N là giao điểm của tia BM và tia Ax Chứng minh: C là trung điểm của AN

c, Gọi I là giao điểm của AD và BC Chứng minh: MI // AC

d, Gọi H là giao điểm của MI và AB Tính tỉ số diện tích của ∆OIB và ∆AMB

Câu 5 (2,0 điểm)

1 Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi

2 Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn x  y z 6 Chứng minh rằng 4

9

xyz

-Hết -

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI THÁNG 1

NĂM HỌC 2023 - 2024 MÔN TOÁN 8

Câu 1

(5,0

điểm)

1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 4 2 2

x  x yy  1

x  x yy  = ( 4 2 2

= 2 2

= 2 2

2.Tính giá trị của biểu thức 𝐌 = 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝟓𝐱 − 𝟐𝐱𝐲 + 𝟓𝐲 + 𝟑𝟎, biết

Ta có: M = (x 2 − 2xy + y 2 ) − 5(x − y) + 30 = (x − y) 2 − 5(x − y) + 30 0,25

Theo bài ra: x = y + 30 => x − y = 30, Thay x − y = 30 vào biểu thức

3 (3,0 điểm)

a) (1,25 điểm)

Với x  1, ta có:

A=[(1−𝑥).(1+𝑥+𝑥1−𝑥 2)− 𝑥] :(1−𝑥).(1−𝑥1−𝑥2 2) 0,25

Vậy A = ( 1 x2)( 1 x) với x  1 0,25

b) (1,0 điểm)

ĐKXĐ: x  1 Ta có:

2

x

   

2 1

3 3

x

   hoặc 2 1

x 

 x 1 (không TMĐK)

hoặc 1

3

Với 1

3

x , ta có:

A =

2

    

    

   

10 2

9 3=20

27

0,25

Vậy khi

2

x

   

  thì A =

20

c) (0,75 điểm)

Ta có: A < 0  ( 1 x2)( 1 x)  0 (1)

Câu 2

(4 điểm)

2.1) (2,0 điểm)Cho ,x y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn 1 2 1 2 1

Chứng minh M x2  y2 xylà bình phương của một số hữu tỷ

Với x và y là số hữu tỉ khác 1, theo bài ra ta có

2

xy



              

1,0

Ta có:

M x  y xy x y  xy    xy   

Vì x y,  nên 3 1

2

xy

là số hữu tỷ , Vậy M là bình phương của một số

2.2) (2,0điểm)

5 x4 10x2 2y64y3 6 0

2x 1) 2(y 2y 1) 13

x 1) 2(y 1) 13

Vì:

2 3

1 1

x Z x Z

y Z y Z



 



Mặt khác 2

1 1

x   với mọi x  x2   1 1

 2

0

0,25

Với x 0 , ta có: 52(y31)2 13

 3 2

2(y 1) 8  3 2



3 3

1 2

y y

  



  

3 3

1 3

y y

 



 

Vì y  Z nên y 3 = 1  y = 1

Vậy phương trình có một nghiệm nguyên    x y;  0;1

0,25

Câu 3

(3 điểm)

3.1 (1,5 điểm) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9

Ta có: 3 3    2 2

   2 2

   2

3

Vì xy 3 nên  2

   2

x y  x y  xy

Vậy nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của

3.2 (1,5 điểm) Cho a b c  0và a2 b2 c2 14.Tính giá trị của biểu thức

4 4 4

N a b c

196 2

a   b c a b c  0,25

2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

7 49

49

ab bc ca

ab bc ca

a b b c c a

0,5

N a b c   a b b c c a    0,25

Câu 4

(6,0

điểm)

a) (2,0 điểm)

- Chỉ ra: ∆AOE = ∆BOD (g − c − g) => OE = OD 0,5

- Xét ∆CED có CO là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến

- ∆CED cân tại C => CO đồng thời là đường phân giác tại đỉnh C

- Chỉ ra ∆ACO = ∆MCO(CH − GN) => AC = CM và OA = OM 0,25

- Ta có OA= OM, OA=OB => OM = OB

- Chỉ ra ∆BOD = ∆MOD(CH − CGV) => BD = MD 0,5

- Có CD = CM + MD mà AC = CM, BD = MD => CD = AC + BD 0,25

b) (1,5 điểm)

Ta có: OB = OM => O thuộc đường trung trực của BM

DB = DM => D thuộc đường trung trực của BM 0,25

Do đó: OD là đường trung trực của BM => BM vuông góc với OD 0,25

Ta có: OC vuông góc với OD, BM vuông góc với OD = > OC//BM hay

OC//BN 0,25

Xét ∆ABN có OC // BN, nên theo định lí Thalès ta có

=> 𝐴𝐶

𝐶𝑁 = 𝐴𝑂

𝑂𝐵 mà AO = OB

=> AC = CN

0,5

= > N là trung điểm của AC 0,25

c) (1,0 điểm)

Xét ∆BID có AC // BD (cùng vuông góc với AB) nên theo hệ quả định lí

Thalès ta có:

𝐴𝐶

𝐵𝐷 =

𝐴𝐼 𝐼𝐷

0,5

Mà AC = CM, BD = DM => 𝐶𝑀

Xét ∆CMD có 𝐶𝑀

𝑀𝐷 = 𝐴𝐼

𝐼𝐷, nên theo định lí Thalès đảo ta có: MI // AC

0,25

d) ( 1,5 điểm)

Xét ∆BCN có MI//CN, nên theo hệ quả định lí Thalès ta có:

𝑀𝐼

𝐶𝑁 =

𝐵𝐼 𝐵𝐶 Xét ∆BCA có IH//CA, nên theo hệ quả định lí Thalès ta có:

𝐼𝐻

𝐶𝐴 =

𝐵𝐼 𝐵𝐶

0,5

Do đó ta được; 𝑀𝐼𝐶𝑁 = 𝐶𝐴𝐼𝐻 mà CN = CA => MI = IH => IH = 12MH

0.25

Ta có: 𝑆∆𝑂𝐼𝐵 = 1

2 𝐼𝐻 𝑂𝐵, 𝑆∆𝑀𝐴𝐵 = 1

=> 𝑆∆𝑂𝐼𝐵

𝑆𝑀𝐴𝐵 =

1

2 𝐼𝐻.𝑂𝐵 1

Câu 5

(2,0điểm)

5.1(1,0 điểm)

Ta có:

Gọi các cạnh của tam giác vuông là x y z ; trong đó cạnh huyền là z , ,

(x y z là các số nguyên dương) , ,

0,25

Ta có: xy2x y z 1 và x2  y2 z2(2)

Từ (2) suy ra 2  2

2 ,

z  x y  xy t hay (1) vào ta có:

2

4

=> 𝑧2 = (𝑥 + 𝑦)2− 4(𝑥 + 𝑦) − 4𝑧

=> 𝑧2+ 4𝑧 + 4 = (𝑥 + 𝑦)2− 4(𝑥 + 𝑦) + 4

=>   2 2

z  x y suy ra z   2 x y 2

0,25

4

z   x y , thay vào  1 ta được:

Từ đó ta tìm được các giá trị của , ,x y z là:

x y z; ;   5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10       

0,25

5.2(1,0 điểm)

Ta có:  2

x  y  z  4(x  y)z

2

36(x y) 4(x y) z

    (vì x, y dương nên x + y dương) (2) 0,25

Từ (1) và (2), ta có: 36(x  y) 16xyz 

x y 4xyz

9

9

xyz



Lưu ý khi chấm bài:

- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng

- Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm