VẬN DỤNG CÁC PHÉP SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ SỐ TỰ NHIÊN CHO HỌC SINH TIỂU HỌC - Full 10 điểm

TRƢ Ờ NG Đ Ạ I H Ọ C QU Ả NG NAM KHOA TI Ể U H Ọ C – M Ầ M NON & NGH Ệ THU Ậ T -----  ----- NGUY Ễ N TH Ị HI Ề N V Ậ N D Ụ NG CÁC PHÉP SUY LU Ậ N VÀ CH Ứ NG MINH VÀO D Ạ Y H Ọ C CH Ủ ĐỀ S Ố T Ự NHIÊN CHO H Ọ C SINH TI Ể U H Ọ C KHÓA LU Ậ N T Ố T NGHI ỆP ĐẠ I H Ọ C Qu ả ng Nam, tháng 5 năm 20 19 \ TRƢ Ờ NG Đ Ạ I H Ọ C QU Ả NG NAM KHOA TI Ể U H Ọ C – M Ầ M NON & NGH Ệ THU Ậ T -----  ----- KHÓA LU Ậ N T Ố T NGHI Ệ P ĐẠ I H Ọ C Tên đề tài: V Ậ N D Ụ NG CÁC PHÉP SUY LU Ậ N VÀ CH Ứ NG MINH VÀO D Ạ Y H Ọ C CH Ủ Đ Ề S Ố T Ự NHIÊN CHO H Ọ C SINH TI Ể U H Ọ C Sinh viên th ự c hi ệ n NGUY Ễ N TH Ị HI Ề N MSSV: 2115010523 CHUYÊN NGÀNH: GIÁO D Ụ C TI Ể U H Ọ C KHÓA: 2015 – 2019 Cán b ộ hƣớ ng d ẫ n Th S T RƢƠNG THỊ KIM NG Ọ C MSCB: L Ờ I C ẢM ƠN Trong quá trình nghiên c ứ u và hoàn thành khóa lu ậ n c ủa mình, tôi đã nhậ n đƣợ c s ự quan tâm, giúp đỡ c ủ a các th ầ y, cô giáo, b ạn bè và ngƣờ i thân Đầ u tiên, tôi xin g ử i l ờ i c ảm ơn chân thành, lòng biết ơn sâu sắc đế n cô giáo – Th S Trƣơng Thị Kim Ng ọc, ngƣời đã tận tình hƣớ ng d ẫ n, cung c ấ p tài li ệu, giúp đỡ tôi trong su ố t quá trình nghiên c ứ u và hoàn thành khóa lu ậ n này Tôi cũng xin bày tỏ lòng bi ết ơn chân thành tớ i Ban giám hi ệu nhà trƣờ ng, các th ầ y, cô giáo trong khoa Ti ể u h ọ c – M ầ m non & Ngh ệ thu ật trƣờng Đạ i h ọ c Qu ả ng Nam đã nhiệ t tình ch ỉ b ả o, chia s ẻ, đóng góp ý kiế n, t ạo điề u ki ện để tôi hoàn thành khóa lu ận đúng thời gian quy đị nh Tôi xin g ử i l ờ i c ảm ơn sâu sắc đế n Ban giám hi ệu nhà trƣờ ng, các th ầ y, cô giáo cũng nhƣ học sinh trƣờ ng Ti ể u h ọ c Tr ầ n Qu ố c To ản đã giúp đỡ và h ợ p tác cùng tôi trong su ốt quá trình đ i ề u tra, kh ả o sát và th ự c nghi ệm đề tài này Cu ố i cùng tôi xin g ử i l ờ i c ảm ơn chân thành đế n t ậ p th ể l ớp Đạ i h ọ c Ti ể u h ọ c K15 cũng nhƣ gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong su ố t th ờ i gian qua M ặc dù đã cố g ắ ng và n ỗ l ự c h ết mình nhƣng vớ i kh ả năng còn hạ n ch ế nên không tránh kh ỏ i nh ữ ng thi ế u sót nh ất đị nh Vì v ậ y, nh ữ ng l ờ i nh ậ n xét, góp ý c ủ a th ầ y, cô và các b ạn chính là điề u ki ện để khóa lu ận đƣợ c hoàn thi ện hơn Tôi xin chân thành c ảm ơn! Tam K ỳ, tháng 05 năm 2019 Sinh viên th ự c hi ệ n Nguy ễ n Th ị Hi ề n L ỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài “ V ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c ” là công trình nghiên c ứu độ c l ậ p c ủ a riêng tôi trong quá trình h ọ c t ậ p và đƣợ c s ự hƣớ ng d ẫ n khoa h ọ c c ủa Th S Trƣơng Th ị Kim Ng ọ c Các n ộ i dung nghiên c ứu trong đề tài này là trung th ực và chƣa công b ố dƣớ i b ấ t kì hình th ức nào trƣớc đây Ngoài ra, trong khóa lu ậ n còn tham kh ả o m ộ t s ố tài li ệu liên quan đế n lí lu ậ n c ủa đề tài c ủ a các tác gi ả, cơ quan tổ ch ức khác đề u có trích d ẫ n và ghi rõ trong ph ầ n tài li ệ u tham kh ả o N ế u phát hi ệ n có b ấ t kì s ự gian l ậ n nào tôi xin hoàn toàn ch ị u trách nhi ệ m v ề n ộ i dung khóa lu ậ n c ủ a mình Tam K ỳ, tháng 05 năm 2019 DANH M Ụ C CÁC T Ừ VI Ế T T Ắ T STT Vi ế t t ắ t N ộ i dung 1 CM Ch ứ ng minh 2 DH D ạ y h ọ c 3 ĐC Đ ố i ch ứ ng 4 GV Giáo viên 5 HS H ọ c sinh 6 TN Th ự c nghi ệ m 7 SGK Sách giáo khoa 8 SL Suy lu ậ n DANH M Ụ C CÁC B Ả NG Tên N ộ i dung Trang B ả ng 1 M ộ t s ố quy t ắ c suy lu ậ n thƣ ờ ng g ặ p 6 B ả ng 2 N ộ i dung d ạ y h ọ c s ố t ự nhiên 32 B ả ng 3 Vai trò c ủ a s ố t ự nhiên trong chƣơng trình môn Toán ở ti ể u h ọ c 35 B ả ng 4 L ự a ch ọ n quan đi ể m v ề vi ệ c d ạ y h ọ c v ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ ng m inh 36 B ả ng 5 M ứ c đ ộ s ử d ụ ng suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 37 B ả ng 6 Các ho ạ t đ ộ ng d ạ y h ọ c mà giáo viên đã áp d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 38 B ả ng 7 Phép suy lu ậ n mà GV v ậ n d ụ ng khi hình thành ki ế n th ứ c m ớ i bài “Tính ch ấ t k ế t h ợ p c ủ a phép nhân” 39 B ả ng 8 Thu ậ n l ợ i c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 40 B ả ng 9 Khó khăn c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 41 B ả ng 10 M ứ c đ ộ yêu thích c ủ a HS khi h ọ c môn Toán 42 B ả ng 11 C ả m nh ậ n c ủ a em khi h ọ c các ki ế n th ứ c v ề s ố t ự nhiên 44 B ả ng 12 M ứ c đ ộ h ứ ng thú c ủ a HS v ề vi ệ c ti ế p thu ki ế n th ứ c m ớ i và th ự c hành – luy ệ n t ậ p ki ế n th ứ c đó t ạ i l ớ p 44 B ả ng 13 M ứ c đ ộ hoàn thành bài t ậ p đƣ ợ c giao 45 B ả ng 14 K ế ho ạ ch th ự c nghi ệ m 112 B ả ng 15 M ứ c đ ộ hoàn thành nhi ệ m v ụ ti ế t h ọ c c ủ a h ọ c sinh l ớ p 2/1 và 2/2 trƣ ớ c khi th ự c nghi ệ m 115 B ả ng 16 M ứ c đ ộ hoàn thành nhi ệ m v ụ ti ế t h ọ c c ủ a h ọ c sinh l ớ p 2/1 và 2/2 sau khi th ự c nghi ệ m 116 B ả ng 17 M ứ c đ ộ h ứ ng thú trong ti ế t h ọ c c ủ a h ọ c sinh l ớ p 2/1 và 2/2 117 DANH M Ụ C CÁC BI ỂU ĐỒ Tên N ộ i dung Trang Bi ể u đ ồ 1 Vai trò c ủ a s ố t ự nhiên trong chƣơng trình môn Toán ở ti ể u h ọ c 35 Bi ể u đ ồ 2 L ự a ch ọ n quan đi ể m v ề vi ệ c d ạ y h ọ c v ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ n g minh 36 Bi ể u đ ồ 3 M ứ c đ ộ s ử d ụ ng suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 37 Bi ể u đ ồ 4 Các ho ạ t đ ộ ng d ạ y h ọ c mà giáo viên đã áp d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 38 Bi ể u đ ồ 5 Phép suy lu ậ n mà giáo viên v ậ n d ụ ng k hi hình thành ki ế n th ứ c m ớ i bài “Tính ch ấ t k ế t h ợ p c ủ a phép nhân” 39 Bi ể u đ ồ 6 Thu ậ n l ợ i c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 40 Bi ể u đ ồ 7 Khó khăn c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 41 Bi ể u đ ồ 8 M ứ c đ ộ yêu thích c ủ a h ọ c sinh khi h ọ c môn Toán 42 Bi ể u đ ồ 9 C ả m nh ậ n c ủ a em khi h ọ c các ki ế n th ứ c v ề s ố t ự nhiên 43 Bi ể u đ ồ 10 M ứ c đ ộ h ứ ng thú c ủ a h ọ c sinh v ề ti ế p thu ki ế n th ứ c m ớ i và th ự c hành luy ệ n t ậ p ki ế n th ứ c đó t ạ i l ớ p 44 Bi ể u đ ồ 11 M ứ c đ ộ hoàn thành bài t ậ p đƣ ợ c giao 45 Bi ể u đ ồ 12 M ứ c đ ộ hoàn thành nhi ệ m v ụ ti ế t h ọ c c ủ a h ọ c sinh l ớ p 2/1 và 2/2 trƣ ớ c khi th ự c nghi ệ m 115 Bi ể u đ ồ 13 M ứ c đ ộ hoàn thành nhi ệ m v ụ ti ế t h ọ c c ủ a h ọ c sinh l ớ p 2/1 và 2/2 sau khi th ự c nghi ệ m 116 Bi ể u đ ồ 14 M ứ c đ ộ h ứ ng thú trong ti ế t h ọ c c ủ a h ọ c sinh l ớ p 2/1 và 2/2 117 M Ụ C L Ụ C M Ở ĐẦ U 1 1 Lí do ch ọn đề tài 1 2 M ục đích nghiên cứ u 2 3 Đối tƣợ ng và khách th ể nghiên c ứ u 2 3 1 Đối tƣợ ng nghiên c ứ u 2 3 2 Khách th ể nghiên c ứ u 2 4 Nhi ệ m v ụ nghiên c ứ u 2 5 Phƣơng pháp nghiên cứ u 2 5 1 Nhóm phƣơng pháp nghiên cứ u lí lu ậ n 2 5 1 1 Phƣơng pháp nghiên cứ u tài li ệ u 2 5 1 2 Phƣơng pháp phân tích - t ổ ng h ợ p 3 5 2 Nhóm phƣơng pháp nghiên cứ u th ự c ti ễ n 3 5 2 1 Phƣơng pháp điề u tra 3 5 2 2 Phƣơng pháp hỏ i ý ki ế n chuyên gia 3 5 2 3 Phƣơng pháp thự c nghi ệm sƣ phạ m 3 5 3 Phƣơng pháp thố ng kê toán h ọ c 3 6 L ị ch s ử v ấn đề nghiên c ứ u 3 7 Đóng góp của đề tài 4 7 1 V ề lí lu ậ n 4 7 2 V ề th ự c ti ễ n 4 8 Gi ớ i h ạ n ph ạ m vi nghiên c ứ u 4 9 C ấ u trúc t ổ ng quan c ủa đề tài 4 N Ộ I DUNG NGHIÊN C Ứ U 5 CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LU Ậ N VÀ TH Ự C TI Ễ N C Ủ A VI Ệ C V Ậ N D Ụ NG CÁC PHÉP SUY LU Ậ N VÀ CH Ứ NG MINH VÀO D Ạ Y H Ọ C CH Ủ ĐỀ S Ố T Ự NHIÊN CHO H Ọ C SINH TI Ể U H ỌC………………………………………………………… 5 1 1 Cơ sở lí lu ậ n c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 5 1 1 1 Suy lu ậ n 5 1 1 1 1 Quy t ắ c suy lu ậ n 5 1 1 1 2 Các ki ể u suy lu ậ n 8 1 1 2 Ch ứ ng minh 17 1 1 3 Các phƣơng pháp chứ ng minh toán h ọc thƣờ ng g ặ p 18 1 1 3 1 Ph ƣơng pháp ch ứ ng minh tr ự c ti ế p 18 1 1 3 2 Phƣơng pháp ch ứ ng minh ph ả n ch ứ ng 19 1 1 3 3 Phƣơng pháp chứ ng minh quy n ạ p hoàn toàn 20 1 1 3 4 Phƣơng pháp chứ ng minh quy n ạ p không hoàn toàn 22 1 1 4 Vai trò c ủ a các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c toán ở ti ể u h ọ c 23 1 1 5 Đặc điể m tâm lí c ủ a h ọ c sinh ti ể u h ọ c 24 1 1 5 1 Đặc điể m tâm lí c ủ a h ọc sinh giai đoạ n l ớ p 1, 2, 3 24 1 1 5 2 Đặc điể m tâm lí c ủ a h ọc sinh giai đoạ n l ớ p 4, 5 25 1 2 Cơ sở th ự c ti ễ n c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 27 1 2 1 V ị trí, vai trò c ủ a ch ủ đề s ố t ự nhiên trong chƣơng trình môn Toán Tiể u h ọ c 27 1 2 2 M ụ c tiêu và n ộ i dung d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 28 1 2 2 1 M ụ c tiêu d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 28 1 2 2 2 N ộ i dung d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 30 1 2 3 Th ự c tr ạ ng c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 33 1 2 3 1 M ục đích điề u tra 33 1 2 3 2 Đối tƣợng điề u tra 33 1 2 3 3 N ội dung điề u tra 33 1 2 3 4 Phƣơng pháp điề u tra 34 1 2 3 5 Đánh giá kế t qu ả điề u tra 34 1 2 3 6 K ế t lu ậ n v ề k ế t qu ả điề u tra 45 Ti ể u k ết chƣơng 1 47 CHƢƠNG 2 VẬ N D Ụ NG CÁC PHÉP SUY LU Ậ N VÀ CH Ứ NG MINH VÀO D Ạ Y H Ọ C CH Ủ ĐỀ S Ố T Ự NHIÊN CHO H Ọ C SINH TI Ể U H Ọ C 49 2 1 M ộ t s ố căn cứ để v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 49 2 1 1 Căn cứ vào các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c toán 49 2 1 2 Căn cứ vào v ị trí, m ụ c tiêu, n ộ i dung d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 49 2 1 3 Căn cứ vào đặc điể m tâm sinh lí c ủ a h ọ c sinh ti ể u h ọ c 50 2 1 4 Căn cứ vào th ự c tr ạ ng v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 51 2 2 V ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 51 2 2 1 V ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n vào d ạ y h ọ c hình thành khái ni ệ m s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 51 2 2 1 1 V ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n quy n ạ p 51 2 2 1 2 V ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n tƣơng t ự 59 2 2 2 V ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n vào d ạ y h ọ c hình thành các quy t ắ c, tính ch ấ t phép toán, d ấ u hi ệ u chia h ế t trên t ậ p s ố t ự nhiên 63 2 2 2 1 V ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n quy n ạ p 63 2 2 2 2 V ậ n d ụ ng phép suy lu ận tƣơng tự 73 2 2 2 3 V ậ n d ụ ng phép suy di ễ n 80 2 2 3 Bài t ậ p v ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 82 2 2 3 1 Bài t ậ p v ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n trong d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 82 2 2 3 2 Bài t ậ p v ậ n d ụ ng phép ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 105 CHƢƠNG 3 THỰ C NGHI ỆM SƢ PHẠ M 111 3 1 Mô t ả th ự c nghi ệm sƣ phạ m 111 3 1 1 M ục đích thự c nghi ệ m 111 3 1 2 N ộ i dung th ự c nghi ệ m 111 3 1 3 Đối tƣợ ng th ự c nghi ệ m 112 3 1 4 Th ờ i gian th ự c nghi ệ m 112 3 1 5 Phƣơng pháp thự c nghi ệm sƣ phạ m 112 3 2 T ổ ch ứ c th ự c nghi ệm sƣ phạ m 112 3 2 1 K ế ho ạ ch th ự c nghi ệ m 112 3 2 2 Ti ế n hành th ự c nghi ệ m 113 3 3 K ế t qu ả th ự c nghi ệ m 114 3 3 1 Các tiêu chí đánh giá kế t qu ả th ự c nghi ệ m 114 3 3 2 Phân tích k ế t qu ả th ự c nghi ệ m 114 3 3 2 1 K ế t qu ả trƣớ c khi th ự c nghi ệ m 114 3 3 2 2 K ế t qu ả sau khi th ự c nghi ệ m 115 3 4 Nh ữ ng thu ậ n l ợi và khó khăn trong quá trình thự c nghi ệ m 118 3 4 1 Thu ậ n l ợ i 118 3 4 2 Khó khăn 118 Ti ể u k ết chƣơng 3 118 K Ế T LU Ậ N VÀ KHUY Ế N NGH Ị 119 1 K ế t lu ận………………………………………………………………………… 119 2 Khuy ế n ngh ị 120 TÀI LI Ệ U THAM KH Ả O 121 1 M Ở ĐẦ U 1 Lí do ch ọn đề tài Tiểu học là cấp học nền tảng của hệ thống giáo dục quốc dân, sự hình thành và phát tri ể n c ủ a c ấ p h ọ c n ề n t ảng này là cơ sở để phát tri ể n các c ấ p h ọ c ti ếp theo Giáo dục Tiểu học đƣợc ví nhƣ nền móng của ngôi nhà, móng có vững thì nhà mới chắc chắn Giáo dụ c Ti ể u h ọ c v ớ i m ụ c tiêu chính là: giúp h ọ c sinh hình thành nh ững cơ sở b an đầ u cho s ự phát tri ển đúng đắ n và lâu dài v ề đạo đứ c, trí tu ệ , th ể ch ấ t, th ẩ m m ỹ và các kĩ năng để h ọ c sinh ti ế p t ụ c h ọ c lên trung h ọc cơ sở Trẻ đƣợc giáo dục tốt t nhỏ thì lớn lên mới có thể phát triển tốt cả về thể chất lẫn trí tuệ Vì vậy, giáo dụ c T iểu học có vai trò rất quan trọng trong hệ thống giáo dục quốc dân Cùng v ớ i các môn h ọ c khác, môn Toán có v ị trí quan tr ọ ng Môn Toán là s ợ i ch ỉ đỏ xuyên su ố t, là chìa khóa m ở c ử a cho t ấ t c ả các ngành khoa h ọ c khác, nó cũng là công c ụ c ầ n thi ế t c ủa ngƣời lao độ ng trong th ờ i kì m ớ i Môn Toán cung c ấ p cho h ọ c sinh nh ữ ng ki ế n th ức cơ bả n v ề s ố h ọ c, các y ế u t ố hình h ọc, đại lƣợng và đo đại lƣợ ng, gi ả i toán có l ời văn Bên cạnh đó, khả năng giáo dụ c c ủ a môn Toán còn r ấ t phong phú; giúp cho h ọ c sinh phát tri ể n trí thông minh, kh ả năng tƣ duy độ c l ậ p, kh ả năng suy lu ậ n logic, trao d ồ i trí nh ớ , gi ả i quy ế t v ấn đề có căn cứ khoa h ọ c, chính xác Yêu c ầ u đó rấ t c ầ n thi ế t cho m ỗi ngƣờ i, nó góp ph ầ n giáo d ục ý chí, đứ c tính kiên trì, ch ị u khó, c ầ n cù trong h ọ c t ậ p Trong các ki ế n th ứ c v ề toán h ọ c thì