Do đó E/F là mở rộng hữu hạn nếu vàchỉ nếu cả E/K và K/F là các mở rộng hữu hạn.Chứng minh Lấy {αi}i∈I là một cơ sở của K-không gian vectơ E,và {βj}j∈J là một cơ sở của F -không gian vec
Lời mở đầu Chương Mở rộng trường Chương Nhóm Galois Chương Giải thức Chương Mở rộng Galois Định lý lý thuyết Galois Đề tài NCKH "Bài giảng điện tử môn ’Lý thuyết Galoa’ theo hướng tích cực hóa nhận thức người học" Đề tài nghiên cứu khoa học Chủ nhiệm đề tài: Ths Ngô Thị Ngoan ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐHTN Thành viên tham gia: TS Nguyễn Văn Hoàng Ngơ Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hồng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương Mở rộng trường Chương Nhóm Galois Chương Giải thức Chương Mở rộng Galois Định lý lý thuyết Galois Lời mở đầu - Lý thuyết Galois phiên dịch kết nối lý thuyết đa thức, lý thuyết trường lý thuyết nhóm Cơng thức nghiệm (chỉ sử dụng phép toán đại số hệ số đa thức) đa thức bậc hai người biết từ lâu Đến kỉ 16, công thức nghiệm đa thức bậc ba hình thành, sau khoảng ba trăm năm, dựa ý tưởng Largrange Cauchy, Abel chứng minh khơng có cơng thức nghiệm đa thức bậc năm Đến năm 1829, Abel đưa điều kiện đủ để đa thức với bậc tùy ý có cơng thức nghiệm Ngay sau đó, năm 1831 Galois phát minh kết nối nhóm với đa thức, sử dụng tính chất nhóm này, đưa điều kiện cần đủ để đa thức có cơng thức nghiệm Đề tài nghiên cứu khoa học Ngơ Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hồng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương Mở rộng trường Chương Nhóm Galois Chương Giải thức Chương Mở rộng Galois Định lý lý thuyết Galois - Mục tiêu môn học Lý thuyết Galois tìm hiểu kiến thức để thấy kết nối đến Định lý Lớn Galois điều kiện cần đủ để đa thức giải thức - Môn học Lý thuyết Galois môn học hay, cần thiết mơn học khó Nó địi hỏi sinh viên nắm vững kiến thức nhiều môn học: Đại số Đại cương, Đa thức, Lý thuyết nhóm, Lý thuyết trường Thời gian lớp cho việc giảng dạy học tập thầy trò - Vì chúng tơi chọn đề tài thiết kế giảng điện tử cho môn học để giảm bớt áp lực thời gian kiến thức Mong muốn em học tốt mơn học thấy u thích nó, thấy đẹp đẽ tốn học mối quan hệ chặt chẽ lĩnh vực toán học Đề tài nghiên cứu khoa học Ngơ Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hồng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương Mở rộng trường Chương Nhóm Galois Chương Giải thức Chương Mở rộng Galois Định lý lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1.1 Mở rộng trường Bổ đề 1.1 Cho F trường f (x) ∈ F [x] đa thức bất khả quy Khi K = F [x]/(f (x)) trường x = x + (f (x)) nghiệm f (x) Hơn ta có đơn cấu ϕ : F −→ K, ta coi F trường K Chứng minh - Đặt I = (f (x)) Vì f (x) bất khả quy nên K = F [x]/I vành giao hoán khác Lấy g(x) + I ∈ K cho g(x) ∈ / I Khi (g(x), f (x)) = Suy tồn q(x), p(x) ∈ F [x] cho = q(x)g(x) + p(x)f (x) Từ + I = q(x)g(x) + I = (q(x) + I)(g(x) + I) Chứng tỏ g(x) + I khả nghịch K, K trường Ta thấy x + I ∈ K Giả ϕ : F −→ K, cấu Đặt x = P P a 7−→ a + I đơn P sử fP (x) = ni=0 xi Khi f (x) = ni=0 xi = ni=0 (ai xi + I) = ( ni=0 xi ) + I = f (x) + I = Suy x nghiệm f (x) Đề tài nghiên cứu khoa học Ngơ Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hồng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương Mở rộng trường Chương Nhóm Galois Chương Giải thức Chương Mở rộng Galois Định lý lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương Định nghĩa 1.2 Cho F trường trường K Khi quan hệ F ⊆ K gọi mở rộng trường, cịn kí hiệu K/F Một dãy mở rộng trường F1 ⊆ F2 ⊆ ⊆ Fn , thường gọi tháp trường Chú ý 1.3 Nếu K/F mở rộng trường, K F -khơng gian véctơ, phép nhân phần tử F với véctơ K xác định F × K −→ K, (a, x) 7−→ ax Kí hiệu [K : F ] = dimF K gọi bậc mở rộng trường Định lý 1.4 Cho f (x) ∈ F [x] đa thức bất khả quy, đặt K = F [x]/(f (x)) Khi K/F mở rộng trường [K : F ] = deg(f (x)) Đề tài nghiên cứu khoa học Ngơ Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hồng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương Mở rộng trường Chương Nhóm Galois Chương Giải thức Chương Mở rộng Galois Định lý lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương Chứng minh Đặt d = deg(f (x)) I = (f (x)) Khi K = F [x]/I trường F -không gian véctơ.