Ngô Đình Quốc, thầy đã giảng dạy tận tình, đưa ra được nhiều vấn đềtrong Tốn học phổ thơng cho học viên tìm hiểu, giúp em có được cách tiếp cậnrõ ràng hơn về toán học phổ thông và một số
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN ————oOo———— TIỂU LUẬN Báo cáo tiểu luận TOÁN PHỔ QUAN HỆ HAI NGƠI TRONG THƠNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG Học viên: Trương Văn Đại Lớp: Tốn Giải Tích K09 Khóa học: 2014 - 2016 ĐẮK LẮK, tháng năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN ————oOo———— TIỂU LUẬN Báo cáo tiểu luận TỐN PHỔ QUAN HỆ HAI NGƠI TRONG THƠNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG Học viên: Trương Văn Đại Lớp: Toán Giải Tích K09 Khóa học: 2014 - 2016 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC T.S Ngơ Đình Quốc ĐẮK LẮK, tháng năm 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày tiểu luận này, em xin phép gửi lời cảm ơn đến thầy TS Ngơ Đình Quốc, thầy giảng dạy tận tình, đưa nhiều vấn đề Tốn học phổ thơng cho học viên tìm hiểu, giúp em có cách tiếp cận rõ ràng tốn học phổ thơng số kĩ thực tiểu luận Tuy cố gắng hồn thành tiểu luận khơng thể tránh khỏi thiếu xót, em mong nhận dạy phản hồi thầy để tiểu Báo cáo tiểu luận luận em hoàn chỉnh Đắk Lắk, tháng 4, năm 2015 Học viên Trương Văn Đại i MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT v MỞ ĐẦU 1 Đặt vấn đề Báo cáo tiểu luận Ý nghĩa Mục đích Nội dung KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 1.2 1.3 1 2 Tập hợp 1.1.1 Khái niệm tập hợp 1.1.2 Định nghĩa Quan hệ bao hàm 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Mệnh đề Các phép toán tập hợp 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Mệnh đề ii 1.3.3 1.4 Định nghĩa Quan hệ hai 1.4.1 Quan hệ hai 1.4.2 Quan hệ tương đương 1.4.3 Quan hệ thứ tự CÁC QUAN HỆ HAI NGƠI TRONG TỐN PHỔ THƠNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG 2.1 2.2 Quan hệ số tự nhiên chương trình tốn Lớp 6: 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Tính chất Quan hệ bao hàm tập hợp chương trình tốn Lớp 6: 10 2.2.2 Báo Định nghĩacáo tiểu luận 10 2.2.3 Định nghĩa 10 2.2.4 Tính chất 11 2.2.1 2.3 2.4 Định nghĩa 10 Quan hệ đồng dư số tự nhiên chương trình toán Lớp 7(nâng cao): 12 2.3.1 Định nghĩa 12 2.3.2 Định nghĩa 12 2.3.3 Tính chất 12 ≤00 tập số hữu tỉ chương trình toán lớp 7: 13 2.4.1 Định nghĩa 13 2.4.2 Tính chất 13 Quan hệ 00 VÍ DỤ ÁP DỤNG 15 iii 3.1 Ví dụ 1: 15 3.2 Ví dụ 2: 16 3.3 Ví dụ 3: 16 3.4 Ví dụ 4: 17 Tài liệu tham khảo 18 Báo cáo tiểu luận iv DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT N : Tập số tự nhiên Z : Tập số nguyên Q : Tập số Hữu tỉ Báo cáo tiểu luận v MỞ ĐẦU Đặt vấn đề Trong học kỳ I năm học 2014-2015 học tiếp xúc với giáo trình “ Những vấn đề đại tốn học phổ thơng” TS Ngơ Đình Quốc giảng dạy biên soạn Được hướng dẫn, giúp đỡ giới thiệu Thầy tơi tìm hiểu nhiều vấn đề tốn học phổ thơng lĩnh vực Báo cáo tiểu luận tốn mà thân tơi trực tiếp giảng dạy Nhằm mục đích tìm hiểu, trang bị thêm kiến thức dùng làm tài liệu để tham khảo cho công tác giảng dạy sau này, tơi lựu chọn vấn đề giáo trình mà Thầy Ngơ Đình Quốc giới thiệu giáo trình để làm tiểu luận Đó lí tơi chọn làm tiểu luận "Các quan hệ hai tốn phổ thơng tính chất chúng" Mục đích Chỉ quan hệ hai ngơi tốn phổ thơng, nghiên cứu tính chất chúng đưa số ví dụ ứng dụng quan hệ hai Ý nghĩa Giúp trang bị thêm kiến thức làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy sau Nội dung Tiểu luận gồm ba chương Chương : Kiến thức bổ trợ Chương : Các quan hệ hai ngơi tốn phổ thơng tính chất chúng Chương : Ví dụ áp dụng Báo cáo tiểu luận Chương KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Tập hợp 1.1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp khái niệm ngun thủy khơng định nghĩa, hiểu trực giác tập hợp tụ tập đối tượng có Báo cáo tiểu luận thuộc tính đó, gọi chúng phần tử tập hợp Ta thường gọi tắt tập hợp “tập” Để phần tử a thuộc tập A ta viết a ∈ A; trái lại để phần tử a không thuộc tập A ta viết a ∈ / A Tập khơng có phần tử gọi tập rỗng, kí hiệu ∅ 1.1.2 Định nghĩa Hai tập hợp A B gọi nhau, ký hiệu A = B , phần tử A phần tử B ngược lại A\B = {x|x ∈ A x ∈ / B} Đặc biệt, B ⊆ A ta gọi A\B phần bù B A ký hiệu CA (B) 1.3.2 Mệnh đề Với A, B C ba tập bất kỳ, ta có tính chất sau: (i) Lũy đẳng: A ∩ A = A ; A ∪ A = A (ii) Giao hoán: A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A (iii) Kết hợp: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (iv) Phân phối: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ C) (v) Luật De Morgan: A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C) Báo cáo tiểu luận A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) Chứng minh Ta chứng minh tính chất phân phối phép tốn giao phép tốn hợp Các tính chất cịn lại chứng minh tương tự Giả sử x ∈ A ∩ (B ∪ C) Khi x ∈ A x ∈ B ∪ C Vì x ∈ B ∪ C nên x ∈ B x ∈ C Nếu x ∈ C x ∈ A ∩ C (vì x ∈ A) Như hai trường hợp x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Đảo lại, giả sử x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Khi x ∈ (A ∩ B) x ∈ (A ∩ C) Nếu x ∈ (A ∩ B) x ∈ A x ∈ B ; nên x ∈ A x ∈ B ∪ C Do x ∈ A ∩ (B ∪ C) Tương tự, x ∈ A ∩ C ta suy x ∈ A ∩ (B ∪ C) Vậy hai trường hợp x ∈ A ∩ (B ∪ C) Theo định nghĩa hai tập hợp ta có điều phải chứng minh 1.3.3 Định nghĩa Tích Descartes hai tập A B, ký hiệu A x B, tập: A × B = {(a, b)|a ∈ A b ∈ B } Hai cặp (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ A × B a1 = a2 b1 = b2 1.4 Quan hệ hai 1.4.1 Quan hệ hai Định nghĩa: Cho hai tập hợp A B Ta gọi R quan hệ từ A Báo cáo tiểu luận đến B R ⊆ A × B Ta gọi tập R đồ thị quan hệ R Nếu ¯ b Đặc (a, b) ∈ R ta viết aRb; ngược lại, (a, b) ∈ / R ta viết a R biệt, A = B, ta gọi R quan hệ hai tập A 1.4.2 Quan hệ tương đương Định nghĩa 1: Cho R quan hệ hai tập A Ta nói R quan hệ tương đương R có tính chất sau: (i) Phản xạ: với a ∈ A, aRa (ii) Đối xứng: với a, b ∈ A, aRb bRa (iii) Bắc cầu: với a, b, c ∈ A, aRb bRc aRc Định nghĩa 2: Cho R quan hệ tương đương tập A Với a ∈ A, lớp tương đương phần tử a theo quan hệ R, ký hiệu [a]R (hoặc a ¯), định nghĩa tập: [a]R = {x ∈ A|xRa} Mỗi phần tử x ∈ [a]R gọi phần tử đại diện lớp tương đương [a]R Tập thương A theo quan hệ R, ký hiệu A/R, định nghĩa tập tất lớp tương đương phần tử thuộc A, nghĩa là: A/R = {[a]R |a ∈ R} 1.4.3 Quan hệ thứ tự Định nghĩa 1: Cho R quan hệ hai tập A Ta nói R quan hệ thứ tự R có tính chất sau: (i) Phản xạ: với a ∈ A, aRa (ii) Phản đối xứng: với a, b ∈ A, aRb bRa a = b Báo cáo tiểu luận (iii) Bắc cầu: với a, b, c ∈ A, aRb bRc aRc Ta thường ký hiệu quan hệ thứ tự dấu ≤ Nếu tập A có quan hệ thứ tự ≤ ta nói (A, ≤) tập thứ tự (hay sắp) Nếu (A, ≤) tập thỏa mãn điều kiện: Với a, b ∈ A, a ≤ b b ≤ a Nghĩa là, hai phần tử A so sánh quan hệ thứ tự ≤, ta gọi (A, ≤) tập toàn phần (hay tuyến tính) Định nghĩa 2: Cho (A, ≤) tập B ⊆ A (i) Ta nói phần tử a ∈ A chặn B x ≤ a với x ∈ B Ta nói tập B bị chặn B có chặn (ii) Ta nói phần tử b phần tử lớn B b ∈ B b chặn B (iii) Ta nói phần tử b phần tử cực đại B b ∈ B với x ∈ B b ≤ x x = b Định nghĩa 3: Cho (A, ≤) tập B ⊆ A (i) Ta nói phần tử a ∈ A chặn B a ≤ x với x ∈ B Ta nói tập B bị chặn B có chặn (ii) Ta nói phần tử b phần tử bé B b ∈ B b chặn B (iii) Ta nói phần tử b phần tử cực tiểu B b ∈ B với x ∈ B x ≤ b x = b Định nghĩa 4: Một tập thứ tự toàn phần (A, ≤) gọi thứ tự tốt phận khác rỗng A có phần tử bé Bổ đề(Bổ đề Zorn) Cho (A, ≤) tập thứ tự,A 6= ∅ Nếu tập toàn phần A có chặn A Báo cáo tiểu luận tồn phần tử cực đại Chương CÁC QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TỐN PHỔ THƠNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG 2.1 Quan hệ số tự nhiên chương trình Báo cáo tiểu luận tốn Lớp 6: 2.1.1 Định nghĩa Cho a, b ∈ N , ta nói a có quan hệ với b, ký hiệu a = b định nghĩa a = b ⇔ a − b = 2.1.2 Tính chất (i) Quan hệ số tự nhiên có tính phản xạ (ii) Quan hệ số tự nhiên có tính đối xứng (iii) Quan hệ số tự nhiên có tính bắc cầu Chứng minh (i) Quan hệ số tự nhiên có tính phản xạ: Ta có a − a = ⇒ a = a, điều chứng tỏ a có quan hệ với a (ii) Quan hệ số tự nhiên có tính đối xứng: Giả sử a, b ∈ N Nếu a = b ⇔ b = a ⇔ b − a = 0, điều chứng tỏ b có quan hệ với a (iii) Quan hệ số tự nhiên có tính bắc cầu: =0 Giả sử a, b ∈ N ta có { ab == cb { ab == cb ⇒ { ab −− cb =0 (1) (2) lấy (1) cộng (2) ta được: a − c = ⇒ a = c, điều chứng tỏ a có quan hệ với c Nhận xét:Quan hệ N quan hệ tương đương 2.2 Quan