s ố t ự nhiên là m ộ t thành t ự u Toán h ọ c lâu đ ờ i nh ấ t c ủ a loài ngƣ ờ i Ngày nay, s ố t ự nhiên đƣ ợ c s ử d ụ ng ở m ọ i lúc, m ọ i nơi c ủ a đ ờ i s ố ng xã h ộ i Do đó, vi ệ c d ạ y h ọ c s ố t ự nhiên có vai trò quan tr ọ ng trong d ạ y h ọ c Toán ở t i ể u h ọ c H ọ c sinh n ắ m đƣ ợ c các ki ế n th ứ c v ề s ố t ự nhiên là cơ s ở đ ể ti ế p thu các ki ế n th ứ c khác và có th ể v ậ n d ụ ng vào trong th ự c t ế Vi ệ c d ạ y h ọ c Toán h ọ c có nhi ề u phƣơng pháp, cách th ứ c khác nhau Trong đó không th ể kh ông nh ắ c đ ế n vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c toán nói chung và trong ch ủ đ ề s ố t ự nhiên nói riêng Các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh không ch ỉ là công c ụ đ ắ c l ự c đ ể giáo viên truy ề n th ụ các ki ế n th ứ c m ớ i mà còn còn có tác d ụ ng nân g cao năng l ự c suy nghĩ và mài giũa các k ỹ năng toán h ọ c cho h ọ c sinh Vì th ế , m ỗ i giáo viên t i ể u h ọ c đ ề u ph ả i có nh ữ ng hi ể u bi ế t c ầ n thi ế t v ề m ộ t s ố phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh đ ể v ậ n d ụ ng vào trong gi ả ng d ạ y toán s ố t ự nhiên ở t i ể u h ọ c Tuy nhiên, vi ệ c v ậ n d ụ ng m ộ t s ố phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c 2 môn Toán nói chung và d ạ y h ọ c s ố t ự nhiên nói riêng v ẫ n chƣa đƣ ợ c áp d ụ ng m ộ t cách tri ệ t đ ể Đôi khi giáo viên còn lúng túng và chƣa th ự c s ự hi ể u kĩ b ả n ch ấ t c ủ a nó V ớ i mong mu ố n tìm tòi nghiên c ứ u v ề các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh đ ố i v ớ i vi ệ c d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c nh ằ m chuy ể n t ả i nh ữ ng ki ế n th ứ c đ ế n h ọ c sinh sao cho d ễ hi ể u và đ ả m b ả o chính xác, đ ồ ng th ờ i phát tri ể n tƣ duy và tính tích c ự c h ọ c t ậ p c ủ a h ọ c sinh Do đó tôi quy ế t đ ị nh ch ọ n đ ề tài “ V ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh T i ể u h ọ c ” đ ể nghiên c ứ u 2 M ục đích nghiên cứ u Đề xu ấ t quy trình v ậ n d ụ ng m ộ t s ố phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c nh ằ m góp ph ầ n nâng cao hi ệ u qu ả d ạ y h ọ c các y ế u t ố s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c nói riêng và hi ệ u qu ả d ạ y h ọ c môn Toán ở ti ể u h ọ c nói chung 3 Đối tƣợ ng và khách th ể nghiên c ứ u 3 1 Đối tƣợ ng nghiên c ứ u Các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 3 2 Khách th ể nghiên c ứ u Quá trình d ạ y và h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 4 Nhi ệ m v ụ nghiên c ứ u - Tìm hi ểu cơ sở lí lu ậ n c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c toán ở ti ể u h ọ c - Tìm hi ể u m ụ c tiêu, n ộ i dung d ạ y h ọ c n ộ i dung s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c - Điề u tra th ự c tr ạ ng v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh ở giáo viên và h ọc sinh trƣờ ng Ti ể u h ọ c - Đề xu ấ t quy trình v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào gi ả ng d ạ y và hƣớ ng d ẫ n h ọ c sinh gi ả i các bài toán theo ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c - Th ự c nghi ệm sƣ phạm để đánh giá mức độ kh ả thi, hi ệ u qu ả vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 5 Phƣơng pháp nghiên cứ u 5 1 Nhóm phƣơng pháp nghiên cứ u lí lu ậ n 5 1 1 Phƣơng pháp nghiên cứ u tài li ệ u 3 Đọ c, khai khác các tài li ệu nhƣ sách giáo khoa Toán tiể u h ọ c, sách giáo viên Toán ti ể u h ọ c, các lo ạ i sách tham kh ả o, t ạ p chí v ề n ộ i dung các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh 5 1 2 P hƣơng pháp phân tích - t ổ ng h ợ p Nghiên c ứ u các tài li ệu liên quan đến đề tài t đó phân tích và tổ ng h ợ p để làm lu ậ n c ứ cho vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 5 2 Nhóm phƣơng pháp nghiên cứ u th ự c ti ễ n 5 2 1 Phương pháp điề u tra Xây d ự ng phi ếu điề u tra g ồ m h ệ th ố ng các câu h ỏ i v ề vi ệ c d ạ y h ọ c môn Toán ở ti ể u h ọ c có v ậ n d ụ ng m ộ t s ố phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh 5 2 2 Phương pháp hỏ i ý ki ế n chuyên gia Tham kh ả o ý ki ế n c ủ a các th ầ y, cô trong khoa Ti ể u h ọ c – M ầ m non & Ngh ệ thu ậ t và các th ầ y cô giáo t ại trƣờ ng ti ể u h ọ c 5 2 3 Phương pháp thự c nghi ệm sư phạ m Th ự c nghi ệm sƣ phạ m t ại trƣờ ng ti ể u h ọc để nghiên c ứ u v ề vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 5 3 Phƣơng pháp thố ng kê toán h ọ c Trong quá trình th ự c nghi ệm sƣ phạ m, chúng tôi t ậ p trung nghiên c ứ u nh ữ ng v ấn đề th ự c hi ện liên quan đến đề tài t đó thố ng kê nh ữ ng s ố li ệ u thu th ập đƣợc để hoàn thành đề tài nghiên c ứ u 6 L ị ch s ử v ấn đề nghiên c ứ u Trên th ế gi ới, đã có rấ t nhi ề u nhà giáo d ục có tƣ tƣở ng ti ế n b ộ đã chú trọng đế n d ạ y h ọ c v ậ n d ụ ng suy lu ậ n và ch ứ ng minh Tiêu bi ểu nhƣ: Nhà Toán h ọ c kiêm tâm lý h ọc G Polya đã tìm hiể u, trình bày v ấn đề này trong “Giả i m ột bài toán nhƣ thế nào?”, “Toán họ c và nh ữ ng suy lu ận có lý”, “Sáng tạ o Toán h ọc”, … Hi ệ n nay, trong n ề n giáo d ụ c Vi ệ t Nam, v ậ n d ụ ng suy lu ậ n và ch ứ ng minh là m ộ t quan đi ể m d ạ y h ọ c m ớ i đƣ ợ c nhi ề u nhà giáo d ụ c cũng nhƣ giáo viên quan tâm nghiên c ứ u Đi ể n hình nhƣ: Tác gi ả Tôn Công Minh đã đề c ấp đế n nh ữ ng v ấn đề v ề suy lu ậ n có lí trong d ạ y h ọ c toán Các tác gi ả nhƣ GS Nguyễ n C ả nh Toàn, GS Hoàng Chúng, H ứ a Thu ầ n 4 Ph ỏng, Văn Nhƣ Cƣơng, Nguyễn Bá Kim … cũng đã nhiề u l ầ n nói v ề các phép suy lu ậ n trong Toán h ọ c, trong d ạ y h ọ c Toán Bên c ạnh đó còn có nh ữ ng khóa lu ậ n nghiên c ứ u v ề vi ệ c d ạ y h ọ c v ậ n d ụ ng suy lu ậ n và ch ứng minh nhƣ sau: Suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c m ạ ch hình h ọ c ở ti ể u h ọ c c ủ a tác gi ả Nguy ễ n Th ị Vân trƣờng Đạ i h ọc Sƣ phạ m Hà N ộ i V ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n trong d ạ y h ọ c các bài toán dãy s ố l ớ p 3 c ủ a tác gi ả Vũ Thị Thanh trƣờng Đạ i h ọc Sƣ phạ m Hà N ộ i Th ế nhƣng những đề c ập đó chỉ mang tính định hƣớ ng trong nghiên c ứ u các phƣơng pháp họ c Toán và d ạ y Toán Trong th ự c t ế gi ả ng d ạ y Toán ở các trƣờ ng ti ể u h ọ c, r ấ t nhi ề u th ầ y cô có ý th ứ c s ử d ụ ng phép suy lu ậ n trong d ạ y h ọ c toán M ặ c dù v ậ y v ẫn chƣa có mộ t nghiên c ứ u nào c ụ th ể v ề v ậ n d ụ ng suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 7 Đ óng góp c ủa đề tài 7 1 V ề lí lu ậ n Góp ph ầ n làm rõ và h ệ th ống hóa đƣợ c m ộ t s ố v ấn đề lí lu ậ n liên quan đế n các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 7 2 V ề th ự c ti ễ n - Nghiên c ứ u m ụ c tiêu, n ộ i dung d ạ y h ọ c s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c T đó vậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c - Th ự c nghi ệm sƣ phạm để ki ể m tra tính hi ệ u qu ả và kh ả thi c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 8 Gi ớ i h ạ n ph ạ m vi nghiên c ứ u Đề tài d ng l ạ i ở vi ệ c nghiên c ứ u v ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 9 C ấ u trúc t ổ ng quan c ủa đề tài Ngoài ph ầ n m ở đầ u, k ế t lu ậ n, tài li ệ u tham kh ả o, ph ụ l ụ c thì khóa lu ận có 3 chƣơng: - Chƣơng 1 Cơ sở lí lu ậ n và th ự c ti ễ n c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c - Chƣơng 2 V ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c - Chƣơng 3 Th ự c nghi ệm sƣ phạ m 5 N Ộ I DUNG NGHIÊN C Ứ U CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LU Ậ N VÀ TH Ự C TI Ễ N C Ủ A VI Ệ C V Ậ N D Ụ NG CÁC PHÉP SUY LU Ậ N VÀ CH Ứ NG MINH VÀO D Ạ Y H Ọ C CH Ủ ĐỀ S Ố T Ự NHIÊN CHO H Ọ C SINH TI Ể U H Ọ C 1 1 Cơ sở lí lu ậ n c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 1 1 1 Suy lu ậ n Theo Tr ầ n Ng ọ c Lan, suy lu ậ n là hình th ứ c tƣ duy toán h ọ c nh ậ n th ứ c hi ệ n th ự c m ộ t cách gián ti ế p, xu ấ t phát t m ộ t hay nhi ề u đi ề u đã bi ế t đ ể đi đ ế n nh ữ ng phán đoán m ớ i [1 3 , 31] Theo Ph ạm Đình Thự c, suy lu ận là quá trình suy nghĩ trong đó t m ộ t hay nhi ề u m ệnh đề đã có, ta rút ra mệnh đề m ớ i [1 6 , 5] Trong suy lu ậ n, nh ữ ng m ệnh đề đã cho gọ i là ti ền đề , nh ữ ng m ệnh đề m ớ i đƣợ c rút ra g ọ i là k ế t lu ậ n Ví d ụ 1 1 Ti ền đề : - M ệnh đề 1: Khi nhân m ộ t s ố t ự nhiên v ớ i 100, ta ch ỉ vi ệ c thêm hai ch ữ s ố 0 vào bên ph ả i c ủ a s ố đó - M ệnh đề 2: 18 x 100 K ế t lu ậ n : Ta ch ỉ c ầ n vi ế t thêm hai ch ữ s ố 0 vào bên ph ả i c ủ a s ố 18 (1800) Ví d ụ 1 2 Ti ền đề : - M ệnh đề 1: Khi đổ i ch ỗ các s ố h ạ ng trong m ộ t t ổ ng thì t ổng không thay đổ i - M ệnh đề 2: 135 + 75 = 210 K ế t lu ậ n : 75 + 135 = 210 hay 135 + 75 = 75 + 135 Ví d ụ 1 3 Ti ền đề : - M ệnh đề 1: S ố 123 chia h ế t cho 3 - M ệnh đề 2: S ố 642 chia h ế t cho 3 - M ệnh đề 3: S ố 1530 chia h ế t cho 3 K ế t lu ậ n : Các s ố có t ổ ng các ch ữ s ố chia h ế t cho 3 thì s ố đó chia hế t cho 3 1 1 1 1 Quy t ắ c suy lu ậ n 6 Định nghĩa : Cho A , B , C là nh ữ ng công th ứ c N ế u t ấ t c ả các h ệ chân lí c ủ a các bi ế n m ệ nh đ ề có m ặ t trong các công th ứ c đó là m cho A , B nh ậ n giá tr ị chân lí b ằ ng 1 cũng là m cho C nh ậ n giá tr ị chân lí b ằ ng 1 thì ta nói có m ộ t quy t ắ c suy lu ậ n t các ti ề n đ ề A , B d ẫ n t ớ i h ệ qu ả lôgic C c ủ a chúng Ta kí hi ệ u: [10 , 174] Dƣới đây là m ộ t s ố quy t ắ c suy lu ận thƣờng đƣợ c v ậ n d ụ ng trong suy lu ậ n toán h ọ c: B ả ng 1: M ộ t s ố quy t ắ c suy lu ận thƣờ ng g ặ p 1 ) (Quy t ắ c suy lu ậ n Modus p onens) 3) (Quy t ắ c suy lu ậ n b ắ c c ầ u ) 5) 7) 9) 11) 13) (Quy t ắ c ph ả n đ ả o) 15) 17) 19) 21) ( ) ( ) ( ) 23) 2) (Quy t ắ c suy lu ậ n ngƣ ợ c Modus Lollens) 4) 6 ) 8) 10) 12) 14) , 16) (Quy t ắ c ch ứ ng minh ph ả n ch ứ ng) 18) 20) 22) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24) 7 Ví d ụ 1 4 Ch ứ ng minh quy t ắ c suy lu ậ n sau Gi ả i: Ta l ậ p b ả ng chân tr ị sau: P q R p → q q → r p → r 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 Nhìn vào b ả ng trên ta th ấ y p → q và q → r nh ậ n giá tr ị chân lí b ằ ng 1 thì p → r cũng nh ậ n giá tr ị chân lí b ằ ng 1 V ậ y ta có quy t ắ c suy lu ậ n Ch ẳ ng h ạ n ta ch ọ n: “p → q” là mệnh đề “Nế u a chia h ế t cho 9 thì nó chia h ết cho 3” “q → r” là mệnh đề “Nế u a chia h ế t cho 3 thì t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a nó chia h ết cho 3” Áp d ụ ng quy t ắ c suy lu ậ n b ắ c c ầu ta có: “Nế u a chia h ế t cho 9 thì t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a nó chia h ết cho 3” Ví d ụ 1 5 Ch ứ ng minh quy t ắ c suy lu ậ n Gi ả i: Ta l ậ p b ả ng chân tr ị sau: P Q p → q q → p 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 Nhìn vào b ả ng trên ta th ấ y p → q và q → p luôn cùng đúng hoặ c cùng sai V ậ y ta có quy t ắ c suy lu ậ n 8 Ch ẳ ng h ạ n ta ch ọ n m ệnh đề “p → q” là “Nế u a chia h ế t cho 2 thì nó là s ố ch ẵn” Áp d ụ ng quy t ắ c ph ản đảo ta có “Nế u a là s ố l ẻ thì nó không chia h ết cho 2” 1 1 1 2 Các ki ể u suy lu ậ n 1 1 1 2 1 Suy lu ậ n di ễ n d ị ch Suy lu ậ n di ễ n d ị ch (hay suy di ễ n) là suy lu ậ n theo nh ữ ng quy t ắ c suy lu ậ n t ổ ng quát (c ủ a lôgic m ệ nh đ ề ) Trong suy lu ậ n di ễ n d ị ch, n ế u ti ề n đ ề đúng thì các k ế t lu ậ n rút ra cũng ph ả i đúng [9,45] Suy lu ậ n suy di ễ n là suy lu ậ n h ợ p lôgic, các k ế t lu ậ n nh ận đƣợ c là k ế t lu ậ n lôgic Ví d ụ 1 6 Mu ố n ch ứ ng t ỏ 35 766 chia h ế t cho 9, ta có th ể suy di ễn nhƣ sau: - Ti ền đề 1: M ọ i s ố t ự nhiên có t ổ ng các ch ữ s ố chia h ế t cho 9 thì nó chia h ế t cho 9 - Ti ền đề 2: S ố 35 766 có t ổ ng các ch ữ s ố là 3 + 5 + 7 + 6 + 6 = 27, 27 chia h ế t cho 9 - K ế t lu ậ n: V ậ y 35 766 chia h ế t cho 9 Ở đây quy tắ c chung ở ti ền đề 1 đã đƣợ c áp d ụng cho trƣờ ng h ợ p c ụ th ể ở ti ền đề 2 để rút ra k ế t lu ậ n V ậ y ta có m ộ t phép suy di ễ n Ví d ụ 1 7 Tìm x bi ế t : - x = - Ti ền đề 1: Mu ố n tìm s ố tr ta l ấ y s ố b ị tr tr đi hiệ u - Ti ền đề 2: là s ố b ị tr , x là s ố tr , là hi ệ u - K ế t lu ậ n : x = - x = Ví d ụ 1 8 Ch ứ ng minh 35, 5760, 945, 3000, 1235 chia h ế t cho 5 Để ch ứ ng minh 35, 5760, 945, 3000, 1235 chia h ế t cho 5 ta có th ể suy di ễ n: - Ti ề n đề 1: Các s ố có ch ữ s ố t ậ n cùng b ằ ng 0 ho ặ c 5 thì chia h ế t cho 5 - Ti ền đề 2: Các s ố 3 5, 5760, 945, 3000, 1235 đề u có t ậ n cùng b ằ ng 0 ho ặ c 5 - K ế t lu ậ n: Các s ố 35, 5760, 945, 3000, 1235 chia h ế t cho 5 Trong 3 ví d ụ v a nêu, các ti ền đề đều đúng, ta đã vậ n d ụ ng các quy t ắ c suy lu ậ n ( ) ( ) ( ) Vì v ậ y các k ế t lu ậ n c ủ a chúng ph ải đúng Ví d ụ 1 9 - Ti ền đề 1: 624 chia h ế t cho 4 - Ti ền đề 2: 624 chia h ế t cho 6 9 - K ế t lu ậ n: 624 chia h ế t cho 4 và 6 Trong ví d ụ này, các ti ền đề đều đúng, ta đã vậ n d ụ ng quy t ắ c suy lu ậ n: Ví d ụ 1 10 T các ti ền đề : - Ti ề n đề 1: N ế u a chia h ế t cho 4 thì nó chia h ế t cho 2 - Ti ền đề 2: N ế u a chia h ế t cho 2 thì nó là s ố ch ẵ n - K ế t lu ậ n: N ế u a chia h ế t cho 4 thì a là s ố ch ẵ n Ví d ụ 1 11 T các ti ền đề : - Ti ền đề 1: N ế u a chia h ế t cho 10 thì nó có t ậ n cùng là 0 - Ti ền đề 2: N ế u a có t ậ n cùng là 0 thì nó chia h ế