Bài tiểu luận quan hệ hai ngôi trong toán phổ thông và tính chất của chúng

Ngô Đình Quốc, thầy đã giảng dạy tận tình, đưa ra được nhiều vấn đềtrong Tốn học phổ thơng cho học viên tìm hiểu, giúp em có được cách tiếp cậnrõ ràng hơn về toán học phổ thông và một số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

ĐẮK LẮK, tháng 4 năm 2015

Báo cáo tiểu luận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

T.S Ngô Đình Quốc

Báo cáo tiểu luận

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày bài tiểu luận này, em xin phép được gửi lời cảm ơn đếnthầy TS Ngô Đình Quốc, thầy đã giảng dạy tận tình, đưa ra được nhiều vấn đềtrong Toán học phổ thông cho học viên tìm hiểu, giúp em có được cách tiếp cận

rõ ràng hơn về toán học phổ thông và một số kĩ năng về thực hiện một bài tiểuluận

Tuy đã cố gắng hoàn thành bài tiểu luận này nhưng không thể tránh khỏinhững thiếu xót, em mong nhận được sự chỉ dạy và phản hồi của thầy để bài tiểuluận của em hoàn chỉnh hơn

Đắk Lắk, tháng 4, năm 2015

Học viên

Trương Văn Đại

Báo cáo tiểu luận

MỤC LỤC

1 Đặt vấn đề 1

2 Mục đích 1

3 Ý nghĩa 2

4 Nội dung 2

1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ 3 1.1 Tập hợp 3

1.1.1 Khái niệm tập hợp 3

1.1.2 Định nghĩa 3

1.2 Quan hệ bao hàm 4

1.2.1 Định nghĩa 4

1.2.2 Mệnh đề 4

1.3 Các phép toán trên các tập hợp 4

1.3.1 Định nghĩa 4

Báo cáo tiểu luận

1.3.3 Định nghĩa 6

1.4 Quan hệ hai ngôi 6

1.4.1 Quan hệ hai ngôi 6

1.4.2 Quan hệ tương đương 6

1.4.3 Quan hệ thứ tự 7

2 CÁC QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG 9 2.1 Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên trong chương trình toán Lớp 6: 9

2.1.1 Định nghĩa 9

2.1.2 Tính chất 9

2.2 Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trong chương trình toán Lớp 6: 10 2.2.1 Định nghĩa 1 10

2.2.2 Định nghĩa 2 10

2.2.3 Định nghĩa 3 10

2.2.4 Tính chất 11

2.3 Quan hệ đồng dư của 2 số tự nhiên trong chương trình toán Lớp 7(nâng cao): 12

2.3.1 Định nghĩa 1 12

2.3.2 Định nghĩa 2 12

2.3.3 Tính chất 12

2.4 Quan hệ 00 ≤00 trong tập số hữu tỉ chương trình toán lớp 7: 13

2.4.1 Định nghĩa 13

2.4.2 Tính chất 13

Báo cáo tiểu luận

3.1 Ví dụ 1: 15

3.2 Ví dụ 2: 16

3.3 Ví dụ 3: 16

3.4 Ví dụ 4: 17

Báo cáo tiểu luận

MỞ ĐẦU

1 Đặt vấn đề

Trong học kỳ I của năm học 2014-2015 chúng tôi được học và tiếp xúc vớigiáo trình “ Những vấn đề hiện đại trong toán học phổ thông” do TS NgôĐình Quốc giảng dạy và biên soạn Được sự hướng dẫn, giúp đỡ và giới thiệu củaThầy tôi được tìm hiểu về nhiều vấn đề trong toán học phổ thông một lĩnh vựctoán mà bản thân tôi đang trực tiếp giảng dạy

Nhằm mục đích tìm hiểu, trang bị thêm kiến thức và dùng làm tài liệu đểtham khảo cho công tác giảng dạy sau này, tôi lựu chọn một vấn đề trong giáotrình mà Thầy Ngô Đình Quốc đã giới thiệu trong giáo trình để làm tiểu luận

Đó là lí do tôi chọn làm tiểu luận về "Các quan hệ hai ngôi trong toán phổthông và tính chất của chúng"

2 Mục đích

Chỉ ra các quan hệ hai ngôi trong toán phổ thông, nghiên cứu vềnhững tính chất của chúng và đưa ra một số ví dụ ứng dụng của cácquan hệ hai ngôi

Báo cáo tiểu luận

Ta thường gọi tắt tập hợp là “tập”.

Để chỉ phần tử a thuộc tập A ta viết a ∈ A; trái lại để chỉ phần tử akhông thuộc tập A ta viết a / ∈ A Tập không có phần tử nào gọi là tậprỗng, kí hiệu là ∅

1.2 Quan hệ bao hàm

1.2.1 Định nghĩa

Tập A được gọi là một tập con (hay một bộ phận) của tập B, ký hiệu

A ⊆ B, nếu mỗi phần tử của A đều là một phần tử của tập.Nếu A ⊆ B

và A 6= B thì ta gọi A là một tập con thực sự của B, ký hiệu A ⊆ B, taquy ước tập rỗng là tập con của mọi tập Tập tất cả các tập con củamột tập A được ký hiệu là P(A), nghĩa là:

P (A) = {X|X ∈A} 1.2.2 Mệnh đề

Với A, B và C là ba tập bất kỳ, ta có các tính chất sau:

(i) Phản xạ: A ⊆ A

(ii) Phản đối xứng: nếu A ⊆ B và B ⊆ A thì A = B

(iii) Bắc cầu: nếu A ⊆ Bvà B ⊆ C thì A ⊆ C

A ∩ B = {x|x ∈ A vàx ∈ B }Nếu A ∩ B = ∅ thì ta gọi A và B là hai tập rời nhau

(iii) Hiệu của A và B, ký hiệu A\B, là tập:

Báo cáo tiểu luận

A\B = {x|x ∈ Avàx / ∈ B }Đặc biệt, nếu B ⊆ A thì ta gọi A\B là phần bù của B đối với A vàđược ký hiệu CA(B)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ C).(v) Luật De Morgan: A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C)

A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C)Chứng minh

Ta chứng minh tính chất phân phối của phép toán giao đối với phéptoán hợp Các tính chất còn lại chứng minh tương tự

Giả sử x ∈ A ∩ (B ∪ C) Khi đó x ∈ A và x ∈ B ∪ C Vì x ∈ B ∪ C nên

Tương tự, nếu x ∈ A ∩ C thì ta cũng suy ra được x ∈ A ∩ (B ∪ C)

Báo cáo tiểu luận

Theo định nghĩa hai tập hợp bằng nhau ta có điều phải chứng minh.

1.3.3 Định nghĩa

Tích Descartes của hai tập A và B, ký hiệu A x B, là tập:

A × B ={(a, b)|a ∈ Avàb ∈ B }Hai cặp (a 1 , b 1 ), (a 2 , b 2 ) ∈ A × B bằng nhau khi và chỉ khi a 1 = a 2 và

b1 = b2

1.4 Quan hệ hai ngôi

1.4.1 Quan hệ hai ngôi

Định nghĩa: Cho hai tập hợp A và B Ta gọi R là một quan hệ từ Ađến B nếu R ⊆ A × B Ta cũng gọi tập R là đồ thị của quan hệ R Nếu(a, b) ∈ R thì ta viết aRb; ngược lại, nếu (a, b) / ∈ R thì ta viết a ¯ R b Đặcbiệt, khi A = B, ta gọi R là quan hệ hai ngôi trên tập A

1.4.2 Quan hệ tương đương

Định nghĩa 1: Cho R là một quan hệ hai ngôi trên tập A Ta nói rằng

R là một quan hệ tương đương nếu R có các tính chất sau:

(i) Phản xạ: với mọi a ∈ A, aRa

(ii) Đối xứng: với mọi a, b ∈ A, nếu aRb thì bRa

(iii) Bắc cầu: với mọi a, b, c ∈ A, nếu aRb và bRc thì aRc

Định nghĩa 2: Cho R là quan hệ tương đương trên một tập A Với mỗi

a ∈ A, lớp tương đương của phần tử a theo quan hệ R, ký hiệu [a]R (hoặc

¯), được định nghĩa là tập:

Báo cáo tiểu luận

[a]R = {x ∈ A|xRa}

Mỗi phần tử x ∈ [a]R được gọi là một phần tử đại diện của lớp tươngđương [a]R

Tập thương của A theo quan hệ R, ký hiệu A/R, được định nghĩa

là tập tất cả các lớp tương đương của các phần tử thuộc A, nghĩa là:

A/R = {[a]R|a ∈ R}

1.4.3 Quan hệ thứ tự

Định nghĩa 1: Cho R là quan hệ hai ngôi trên tập A Ta nói rằng R làmột quan hệ thứ tự nếu R có các tính chất sau:

(i) Phản xạ: với mọi a ∈ A, aRa

(ii) Phản đối xứng: với mọi a, b ∈ A, nếu aRb và bRa thì a = b.(iii) Bắc cầu: với mọi a, b, c ∈ A, nếu aRb và bRc thì aRc

Ta thường ký hiệu một quan hệ thứ tự bởi dấu ≤ Nếu trên tập A cómột quan hệ thứ tự ≤ thì ta nói (A, ≤) là một tập được sắp thứ tự (hayđược sắp) Nếu (A, ≤) là tập được sắp và thỏa mãn điều kiện:

Với mọi a, b ∈ A, a ≤ b và b ≤ aNghĩa là, hai phần tử bất kỳ của A là so sánh được đối với quan hệthứ tự ≤, thì ta gọi (A, ≤) là một tập được sắp toàn phần (hay được sắptuyến tính)

Định nghĩa 2: Cho (A, ≤) là một tập được sắp và B ⊆ A

(i) Ta nói phần tử a ∈ A là một chặn trên của B nếu x ≤ a với mọi

x ∈ B Ta nói tập B bị chặn trên nếu B có một chặn trên

(ii) Ta nói phần tử b là một phần tử lớn nhất của B nếu b ∈ B và b

Báo cáo tiểu luận

(iii) Ta nói phần tử b là một phần tử cực đại của B nếu b ∈ B và vớimọi x ∈ B nếu b ≤ x thì x = b.

Định nghĩa 3: Cho (A, ≤) là một tập được sắp và B ⊆ A

(i) Ta nói phần tử a ∈ A là một chặn dưới của B nếu a ≤ x với mọi

x ∈ B Ta nói tập B bị chặn dưới nếu B có một chặn dưới

(ii) Ta nói phần tử b là một phần tử bé nhất của B nếu b ∈ B và b

là một chặn dưới của B

(iii) Ta nói phần tử b là một phần tử cực tiểu của B nếu b ∈ B vàvới mọi x ∈ B nếu x ≤ b thì x = b

Định nghĩa 4: Một tập sắp thứ tự toàn phần (A, ≤) được gọi là sắp thứ

tự tốt nếu mọi bộ phận khác rỗng của A đều có phần tử bé nhất

Bổ đề(Bổ đề Zorn) Cho (A, ≤) là một tập sắp thứ tự,A 6= ∅ Nếu mọitập con được sắp toàn phần của A đều có một chặn trên thì trong Atồn tại một phần tử cực đại.Báo cáo tiểu luận

Chương 2

CÁC QUAN HỆ HAI NGÔI

TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG

2.1 Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên trong chương trình

(i) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính phản xạ

(ii) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính đối xứng

(iii) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính bắc cầu

Chứng minh

(i) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính phản xạ:

Ta có a − a = 0 ⇒ a = a, điều này chứng tỏ a có quan hệ bằng nhau với

Báo cáo tiểu luận

Giả sử a, b ∈ N Nếu a = b ⇔ b = a ⇔ b − a = 0, điều này chứng tỏ b cóquan hệ bằng nhau với a

(iii) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính bắc cầu:

Giả sử a, b ∈ Nvà ta có {a = bb = c khi đó {a = bb = c ⇒ {a − b =0b − c =0 (2)(1)

lấy (1) cộng (2) ta được: a − c = 0 ⇒ a = c, điều này chứng tỏ a cóquan hệ bằng nhau với c

Nhận xét:Quan hệ bằng nhau trên N là một quan hệ tương đương

2.2 Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trong chương trình toán

Lớp 6:

2.2.1 Định nghĩa 1

Cho hai tập A và B Tập A được gọi là chứa trong tập B nếu mọi phần

tử của tập A đều là phần tử của tập B, được ký hiệu là A ⊂ B

2.2.2 Định nghĩa 2

Cho hai tập A và B Ta nói tập A bằng tập B, ký hiệu là A = B đượcđịnh nghĩa là A chứa trong B và B chứa trong A tức là:

A = B ⇔ {A ⊂ BB ⊂ A2.2.3 Định nghĩa 3

Cho hai tập hợp A và B, ta nói A có quan hệ bao hàm với B, ký hiệu

A ⊆ Bhoặc B ⊆ A

Báo cáo tiểu luận

2.2.4 Tính chất

(i) Quan hệ bao hàm có tính phản xạ

(ii) Quan hệ bao hàm có tính phản đối xứng

(iii) Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu

Chứng minh

(i) Quan hệ bao hàm có tính phản xạ:

Ta có A ⊆ A , điều này chứng tỏ A có quan hệ bao hàm với A

(ii) Quan hệ bao hàm có tính phản đối xứng:

Cho A, B là hai tập hợp và {A ⊆ BB ⊆ A (2)(1)

Từ (1) ta thấy mỗi phần tử của A đều là phần tử của B Mặt khác,

từ (2) ta lại thấy mỗi phần tử của B đều là phần tử của A, điều nàychứng tỏ mỗi phần tử của A đều là phần tử của B và ngược lại Vậy

A = B

(iii) Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu:

Cho A, B, C là ba tập hợp và {A ⊆ BB ⊆ C (2)(1)

Từ (1) ta suy ra mọi phần tử của A đều là phần tử của B Mặt khác,

từ (2) ta cũng suy ra mọi phần tử của B đều là phần tử của C, do mọiphần tử của A đều là phần tử của B nên mọi phần tử của A cũng đều

là phần tử của C Vậy A ⊆ C hay A có quan hệ bao hàm với C

Nhận xét:Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp là một quan hệ thứ tự

Báo cáo tiểu luận

2.3 Quan hệ đồng dư của 2 số tự nhiên trong chương trình

toán Lớp 7(nâng cao):

2.3.1 Định nghĩa 1

Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó b 6= 0, nếu có số tự nhiên x sao chob.x = athì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x

2.3.2 Định nghĩa 2

Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó b 6= 0, ta luôn tìm được 2 số tự nhiên

q và r duy nhất sao cho a = bq + r trong đó 0 ≤ r ≤ b

Nếu r = 0 thì ta có phép chia hết

Nếu r 6= 0 thì ta có phép chia có dư

Tới đây, một vấn đề được đặt ra là cho trước một số m 6= 0 Xét 2

số tự nhiên a, b sao cho 2 số tự nhiên a, b chia cho m có cùng số dư tức là:

a = m.h + r

b = m.d + rKhi đó ta nói a, b có quan hệ đồng dư theo số chia m, được ký hiệu

a ≡ b(mod m)

2.3.3 Tính chất

(i) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính phản xạ

(ii) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính đối xứng

(iii) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính bắc cầu

Chứng minh

Báo cáo tiểu luận

(i) Quan hệ đồng dư giữa các số tự nhiên có tính phản xạ:

Ta có : a ≡ a(mod m) hiển nhiên.