Đặt S = {1 + I, x + I, , xd−1 + I} Ta chứng tỏ S sở K.Lấy tùy ý g(x) ∈ F [x], từ Định lý phép chia với dư, tồn q(x), r(x) ∈ F [x] cho g(x) = f (x)q(x) + r(x), với r(x) = a0 + a1 x + + ad−1 xd−1 ∈ F [x] Do g(x) + I = r(x) + I = a0 (1 + I) + a1 (x + I) + + ad−1 (xd−1 + I) Mặt khác, giả sử ∃b0 , b1 , , bd−1 ∈ F cho b0 (1 + I) + b1 (x + I) + + bd−1 (xd−1 + I) = 0, suy b0 + b1 x + + bd−1 xd−1 chia hết cho f (x) Chứng tỏ b0 = b1 = = bd−1 = Vậy [K : F ] = deg(f (x)) Đề tài nghiên cứu khoa học Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương Mở rộng trường Chương Nhóm Galois Chương Giải thức Chương Mở rộng Galois Định lý lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương Định nghĩa 1.5 Cho E/F mở rộng trường α1 , , αn ∈ E Khi trường bé E chứa F α1 , , αn , kí hiệu F (α1 , , αn ), gọi mở rộng F cách ghép thêm phần tử α1 , , αn Đề tài nghiên cứu khoa học Nhận xét 1.6 i) F (α1 , , αn ) giao trường E chứa F α1 , , αn ii) Khi n = α = α1 , ta gọi F (α)/F mở rộng đơn f (α1 , , αn ) iii) Mỗi phần tử F (α1 , , αn ) có dạng , với g(α1 , , αn ) f (x1 , , xn ), g(x1 , , xn ) ∈ F [x1 , , xn ] g(α1 , , αn ) 6= iv) Giả sử E/F mở rộng trường α ∈ E Ta xét cấu trúc F (α)/F sau Ngơ Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hồng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương Mở rộng trường Chương Nhóm Galois Chương Giải thức Chương Mở rộng Galois Định lý lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương Trường hợp α phần tử đại số F Lấy f (x) ∈ F [x] − {0} đa thức có bậc bé nhận α nghiệm Khi f (x) đa thức bất khả quy F Xét ánh xạ δ : F [x] −→ F [α], g(x) 7−→ g(α), rõ ràng δ tồn cấu có Ker δ = (f (x)) Do F [x]/(f (x)) ∼ = F [α], suy F (α) ∼ = F [α] Trường √ hợp ta nói F (α)/F mở rộng đơn đại số.Ví dụ: Q( 2) ∼ = Q[x]/(x2 − 2) Trường hợp α phần tử siêu việt F Ánh xạ δ : F [x] −→ F [α], g(x) 7−→ g(α) toàn cấu, có Ker δ = {g(x) ∈ F [x] | g(α) = 0} = Suy F [α] ∼ = F [x] Do g(x) F (α) ∼ F (x) = { | g(x), h(x) ∈ F [x], h(x) = 0} = h(x) Trường hợp ta nói F (α)/F mở rộng đơn siêu việt.Ví dụ: Q(π) ∼ = Q(x) Đề tài nghiên cứu khoa học Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương Mở rộng trường Chương Nhóm Galois Chương Giải thức Chương Mở rộng Galois Định lý lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương Định nghĩa 1.7 Cho E/F mở rộng trường Khi - E/F gọi mở rộng hữu hạn [E : F ] < ∞ - E/F gọi mở rộng đại số phần tử E phần tử đại số F Bổ đề 1.8Cho E/K K/F mở rộng trường Khi [E : F ] = [E : K][K : F ] Do E/F mở rộng hữu hạn E/K K/F mở rộng hữu hạn Chứng minh Lấy {αi }i∈I sở K-không gian vectơ E, {βj }j∈J sở F -khơng gian vectơ K Khi ta chứng minh {αi βj }(i,j)∈I×J sở F -không gian vectơ E Nhận xét 1.9 i) Mọi mở rộng hữu hạn E/F mở rộng đại số Thật vậy, giả sử [E : F ] = n Lấy α ∈ E Khi 1, α, , αn phụ thuộc tuyến tính Nên ∃a0 , a1 , , an ∈ F không đồng thời để a0 + a1 α + a2 α2 + + an αn = Suy α đại số F Đề tài nghiên cứu khoa học Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương Mở rộng trường Chương Nhóm Galois Chương Giải thức Chương Mở rộng Galois Định lý lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương ii) Mọi mở rộng đơn đại số mở rộng hữu hạn Thật vậy, giả sử E = F (α) với α phần tử đại số F Lấy f (x) ∈ F [x] đa thức bất khả quy bậc P n nhận α nghiệm Khi n−1 E = F [x]/(f (x)) ∼ = { i=0 αi | ∈ F } F −không gian véc tơ chiều n iii) Giả sử E = F (α1 , , αn ) với α1 , , α2 phần tử đại số F Khi E/F mở rộng hữu hạn Thật vậy, có tháp trường F ⊆ F (α1 ) ⊆ F (α1 , α2 ) ⊆ ⊆ F (α1 , , αn ) = E, bước mở rộng đơn đại số Vì E/F mở rộng hữu hạn iv) Nói chung, mở rộng đại số không mở rộng hữu hạn Chẳng√hạn, lấy F = Q E = Q(S) Trong S = { p | p số nguyên tố } ⊆ R Q(S) trường nhỏ R chứa Q S Khi đó, E/F mở rộng đại số không mở rộng hữu hạn Đề tài nghiên cứu khoa học Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois