Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính: 1. Các kiến thức vận dụng: Tính chất của phép cộng , phép nhân Các phép toán về lũy thừa: an = ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a 0, m n) (am)n = am.n ; ( a.b)n = an .bn ; 2 . Một số bài toán : Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +…. + n , 1+ 3 + 5 +…. + (2n 1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) Với n là số tự nhiên khác không. HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) = 1.2.(3 0) + 2.3.(4 1) + 3.4(5 – 2) + …..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1)) : 3 = 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2) : 3 = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) = 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 1) + 3.4.5.(6 2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n1)): 4 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4 Tổng quát: Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +…..+ an b) Tính tổng : A = với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an1 = k HD: a) S = 1+ a + a2 +…..+ an aS = a + a2 +…..+ an + an+1 Ta có : aS – S = an+1 – 1 ( a – 1) S = an+1 – 1 Nếu a = 1 S = n Nếu a khác 1 , suy ra S = b) Áp dụng với b – a = k Ta có : A = = = Bài 3 : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + …. + n2 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + …..+ n3 HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6 b) 13 + 23 + 33 + …..+ n3 = ( n(n+1):2)2 Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) A = b) HD : A = ; B = Bài 4: 1, Tính: P = 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 Bài 5: a) TÝnh b) Cho Chøng minh r»ng . Bài 6: a) Tính : b) TÝnh HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = …. = c) Bài 7: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: b) Chøng tá r»ng: Bài 8: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: b) Chøng minh r»ng tæng: Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: 1. Kiến thức vận dụng : Nếu thì với gt các tỉ số dều có nghĩa Có = k Thì a = bk, c = d k, e = fk 2. Bài tập vận dụng Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: HD: Từ suy ra khi đó = Bài 2: Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng: =

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7

PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính:

n n n

= n(n+ 1)(n+2) :3

1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)

= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4

5 11

5 5 , 0 625 , 0

12

3 11

3 3 , 0 375 , 0 25 , 1 3

5 5 , 2

75 , 0 1 5 ,

−

+ +

− +

− +

− +

1

3

1 3

1 3

1 3

1 12 : 3

10 10

3 1

4

3 46 25

1 230 6

5 10 27

5 2 4

1 13

4 3 2 1

) 6 , 3 21 2 , 1 63 ( 9

1 7

1 3

1 2

1 ) 100 99

3 2 1 (

− + +

− +

31 93

14 1 3

1 5 12 6

1 6

5 4

19

2 3

1 6 15 7

3 4 31

11 1

1

3

1 3

1 2

4

3 125 505

, 4 3

4 4 : 624 , 81

2

2 2

1 2

1

2

1 2

1

2

1 2

1 2

1

2004 2002

4 2 4 6

( 2012 ) ( 2012 )

+ +

HD: Ta có (a + 2012b)2 = a 2 + 2.2012.ab + 2012 2 b 2 = a 2 + 2.2012.ab + 2012 2 ac

= a( a + 2.2012.b + 20122 c)

(b + 2012c)2 = b 2 + 2.2012.bc + 2012 2 c 2 = ac+ 2.2012.bc + 2012 2 c 2

= c( a + 2.2012.b + 20122 c)

( 2012 ) ( 2012 )

+ +

Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu

d

c b

a = th×

d c

d c b a

b a

3 5

3 5 3 5

3 5

−

+

=

− +

d c b a

b a

3 5

3 5 3 5

3 5

−

+

=

− +

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

a = Chøng minh r»ng:

22 22

d c

b a cd

b a d c

b a

HD : Xuất phát từ

d

c b

a = biến đổi theo các

d c b a b

d c b a a

d c b

2 + + + = + + + = + + + = + + +

TÝnh

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

+

+ + +

+ + +

+ + +

d c b a b

d c b a a

d c b

⇒

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a

M

+

+ + +

+ + +

+ + +

+

Nếu a + b + c + d ≠0 ⇒ a = b = c = d ⇒

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

+

+ + +

+ + +

+ + +

z c

b a

y c

b a

= +

Th×

z y x

c z

y x

b z

y x

= +

b) Cho:

d

c c

b b

a = =

Chøng minh:

d

a d c b

c b

+

HD : a) Từ

c b a

z c

b a

y c

b a

= +

x t y x

t z x t

z y t z

y x P

+

+ + +

+ + +

+ + +

Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : y z x+ −x = z x y+ −y = x y z+ −z

Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 x 1 y 1 z

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

+

+ + +

+ + +

+ + +

Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết :

z z

x

y y

z

x

+ +

=

− +

= + +

= +

Bài 7 : T×m x, y, z biÕt

216

3 64

3 8

- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

- Tính chất về giá trị tuyệt đối : A ≥ 0 với mọi A ; , 0

, 0

A A A

A A

≥



= − <

- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

A+ B ≥ +A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB ≥0; A B− ≥ A− B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0

- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n ≥ 0 với mọi A ; - A2n ≤0 với mọi A

Am = An ⇔m = n; An = Bn ⇒ A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = ± B ( nếu n chẵn)

Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị

đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)

Bài 1 : Tìm x biết :

a) x− 2011 = −x 2012 b) x− 2010 + −x 2011 2012 =

Nếu x ≤ 2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 ⇒x = 2009 :2 (lấy)

Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại) Nếu x ≥ 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012 ⇒ x = 6033:2(lấy)

Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2

Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối

Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết :x− + − + − + − = 1 x 3 x 5 x 7 8

HD : ta có x− 2006y ≥ 0với mọi x,y và x− 2012 ≥ 0 với mọi x

Suy ra : x− 2006y + −x 2012 ≥ 0 với mọi x,y mà x− 2006y + −x 2012 ≤ 0

Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ

Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :

+ Nếu m – n ≥ 2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà

VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9

x x

- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương

- Tính chất chia hết của một tổng , một tích

- ƯCLN, BCNN của các số

2 Bài tập vận dụng :

* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức

Bài 1: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000

Do p nguyên tố nên 2013 −q2 M 25 2 và 2013 – q2 > 0 từ đó tìm được q

Bài 5 : T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng n sao cho: 2n− 1 chia hÕt cho 7

HD : Với n < 3 thì 2n không chia hết cho 7

Với n ≥ 3 khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ( k N∈ *)

Xét n = 3k , khi đó 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A M 7

Xét n = 3k +1 khi đó 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 khôngchia hết cho 7

Xét n = 3k+2 khi đó 2n – 1 = 23k +2 -1 = 4.83k – 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 khôngchia hết cho 7 Vậy n = 3k với *

A =

3

2 1

+ +

HD : 2012 5

1006 1

x x

+ + ⇒2009 1006M x+1 ⇒x là số CP

Với x >1 và x là số CP thì 1006 x+ > 1 2012 2009 > suy ra 2009 không chia hết cho 1006 x+ 1

Với x = 1 thay vào không thỏa mãn

Với x = 0 thì 2009 :1006 x+ = 1 2009

Chuyên đề 5 : Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1.Các kiến thức vận dụng :

* a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2 ≥ 0 với mọi a,b

* a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2 ≥ 0 với mọi a,b

*A 2n ≥ 0 với mọi A, - A 2n ≤ 0 với mọi A

* A ≥ ∀ 0, A , − A ≤ ∀ 0, A

* A + B ≥ +A B, ∀A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B ≥ 0

* A − B ≤ −A B, ∀A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B ≥ 0

2 Bài tập vận dụng:

* Dạng vận dụng đẳng thức : a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2 ≥ 0 với mọi a,b

Và a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2 ≥ 0 với mọi a,b

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:

− khi x =

2

b a

Vậy Max B = 1 khi x = 1

Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

2013 2011

a a

+ +

* Dạng vận dụng A 2n ≥ 0 với mọi A, - A 2n ≤ 0 với mọi A

Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức :

8 7

8 7

A+ B ≥ +A B , ∀A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B ≥ 0

A− B ≤ −A B, ∀A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B ≥ 0

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) A = ( x – 2)2 + y x− + 3

b) B = 2012− −2011x 2010HD: a) ta có 2

(x− 2) ≥ 0 với mọi x và y x− ≥ 0 với mọi x,y ⇒ A ≥ 3 với mọi x,y

Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi

2

2 0

Suy ra B = (x− 2010 + 2012 −x) + −x 2011 ≥2 Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và (2)

xẩy ra dấu “=” hay ( 2010)(2012 ) 0 2011

2011 0

x x

HD : + Nếu m + n chia hết cho p ⇒ p mM ( − 1) do p là số nguyờn tố và m, n ∈ N*

Bài 4: a) Số A= 10 1998 − 4 có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?

b) Chứng minh rằng: A= 36 38 + 41 33 chia hết cho 7

a) Chứng minh rằng: 3n+ 2 − 2n+ 4 + 3n + 2n chia hết cho 30 với mọi n nguyên dơng

b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 nếu a - 11b + 3c  17 (a, b, c ∈ Z)

Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 3a+ 2b 17 ⇔ 10a+b 17 (a, b ∈ Z )

b) Cho đa thức f(x) =ax2 +bx+c (a, b, c nguyên)

CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3

HD a) ta cú 17a – 34 b M 17 và 3a + 2b M 17 ⇒ 17a− 34b+ 3a+ 2 17bM ⇔ 2(10a− 16 ) 17b M