(ii) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính đối xứng:

Giả sử a ≡ b(mod m) khi đó a = m.h + r và b = m.d + r điều này chứng tỏ

b ≡ a(mod m)

(iii) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính bắc cầu:

Cho 3 số a, b, c ∈ N Giả sử {a≡b( mod m)b≡c( mod m)

khi đó a = m.h+r, b = m.d+r và c = m.k +r điều này chứng tỏa ≡ c(mod m)Nhận xét:Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên là một quan hệ tươngđương

2.4 Quan hệ 00 ≤00 trong tập số hữu tỉ chương trình toán lớp 7:

2.4.1 Định nghĩa

Cho a, b ∈ Q ta nói a và b có quan hệ 00≤00với nhau nếu:

a ≤ b hoặc b ≤ a 2.4.2 Tính chất

(i) Quan hệ 00 ≤00 có tính phản xạ

(ii) Quan hệ 00 ≤00 có tính phản đối xứng

(iii) Quan hệ 00 ≤00có tính bắc cầu

Chứng minh

(i) Quan hệ 00 ≤00có tính phản xạ:

Báo cáo tiểu luận

a (ii) Quan hệ 00 ≤00có tính phản đối xứng:

Từ (3) và (4) ta suy ra n1= n2, điều này chứng tỏ a = b

(iii) Quan hệ 00 ≤00 có tính bắc cầu:

Nhận xét:Quan hệ 00 ≤00trên Q là một quan hệ thứ tự

Báo cáo tiểu luận

3.2 Ví dụ 2:

Tìm tất cả các số nguyên dương n để cho số 2n− 1 chia hết cho 7

Giải

Vì 2n− 1 chia hết cho 7 có nghĩa là 2n ≡ 1(mod 7)

Nên bài toán trên thay đổi thành: tìm n sao cho 2n ≡ 1(mod 7)

Rõ ràng với n = 3k thỏa mãn điều kiện đó vì rằng 23 ≡ 1(mod 7) , do

đó 2n ≡ 1 k (mod 7) ≡ 1(mod 7)

Ta xét n trong hai trường hợp còn lại:

*T.h 1: Với n = 3k + 1 ta có: 2n = 23k+1= 2.8k = 2(7 + 1)k

Khi đó 2n ≡ 2(mod 7) vì rằng trong khai triển của lũy thừa trên chỉ

có số hạng cuối cùng nhưng không chia hết cho 7

*T.h 2: Với n = 3k + 2 ta cũng chứng minh được 2n ≡ 4(mod 7)Vậy chỉ có các số nguyên dương có dạng n = 3k thì 2n − 1 chia hếtcho 7

3.4 Ví dụ 4:

Có bao nhiêu số hữu tỉ có thể biểu diễn dưới dạng một phân số có

mẫu bằng 20, mà số đó lớn hơn 14 và nhỏ hơn 35

Giải

Ta cần tìm x ∈ Q mà x = 20a và 14 < 20a < 35

Ta có 14 = 205 ; 35 = 1220 nên ta cần tìm x ∈ Q sao cho 205 < 20a < 1220Muốn vậy a ∈ {6, 7, 8, 9, 10, 11 }

Vậy có 6 số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện là: 206, 207, 208, 209 , 1020, 1120

Báo cáo tiểu luận

Tài liệu tham khảo

[1] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2011), Sách giáo khoa Toán 6, tập

1, Nhà Xuất bản Giáo dục Việt Nam

[2] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2011), Sách giáo khoa Toán 7, tập

1, Nhà Xuất bản Giáo dục Việt Nam

[3] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2011), Sách giáo khoa Toán 7, tập

2, Nhà Xuất bản Giáo dục Việt Nam

[4] Phạm Thành Luân (Tổng chủ biên) (2003), Sách Đại số lớp 7 Nângcao, Nhà Xuất bản Đà Nẵng

[5] TS Chu Trọng Thanh, Trần Tung (2010), Cơ sở toán học hiện đại củakiến thức môn Toán phổ thông, Nhà Xuất bản Giáo dục Việt Nam

[6] TS.Ngô Đình Quốc, Những vấn đề hiện đại trong toán học phổ thông,Trường Đại học Tây Nguyên

Báo cáo tiểu luận

Ý KIẾN CỦA NGƯỜI HƯỚNG DẪN

Nhận xét:

Đắk Lắk, ngày tháng 4 năm 2015

Người hướng dẫn

TS Ngô Đình Quốc

Báo cáo tiểu luận