t cho 5 - K ế t lu ậ n: N ế u a chia h ế t cho 10 thì nó chia h ế t cho 5 Ở 2 ví d ụ 1 10 và 1 11 các ti ền đề đề u là nh ững định lí đã đƣợ c ch ứ ng minh trong toán h ọc Ta đã vậ n d ụ ng quy t ắ c suy lu ậ n b ắ c c ầ u: 1 1 1 2 2 Suy lu ậ n nghe có lí Suy lu ậ n nghe có lí (hay còn g ọ i là suy lu ậ n có lí) là suy lu ậ n không theo quy t ắ c suy lu ậ n t ổ ng quát nào Nó ch ỉ xu ấ t phát t nh ữ ng ti ền đề đúng để rút ra m ộ t k ế t lu ậ n K ế t lu ậ n này có th ể đúng mà cũng có thể sai [9,48] M ặ c dù suy lu ậ n nghe có lí có h ạ n ch ế nêu trên nhƣng nó có ý nghĩa rấ t quan tr ọ ng trong khoa h ọc và đờ i s ố ng: giúp chúng ta t nh ữ ng quan sát c ụ th ể có th ể rút ra nh ữ ng gi ả thuy ết, phán đoán để r ồi sau đó tìm cách chứ ng minh ch ặ t ch ẽ gi ả thuy ết đó Trong toán h ọ c có 2 ki ể u suy lu ận nghe có lí thƣờng đƣợ c s ử d ụng đó là suy luậ n quy n ạ p và suy lu ận tƣơng tự  Suy lu ậ n quy n ạ p Suy lu ậ n quy n ạ p là m ộ t ki ể u suy lu ận nghe có lí Trong đó tiền đề thƣờ ng là m ộ t s ố hi ện tƣợ ng (có th ể là nh ữ ng ví d ụ minh h ọa) mà tính đúng đắ n c ủa nó đƣợ c ki ể m ch ứ ng tr ự c ti ế p thông qua tính toán c ụ th ể để t đó rút ra kế t lu ậ n c ầ n thi ế t (có th ể là m ộ t quy t ắ c, m ộ t công th ứ c, m ộ t tính ch ất,…) cho các trƣờ ng h ợ p chung t ổ ng quát Đặc điể m c ủ a SL quy n ạ p là ở ch ỗ không có quy t ắ c t ổng quát nhƣ đố i v ớ i SL di ễ n d ị ch T ti ền đề có c ấu trúc xác định nào đó, đƣợ c th a nh ận là đúng, thì kế t lu ậ n rút ra t quy n ạ p không ch ắ c ch ắn đúng, có thể đúng cũng có thể sai 10 Căn cứ vào các đặc điể m ti ền đề trong các phép SL quy n ạ p, ngƣ ờ i ta chia phép SL quy n ạ p làm 2 lo ạ i: Quy n ạ p không hoàn toàn và Quy n ạ p hoàn toàn Quy n ạ p không hoàn toà n : Phép quy n ạ p không hoàn toàn là phép SL đi t m ộ t vài trƣ ờ ng h ợ p riêng đ ể nh ậ n xét r ồ i rút ra k ế t lu ậ n chung [1 6 , 14] Có th ể tóm t ắ t n ộ i dung c ủ a phép SL quy n ạ p không hoàn toàn nhƣ sau: Ti ền đề - Các ph ầ n t ử , , , đề u có tính ch ấ t P - , , , là m ộ t s ố ph ầ n t ử c ủ a t ậ p h ợ p X K ế t lu ậ n - T ấ t c ả các ph ầ n t ử c ủa X đề u có tính ch ấ t P ( Ở đây giả thuy ế t là X có nhi ều hơn n phầ n t ử ) Ví d ụ 1 12 T các ti ề n đ ề : - T ổ ng các ch ữ s ố c ủ a s ố 99 là 9 + 9 = 18 chia h ế t cho 9 - T ổ ng các ch ữ s ố c ủ a s ố 144 là 1 + 4 + 4 = 9 chia h ế t cho 9 - T ổ ng các ch ữ s ố c ủ a s ố 567 là 5 + 6 + 7 = 18 chia h ế t cho 9 Ta có th ể rút ra k ế t lu ậ n : “Các s ố có t ổ ng các ch ữ s ố chia h ế t cho 9 thì chia h ế t cho 9 Đây là phép quy nạ p không hoàn toàn Trong phép SL này, các ti ền đề đúng và k ế t lu ận rút ra cũng đúng Ví d ụ 1 13 T c ác ti ề n đ ề : - 44 chia h ế t cho 4 - 144 chia h ế t cho 4 - 564 chia h ế t cho 4 Ta có th ể r út ra k ế t lu ậ n : Các s ố có ch ữ s ố hàng đơn v ị là 4 đ ề u chia h ế t cho 4 Đây là phép quy nạ p không hoàn toàn Trong phép SL này, xu ấ t phát t nh ữ ng ti ền đề đúng mà kế t lu ậ n rút ra sai (ch ẳ ng h ạ n 54 có ch ữ s ố hàng đơn vị b ằ ng 4 mà không chia h ế t cho 4) Ví d ụ 1 14 T các ti ền đề : - 4 : 0,5 = 8 ; 4 x 2 = 8 - 7 : 0,5 = 14 ; 7 x 2 = 14 - 9 : 0,5 = 18 ; 9 x 2 = 18 Ta có th ể rút ra k ế t lu ậ n : Mu ố n chia m ộ t s ố cho 0,5 ta ch ỉ c ầ n g ấ p đôi s ố đó 11 Đây là p hép quy n ạ p không hoàn toàn Trong phép SL này, các ti ền đề đúng và kế t lu ận rút ra cũng đúng Ví d ụ 1 15 T các ti ền đề : - 3 x 4 = 4 x 3 - 12 x 5 = 5 x 12 - 231 x 6 = 6 x 231 Ta rút ra k ế t lu ậ n: Tích c ủ a hai s ố t ự nhiên không thay đổi khi ta thay đổ i th ứ t ự c ủ a các th a s ố trong tích đó Trong phép SL này, các ti ền đề đúng và kế t lu ận rút ra cũng đúng Ví d ụ 1 16 Tìm quy lu ậ t c ủ a dãy s ố sau: 1; 2; 6; 24; … Gi ả i: Ta nh ậ n xét: - S ố h ạ ng th ứ hai là: 2 = 1 x 2 - S ố h ạ ng th ứ ba là: 6 = 2 x 3 - S ố h ạ ng th ứ tƣ là: 24 = 6 x 4 V ậ y quy lu ậ t c ủ a dãy s ố đã cho là: Mỗ i s ố h ạ ng, k ể t s ố h ạ ng th ứ hai b ằ ng s ố h ạ ng đứ ng li ền trƣớ c nó nhân v ớ i s ố th ứ t ự c ủ a s ố h ạng đó hay: = x n Ở đây ta vậ n d ụ ng phép suy lu ậ n quy n ạ p không hoàn toàn: Ti ền đề 1 là nh ậ n xét th ứ nh ấ t Ti ền đề 2 là nh ậ n xét th ứ hai Ti ền đề 3 là nh ậ n xét th ứ ba K ế t lu ậ n là quy lu ậ t c ủ a dãy s ố đƣợ c rút ra Trong vi ệ c d ạ y toán ở ti ể u h ọ c, phép quy n ạ p không hoàn toàn đóng vai trò quan tr ọ ng Vì HS ti ể u h ọ c còn nh ỏ , trình đ ộ hi ể u bi ế t c òn non n ớ t nên đây là phƣơng pháp đơn gi ả n nh ấ t, d ễ hi ể u nh ấ t đ ố i v ớ i HS Nh ờ phép quy n ạ p không hoàn hoàn mà GV có th ể giúp HS t ự tìm ra ki ế n th ứ c m ộ t cách ch ủ đ ộ ng, tích c ự c và n ắ m ki ế n th ứ c v ữ ng vàng, có ý th ứ c, ch ắ c ch ắ n Phép quy n ạ p đƣ ợ c dùng ch ủ y ế u đ ể d ạ y ph ầ n Bài m ớ i Quy n ạ p hoàn toàn : Quy n ạ p hoàn toàn là phép SL đi t vi ệ c kh ả o sát t ấ t c ả các trƣ ờ ng h ợ p riêng, r ồ i nh ậ n xét đ ể nêu ra k ế t lu ậ n chung cho t ấ t c ả các trƣ ờ ng h ợ p riêng đó và ch ỉ có các trƣ ờ ng h ợ p đó mà thôi [1 6 , 17] Có th ể ghi tóm t ắ t n ộ i dung phép quy n ạp hoàn toàn nhƣ sau: 12 Ti ền đề - T ậ p h ợ p A g ồ m các ph ầ n t ử , , , - Các ph ầ n t ử , , , đề u có tính ch ấ t P K ế t lu ậ n - T ấ t c ả các ph ầ n t ử c ủa X đề u có tính ch ấ t P Ta th ấ y phép quy n ạ p hoàn toàn là m ộ t phép SL cho ta k ế t lu ận đúng vì kế t lu ậ n chung ch ỉ kh ẳng đị nh v ề các trƣờ ng h ợp đã đƣợ c th ử th ấy đúng Ví d ụ 1 17 Ta th ấ y: 0 chia h ế t cho 5 10 chia h ế t cho 5 20 chia h ế t cho 5 30 chia h ế t cho 5 40 chia h ế t cho 5 V ớ i nh ận xét là: “ 0, 10, 20, 30, 40 là các số có t ậ n cùng b ằ ng 0 trong ph ạ m vi 50 s ố t ự nhiên đầ u tiên, các s ố t ậ n cùng là 0 đ ề u chia h ế t cho 5” Ta có th ể rút ra k ế t lu ậ n chung: “ Trong ph ạ m vi 50 s ố t ự nhiên đ ầ u tiên, các s ố có t ậ n cùng là 0 đ ề u chia h ế t cho 5” Ví d ụ 1 18 Khi xét b ả ng nhân 9 ta th ấ y: - M ố i liên quan gi ữ a các ch ữ s ố hàng ch ụ c c ủ a tích: 0  1  2  3   8  9 - M ố i liên quan gi ữ a các ch ữ s ố hàng đơn vị c ủ a tích: 9  8  7  6   1  0 T đây rút ra nhận xét: “Trong bả ng nhân 9: - Các ch ữ s ố hàng ch ụ c c ủa tích tăng dầ n, m ỗ i l ầ n m ột đơn vị - Các ch ữ s ố hàng đơn vị c ủ a tích gi ả m d ầ n, m ỗ i l ầ n m ột đơn v ị” Qua 2 ví d ụ trên, ta th ấ y k ế t lu ận chung đƣợc nêu ra đều đúng Tuy nhiên, ở ti ể u h ọ c phép quy n ạp hoàn toàn không đƣợ c s ử d ụ ng nhi ều nhƣ phép quy nạ p không hoàn toàn Nó ít khi đƣợ c s ử d ụng để hình thành quy t ắ c, tính ch ấ t mà thƣ ờ ng đƣ ợ c v ậ n d ụ ng đ ể gi ả i toán, th ự c hi ệ n các phép tính khi c ầ n ph ả i xem xét t ấ t c ả các kh ả năng có th ể x ả y ra c ủ a m ộ t s ự ki ệ n nào đó Ch ẳ ng h ạ n: Ví d ụ 1 19 Tìm t ấ t c ả các ch ữ s ố a và b đ ể có s ố có 4 ch ữ s ố khác nhau 6a3b chia h ế t cho 2 và 9 13 Bài gi ả i: a) Mu ố n 6a3b chia h ế t cho 2 thì b ph ả i là m ộ t trong các ch ữ s ố 0, 2, 4, 6, 8 Song b không th ể là 6 vì ở hàng nghìn đã có 6 Mu ố n 6a3b chia h ế t cho 9 thì ( 6 + a + 3 + b) ph ả i chia h ế t cho 9 hay ( a + b +9) chia h ế t cho 9 Vì 9 chia h ế t cho 9 nên (a + b) ph ả i chia h ế t cho 9 b ) B ây gi ờ ta xét t ấ t c ả các trƣ ờ ng h ợ p, trong đó (a + b) chia h ế t cho 9 và b là các ch ữ s ố 0, 2, 4, 8: b a Đáp s ố 0 0, 9 6030 (lo ạ i); 6930 (ch ọ n) 2 7 6732 (ch ọ n) 4 5 6534 (ch ọ n) 8 1 6138 (ch ọ n) Khi đó các số th ỏ a mãn yêu c ầ u là: 6930; 6732; 6534; 6138 Ví d ụ 1 20 Tìm s ố tròn ch ụ c x, bi ế t 26 < x < 51 Trƣớ c tiên, HS ph ải xác định đƣợ c các s ố tròn ch ụ c trong ph ạ m vi 100, trong các s ố đó họ c sinh ph ả i tìm ra các s ố th ỏ a mãn yêu c ủa đề bài Các s ố tròn ch ụ c ph ả i tìm là : 30, 40, 50  Suy lu ậ n tương t ự Suy lu ận tương tự là m ộ t ki ể u suy lu ận nghe có lí Trong đó tiền đề thƣờ ng là m ộ t phép suy lu ận mà tính đúng đắ n c ủa nó đƣợ c thi ế t l ập để t đó rút ra kế t lu ậ n c ầ n thi ế t (có th ể là m ộ t quy t ắ c, công th ứ c, m ộ t tính ch ất,…) cho mộ t phép suy lu ậ n khác có nh ững điề u ki ện tƣơng tự g ầ n gi ố ng v ớ i phép suy lu ậ n nêu trong ti ền đề [9,51] K ế t lu ận đƣợ c rút ra có th ể đúng nhƣng cũng có thể sai Song ki ể u suy lu ận tƣơng tự có ý nghĩa đặ c bi ệ t quan tr ọ ng trong nhi ề u phát minh khoa h ọ c Có th ể ghi tóm t ắ t n ộ i dung phép tƣơng t ự nhƣ sau: Ti ền đề - Đ ố i tƣ ợ ng A có các tính ch ấ t a, b, c, d - Đ ố i tƣ ợ ng B có các tính ch ấ t a, b, c K ế t lu ậ n - Đ ố i tƣ ợ ng B cũng có tính ch ấ t d Ví d ụ 1 21 Ta đã biết: “Khi đổ i ch ỗ các s ố h ạ ng trong m ộ t t ổ ng các s ố t ự nhiên thì t ổ ng không thay đổi”; t đó có thể rút ra: (1) Khi đổ i ch ỗ các s ố h ạ ng trong m ộ t t ổ ng các phân s ố thì t ổng không thay đổ i 14 (2) Khi đổ i ch ỗ các s ố h ạ ng trong m ộ t t ổ ng các s ố th ậ p phân thì t ổ ng không tha y đổ i Đây là phép SL tƣơng tự Trong phép SL này t nh ữ ng ti ền đề đúng rút ra kế t lu ậ n đúng Ví d ụ 1 22 T quy t ắ c nhân nh ẩ m m ộ t s ố v ới 11: “Muố n nhân m ộ t s ố v ớ i 11, ta nhân s ố đó vớ i 10 r ồ i c ộ ng v ớ i chính s ố đó”, ta có thể dùng SL tƣơng tự để nêu ra các quy t ắ c sau: (1) Mu ố n nhân m ộ t s ố v ớ i 21, ta nhân s ố đó vớ i 20 r ồ i c ộ ng v ớ i chính s ố đó (2) Mu ố n nhân m ộ t s ố v ớ i 61, ta nhân s ố đó vớ i 60 r ồ i c ộ ng v ớ i chính s ố đó (3) Mu ố n nhân m ộ t s ố v ớ i 29, ta nhân s ố đó vớ i 30 r ồ i tr v ớ i chính s ố đó Đây là phép SL tƣơng tự Trong phép SL này, t các ti ền đề đúng ta rút ra đƣợ c k ế t lu ận đúng Ví d ụ 1 23 Ta đã biết: “Mọ i s ố t ậ n cùng b ằ ng 2 thì chia h ết cho 2”, t đó bằng SL tƣơng tự ta có th ể suy ra: (1) M ọ i s ố có t ậ n cùng là 5 thì chia h ế t cho 5 (2) M ọ i s ố có t ậ n cùng là 3 thì chia h ế t cho 3 (3) M ọ i s ố có t ậ n cùng là 7 thì chia h ế t cho 7 Trong phép SL này, t ti ền đề đúng nhƣng kế t lu ậ n rút ra l ạ i sai Phép SL tƣơng tự có vai trò quan tr ọ ng trong Toán ti ể u h ọ c Có nhi ề u bi ệ n pháp tính ho ặ c cách gi ả i m ộ t bài toán không th ể nêu đƣợc dƣớ i d ạ ng quy t ắc chung Khi đó ta thƣờ ng d ạ y nh ữ ng bi ệ n pháp tính và cách gi ả i các lo ại toán này dƣớ i d ạ ng bài t ậ p m ẫ u, sau đó họ c sinh có th ể áp d ụng tƣơng tự nhƣ các bài tậ p m ẫu để luy ệ n t ậ p Ví d ụ 1 24 a Sau khi HS đã nắm đƣợ c d ấ u hi ệu để m ộ t s ố chia h ế t cho 2 là ch ữ s ố t ậ n cùng c ủ a s ố đó chia hế t cho 2, GV có th ể hƣớ ng d ẫ n HS v ậ n d ụng phép SL tƣơng tự để tìm ra d ấ u hi ệ u chia h ế t cho 5 là ch ữ s ố t ậ n cùng c ủ a s ố đó phả i chia h ết cho 5 Do đó số đó phả i có t ậ n cùng là 0 ho ặ c 5 b Sau khi HS n ắm dƣợ c d ấ u hi ệ u chia h ế t cho 9 là t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a s ố đó phả i chia h ế t cho 9 GV có th ể hƣớ ng d ẫn HS dùng SL tƣơng tự để tìm ra d ấ u hi ệ u chia h ế t cho 3 là t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a s ố đó chia hế t cho 3 c Sau khi HS n ắm đƣợ c tính ch ấ t giao hoán ở phép c ộng là khi đổ i ch ỗ các s ố h ạ ng trong m ộ t t ổ ng thì t ổng đó không thay đổ i D ựa vào SL tƣơng tự , GV có th ể hƣớ ng d ẫ n 15 HS tìm ra tính ch ấ t giao hoán c ủa phép nhân là khi đổ i ch ỗ các th a s ố trong m ộ t tích thì tích đó không thay đổ i 1 1 1 2 3 M ố i quan h ệ c ủ a suy lu ậ n di ễ n d ị ch và suy lu ậ n nghe có lí Suy lu ậ n di ễ n d ị ch là suy lu ận mà khi ta đi theo cách thứ c c ủ a nó thì t nh ữ ng ti ền đề đúng chúng ta luôn suy ra đƣợ c nh ữ ng k ế t lu ận đúng Còn suy luậ n nghe có lí là suy lu ậ n mà khi dùng nó thì t nh ữ ng ti ề n đề đúng có khi ta rút ra các kế t lu ận đúng, có khi ta rút ra nh ữ ng k ế t lu ậ n sai M ặc dù khác nhau nhƣ vậy nhƣng hai loạ i SL này không mâu thu ẫ n v ớ i nhau mà có liên quan ch ặ t ch ẽ , b ổ sung cho nhau trong m ọ i quá trình h ọ c t ậ p và nghiên c ứ u toán h ọc Ngƣờ i t a thƣờng dùng các phép SL có lí để d ạ y cho h ọ c sinh các ki ế n th ứ c m ớ i, các quy t ắ c m ới; sau đó dùng phép SL suy diễn để hƣớ ng d ẫ n HS luy ệ n t ậ p áp d ụ ng các quy t ắ c và ki ế n th ứ c m ớ i vào gi ả i nh ữ ng bài t ậ p c ụ th ể , 2 phép SL này tƣơng ứ ng v ới 2 bƣớ c lên l ớ p quan tr ọ ng là: - Bƣớ c d ạ y bài m ớ i - Bƣớ c luy ệ n t ập rèn kĩ năng Ví d ụ 1 25 Sau khi cho HS quan sát các trƣờ ng h ợ p riêng: - 2 x 3 = 6 và 3 x 2 = 6 - 4 x 3 = 12 và 3 x 4 = 12 - 5 x 7 = 35 và 7 x 5 = 35 GV hƣớ ng d ẫ n HS nêu ra nh ận xét chung: “Khi ta đổ i ch ỗ các th a s ố trong m ộ t tích thì tích đó không thay đổi” Đó là phép SL có lí (Quy nạ p không hoàn toàn) Áp d ụ ng nh ận xét chung này vào các trƣờ ng h ợ p riêng: - Khi g ặp bài toán điề n s ố vào ch ỗ ch ấm 6 x 9 = … x 6 HS có thể gi ải nhƣ sau: “Ta có: 6 x 9 = 9 x 6, v ậy điề n s ố 9 vào ch ỗ ch ấm” - Khi g ặp dãy tính “2 x 13 x 5 = ?” HS có thể đổ i ch ỗ hai th a s ố 13 và 5 để tính nhanh hơn: 2 x 13 x 5 = 2 x 5 x 13 = 130 Khi đó ta đã dùng SL suy diễn để gi ả i bài t ậ p Qua ví d ụ trên ta th ấy đƣợc hai phép SL này đƣợ c áp d ụ ng trong m ộ t th ể th ố ng nh ấ t k ế th a và làm ti ền đề c ủ a nhau, h ỗ tr ợ cho nhau Vì n ế u di ễ n d ịch là đi t cái chung đến cái riêng, thì trƣớc đó cầ n ph ả i có suy lu ậ n có lí (quy n ạ p không hoàn toàn, 