hệ bao hàm tập hợp chương trình tốn Lớp 6: 2.2.1 Định nghĩa Cho hai tập A B Tập A gọi chứa tập B phần Báo cáo tiểu luận tử tập A phần tử tập B, ký hiệu A ⊂ B 2.2.2 Định nghĩa Cho hai tập A B Ta nói tập A tập B, ký hiệu A = B định nghĩa A chứa B B chứa A tức là: ⊂B A = B ⇔ {A B⊂A 2.2.3 Định nghĩa Cho hai tập hợp A B, ta nói A có quan hệ bao hàm với B, ký hiệu A ⊆ B B ⊆ A 10 2.2.4 Tính chất (i) Quan hệ bao hàm có tính phản xạ (ii) Quan hệ bao hàm có tính phản đối xứng (iii) Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu Chứng minh (i) Quan hệ bao hàm có tính phản xạ: Ta có A ⊆ A , điều chứng tỏ A có quan hệ bao hàm với A (ii) Quan hệ bao hàm có tính phản đối xứng: ⊆B Cho A, B hai tập hợp { A B⊆A (1) (2) Từ (1) ta thấy phần tử A phần tử B Mặt khác, từ (2) ta lại thấy phần tử B phần tử A, điều chứng tỏ phần tử A phần tử B ngược lại Vậy A = B Báo cáo tiểu luận (iii) Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu: ⊆B Cho A, B, C ba tập hợp { A B⊆ C (1) (2) Từ (1) ta suy phần tử A phần tử B Mặt khác, từ (2) ta suy phần tử B phần tử C, phần tử A phần tử B nên phần tử A phần tử C Vậy A ⊆ C hay A có quan hệ bao hàm với C Nhận xét:Quan hệ bao hàm tập hợp quan hệ thứ tự 11 2.3 Quan hệ đồng dư số tự nhiên chương trình tốn Lớp 7(nâng cao): 2.3.1 Định nghĩa Cho số tự nhiên a b b 6= 0, có số tự nhiên x cho b.x = athì ta nói a chia hết cho b ta có phép chia hết a : b = x 2.3.2 Định nghĩa Cho số tự nhiên a b b 6= 0, ta ln tìm số tự nhiên q r cho a = bq + r ≤ r ≤ b Nếu r = ta có phép chia hết Nếu r 6= ta có phép chia có dư Tới đây, vấn đề đặt cho trước số m 6= Xét Báo cáo tiểu luận số tự nhiên a, b cho số tự nhiên a, b chia cho m có số dư tức là: a = m.h + r b = m.d + r Khi ta nói a, b có quan hệ đồng dư theo số chia m, ký hiệu a ≡ b(mod m) 2.3.3 Tính chất (i) Quan hệ đồng dư số tự nhiên có tính phản xạ (ii) Quan hệ đồng dư số tự nhiên có tính đối xứng (iii) Quan hệ đồng dư số tự nhiên có tính bắc cầu Chứng minh 12 (i) Quan hệ đồng dư số tự nhiên có tính phản xạ: Ta có : a ≡ a(mod m) hiển nhiên. (ii) Quan hệ đồng dư số tự nhiên có tính đối xứng: Giả sử a ≡ b(mod m) a = m.h + r b = m.d + r điều chứng tỏ b ≡ a(mod m) (iii) Quan hệ đồng dư số tự nhiên có tính bắc cầu: mod m) Cho số a, b, c ∈ N Giả sử { a≡b( b≡c( mod m) a = m.h+r, b = m.d+r c = m.k+r điều chứng tỏ a ≡ c(mod m) Nhận xét:Quan hệ đồng dư số tự nhiên quan hệ tương đương 2.4 Quan hệ 2.4.1 00 ≤00 tập số hữu tỉ chương trình tốn lớp 7: Báo cáo tiểu luận Định nghĩa Cho a, b ∈ Q ta nói a b có quan hệ 00 ≤00 với nếu: a ≤ b b ≤ a 2.4.2 Tính chất (i) Quan hệ 00 ≤00 có tính phản xạ 00 (ii) Quan hệ (iii) Quan hệ ≤00 có tính phản đối xứng 00 ≤00 có tính bắc cầu Chứng minh (i) Quan hệ 00 ≤00 có tính phản xạ: Thật vậy, ta ln có a ≤ a, ∀a ∈ Q, điều chứng tỏ a có quan hệ 00 ≤00 với 13