⇔ 10a− 16 17bM vỡ (2, 7) = 1 ⇔ 10a+ 17b− 16 17bM ⇔ 10a b+ M 17

b) Ta cú f(0) = c do f(0) M 3 ⇒cM 3

f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , do f(1) và f(-1) chia hếtcho 3 ⇒ 2 3bM ⇒bM 3 vỡ ( 2, 3) = 1

b) Cho 2n + 1 là số nguyên tố (n > 2) Chứng minh 2n − 1 là hợp số

HD : b) ta cú (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) Do 4n- 1 chia hờt cho 3 và 2n + 1 là

số nguyên tố (n > 2) suy ra 2n -1 chia hết cho 3 hay 2n -1 là hợp số

c c b

b b a

a M

+

+ +

+ +

Vậy 1 < M < 2 nên M không là số nguyên

Bài 2 Chứng minh rằng : a b+ ≥ 2 ab (1) , a b c+ + ≥ 3 3 abc (2) với a, b, c ≥ 0

HD : a b+ ≥ 2 ab ⇔ + (a b) 2 ≥ 4ab⇔a2 + 2ab b+ ≥ 2 4ab⇔a2 − 2ab b+ ≥ ⇔ − 2 0 (a b) 2 ≥ 0(*)

Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng

Bài 3 : Với a, b, c là các số dương Chứng minh rằng

Dấu “ =” xẩy ra khi a = b

2

+ +

+ + +

+ +

z x

z y

y z

y x x

b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0 Chøng minh r»ng: ab+bc+ca≤ 0

⇒ ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)

Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2 ≤ 0

Bài 3 Cho ®a thøc f(x) =ax2 +bx+c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2)

cã gi¸ trÞ nguyªn Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn

Bài 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:

- Tớnh chất đại lượng tỉ lệ thuận :

Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi :

y = k.x ⇔ 1 2 3

n n

- Đọc kỹ đề bài , từ đú xỏc định cỏc đại lượng trong bài toỏn

- Chỉ ra cỏc đại lượng đó biết , đại lượng cần tỡm

- Chỉ rừ mối quan hệ giữa cỏc đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch)

- Áp dụng tớnh chất về đại lượng tỉ lệ và tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau để giải

Bài 1 : Một vật chuyển động trờn cỏc cạnh hỡnh vuụng Trờn hai cạnh đầu vật

chuyển động với vận tốc 5m/s, trờn cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trờn cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuụng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trờnbốn cạnh là 59 giõy

Bài 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A

trồng đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5 cây, Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều nh nhau

Bài 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi đợc nửa quãng

Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.

Bài 4 : Trên quãng đờng AB dài 31,5 km An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A Vận

tốc An so với Bình là 2: 3 Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4

Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?

Bài 5 : Ba đội cụng nhõn làm 3 cụng việc cú khối lượng như nhau Thời gian hoàn

thành cụng việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày Biờt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ

là 2 người và năng suất của mỗi cụng nhõn là bằng nhau Hỏi mỗi đội cú bao nhiờucụng nhõn ?

Bài 6 : Ba ụ tụ cựng khởi hành đi từ A về phớa B Vận tốc ụ tụ thứ nhất kộm ụ tụ thứ

hai là 3 Km/h Biết thơi gian ụ tụ thứ nhất, thứ hai và thứ ba đi hết quóng đường ABlần lượt là : 40 phỳt, 5

8 giờ , 5

9 giờ Tớnh vận tốc mỗi ụ tụ ?

PHẦN HèNH HỌC

I Một số phương phỏp chứng minh hỡnh hoc

1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:

P 2 : - Chứng minh hai tam giỏc bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đú

- Chứng minh hai đoạn thẳng đú là hai cạnh bờn của một tam giỏc cõn

- Dựa vào tớnh chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng

- Dựa vào định lớ Py-ta- go để tớnh độ dài đoạn thẳng

2.Chứng minh hai gúc bằng nhau:

P 2 : - Chứng minh hai tam giỏc bằng nhau chứa hai gúc đú

- Chứng minh hai gúc đú là hai gúc ở đỏy của một tam giỏc cõn

- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai gúc đú là cặp gúc so le trong ,đồng vị

- Dựa vào tớnh chất đường phõn giỏc của tam giỏc

3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng:

P 2 : - Dựa vào số đo của gúc bẹt ( Hai tia đối nhau)

- Hai đường thẳng cựng vuụng gúc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm

- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3

- Dựa vào tớnh chất 3 đường trung tuyến, phõn giỏc, trung trực, đường cao

4 Chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc

P 2 : - Tớnh chất của tam giỏc vuụng, định lớ Py – ta – go đảo

- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuụng gúc

- Tớnh chất 3 đường trung trực, ba đường cao

5 Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm )

P 2 : - Dựa vào tớnh chất của cỏc đường trong tam giỏc

6 So sỏnh hai đoạn thẳng, hai gúc :

P 2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai gúc vào một tam giỏc từ đú vận định lớ về quan

hệ giữa cạnh và gúc đối diện trong một tam giỏc , BĐT tam giỏc

- Dựa vào định lớ về quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh chiếu, đường xiờn

Cú : ãBAE= 90 0 +BAC DACã = ã

* Gọi I là giao điểm của AB và CD

Từ bài 1 ta thấy : DC = BE và DC ⊥BE khi ∆ABD và ∆ ACE vuụng cõn, vậy nếu cú

∆ABD và ∆ ACE vuụng cõn , Từ B kẻ BK ⊥CD tại D thỡ ba điểm E, K, B thẳng hàng

Ta cú bài toỏn 1.2

Bài 1 1: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Từ B kẻ BK ⊥CD tại K Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng

HD : Từ bài 1 chứng minh được DC ⊥BE mà BK ⊥CD tại K suy ra ba điểm E, K, B thẳng hàng

Phõn tớch tỡm hướng giải

HD: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC

Để CM MA ⊥BC ⇒ ta cần CM ∆AHC vuụng tại H

⇒ EAD ADNã + ã = 180 0( cặp gúc trong cựng phớa) mà ãEAD BAC+ã = 180 0 ⇒ ãBAC=ãADN

Xột ∆ABC và ∆DNA cú : AB = AD (gt) , AC = DN và ãBAC=ãADN ( chứng minh trờn ) ⇒∆ABC = ∆DNA (c.g.c) ⇒ Nả1 =ãACB

Xột ∆AHC và ∆DQN cú : AC = DN , ãBAC=ãADN và Nả1 =ãACB

⇒ ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ⇒ ∆AHC vuụng tại H hay MA ⊥BC

* Khai thỏc bài toỏn 1.3

+ Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thỡ tia MA⊥BC , ngược lại

nếu AH ⊥BC tại H thỡ tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta cú bài toỏn 1.4

Bài 1.3 : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE

HD : Từ bài 1.2 ta cú định hướng giải như sau:

Kẻ DQ ⊥ AM tại Q, ER⊥AM tại R

Ta cú : + DAQ HBHã =ã ( Cựng phụ ãBAH )

AD = AB (gt) ⇒ ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn)

⇒ DQ = AH (1)

+ãACH =ãEAR ( cựng phụ ãCAH )

AC = AE (gt) ⇒ ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn)

⇒ER = AH ( 1) Từ (1) và (2) ⇒ ER = DQ

Lại cú Mả 1 =Mả 2 ( hai gúc đối đỉnh )

⇒ ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) ⇒MD = ME hay M là trung

điểm của DE

+ Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thỡ tia MA⊥DE , ngược lại

nếu H là trung điểm của BC thỡ tia KA sẽ vuụng gúc với DE, ta cú bài toỏn 1.4

Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi H trung điểm của

BC

Chứng minh rằng tia HA vuụng gúc với DE

HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toỏn 1.4

Trờn tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’

Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g)

⇒ A’B = AC ( = AE) và HAC HA Bã = ã '

⇒ AC // A’B ⇒ ãBAC ABA+ ã ' 180 = 0 ( cặp gúc trong cựng phớa)

Mà DAE BACã +ã = 180 0 ⇒DAEã =ãABA'

Xột ∆DAE và ∆ABA’ cú : AE = A’B , AD = AB (gt)

DAE=ABA ⇒∆DAE = ∆ABA’(c.g.c)

⇒ ãADE B= ã AA' mà ãADE B+ãAA ' 90 = 0 ⇒ãADE MDA+ã = 90 0

Suy ra HA vuụng gúc với DE

Bài 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia

đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D

và E cắt AB, AC lần lợt ở M, N Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN

c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay

đổi trên cạnh BC

b) Để Cm Đờng thẳng BC cắt MN tại trung

Từ bài 2 ta thấy BM = CN , vậy ta cú thể phỏt biểu lại bài toỏn như sau:

Bài 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia

AC lấy điểm N sao cho BM = CN Đường thẳng BC cắt MN tại I

Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của MN

b) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi

Bài 3 : Cho ∆ABC vuụng tại A, K là trung điểm của cạnh BC Qua K kẻ đường

thẳng vuụng gúc với AK , đường thẳng này cắt cỏc đường thẳng AB và AC lần lượt ở

D và E Gọi I là trung điểm của DE

a) Chứng minh rằng : AI ⊥ BC