16 SL tƣơng tự) để d ự đoán cái chung đã Nói cách khác, SL có lí cung c ấ p nguyên li ệ u cho di ễ n d ị ch, di ễ n d ị ch l ại đặ t ra yêu c ầ u m ớ i cho SL có lí, kh ẳng đị nh hay ph ủ đị nh nh ữ ng d ự đoán (giả thuy ế t) c ủa bƣớ c SL có lí Vì th ế có th ể nói “sự k ế t h ợ p ch ặ t ch ẽ gi ữ a SL có lí và SL suy di ễ n v a là đặc trƣng của phƣơn g pháp toán h ọ c nói chung v a là điể m c ố t y ếu trong phƣơng pháp dạ y toán ở ti ể u h ọc nói riêng” Ngoài ra, s ự k ế t h ợ p ch ặ t ch ẽ gi ữ a SL có lí và SL suy di ễn có khi còn đƣợ c th ể hi ệ n ngay trong quá trình d ạ y ki ế n th ứ c m ớ i Ch ẳ ng h ạ n: Ví d ụ 1 26 a Ta đã biế t quy t ắ c: Mu ố n chia m ộ t s ố th ậ p phân cho m ộ t s ố t ự nhiên: - Ta chia ph ầ n nguyên c ủ a s ố b ị chia cho s ố chia - Vi ế t d ấ u ph ẩy vào bên trái thƣơng đã tìm đƣợc trƣớ c khi l ấ y ch ữ s ố th ập phân đầ u tiên ở ph ầ n th ậ p phân c ủ a s ố b ị chia để ti ế p t ụ c th ự c hi ệ n phép chia - Ti ế p t ụ c chia v ớ i t ng ch ữ s ố th ậ p phân c ủ a s ố b ị chia b Áp d ụ ng quy t ắc trên vào trƣờ ng h ợp đặ c bi ệt “ chia số t ự nhiên”, chẳ ng h ạ n 52 : 16, b ằ ng cách coi 52 là s ố th ập phân đặ c bi ệ t 52 = 52,00 52 16 40 3,25 80 0 c T đó ta có quy tắc “Khi chia mộ t s ố t ự nhiên cho m ộ t s ố t ự nhiên mà còn dƣ, ta có th ể ti ế p t ục chia nhƣ sau: - Vi ế t d ấ u ph ẩ y vào bên ph ả i s ố thƣơng - Vi ế t thêm vào bên ph ả i s ố dƣ mớ i m ộ t ch ữ s ố 0 r ồ i ti ế p t ụ c chia, và có th ể làm nhƣ th ế mãi” Trong ví d ụ trên, ta th ấ y vi ệ c k ế t h ợ p gi ữ a SL có lí và SL di ễ n d ị ch Quá trình áp d ụ ng quy t ắ c a vào phép chia b là m ộ t phép suy di ễ n song quá trình suy lu ận để đi t cách tính b đế n quy t ắ c t ổ ng quát c l ạ i cho ta m ộ t phép SL có lí K ế t qu ả quá trình k ế t h ợ p này c ủa 2 phép SL đã cho ta mộ t quy t ắ c tính toán m ớ i v ề “Chia hai số t ự nhiên” cho HS 17 1 1 2 Ch ứ ng minh Quy t ắ c suy lu ậ n có nghĩa là: Nế u có các ti ền đề , ,…, thì có k ế t lu ận B, B đƣợ c g ọ i là m ộ t k ế t lu ậ n lôgic Trƣờ ng h ợ p t ấ t c ả các ti ền đề , ,…, đều đúng thì kế t lu ậ n lôgic B g ọ i là m ộ t k ế t lu ậ n ch ứ ng minh và m ệnh đề B g ọ i là đã đượ c ch ứ ng minh Nói cách khác: - M ộ t k ế t lu ậ n ch ứ ng minh là m ộ t k ế t lu ậ n lôgic c ủ a các ti ền đề đúng - Ch ứ ng minh m ộ t m ệnh đề B là ch ỉ rõ B là k ế t lu ậ n lôgic c ủ a các ti ền đề đúng M ỗ i ch ứ ng minh trong toán h ọ c bao g ồ m m ộ t s ố h ữ u h ạ n b ƣớc, trong đó mỗi bƣớ c là m ộ t suy lu ậ n di ễ n d ịch, trong đó ta đã vậ n d ụ ng m ộ t quy t ắ c suy lu ậ n t ổ ng quát Trong các trƣờ ng h ợ p ch ứ ng minh ch ỉ g ồ m m ột bƣớc thì đó là mộ t phép suy lu ậ n di ễ n d ị ch v ớ i các ti ền đề đúng M ộ t phép ch ứ ng minh g ồ m ba ph ầ n: 1 Lu ậ n đề là m ệnh đề ta ph ả i ch ứ ng minh 2 Lu ậ n c ứ là nh ữ ng m ệnh đề mà tính đúng đắ n c ủa nó đã đƣợ c kh ẳng định (thƣờ ng là các định nghĩa, tiền đề ho ặc định lí đã đƣợ c ch ứng minh trƣớc đó,…) dùng làm tiền đề trong m ỗi bƣớ c suy lu ậ n 3 Lu ậ n ch ứ ng l à nh ữ ng quy t ắ c suy lu ậ n t ổ ng quát đƣ ợ c s ử d ụ ng trong m ỗ i bƣ ớ c suy lu ậ n c ủ a ch ứ ng minh đó Nhƣ vậ y ch ứ ng minh t ti ền đề A d ẫn đế n k ế t lu ậ n B ( A → B) là: - Thi ế t l ậ p m ột dãy các bƣớ c suy lu ậ n di ễ n d ị ch - Trong m ỗi bƣớ c ta ch ỉ rõ ti ền đề k ế t lu ậ n và quy t ắ c suy lu ậ n t ổ ng quát đƣợ c áp d ụ ng [4,92] Ví d ụ 1 2 7 Ch ứ ng minh 432135 chia h ế t cho 9 - M ọ i s ố t ự nhiên có t ổ ng các ch ữ s ố chia h ế t cho 9 thì nó chia h ế t cho 9 - S ố 432135 có t ổ ng các ch ữ s ố chia h ế t cho 9 V ậ y 432135 chia h ế t cho 9 Trong phép ch ứ ng minh này, lu ận đề là 432135 chia h ế t cho 9; lu ậ n c ứ là M ọ i s ố t ự nhiên có t ổ ng các ch ữ s ố chia h ế t cho 9 thì nó chia h ế t cho 9; lu ậ n ch ứ ng là quy t ắ c suy lu ậ n 18 Ví d ụ 1 2 8 Ch ứ ng minh 1044 chia h ế t cho 2 và 9 - 1044 có ch ữ s ố t ậ n cùng là 4 nên nó chia h ế t cho 2 - 1044 có t ổ ng các ch ữ s ố là 9 nên nó chia h ế t cho 9 V ậ y 1044 chia h ế t cho 2 và 9 Trong phép ch ứng minh này, ta đã dùng 2 luậ n c ứ để ch ứ ng minh: d ấ u hi ệ u chia h ế t cho 2 và d ấ u hi ệ u chia h ế t cho 9, áp d ụ ng quy t ắ c suy lu ậ n: Ví d ụ 1 2 9 Ch ứ ng minh r ằ ng n × (n + 1 ) chia h ế t cho 2 Bài g i ả i: - N ế u n chia h ế t cho 2 thì n × (n + 1) chia h ế t cho 2 - N ếu n chia 2 dƣ 1 thì n + 1 chia hế t cho 2 nên n × (n + 1) chia h ế t cho 2 T đây ta có n× (n + 1) chia h ế t cho 2 1 30 Ch ứ ng minh r ằ ng tích c ủ a ba s ố t ự nhiên liên ti ế p chia h ế t cho 6 Bài g i ả i: Gi ả s ử n là s ố t ự nhiên và T = n × ( n + 1) × (n + 2), ta ch ứ ng minh T chia h ế t cho 6 Ta có T chia h ế t cho 2 vì trong hai s ố t ự nhiên liên ti ế p ph ả i có m ộ t s ố ch ẵ n (1) - N ế u n chia h ế t cho 3 thì T chia h ế t cho 3 - N ếu n chia 3 dƣ 1 thì n + 2 chia hế t cho 3 nên T chia h ế t cho 3 - N ếu n chia 3 dƣ 2 thì n + 1 chia hế t cho 3 nên T chia h ế t cho 3 T đó ta có T chia hế t cho 3 (2) Vì 2 và 3 là hai s ố nguyên t ố cùng nhau nên t (1) và (2) ta suy ra T chia h ế t cho 6, hay tích c ủ a 3 s ố t ự nhiên liên ti ế p chia h ế t cho 6 1 1 3 Các phương pháp chứ ng minh toán h ọc thườ ng g ặ p 1 1 3 1 Phương pháp ch ứ ng minh tr ự c ti ế p M ệnh đề B đƣợ c g ọ i là ch ứ ng minh tr ự c ti ế p n ế u ta ch ỉ ra đƣợ c B là k ế t lu ậ n lôgic c ủ a các ti ền đề đúng , ,…, Cơ sở ch ứng minh phƣơn g pháp tr ự c ti ế p là quy t ắ c suy lu ậ n b ắ c c ầ u: Khi ch ứ ng minh t ti ền đề A đế n k ế t lu ậ n B b ằng phƣơng pháp chứ ng minh tr ự c ti ế p, ta ti ến hành theo sơ đồ sau: A → ; → ; ; → ; → B Áp d ụ ng quy t ắ c suy lu ậ n b ắ c c ầu ta đƣợc điề u ph ả i ch ứ ng minh [10,188] 19 Ví d ụ 1 3 1 Ch ứ ng minh r ằ ng “N ế u a chia h ế t cho 6 thì t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a nó chia h ế t cho 3” - Suy lu ậ n 1: A → A: a chia h ế t cho 6 : a chia h ế t c ho 3 - Suy lu ậ n 2: : a chia h ế t cho 3 : t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a a chia h ế t cho 3 T đó rút ra kế t lu ậ n: N ế u a chia h ế t cho 6 thì t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a nó chia h ế t cho 3 Ví d ụ 1 3 2 Ch ứ ng minh r ằ ng “N ế u a chia h ế t cho 18 thì t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a n ó chia h ế t cho 9 ” Ta có: N ế u a chia h ế t cho 18 thì a chia h ế t cho 9 N ế u a chia h ế t cho 9 thì t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a nó chia h ế t cho 9 V ậ y n ế u a chia h ế t cho 18 thì t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a nó chia h ế t cho 9 1 1 3 2 Phương pháp ch ứ ng minh ph ả n ch ứ ng Trong trƣờ ng h ợ p t ổ ng quát, mu ố n ch ứ ng minh t ti ền đề A d ẫn đế n k ế t lu ậ n B b ằng phƣơng pháp phả n ch ứ ng ta ti ến hành theo sơ đồ sau: - Gi ả s ử A đúng mà B sai - A ˄ B → C ˄ C - Áp d ụ ng quy t ắ c suy lu ậ n ) - Ta rút ra k ế t lu ậ n A → B là đúng Đôi khi sơ đồ trên đƣợ c thu g ọn nhƣ sau: - Gi ả s ử A đúng mà B sai - B → A - Áp d ụ ng quy t ắ c suy lu ậ n Ta rút ra k ế t lu ậ n A → B là đúng [10 , 190] Ví d ụ 1 3 3 Ch ứ ng minh r ằ ng “ 3 n + 2 là s ố l ẻ thì n là s ố l ẻ ” Gi ả s ử n là s ố ch ẵ n, ta có n = 2 x k Suy ra 3n + 2 = 3 × 2k + 2 = 2 × (3 k + 1), đây là s ố ch ẵ n V ậ y 3n + 2 là s ố l ẻ thì n là s ố l ẻ 20 Ví d ụ 1 3 4 Ch ứ ng minh r ằ ng không t ồ n t ạ i s ố t ự nhiên a K hi chia c ho 15 dƣ 6 và chia cho 24 dƣ 16 b Khi chia cho 18 dƣ 9 và chia cho 27 dƣ 12 Bài gi ả i: a Gi ả s ử t ồ n t ạ i s ố t ự nhiên a khi chia cho 15 dƣ 6 và chia cho 24 dƣ 16 Suy ra a = 15k + 6 = 3 × (5k + 2) chia h ế t cho 3 Và a = 24l + 16 không chia h ế t cho 3 Nhƣ vậ y a v a chia h ế t cho 3 v a không chia h ế t cho 3 Điề u này vô lí Do đó không t ồ n t ạ i s ố t ự nhiên khi chia cho 15 dƣ 6 và chia cho 24 dƣ 16 b Gi ả s ử t ồ n t ạ i s ố t ự nhiên b khi chia cho 18 dƣ 9 và chia cho 27 dƣ 12 Suy ra b = 18p + 9 = 9 × (2p + 1) chia h ế t cho 9 Và b = 27q + 12 không chia h ế t cho 9 Nhƣ vậ y b v a chia h ế t cho 9 v a không chia h ế t cho 9 Điề u này vô lí Do đó không t ồ n t ạ i s ố t ự nhiên khi chia cho 18 dƣ 9 và chia cho 27 dƣ 1 2 Ví d ụ 1 35 Ch ứ ng minh r ằ ng n × (n + 1 ) chia h ế t cho 2 Bài gi ả i: Gi ả s ử n×(n +1) không chia h ế t cho 2 N ế u n không chia h ế t cho 2 thì n = 2k + 1 Suy ra n (n + 1) = (2k + 1)×(2k + 2) = 2×(2k + 1)×(k + 1) chia h ế t cho 2 (1) N ế u n + 1 không chia h ế t cho 2 thì n + 1 = 2k + 1 Suy ra n×(n + 1) = 2k×(2k + 1) chia h ế t cho 2 (2) T (1) và (2) ta th ấy ngƣợ c v ớ i gi ả thuy ế t V ậ y n×(n + 1) chia h ế t cho 2 1 1 3 3 Phương pháp chứ ng minh quy n ạ p hoàn toàn Gi ả s ử t ậ p h ữ u h ạ n X = { , ,… , } và T(x) là hàm m ệnh đề xác đị nh trong t ậ p X Ta ph ả i ch ứ ng minh m ệnh đề : Ɐ x є X, T(x) là đúng bằng phƣơng pháp quy nạ p hoàn toàn Ta c ầ n ch ứ ng t ỏ r ằ ng T( ), T( ),…, T( ) đề u là nh ữ ng m ệnh đề đúng T đó k ế t lu ậ n m ệnh đề trên là đúng [10 ,191] 21 Ở đây ta áp dụ ng quy t ắ c suy lu ậ n t ổ ng quát: ( ) ( ) ( ) * + ( ) Ví d ụ 1 36 Ch ứ ng minh r ằng “ Trong 50 s ố t ự nhiên đầ u tiên, các s ố có t ậ n cùng là 5 đề u chia h ết cho 5” Ta có: 5 chia h ế t cho 5 15 chia h ế t cho 5 25 chia h ế t cho 5 35 chia h ế t cho 5 45 chia hêt cho 5 V ậ y trong ph ạ m vi 50 s ố t ự nhiên đầ u tiên, các s ố có t ận cùng là 5 đề u chia h ế t cho 5 Ví d ụ 1 37 Ch ứ ng minh r ằng “ Trong 60 s ố t ự nhiên đầ u tiên, các s ố có t ậ n cùng là 2 đề u chia h ết cho 2” Ta có: 2 chia h ế t cho 2 12 chia h ế t cho 2 22 chia h ế t cho 2 32 chia h ế t cho 2 42 chia h ế t cho 2 52 chia h ế t cho 2 V ậ y trong ph ạ m vi 60 s ố t ự nhiên đầ u tiên, các s ố có t ậ n cùng là 2 đề u chia h ế t cho 2 Ví d ụ 1 38 Ch ứ ng minh r ằ ng “ N ế u n chia h ế t cho 3 thì n (n + 1) chia h ế t cho 6” Bài gi ả i: Ta có n chia h ế t cho 3 nên n = 3k (v ớ i k là s ố nguyên) + N ế u k là s ố ch ẵ n thì k = 2m; v ậ y n = 3×2m = 6m Khi đó n× (n + 1) = 6m×( 6m + 1) , v ậ y n×(n + 1) chia h ế t cho 6 (1) + N ế u k là s ố l ẻ thì k = 2m + 1, v ậ y n = 3×(2m + 1) = 6m + 3 khi đó n×(n + 1) = (6m + 3)×(6m + 4) = 3×(2m +1)×2×(3m +2) = 6×(2m + 1)× (2m + 2), v ậ y n×(n + 1) chia h ế t cho 6 (2) T (1) và (2) suy ra n ế u n chia h ế t cho 3 thì n×(n + 1) chia h ế t cho 6 Ví d ụ 1 3 9 Ch ứ ng minh r ằ ng tích c ủ a b ố n s ố t ự nhiên liên ti ế p thì chia h ế t 4 22 Bài gi ả i: Gi ả s ử n là s ố t ự nhiên và T = n × (n + 1) × (n + 2) × (n + 3) G ọ i D là t ậ p các s ố dƣ c ủ a phép chia n ch o 4 V ậ y D = {0 , 1 , 2 , 3} - N ế u s ố dƣ bằ ng 0 thì n chia h ế t cho 4 Suy ra T chia h ế t cho 4 - N ế u s ố dƣ bằ ng 1 thì (n + 3) chia h ế t cho 4 Suy ra T chia h ế t cho 4 - N ế u s ố dƣ bằ ng 2 thì (n + 2) chia h ế t cho 4 Suy ra T chia h ế t cho 4 - N ế u s ố dƣ bằ ng 3 thì (n + 1) chia h ế t cho 4 Suy ra T chia h ế t cho 4 V ậ y T chia h ế t cho 4 v ớ i m ọ i s ố t ự nhiên 1 1 3 4 Phương pháp chứ ng minh quy n ạ p không hoàn toàn Ch ứ ng minh quy n ạp không hoàn toàn là phƣơng pháp mà ta đi chứ ng minh m ộ t vài trƣờ ng h ợp riêng để đi đế n k ế t lu ậ n chung Ví d ụ 1 40 Ch ứ ng minh r ằ ng “ Khi chia m ộ t s ố cho 0 5 ta ch ỉ c ầ n g ấ p đôi s ố đó” Để ch ứ ng minh m ệnh đề này, ta làm nhƣ sau: Ta th ấ y: 3 : 0 5 = 6; 3 x 2 = 6 6 : 0 5 = 12; 6 x 2 = 12 9 : 0 5 = 18; 9 x 2 = 18 100 : 0 5 = 200; 100 x 2 = 200 1580 : 0 5 = 3160; 1580 x 2 = 3160 Ta rút ra k ế t lu ậ n: Khi chia m ộ t s ố t ự nhiên cho 0 5 ta ch ỉ c ầ n g ấp đôi số đó Ví d ụ 1 41 ch ứ ng minh r ằ ng Các s ố có hai ch ữ s ố cu ố i t ạ o thành m ộ t s ố chia h ế t cho 4 thì s ố đó chia h ế t cho 4 Ta th ấ y: 116 chia h ế t cho 4 2004 chia h ế t cho 4 4532 chia h ế t cho 4 12508 chia h ế t cho 4 15236 chia h ế t cho 4 K ế t lu ậ n: Các s ố có hai ch ữ s ố cu ố i t ạ o thành m ộ t s ố chia h ế t cho 4 thì s ố đó chia hế t cho 4 Ví d ụ 1 4 2 ch ứ ng minh r ằ ng Khi đ ổ i ch ỗ các s ố h ạ ng trong m ộ t t ổ ng thì t ổ ng đó không thay đ ổ i 23 Bài gi ả i: Ta có b ả ng sau: a b a + b b + a 3 4 3 + 4 = 7 4 + 3 = 7 15 28 15 + 28 = 43 28 + 15 = 43 125 352 125 + 352 = 477 352 + 125 = 477 355 280 355 + 280 = 635 280 + 355 = 635 1208 2764 1208 + 2764 = 3972 2764 + 1208 = 3972 2341 4321 2341 + 4321 = 6662 4321 + 2341 = 6662 V ậy khi đổ i ch ỗ các s ố h ạ ng trong m ộ t t ổ ng thì t ổng đó không thay đổ i Ví d ụ 1 4 3 Ch ứ ng minh 1 nhân v ớ i s ố nào cũng b ằ ng chính nó Ta có: 1 x 2 = 2 1 x 5 = 5 1 x 10 = 10 1 x 100 = 100 1 x 257 = 257 V ậ y 1 nhân v ớ i s ố nào cũng bằ ng chính nó 1 1 4 Vai trò c ủ a các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c toán ở ti ể u h ọ c Suy lu ậ n và ch ứ ng minh có vai trò quan tr ọ ng trong d ạ y h ọ c toán ở ti ể u h ọ c nói riêng và trong toán h ọ c nói chung Suy lu ậ n và ch ứng minh đƣợ c xem là m ộ t trong nh ữ ng n ề n t ả ng xây d ự ng nên các ngành khoa h ọ c t ự nhiên T xƣa đế n nay, nh ờ SL và CM mà ngƣờ i ta có th ể nh ậ n th ức đƣợc cái chƣa biế t t nh ững cái đã biết SL và CM còn là cơ sở c ủ a s ự sáng t ạ o T các phán đoán, đƣa đế n các ch ứng minh để ch ấ p nh ậ n hay bác b ỏ m ộ t v ấn đề nào đó Việ c v ậ n d ụ ng các phép SL và CM vào trong d ạ y h

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TIỂU HỌC – MẦM NON & NGHỆ THUẬT

- -

NGUYỄN THỊ HIỀN

VẬN DỤNG CÁC PHÉP SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ SỐ TỰ NHIÊN

CHO HỌC SINH TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2019

Th.S TRƯƠNG THỊ KIM NGỌC

MSCB:

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu nhà trường, các thầy, cô giáo trong khoa Tiểu học – Mầm non & Nghệ thuật trường Đại học Quảng Nam đã nhiệt tình chỉ bảo, chia sẻ, đóng góp ý kiến, tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận đúng thời gian quy định

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu nhà trường, các thầy, cô giáo cũng như học sinh trường Tiểu học Trần Quốc Toản đã giúp đỡ và hợp tác cùng tôi trong suốt quá trình điều tra, khảo sát và thực nghiệm đề tài này

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể lớp Đại học Tiểu học K15 cũng như gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua

Mặc dù đã cố gắng và nỗ lực hết mình nhưng với khả năng còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót nhất định Vì vậy, những lời nhận xét, góp ý của thầy, cô và các bạn chính là điều kiện để khóa luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Tam Kỳ, tháng 05 năm 2019

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Hiền

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài “Vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào

dạy học chủ đề số tự nhiên cho học sinh tiểu học” là công trình nghiên cứu độc lập

của riêng tôi trong quá trình học tập và được sự hướng dẫn khoa học của Th.S Trương Thị Kim Ngọc Các nội dung nghiên cứu trong đề tài này là trung thực và chưa công

bố dưới bất kì hình thức nào trước đây

Ngoài ra, trong khóa luận còn tham khảo một số tài liệu liên quan đến lí luận của đề tài của các tác giả, cơ quan tổ chức khác đều có trích dẫn và ghi rõ trong phần tài liệu tham khảo

Nếu phát hiện có bất kì sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung khóa luận của mình

Tam Kỳ, tháng 05 năm 2019

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT STT Viết tắt Nội dung

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1 Một số quy tắc suy luận thường gặp 6

Bảng 2 Nội dung dạy học số tự nhiên 32

Bảng 3 Vai trò của số tự nhiên trong chương trình môn Toán ở tiểu học 35

Bảng 4 Lựa chọn quan điểm về việc dạy học vận dụng phép suy luận và

Bảng 6 Các hoạt động dạy học mà giáo viên đã áp dụng phép suy luận

và chứng minh trong chủ đề số tự nhiên

38

Bảng 7 Phép suy luận mà GV vận dụng khi hình thành kiến thức mới

bài “Tính chất kết hợp của phép nhân”

Bảng 10 Mức độ yêu thích của HS khi học môn Toán 42

Bảng 11 Cảm nhận của em khi học các kiến thức về số tự nhiên 44

Bảng 12 Mức độ hứng thú của HS về việc tiếp thu kiến thức mới và thực

hành – luyện tập kiến thức đó tại lớp

Bảng 16 Mức độ hoàn thành nhiệm vụ tiết học của học sinh lớp 2/1 và

2/2 sau khi thực nghiệm

116

Bảng 17 Mức độ hứng thú trong tiết học của học sinh lớp 2/1 và 2/2 117

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 1 Vai trò của số tự nhiên trong chương trình môn Toán ở tiểu

Biểu đồ 4 Các hoạt động dạy học mà giáo viên đã áp dụng phép suy luận

và chứng minh trong chủ đề số tự nhiên

38

Biểu đồ 5 Phép suy luận mà giáo viên vận dụng khi hình thành kiến thức

mới bài “Tính chất kết hợp của phép nhân”

Biểu đồ 8 Mức độ yêu thích của học sinh khi học môn Toán 42

Biểu đồ 9 Cảm nhận của em khi học các kiến thức về số tự nhiên 43

Biểu đồ 10 Mức độ hứng thú của học sinh về tiếp thu kiến thức mới và

thực hành luyện tập kiến thức đó tại lớp

44

Biểu đồ 11 Mức độ hoàn thành bài tập được giao 45

Biểu đồ 12 Mức độ hoàn thành nhiệm vụ tiết học của học sinh lớp 2/1 và

2/2 trước khi thực nghiệm

115

Biểu đồ 13 Mức độ hoàn thành nhiệm vụ tiết học của học sinh lớp 2/1 và

2/2 sau khi thực nghiệm

116

Biểu đồ 14 Mức độ hứng thú trong tiết học của học sinh lớp 2/1 và 2/2 117

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu 2

3.1 Đối tượng nghiên cứu 2

3.2 Khách thể nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

5.1 Nhóm phương pháp nghiên cứu lí luận 2

5.1.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu 2

5.1.2 Phương pháp phân tích - tổng hợp 3

5.2 Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn 3

5.2.1 Phương pháp điều tra 3

5.2.2 Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia 3

5.2.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 3

5.3 Phương pháp thống kê toán học 3

6 Lịch sử vấn đề nghiên cứu 3

7 Đóng góp của đề tài 4

7.1 Về lí luận 4

7.2 Về thực tiễn 4

8 Giới hạn phạm vi nghiên cứu 4

9 Cấu trúc tổng quan của đề tài 4

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 5

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC VẬN DỤNG CÁC PHÉP SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ SỐ TỰ NHIÊN CHO HỌC SINH TIỂU HỌC……….5

1.1 Cơ sở lí luận của việc vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào dạy học chủ đề số tự nhiên cho học sinh tiểu học 5

1.1.1 Suy luận 5

1.1.1.1 Quy tắc suy luận 5

1.1.1.2 Các kiểu suy luận 8

1.1.2 Chứng minh 17

1.1.3 Các phương pháp chứng minh toán học thường gặp 18

1.1.3.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp 18

1.1.3.2 Phương pháp chứng minh phản chứng 19

1.1.3.3 Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn 20

1.1.3.4 Phương pháp chứng minh quy nạp không hoàn toàn 22

1.1.4 Vai trò của các phép suy luận và chứng minh trong dạy học toán ở tiểu học 23

1.1.5 Đặc điểm tâm lí của học sinh tiểu học 24

1.1.5.1 Đặc điểm tâm lí của học sinh giai đoạn lớp 1, 2, 3 24

1.1.5.2 Đặc điểm tâm lí của học sinh giai đoạn lớp 4, 5 25

1.2 Cơ sở thực tiễn của việc vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào dạy học chủ đề số tự nhiên cho học sinh tiểu học 27

1.2.1 Vị trí, vai trò của chủ đề số tự nhiên trong chương trình môn Toán Tiểu học 27

1.2.2 Mục tiêu và nội dung dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học 28

1.2.2.1 Mục tiêu dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học 28

1.2.2.2 Nội dung dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học 30

1.2.3 Thực trạng của việc vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào dạy học chủ đề số tự nhiên cho học sinh tiểu học 33

1.2.3.1 Mục đích điều tra 33

1.2.3.2 Đối tượng điều tra 33

1.2.3.3 Nội dung điều tra 33

1.2.3.4 Phương pháp điều tra 34

1.2.3.5 Đánh giá kết quả điều tra 34

1.2.3.6 Kết luận về kết quả điều tra 45

Tiểu kết chương 1 47

CHƯƠNG 2 VẬN DỤNG CÁC PHÉP SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ SỐ TỰ NHIÊN CHO HỌC SINH TIỂU HỌC 49

2.1 Một số căn cứ để vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào dạy học chủ đề số tự nhiên cho học sinh tiểu học 49

2.1.1 Căn cứ vào các phép suy luận và chứng minh trong dạy học toán 49

2.1.2 Căn cứ vào vị trí, mục tiêu, nội dung dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học 49

2.1.3 Căn cứ vào đặc điểm tâm sinh lí của học sinh tiểu học 50

2.1.4 Căn cứ vào thực trạng vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào dạy học số tự nhiên cho học sinh tiểu học 51

2.2 Vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào dạy học chủ đề số tự nhiên cho học sinh tiểu học 51

2.2.1 Vận dụng các phép suy luận vào dạy học hình thành khái niệm số tự nhiên cho học sinh tiểu học 51

2.2.1.1 Vận dụng phép suy luận quy nạp 51

2.2.1.2 Vận dụng phép suy luận tương tự 59

2.2.2 Vận dụng các phép suy luận vào dạy học hình thành các quy tắc, tính chất phép toán, dấu hiệu chia hết trên tập số tự nhiên 63

2.2.2.1 Vận dụng phép suy luận quy nạp 63

2.2.2.2 Vận dụng phép suy luận tương tự 73

2.2.2.3 Vận dụng phép suy diễn 80

2.2.3 Bài tập vận dụng phép suy luận và chứng minh trong dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học 82

2.2.3.1 Bài tập vận dụng phép suy luận trong dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học 82 2.2.3.2 Bài tập vận dụng phép chứng minh trong dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học 105

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 111

3.1 Mô tả thực nghiệm sư phạm 111

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 111

3.1.2 Nội dung thực nghiệm 111

3.1.3 Đối tượng thực nghiệm 112

3.1.4 Thời gian thực nghiệm 112

3.1.5 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 112

3.2 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 112

3.2.1 Kế hoạch thực nghiệm 112

3.2.2 Tiến hành thực nghiệm 113

3.3 Kết quả thực nghiệm 114

3.3.1 Các tiêu chí đánh giá kết quả thực nghiệm 114

3.3.2 Phân tích kết quả thực nghiệm 114

3.3.2.1 Kết quả trước khi thực nghiệm 114

3.3.2.2 Kết quả sau khi thực nghiệm 115

3.4 Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình thực nghiệm 118

3.4.1 Thuận lợi 118

3.4.2 Khó khăn 118

Tiểu kết chương 3 118

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 119

1 Kết luận……… 119

2 Khuyến nghị 120

TÀI LIỆU THAM KHẢO 121

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Tiểu học là cấp học nền tảng của hệ thống giáo dục quốc dân, sự hình thành và phát triển của cấp học nền tảng này là cơ sở để phát triển các cấp học tiếp theo Giáo dục Tiểu học được ví như nền móng của ngôi nhà, móng có vững thì nhà mới chắc chắn Giáo dục Tiểu học với mục tiêu chính là: giúp học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn và lâu dài về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng để học sinh tiếp tục học lên trung học cơ sở Trẻ được giáo dục tốt t nhỏ thì lớn lên mới có thể phát triển tốt cả về thể chất lẫn trí tuệ Vì vậy, giáo dục Tiểu học

có vai trò rất quan trọng trong hệ thống giáo dục quốc dân

Cùng với các môn học khác, môn Toán có vị trí quan trọng Môn Toán là sợi chỉ đỏ xuyên suốt, là chìa khóa mở cửa cho tất cả các ngành khoa học khác, nó cũng là công cụ cần thiết của người lao động trong thời kì mới Môn Toán cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về số học, các yếu tố hình học, đại lượng và đo đại lượng, giải toán có lời văn Bên cạnh đó, khả năng giáo dục của môn Toán còn rất phong phú; giúp cho học sinh phát triển trí thông minh, khả năng tư duy độc lập, khả năng suy luận logic, trao dồi trí nhớ, giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, chính xác Yêu cầu

đó rất cần thiết cho mỗi người, nó góp phần giáo dục ý chí, đức tính kiên trì, chịu khó, cần cù trong học tập

Trong các kiến thức về toán học thì số tự nhiên là một thành tựu Toán học lâu đời nhất của loài người Ngày nay, số tự nhiên được sử dụng ở mọi lúc, mọi nơi của đời sống xã hội Do đó, việc dạy học số tự nhiên có vai trò quan trọng trong dạy học Toán

ở tiểu học Học sinh nắm được các kiến thức về số tự nhiên là cơ sở để tiếp thu các kiến thức khác và có thể vận dụng vào trong thực tế

Việc dạy học Toán học có nhiều phương pháp, cách thức khác nhau Trong đó không thể không nhắc đến việc vận dụng các phép suy luận và chứng minh trong dạy học toán nói chung và trong chủ đề số tự nhiên nói riêng Các phép suy luận và chứng minh không chỉ là công cụ đắc lực để giáo viên truyền thụ các kiến thức mới mà còn còn có tác dụng nâng cao năng lực suy nghĩ và mài giũa các kỹ năng toán học cho học sinh Vì thế, mỗi giáo viên tiểu học đều phải có những hiểu biết cần thiết về một số phép suy luận và chứng minh để vận dụng vào trong giảng dạy toán số tự nhiên ở tiểu học Tuy nhiên, việc vận dụng một số phép suy luận và chứng minh trong dạy học

môn Toán nói chung và dạy học số tự nhiên nói riêng vẫn chưa được áp dụng một cách triệt để Đôi khi giáo viên còn lúng túng và chưa thực sự hiểu kĩ bản chất của nó

Với mong muốn tìm tòi nghiên cứu về các phép suy luận và chứng minh đối với việc dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học nhằm chuyển tải những kiến thức đến học sinh sao cho dễ hiểu và đảm bảo chính xác, đồng thời phát triển tư duy và tính tích cực

học tập của học sinh Do đó tôi quyết định chọn đề tài “Vận dụng các phép suy luận

và chứng minh vào dạy học chủ đề số tự nhiên cho học sinh Tiểu học” để nghiên

cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất quy trình vận dụng một số phép suy luận và chứng minh vào dạy học chủ đề số tự nhiên cho học sinh tiểu học nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học các yếu tố số tự nhiên cho học sinh tiểu học nói riêng và hiệu quả dạy học môn Toán ở tiểu học nói chung

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Các phép suy luận và chứng minh trong dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học

3.2 Khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy và học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu cơ sở lí luận của việc vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào dạy học toán ở tiểu học

- Tìm hiểu mục tiêu, nội dung dạy học nội dung số tự nhiên ở tiểu học

- Điều tra thực trạng vận dụng các phép suy luận và chứng minh ở giáo viên và học sinh trường Tiểu học

- Đề xuất quy trình vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào giảng dạy

và hướng dẫn học sinh giải các bài toán theo chủ đề số tự nhiên ở tiểu học

- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá mức độ khả thi, hiệu quả việc vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào dạy học chủ đề số tự nhiên cho học sinh tiểu học

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nhóm phương pháp nghiên cứu lí luận

5.1.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

Đọc, khai khác các tài liệu như sách giáo khoa Toán tiểu học, sách giáo viên Toán tiểu học, các loại sách tham khảo, tạp chí về nội dung các phép suy luận và chứng minh

5.1.2 Phương pháp phân tích - tổng hợp

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài t đó phân tích và tổng hợp để làm luận cứ cho việc vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học

5.2 Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn

5.2.1 Phương pháp điều tra

Xây dựng phiếu điều tra gồm hệ thống các câu hỏi về việc dạy học môn Toán ở tiểu học có vận dụng một số phép suy luận và chứng minh

5.2.2 Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia

Tham khảo ý kiến của các thầy, cô trong khoa Tiểu học – Mầm non & Nghệ thuật và các thầy cô giáo tại trường tiểu học

5.2.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm sư phạm tại trường tiểu học để nghiên cứu về việc vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học

5.3 Phương pháp thống kê toán học

Trong quá trình thực nghiệm sư phạm, chúng tôi tập trung nghiên cứu những vấn đề thực hiện liên quan đến đề tài t đó thống kê những số liệu thu thập được để hoàn thành đề tài nghiên cứu

6 Lịch sử vấn đề nghiên cứu

Trên thế giới, đã có rất nhiều nhà giáo dục có tư tưởng tiến bộ đã chú trọng đến dạy học vận dụng suy luận và chứng minh Tiêu biểu như:

Nhà Toán học kiêm tâm lý học G.Polya đã tìm hiểu, trình bày vấn đề này trong

“Giải một bài toán như thế nào?”, “Toán học và những suy luận có lý”, “Sáng tạo Toán học”, …

Hiện nay, trong nền giáo dục Việt Nam, vận dụng suy luận và chứng minh là một quan điểm dạy học mới được nhiều nhà giáo dục cũng như giáo viên quan tâm nghiên cứu Điển hình như:

Tác giả Tôn Công Minh đã đề cấp đến những vấn đề về suy luận có lí trong dạy học toán Các tác giả như GS Nguyễn Cảnh Toàn, GS Hoàng Chúng, Hứa Thuần

Phỏng, Văn Như Cương, Nguyễn Bá Kim … cũng đã nhiều lần nói về các phép suy luận trong Toán học, trong dạy học Toán

Bên cạnh đó còn có những khóa luận nghiên cứu về việc dạy học vận dụng suy luận và chứng minh như sau:

Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch hình học ở tiểu học của tác giả Nguyễn Thị Vân trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Vận dụng các phép suy luận trong dạy học các bài toán dãy số lớp 3 của tác giả

Vũ Thị Thanh trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Thế nhưng những đề cập đó chỉ mang tính định hướng trong nghiên cứu các phương pháp học Toán và dạy Toán Trong thực tế giảng dạy Toán ở các trường tiểu học, rất nhiều thầy cô có ý thức sử dụng phép suy luận trong dạy học toán Mặc dù vậy vẫn chưa có một nghiên cứu nào cụ thể về vận dụng suy luận và chứng minh trong dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học

8 Giới hạn phạm vi nghiên cứu

Đề tài d ng lại ở việc nghiên cứu vận dụng phép suy luận và chứng minh trong dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học

9 Cấu trúc tổng quan của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục thì khóa luận có 3 chương:

- Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn của việc vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào dạy học chủ đề số tự nhiên cho học sinh tiểu học

- Chương 2 Vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào dạy học chủ đề số

tự nhiên cho học sinh tiểu học

- Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC VẬN DỤNG CÁC PHÉP SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ

SỐ TỰ NHIÊN CHO HỌC SINH TIỂU HỌC 1.1 Cơ sở lí luận của việc vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào dạy học chủ đề số tự nhiên cho học sinh tiểu học

1.1.1 Suy luận

Theo Trần Ngọc Lan, suy luận là hình thức tư duy toán học nhận thức hiện thực một cách gián tiếp, xuất phát t một hay nhiều điều đã biết để đi đến những phán đoán mới [13, 31]

Theo Phạm Đình Thực, suy luận là quá trình suy nghĩ trong đó t một hay nhiều mệnh đề đã có, ta rút ra mệnh đề mới [16, 5]

Trong suy luận, những mệnh đề đã cho gọi là tiền đề, những mệnh đề mới được rút ra gọi là kết luận

Kết luận: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3

1.1.1.1 Quy tắc suy luận

Định nghĩa: Cho A, B, C là những công thức Nếu tất cả các hệ chân lí của các

biến mệnh đề có mặt trong các công thức đó làm cho A, B nhận giá trị chân lí bằng 1 cũng làm cho C nhận giá trị chân lí bằng 1 thì ta nói có một quy tắc suy luận t các tiền đề A, B dẫn tới hệ quả lôgic C của chúng

Ta kí hiệu:

[10, 174] Dưới đây là một số quy tắc suy luận thường được vận dụng trong suy luận toán học: Bảng 1: Một số quy tắc suy luận thường gặp 1)

(Quy tắc suy luận Modus ponens) 3)

(Quy tắc suy luận bắc cầu) 5)

7)

9)

11)

13)

(Quy tắc phản đảo) 15)

17)

19)

21) ( ) ( )

( ) 23)

2)

(Quy tắc suy luận ngược Modus Lollens) 4)

6)

8)

10)

12)

14)

,

16)

(Quy tắc chứng minh phản chứng) 18)

20)

22) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 24)

Ví dụ 1.4 Chứng minh quy tắc suy luận sau

“p → q” là mệnh đề “Nếu a chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 3”

“q → r” là mệnh đề “Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3”

Áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta có: “Nếu a chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của

Nhìn vào bảng trên ta thấy p → q và q → p luôn cùng đúng hoặc cùng sai

Vậy ta có quy tắc suy luận

Chẳng hạn ta chọn mệnh đề “p → q” là “Nếu a chia hết cho 2 thì nó là số chẵn”

Áp dụng quy tắc phản đảo ta có “Nếu a là số lẻ thì nó không chia hết cho 2”

1.1.1.2 Các kiểu suy luận

1.1.1.2.1 Suy luận diễn dịch

Suy luận diễn dịch (hay suy diễn) là suy luận theo những quy tắc suy luận tổng quát (của lôgic mệnh đề) Trong suy luận diễn dịch, nếu tiền đề đúng thì các kết luận rút ra cũng phải đúng [9,45]

Suy luận suy diễn là suy luận hợp lôgic, các kết luận nhận được là kết luận lôgic

Ví dụ 1.6 Muốn chứng tỏ 35 766 chia hết cho 9, ta có thể suy diễn như sau:

- Tiền đề 1: Mọi số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 9

- Tiền đề 2: Số 35 766 có tổng các chữ số là 3 + 5 + 7 + 6 + 6 = 27, 27 chia hết cho 9

- Kết luận: Vậy 35 766 chia hết cho 9

Ở đây quy tắc chung ở tiền đề 1 đã được áp dụng cho trường hợp cụ thể ở tiền đề 2 để rút ra kết luận Vậy ta có một phép suy diễn

Ví dụ 1.8 Chứng minh 35, 5760, 945, 3000, 1235 chia hết cho 5

Để chứng minh 35, 5760, 945, 3000, 1235 chia hết cho 5 ta có thể suy diễn:

- Tiền đề 1: Các số có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5

- Tiền đề 2: Các số 35, 5760, 945, 3000, 1235 đều có tận cùng bằng 0 hoặc 5

- Kết luận: Các số 35, 5760, 945, 3000, 1235 chia hết cho 5

Trong 3 ví dụ v a nêu, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng các quy tắc suy luận ( ) ( )

( ) Vì vậy các kết luận của chúng phải đúng

Ví dụ 1.9

- Tiền đề 1: 624 chia hết cho 4

- Tiền đề 2: 624 chia hết cho 6

- Kết luận: 624 chia hết cho 4 và 6

Trong ví dụ này, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng quy tắc suy luận:

Ví dụ 1.10 T các tiền đề:

- Tiền đề 1: Nếu a chia hết cho 4 thì nó chia hết cho 2

- Tiền đề 2: Nếu a chia hết cho 2 thì nó là số chẵn

- Kết luận: Nếu a chia hết cho 4 thì a là số chẵn

Ví dụ 1.11 T các tiền đề:

- Tiền đề 1: Nếu a chia hết cho 10 thì nó có tận cùng là 0

- Tiền đề 2: Nếu a có tận cùng là 0 thì nó chia hết cho 5

- Kết luận: Nếu a chia hết cho 10 thì nó chia hết cho 5

Ở 2 ví dụ 1.10 và 1.11 các tiền đề đều là những định lí đã được chứng minh trong

toán học Ta đã vận dụng quy tắc suy luận bắc cầu:

1.1.1.2.2 Suy luận nghe có lí

Suy luận nghe có lí (hay còn gọi là suy luận có lí) là suy luận không theo quy tắc suy luận tổng quát nào Nó chỉ xuất phát t những tiền đề đúng để rút ra một kết luận Kết luận này có thể đúng mà cũng có thể sai [9,48]

Mặc dù suy luận nghe có lí có hạn chế nêu trên nhưng nó có ý nghĩa rất quan trọng trong khoa học và đời sống: giúp chúng ta t những quan sát cụ thể có thể rút ra những giả thuyết, phán đoán để rồi sau đó tìm cách chứng minh chặt chẽ giả thuyết đó

Trong toán học có 2 kiểu suy luận nghe có lí thường được sử dụng đó là suy luận quy nạp và suy luận tương tự

 Suy luận quy nạp

Suy luận quy nạp là một kiểu suy luận nghe có lí Trong đó tiền đề thường là một số hiện tượng (có thể là những ví dụ minh họa) mà tính đúng đắn của nó được kiểm chứng trực tiếp thông qua tính toán cụ thể để t đó rút ra kết luận cần thiết (có thể là một quy tắc, một công thức, một tính chất,…) cho các trường hợp chung tổng quát

Đặc điểm của SL quy nạp là ở chỗ không có quy tắc tổng quát như đối với SL diễn dịch T tiền đề có cấu trúc xác định nào đó, được th a nhận là đúng, thì kết luận rút ra t quy nạp không chắc chắn đúng, có thể đúng cũng có thể sai

Căn cứ vào các đặc điểm tiền đề trong các phép SL quy nạp, người ta chia phép SL

quy nạp làm 2 loại: Quy nạp không hoàn toàn và Quy nạp hoàn toàn

Quy nạp không hoàn toàn: Phép quy nạp không hoàn toàn là phép SL đi t một vài

trường hợp riêng để nhận xét rồi rút ra kết luận chung.[16, 14]

Có thể tóm tắt nội dung của phép SL quy nạp không hoàn toàn như sau:

Tiền đề - Các phần tử , , , đều có tính chất P

- , , , là một số phần tử của tập hợp X

Kết luận - Tất cả các phần tử của X đều có tính chất P

(Ở đây giả thuyết là X có nhiều hơn n phần tử)

Ví dụ 1.12

T các tiền đề:

- Tổng các chữ số của số 99 là 9 + 9 = 18 chia hết cho 9

- Tổng các chữ số của số 144 là 1 + 4 + 4 = 9 chia hết cho 9

- Tổng các chữ số của số 567 là 5 + 6 + 7 = 18 chia hết cho 9

Ta có thể rút ra kết luận: “Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9

Đây là phép quy nạp không hoàn toàn Trong phép SL này, các tiền đề đúng và kết luận rút ra cũng đúng

Ta có thể rút ra kết luận: Các số có chữ số hàng đơn vị là 4 đều chia hết cho 4

Đây là phép quy nạp không hoàn toàn Trong phép SL này, xuất phát t những tiền đề đúng mà kết luận rút ra sai (chẳng hạn 54 có chữ số hàng đơn vị bằng 4 mà không chia hết cho 4)

Đây là phép quy nạp không hoàn toàn Trong phép SL này, các tiền đề đúng và kết luận rút ra cũng đúng

Trong phép SL này, các tiền đề đúng và kết luận rút ra cũng đúng

Ví dụ 1.16 Tìm quy luật của dãy số sau: 1; 2; 6; 24; …

Kết luận là quy luật của dãy số được rút ra

Trong việc dạy toán ở tiểu học, phép quy nạp không hoàn toàn đóng vai trò quan trọng Vì HS tiểu học còn nhỏ, trình độ hiểu biết còn non nớt nên đây là phương pháp đơn giản nhất, dễ hiểu nhất đối với HS Nhờ phép quy nạp không hoàn hoàn mà

GV có thể giúp HS tự tìm ra kiến thức một cách chủ động, tích cực và nắm kiến thức

vững vàng, có ý thức, chắc chắn Phép quy nạp được dùng chủ yếu để dạy phần Bài

mới

Quy nạp hoàn toàn: Quy nạp hoàn toàn là phép SL đi t việc khảo sát tất cả các

trường hợp riêng, rồi nhận xét để nêu ra kết luận chung cho tất cả các trường hợp riêng

đó và chỉ có các trường hợp đó mà thôi [16, 17]

Có thể ghi tóm tắt nội dung phép quy nạp hoàn toàn như sau:

Tiền đề - Tập hợp A gồm các phần tử , , ,

- Các phần tử , , , đều có tính chất P

Kết luận - Tất cả các phần tử của X đều có tính chất P

Ta thấy phép quy nạp hoàn toàn là một phép SL cho ta kết luận đúng vì kết luận chung chỉ khẳng định về các trường hợp đã được thử thấy đúng

Ta có thể rút ra kết luận chung: “ Trong phạm vi 50 số tự nhiên đầu tiên, các số có tận cùng là 0 đều chia hết cho 5”

Ví dụ 1.18

Khi xét bảng nhân 9 ta thấy:

- Mối liên quan giữa các chữ số hàng chục của tích:

0  1 2 3  8  9

- Mối liên quan giữa các chữ số hàng đơn vị của tích:

9  8  7  6   1  0

T đây rút ra nhận xét: “Trong bảng nhân 9:

- Các chữ số hàng chục của tích tăng dần, mỗi lần một đơn vị

- Các chữ số hàng đơn vị của tích giảm dần, mỗi lần một đơn vị”

Qua 2 ví dụ trên, ta thấy kết luận chung được nêu ra đều đúng Tuy nhiên, ở tiểu học phép quy nạp hoàn toàn không được sử dụng nhiều như phép quy nạp không hoàn toàn Nó ít khi được sử dụng để hình thành quy tắc, tính chất mà thường được vận dụng để giải toán, thực hiện các phép tính khi cần phải xem xét tất cả các khả năng có thể xảy ra của một sự kiện nào đó Chẳng hạn:

Ví dụ 1.19 Tìm tất cả các chữ số a và b để có số có 4 chữ số khác nhau 6a3b chia hết

cho 2 và 9

 Suy luận tương tự

Suy luận tương tự là một kiểu suy luận nghe có lí Trong đó tiền đề thường là một

phép suy luận mà tính đúng đắn của nó được thiết lập để t đó rút ra kết luận cần thiết (có thể là một quy tắc, công thức, một tính chất,…) cho một phép suy luận khác có những điều kiện tương tự gần giống với phép suy luận nêu trong tiền đề [9,51]

Kết luận được rút ra có thể đúng nhưng cũng có thể sai Song kiểu suy luận tương tự

có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong nhiều phát minh khoa học

Có thể ghi tóm tắt nội dung phép tương tự như sau:

(2) Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng các số thập phân thì tổng không thay đổi Đây là phép SL tương tự Trong phép SL này t những tiền đề đúng rút ra kết luận đúng

Ví dụ 1.22

T quy tắc nhân nhẩm một số với 11: “Muốn nhân một số với 11, ta nhân số đó với 10 rồi cộng với chính số đó”, ta có thể dùng SL tương tự để nêu ra các quy tắc sau:

(1) Muốn nhân một số với 21, ta nhân số đó với 20 rồi cộng với chính số đó

(2) Muốn nhân một số với 61, ta nhân số đó với 60 rồi cộng với chính số đó

(3) Muốn nhân một số với 29, ta nhân số đó với 30 rồi tr với chính số đó

Đây là phép SL tương tự Trong phép SL này, t các tiền đề đúng ta rút ra được kết luận đúng

Ví dụ 1.23

Ta đã biết: “Mọi số tận cùng bằng 2 thì chia hết cho 2”, t đó bằng SL tương tự ta có thể suy ra:

(1) Mọi số có tận cùng là 5 thì chia hết cho 5

(2) Mọi số có tận cùng là 3 thì chia hết cho 3

(3) Mọi số có tận cùng là 7 thì chia hết cho 7

Trong phép SL này, t tiền đề đúng nhưng kết luận rút ra lại sai

Phép SL tương tự có vai trò quan trọng trong Toán tiểu học Có nhiều biện pháp tính hoặc cách giải một bài toán không thể nêu được dưới dạng quy tắc chung Khi đó ta thường dạy những biện pháp tính và cách giải các loại toán này dưới dạng bài tập mẫu, sau đó học sinh có thể áp dụng tương tự như các bài tập mẫu để luyện tập

Ví dụ 1.24

a Sau khi HS đã nắm được dấu hiệu để một số chia hết cho 2 là chữ số tận cùng của số

đó chia hết cho 2, GV có thể hướng dẫn HS vận dụng phép SL tương tự để tìm ra dấu hiệu chia hết cho 5 là chữ số tận cùng của số đó phải chia hết cho 5 Do đó số đó phải

có tận cùng là 0 hoặc 5

b Sau khi HS nắm dược dấu hiệu chia hết cho 9 là tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 9 GV có thể hướng dẫn HS dùng SL tương tự để tìm ra dấu hiệu chia hết cho

3 là tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3

c Sau khi HS nắm được tính chất giao hoán ở phép cộng là khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng đó không thay đổi Dựa vào SL tương tự, GV có thể hướng dẫn

HS tìm ra tính chất giao hoán của phép nhân là khi đổi chỗ các th a số trong một tích thì tích đó không thay đổi

1.1.1.2.3 Mối quan hệ của suy luận diễn dịch và suy luận nghe có lí

Suy luận diễn dịch là suy luận mà khi ta đi theo cách thức của nó thì t những tiền đề đúng chúng ta luôn suy ra được những kết luận đúng Còn suy luận nghe có lí

là suy luận mà khi dùng nó thì t những tiền đề đúng có khi ta rút ra các kết luận đúng,

có khi ta rút ra những kết luận sai

Mặc dù khác nhau như vậy nhưng hai loại SL này không mâu thuẫn với nhau

mà có liên quan chặt chẽ, bổ sung cho nhau trong mọi quá trình học tập và nghiên cứu toán học Người ta thường dùng các phép SL có lí để dạy cho học sinh các kiến thức mới, các quy tắc mới; sau đó dùng phép SL suy diễn để hướng dẫn HS luyện tập áp dụng các quy tắc và kiến thức mới vào giải những bài tập cụ thể, 2 phép SL này tương ứng với 2 bước lên lớp quan trọng là:

- Bước dạy bài mới

Áp dụng nhận xét chung này vào các trường hợp riêng:

- Khi gặp bài toán điền số vào chỗ chấm 6 x 9 = … x 6 HS có thể giải như sau: “Ta có: 6 x 9 = 9 x 6, vậy điền số 9 vào chỗ chấm”

- Khi gặp dãy tính “2 x 13 x 5 = ?” HS có thể đổi chỗ hai th a số 13 và 5 để tính nhanh hơn:

2 x 13 x 5 = 2 x 5 x 13 = 130

Khi đó ta đã dùng SL suy diễn để giải bài tập

Qua ví dụ trên ta thấy được hai phép SL này được áp dụng trong một thể thống nhất kế th a và làm tiền đề của nhau, hỗ trợ cho nhau Vì nếu diễn dịch là đi t cái chung đến cái riêng, thì trước đó cần phải có suy luận có lí (quy nạp không hoàn toàn,

SL tương tự) để dự đoán cái chung đã Nói cách khác, SL có lí cung cấp nguyên liệu cho diễn dịch, diễn dịch lại đặt ra yêu cầu mới cho SL có lí, khẳng định hay phủ định những dự đoán (giả thuyết) của bước SL có lí Vì thế có thể nói “sự kết hợp chặt chẽ giữa SL có lí và SL suy diễn v a là đặc trưng của phương pháp toán học nói chung

v a là điểm cốt yếu trong phương pháp dạy toán ở tiểu học nói riêng”

Ngoài ra, sự kết hợp chặt chẽ giữa SL có lí và SL suy diễn có khi còn được thể hiện ngay trong quá trình dạy kiến thức mới Chẳng hạn:

Ví dụ 1.26

a Ta đã biết quy tắc: Muốn chia một số thập phân cho một số tự nhiên:

- Ta chia phần nguyên của số bị chia cho số chia

- Viết dấu phẩy vào bên trái thương đã tìm được trước khi lấy chữ số thập phân đầu tiên ở phần thập phân của số bị chia để tiếp tục thực hiện phép chia

- Tiếp tục chia với t ng chữ số thập phân của số bị chia

b Áp dụng quy tắc trên vào trường hợp đặc biệt “ chia số tự nhiên”, chẳng hạn

52 : 16, bằng cách coi 52 là số thập phân đặc biệt 52 = 52,00

- Viết dấu phẩy vào bên phải số thương

- Viết thêm vào bên phải số dư mới một chữ số 0 rồi tiếp tục chia, và có thể làm như thế mãi”

Trong ví dụ trên, ta thấy việc kết hợp giữa SL có lí và SL diễn dịch Quá trình

áp dụng quy tắc a vào phép chia b là một phép suy diễn song quá trình suy luận để đi

t cách tính b đến quy tắc tổng quát c lại cho ta một phép SL có lí Kết quả quá trình kết hợp này của 2 phép SL đã cho ta một quy tắc tính toán mới về “Chia hai số tự nhiên” cho HS

1.1.2 Chứng minh

Quy tắc suy luận

có nghĩa là: Nếu có các tiền đề , ,…,

thì có kết luận B, B được gọi là một kết luận lôgic

Trường hợp tất cả các tiền đề , ,…, đều đúng thì kết luận lôgic B gọi là một

kết luận chứng minh và mệnh đề B gọi là đã được chứng minh Nói cách khác:

- Một kết luận chứng minh là một kết luận lôgic của các tiền đề đúng

- Chứng minh một mệnh đề B là chỉ rõ B là kết luận lôgic của các tiền đề đúng

Mỗi chứng minh trong toán học bao gồm một số hữu hạn bước, trong đó mỗi bước là một suy luận diễn dịch, trong đó ta đã vận dụng một quy tắc suy luận tổng quát

Trong các trường hợp chứng minh chỉ gồm một bước thì đó là một phép suy luận diễn dịch với các tiền đề đúng

3 Luận chứng là những quy tắc suy luận tổng quát được sử dụng trong mỗi bước suy

luận của chứng minh đó

Như vậy chứng minh t tiền đề A dẫn đến kết luận B ( A→ B) là:

- Thiết lập một dãy các bước suy luận diễn dịch

- Trong mỗi bước ta chỉ rõ tiền đề kết luận và quy tắc suy luận tổng quát được áp dụng

[4,92]

Ví dụ 1.27 Chứng minh 432135 chia hết cho 9

- Mọi số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 9

- Số 432135 có tổng các chữ số chia hết cho 9

Vậy 432135 chia hết cho 9

Trong phép chứng minh này, luận đề là 432135 chia hết cho 9; luận cứ là Mọi số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 9; luận chứng là quy tắc suy luận

Ví dụ 1.28 Chứng minh 1044 chia hết cho 2 và 9

- 1044 có chữ số tận cùng là 4 nên nó chia hết cho 2

- 1044 có tổng các chữ số là 9 nên nó chia hết cho 9

Vậy 1044 chia hết cho 2 và 9

Trong phép chứng minh này, ta đã dùng 2 luận cứ để chứng minh: dấu hiệu chia hết cho 2 và dấu hiệu chia hết cho 9, áp dụng quy tắc suy luận:

Ví dụ 1.29 Chứng minh rằng n×(n + 1 ) chia hết cho 2

Bài giải:

- Nếu n chia hết cho 2 thì n×(n + 1) chia hết cho 2

- Nếu n chia 2 dư 1 thì n + 1 chia hết cho 2 nên n×(n + 1) chia hết cho 2

T đây ta có n×(n + 1) chia hết cho 2

1.30 Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6

Bài giải:

Giả sử n là số tự nhiên và T = n×( n + 1)×(n + 2), ta chứng minh T chia hết cho 6

Ta có T chia hết cho 2 vì trong hai số tự nhiên liên tiếp phải có một số chẵn (1)

- Nếu n chia hết cho 3 thì T chia hết cho 3

- Nếu n chia 3 dư 1 thì n + 2 chia hết cho 3 nên T chia hết cho 3

- Nếu n chia 3 dư 2 thì n + 1 chia hết cho 3 nên T chia hết cho 3

T đó ta có T chia hết cho 3 (2)

Vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên t (1) và (2) ta suy ra T chia hết cho 6, hay tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6

1.1.3 Các phương pháp chứng minh toán học thường gặp

1.1.3.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp

Mệnh đề B được gọi là chứng minh trực tiếp nếu ta chỉ ra được B là kết luận lôgic của các tiền đề đúng , ,…,

Cơ sở chứng minh phương pháp trực tiếp là quy tắc suy luận bắc cầu:

Khi chứng minh t tiền đề A đến kết luận B bằng phương pháp chứng minh trực tiếp,

ta tiến hành theo sơ đồ sau:

A → ; → ; ; → ; → B

Áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta được điều phải chứng minh [10,188]

Ví dụ 1.31 Chứng minh rằng “Nếu a chia hết cho 6 thì tổng các chữ số của nó chia

: tổng các chữ số của a chia hết cho 3

T đó rút ra kết luận: Nếu a chia hết cho 6 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3

Ví dụ 1.32 Chứng minh rằng “Nếu a chia hết cho 18 thì tổng các chữ số của nó chia

hết cho 9”

Ta có: Nếu a chia hết cho 18 thì a chia hết cho 9

Nếu a chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9

Vậy nếu a chia hết cho 18 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9

Ví dụ 1.34 Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên

a Khi chia cho 15 dư 6 và chia cho 24 dư 16

b Khi chia cho 18 dư 9 và chia cho 27 dư 12

Bài giải:

a Giả sử tồn tại số tự nhiên a khi chia cho 15 dư 6 và chia cho 24 dư 16

Suy ra a = 15k + 6 = 3×(5k + 2) chia hết cho 3

Và a = 24l + 16 không chia hết cho 3

Như vậy a v a chia hết cho 3 v a không chia hết cho 3

Điều này vô lí Do đó không tồn tại số tự nhiên khi chia cho 15 dư 6 và chia cho 24 dư

16

b Giả sử tồn tại số tự nhiên b khi chia cho 18 dư 9 và chia cho 27 dư 12

Suy ra b = 18p + 9 = 9×(2p + 1) chia hết cho 9

Và b = 27q + 12 không chia hết cho 9

Như vậy b v a chia hết cho 9 v a không chia hết cho 9

Điều này vô lí Do đó không tồn tại số tự nhiên khi chia cho 18 dư 9 và chia cho 27 dư

12

Ví dụ 1.35 Chứng minh rằng n×(n + 1) chia hết cho 2

Bài giải:

Giả sử n×(n +1) không chia hết cho 2

Nếu n không chia hết cho 2 thì n = 2k + 1

Suy ra n.(n + 1) = (2k + 1)×(2k + 2) = 2×(2k + 1)×(k + 1) chia hết cho 2 (1)

Nếu n + 1 không chia hết cho 2 thì n + 1 = 2k + 1

Suy ra n×(n + 1) = 2k×(2k + 1) chia hết cho 2 (2)

T (1) và (2) ta thấy ngược với giả thuyết

Vậy n×(n + 1) chia hết cho 2

1.1.3.3 Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn

Giả sử tập hữu hạn X = { , ,…., } và T(x) là hàm mệnh đề xác định trong tập X

Ta phải chứng minh mệnh đề: Ɐ x є X, T(x) là đúng bằng phương pháp quy nạp hoàn toàn Ta cần chứng tỏ rằng T( ), T( ),…, T( ) đều là những mệnh đề đúng T đó kết luận mệnh đề trên là đúng [10,191]

Ở đây ta áp dụng quy tắc suy luận tổng quát:

( ) ( ) ( ) * +

( )

Ví dụ 1.36 Chứng minh rằng “Trong 50 số tự nhiên đầu tiên, các số có tận cùng là 5

đều chia hết cho 5”

45 chia hêt cho 5

Vậy trong phạm vi 50 số tự nhiên đầu tiên, các số có tận cùng là 5 đều chia hết cho 5

Ví dụ 1.37 Chứng minh rằng “ Trong 60 số tự nhiên đầu tiên, các số có tận cùng là 2

đều chia hết cho 2”

Vậy trong phạm vi 60 số tự nhiên đầu tiên, các số có tận cùng là 2 đều chia hết cho 2

Ví dụ 1.38 Chứng minh rằng “ Nếu n chia hết cho 3 thì n.(n + 1) chia hết cho 6”

T (1) và (2) suy ra nếu n chia hết cho 3 thì n×(n + 1) chia hết cho 6

Ví dụ 1.39 Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp thì chia hết 4

Bài giải:

Giả sử n là số tự nhiên và T = n×(n + 1)×(n + 2)×(n + 3) Gọi D là tập các số dư của phép chia n cho 4 Vậy D = {0, 1, 2, 3}

- Nếu số dư bằng 0 thì n chia hết cho 4 Suy ra T chia hết cho 4

- Nếu số dư bằng 1 thì (n + 3) chia hết cho 4 Suy ra T chia hết cho 4

- Nếu số dư bằng 2 thì (n + 2) chia hết cho 4 Suy ra T chia hết cho 4

- Nếu số dư bằng 3 thì (n + 1) chia hết cho 4 Suy ra T chia hết cho 4

Vậy T chia hết cho 4 với mọi số tự nhiên

1.1.3.4 Phương pháp chứng minh quy nạp không hoàn toàn

Chứng minh quy nạp không hoàn toàn là phương pháp mà ta đi chứng minh một vài trường hợp riêng để đi đến kết luận chung

Ví dụ 1.40 Chứng minh rằng “Khi chia một số cho 0.5 ta chỉ cần gấp đôi số đó”

Để chứng minh mệnh đề này, ta làm như sau:

Ta rút ra kết luận: Khi chia một số tự nhiên cho 0.5 ta chỉ cần gấp đôi số đó

Ví dụ 1.41 chứng minh rằng Các số có hai chữ số cuối tạo thành một số chia hết cho 4

Ví dụ 1.42 chứng minh rằng Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng đó

không thay đổi

Vậy khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng đó không thay đổi

Ví dụ 1.43 Chứng minh 1 nhân với số nào cũng bằng chính nó

Vậy 1 nhân với số nào cũng bằng chính nó

1.1.4 Vai trò của các phép suy luận và chứng minh trong dạy học toán ở tiểu học

Suy luận và chứng minh có vai trò quan trọng trong dạy học toán ở tiểu học nói

riêng và trong toán học nói chung

Suy luận và chứng minh được xem là một trong những nền tảng xây dựng nên các ngành khoa học tự nhiên T xưa đến nay, nhờ SL và CM mà người ta có thể nhận thức được cái chưa biết t những cái đã biết SL và CM còn là cơ sở của sự sáng tạo

T các phán đoán, đưa đến các chứng minh để chấp nhận hay bác bỏ một vấn đề nào đó.Việc vận dụng các phép SL và CM vào trong dạy học toán ở tiểu học không chỉ giúp HS giải quyết được yêu cầu đặt ra trong mội bài toán mà còn phát triển năng lực

tư duy cho các em Nó còn là công cụ đắc lực để giáo viên có thể truyền thụ các kiến thức mới, để luyện tập mài giũa các kĩ năng toán học cho HS

Nhờ SL và CM, GV có thể rèn luyện cho HS các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tr u tượng hóa… không

những cần thiết cho việc học môn toán ở tiểu học nói riêng mà còn cần thiết cho các môn khoa học khác, trong quá trình hoạt động của các em

Việc vận dụng các phép SL và CM vào dạy học toán ở tiểu học còn giúp HS thấy được nguồn gốc, xuất xứ của các khái niệm, quy tắc, tính chất, con đường hình thành, chứng minh các quy tắc, tính chất đó Để HS thấy được toán học bắt nguồn t thực tế và quay về phục vụ cho thực tế

Đặc điểm tư duy của HS tiểu học là tính cụ thể Các em có tư duy tr u tượng được thì cũng phải dựa trên các ví dụ, những sự vật cụ thể, rõ ràng, dựa trên các kiến thứ sẵn có Vì vậy, nhờ SL và CM mà GV có thể giúp các em tìm ra kiến thức một cách chủ động, tích cực và nắm kiến thức vững vàng, có ý thức, chắc chắn, tránh được tình trạng bắt buộc th a nhận kiến thức một cách hình thức, hời hợt

1.1.5 Đặc điểm tâm lí của học sinh tiểu học

1.1.5.1 Đặc điểm tâm lí của học sinh giai đoạn lớp 1, 2, 3

1.1.5.1.1 Tri giác

Tri giác của trẻ giai đoạn lớp 1, 2, 3 thường mang tính đại thể, ít đi vào chi tiết

và mang tính không ổn định Do đó các em phân biệt các đối tượng chưa chính xác, dễ mắc sai lầm và có khi còn lẫn lộn Học sinh lứa tuổi này tri giác còn yếu nên thường thâu tóm sự vật về toàn bộ, về đại thể để tri giác Tri giác của các em thường gắn với hoạt động trực quan Vì vậy, những hoạt động mới, mang màu sắc hấp dẫn và có tính chất đặc biệt, khác lạ so với bình thường sẽ kích thích sự cảm nhận và tri giác tích cực

1.1.5.1.3 Trí nhớ

Trẻ ở giai đoạn lớp 1, 2, 3 thì loại ghi nhớ trực quan hình tượng chiếm ưu thế Ghi nhớ máy móc phát triển tương đối tốt và chiếm ưu thế hơn ghi nhớ có ý nghĩa Trẻ

chưa biết cách tổ chức ghi nhớ, chưa biết dựa vào điểm tựa để ghi nhớ, chưa biết cách khái quát hóa hay xây dựng dàn bài để ghi nhớ tài liệu Vì thế giáo viên cần khái quát hóa và đơn giản mọi vấn đề, các t ngữ diễn đạt nội dung cần ghi nhớ phải đơn giản,

dễ hiểu, dễ nắm bắt và đặc biệt phải tạo cho các em tâm lý hứng thú, vui vẻ khi ghi nhớ kiến thức

1.1.5.1.4 Tư duy

Ở giai đoạn lớp 1, 2, 3 thì tư duy trực quan hành động chiếm ưu thế Trẻ học chủ yếu bằng phương pháp phân tích, so sánh, đối chiếu dựa trên các đối tượng hoặc những hình ảnh trực quan Những khái quát của trẻ về sự vật hiện tượng ở giai đoạn này chủ yếu dựa vào những dấu hiệu cụ thể nằm trên bề mặt của đối tượng hoặc những dấu hiệu thuộc công dụng và chức năng Tư duy còn chịu ảnh hưởng nhiều bởi yếu tố

tổng thể Tư duy phân tích bằng đầu hình thành nhưng còn yếu

1.1.5.1.5 Tưởng tượng

Tưởng tượng của học sinh giai đoạn lớp 1, 2, 3 đã phát triển phong phú hơn so với trẻ mầm non nhờ có bộ não phát triển và vốn kinh nghiệm ngày càng dày dặn Nó được hình thành trong hoạt động học và các hoạt động khác của các em Tuy nhiên, tưởng tượng của các em còn đơn giản, ít có tổ chức, hình ảnh còn chưa bền, dễ thay đổi.Vì vậy, để phát triển trí tưởng tượng của học sinh, giáo viên cần biến các kiến thức khô khan thành những hình ảnh có cảm xúc, tổ chức dạy học sinh động, phù hợp để phát huy năng lực các em một cách tốt nhất

1.1.5.1.6 Ngôn ngữ

Trong giai đoạn lớp 1, 2, 3 thì ngôn ngữ nói đã thành thạo Khi trẻ mới vào lớp

1 bắt đầu xuất hiện ngôn ngữ viết Nhờ có ngôn ngữ mà trẻ có khả năng tự học, tự đọc,

tự nhận thức thế giới xung quanh,…Nhờ có ngôn ngữ mà cảm giác, tri giác, tư duy, tưởng tượng của trẻ phát triển dễ dàng và được thể hiện cụ thể thông qua ngôn ngữ nói

và viết của trẻ

1.1.5.2 Đặc điểm tâm lí của học sinh giai đoạn lớp 4, 5

1.1.5.2.1 Tri giác

Tri giác của học sinh ở giai đoạn lớp 4, 5 đã có sự ổn định So với giai đoạn lớp

1, 2, 3 thì giai đoạn lớp 4, 5 tri giác của học sinh bắt đầu mang tính xúc cảm, trẻ thích quan sát các sự vật, hiện tượng có màu sắc sặc sỡ, hấp dẫn Tri giác của trẻ đã mang tính có mục đích, có phương hướng rõ ràng Tri giác có chủ định phát triển Trẻ biết

lập kế hoạch học tập, biết sắp xếp công việc nhà, biết làm các bài tập t dễ đến khó Nhận thấy điều này, chúng ta cần phải thu hút trẻ bằng các hoạt động mới, mang màu sắc, tính chất đặc biệt khác lạ so với bình thường, khi đó sẽ kích thích trẻ cảm nhận, tri giác tích cực và chính xác

1.1.5.2.2 Chú ý

Ở giai đoạn này, học sinh dần hình thành kĩ năng tổ chức, điều chỉnh chú ý của mình Chú ý có chủ định phát triển dần và chiếm ưu thế Ở các em đã có nỗ lực về ý chí trong hoạt động học tập như học thuộc một bài thơ, một công thức toán học hay một bài hát dài…Trong sự chú ý của trẻ đã bắt đầu xuất hiện giới hạn của yếu tố thời gian, trẻ đã định lượng được khoảng thời gian cho phép để làm một việc nào đó và cố gắng hoàn thành công việc trong khoảng thời gian quy định

Biết được điều này các nhà giáo dục nên giao cho trẻ những công việc hay bài tập đòi hỏi sự chú ý của trẻ và nên giới hạn về mặt thời gian Chú ý áp dụng linh động

và chú ý đến tính cá thể của trẻ, điều này là vô cùng quan trọng và ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả học tập của trẻ

1.1.5.2.3 Trí nhớ

Giai đoạn lớp 4, 5 nhiều học sinh đã biết dựa vào các điểm tựa để ghi nhớ cũng như biết cách khái quát hóa hay xây dựng dàn bài để ghi nhớ tài liệu, ghi nhớ có ý nghĩa và ghi nhớ t ngữ được tăng cường Ghi nhớ có chủ định đã phát triển Tuy nhiên, hiệu quả của việc ghi nhớ có chủ định còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố như mức

độ tích cực tập trung trí tuệ của các em, sức hấp dẫn của nội dung tài liệu, yếu tố tâm lí tình cảm hay hứng thú của các em…

Nắm được điều này, các nhà giáo dục phải giúp các em biết cách khái quát hóa được vấn đề cần ghi nhớ, tạo không khí vui vẻ, hứng thú khi ghi nhớ kiến thức

1.1.5.2.4 Tư duy

Tư duy của học sinh chuyển dần t tính cụ thể sang tư duy tr u tượng khái quát Khả năng khái quát hóa phát triển dần theo lứa tuổi Lớp 4, 5 bắt đầu biết khái quát hóa lí luận Trẻ đã nắm được mối quan hệ của các khái niệm Cuối giai đoạn này, tư duy ngôn ngữ bắt đầu hình thành Tuy nhiên, hoạt động phân tích, tổng hợp kiến thức còn sơ đẳng ở phần lớn học sinh tiểu học

1.1.5.2.5 Tưởng tượng

Trong giai đoạn này, tưởng tượng của trẻ đã phát triển phong phú hơn Tưởng tượng tái tạo đã bắt đầu hoàn thiện, t những hình hành cũ trẻ đã tạo ra những hình ảnh mới Tưởng tượng sáng tạo tương đối phát triển ở cuối tiểu học, trẻ bắt đầu phát triển khả năng làm thơ, làm văn, vẽ tranh… Đặc biệt, tưởng tượng của các em trong giai đoạn này bị chi phối mạnh mẽ bởi các xúc cảm, tình cảm, những hình ảnh, sự việc, hiện tượng đều gắn liền với các rung động tình cảm của các em

Chính vì vậy, nhà giáo dục phải phát triển tư duy và tưởng tượng của các em bằng cách biến các kiến thức khô khan thành những hình ảnh có cảm xúc, đặt ra cho các em những câu hỏi mang tính gợi mở, thu hút các em vào các hoạt động nhóm, hoạt động tập thể để các em có cơ hội phát triển quá trình nhận thức lí tính của mình một cách toàn diện

1.1.5.2.6 Ngôn ngữ

Hầu hết học sinh tiểu học có ngôn ngữ nói thành thạo Đến lớp 4, 5 thì ngôn ngữ viết đã thành thạo và bắt đầu hoàn thiện về mặt ngữ pháp, chính tả và ngữ âm Nhờ có ngôn ngữ phát triển mà trẻ có khả năng tự học, tự đọc, tự nhận thức thế giới xung quanh và tự khám phá bản thân thông qua các kênh thông tin khác nhau

Ngôn ngữ có vai trò rất quan trọng trong quá trình nhận thức cảm tính và lí tính của trẻ Thông qua ngôn ngữ của trẻ ta có thể đánh giá được sự phát triển trí tuệ của trẻ Vì vậy, các nhà giáo dục phải trau dồi vốn ngôn ngữ cho trẻ trong giai đoạn này bằng cách hướng hứng thú của trẻ vào các loại sách báo có lời và không lời Đồng thời cũng có thể kể cho trẻ nghe hoặc tổ chức các cuộc thi kể chuyện, làm thơ, viết báo Tất cả đều giúp trẻ có một vốn ngôn ngữ phong phú và đa dạng

1.2 Cơ sở thực tiễn của việc vận dụng các phép suy luận và chứng minh vào dạy học chủ đề số tự nhiên cho học sinh tiểu học

1.2.1 Vị trí, vai trò của chủ đề số tự nhiên trong chương trình môn Toán Tiểu học

Số tự nhiên là một thành tựu Toán học lâu đời nhất của loài người Ngày nay,

số tự nhiên được sử dụng ở mọi lúc, mọi nơi của đời sống xã hội Do đó việc dạy học

số tự nhiên có vai trò quan trọng trong dạy học Toán ở tiểu học

Trong chương trình Toán tiểu học, dạy học số tự nhiên là một trong những nội dung trọng tâm, nó xuyên suốt t buổi đầu lớp 1 đến hết cấp tiểu học Số tự nhiên góp

phần chủ yếu vào việc hình thành và phát triển kĩ năng tính toán, một trong những kĩ năng cơ bản của người lao động trong thế kỉ XXI

Dạy học số tự nhiên chiếm thời lượng lớn trong dạy học toán ở tiểu học Đặc biệt ở những lớp đầu cấp tiểu học, số tự nhiên chiếm gần 70% trong tổng thời lượng toán tiểu học

Số tự nhiên còn là hạt nhân của nội dung toán tiểu học, việc dạy học các mạch nội dung khác (đại lượng và đo dại lượng, yếu tố hình học, giải toán có lời văn) về cơ bản phải dựa vào kết quả của số tự nhiên Chẳng hạn:

- HS biết đọc, viết, cộng tr trên các số tự nhiên trong phạm vi 100 là cơ sở để các em có thể giải tốt các bài toán có lời văn về nhiều hơn, ít hơn ở lớp 1

- HS biết thực hiện các phép toán trên số tự nhiên là nền tảng để các em có thể tính được chu vi, diện tích các hình cơ bản

- Đặc biệt ngay trong mạch số học, HS nắm được các kiến thức về số tự nhiên

là cơ sở để các em có thể học và làm tính tốt trên 2 loại số mới: số thập phân, phân số

Kiến thức của các mạch nội dung khác được sắp xếp gắn bó với các kiến thức thích hợp của số tự nhiên, tạo ra sự hỗ trợ nhau trong t ng bài học, trong t ng chương,

t ng mục

Ngoài ra, HS hiểu được các kiến thức về số tự nhiên sẽ giúp các em học tốt các môn khác như lịch sử, địa lí, tin học Chẳng hạn: Các em có thể đọc và phân tích được các số liệu trong địa lí (diện tích, dân số, lượng mưa, nhiệt độ…)

1.2.2 Mục tiêu và nội dung dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học

1.2.2.1 Mục tiêu dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học

Lớp 1:

- Biết đếm các số đến 100 (đếm t 1 đến 100, đếm theo t ng chục)

- Biết đọc, viết, so sánh, sắp thứ tự các số trong phạm vi 100

- Biết cộng, tr trong phạm vi 10 Biết cộng và tr không nhớ trong phạm vi 100

- Biết tính nhẩm và tính viết trong phạm vi 100

- Biết tính giá trị của biểu thức có đến 2 phép tính cộng tr

Lớp 2:

- Biết thực hiện phép tính cộng, tr có nhớ trong phạm vi 100

- Nhận biết về phép nhân, phép chia và bảng nhân, bảng chia 2, 3, 4, 5

- Biết tên gọi và mối quan hệ giữa thành phần và kết quả của t ng phép tính

- Biết mối quan hệ về phép cộng và phép tr , phép cộng và phép nhân,…

- Biết đọc, viết, so sánh các số có 3 chữ số

- Biết cộng, tr các số có đến 3 chữ số, không nhớ Tính nhẩm và tính viết

- Biết tính giá trị của biểu thức có đến 2 dấu phép tính cộng, tr hoặc nhân, chia

- Nhận biết các thành phần bằng nhau của đơn vị

- Biết nhân, chia ngoài bảng trong phạm vi 1000, nhân số 2, 3 chữ số với số có 1 chữ

số có nhớ không quá 1 lần, chia số có 2, 3 chữ số cho số có 1 chữ số

- Biết đọc, viết, so sánh các số trong phạm vi 100 000

- Biết cộng, tr có nhớ không liên tiếp và không quá 2 lần, trong phạm vi 100 000

- Biết đặt và làm tính nhân số có 5 chữ số với số có 1 chữ số có nhớ không quá 2 lần

và không liên tiếp; chia số có 5 chữ số cho số có 1 chữ số

- Biết tính giá trị của biểu thức có đến 3 dấu phép tính, có hoặc không có dấu ngoặc

Lớp 4:

- Nhận biết một số đặc điểm chủ yếu của dãy số tự nhiên

- Biết đọc, viết, so sánh, sắp thứ tự các số tự nhiên

- Biết cộng, tr các số tự nhiên; nhân số tự nhiên với số tự nhiên có ba chữ số; chia số

tự nhiên có đến sáu chữ số cho số tự nhiên có đến ba chữ số

- Biết tính giá trị của biểu thức số có đến ba dấu phép tính (có hoặc không có dấu ngoặc) và biểu thức có chứa một, hai, ba chữ số dạng đơn giản

- Biết vận dụng tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng và phép nhân, tính chất nhân một tổng với một số để tính bằng cách thuận tiện nhất

- Biết tính nhẩm trong phạm vi các bảng tính, nhân với 10, 100, 1000,…Chia cho 10,

100, 1000,…Nhân số có hai chữ số với 11

- Nhận biết dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9,…

1.2.2.2 Nội dung dạy học chủ đề số tự nhiên ở tiểu học

Bảng 2: Nội dung dạy học số tự nhiên

LỚP NỘI DUNG DẠY HỌC SỐ TỰ NHIÊN

Lớp 1 Các số đến 10 Phép cộng và phép tr trong phạm vi 10

- Nhận biết quan hệ số lượng (nhiều hơn, ít hơn, bằng nhau)

- Đọc, đếm, viết, so sánh các số đến 10

- Sử dụng các dấu = (bằng), < (bé hơn), > (lớn hơn)

- Bước đầu giới thiệu khái niệm về phép cộng

- Bước đầu giới thiệu khái niệm về phép tr - Bảng cộng và bảng tr trong phạm vi 10

- Số 0 trong phép cộng, phép tr

- Mối quan hệ giữa phép cộng và phép tr

- Tính giá trị biểu thức số có đến dấu hai phép tính cộng, tr

Các số đến 100 Phép cộng và phép tr không nhớ trong phạm vi

100

- Đọc, đếm, viết, so sánh các số đến 100 Giới thiệu hàng chục, hàng đơn

vị Giới thiệu tia số

- Phép cộng và phép tr không nhớ trong phạm vi 100 Tính nhẩm và tính viết trong trong phạm vi 100

- Tính giá trị biểu thức số có đến hai phép tính cộng, tr (các trường hợp đơn giản)

- Tính giá trị biểu thức số có đến hai dấu phép tính cộng, tr

- Giải bài tập dạng: “Tìm x biết: a + x = b, x – a = b, a – x = b (với a, b là các số có đến 2 chữ số)” bằng sử dụng mối quan hệ giữa thành phần và kết quả của phép tính

Các số đến 1000 Phép cộng và phép tr trong phạm vi 1000