Đề tài nghiên cứu khoa học bài giảng điện tử môn lý thuyết galoa theo hướng tích cực hóa nhận thức người học

Do đó E/F là mở rộng hữu hạn nếu vàchỉ nếu cả E/K và K/F là các mở rộng hữu hạn.Chứng minh Lấy {αi}i∈I là một cơ sở của K-không gian vectơ E,và {βj}j∈J là một cơ sở của F -không gian vec

Đề tài NCKH

"Bài giảng điện tử môn ’Lý thuyết Galoa’ theo

hướng tích cực hóa nhận thức người học"

Chủ nhiệm đề tài: Ths Ngô Thị NgoanĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐHTN

Thành viên tham gia: TS Nguyễn Văn Hoàng

Đề tài nghiên cứu khoa học

Lời mở đầu

- Lý thuyết Galois là sự phiên dịch và kết nối của lý thuyết về đa

thức, lý thuyết trường và lý thuyết nhóm Công thức nghiệm (chỉ

sử dụng các phép toán đại số trên các hệ số của đa thức) của đa

thức bậc hai đã được con người biết từ rất lâu Đến giữa thế kỉ 16,

công thức nghiệm của đa thức bậc ba được hình thành, sau đó

khoảng ba trăm năm, dựa trên ý tưởng của Largrange và Cauchy,

Abel đã chứng minh không có công thức nghiệm của đa thức bậc

năm Đến năm 1829, Abel đã đưa ra điều kiện đủ để một đa thức

với bậc tùy ý có công thức nghiệm Ngay sau đó, năm 1831 Galois

phát minh ra sự kết nối giữa nhóm với mỗi đa thức, sử dụng các

tính chất của nhóm này, đưa ra điều kiện cần và đủ để một đa

thức có công thức nghiệm

Đề tài nghiên cứu khoa học

- Mục tiêu của môn học Lý thuyết Galois là tìm hiểu kiến thức để

thấy được sự kết nối đó và đến được Định lý Lớn của Galois chính

là điều kiện cần và đủ để một đa thức giải được bằng căn thức

- Môn học Lý thuyết Galois là môn học rất hay, cần thiết và là

môn học khó Nó đòi hỏi sinh viên nắm vững các kiến thức của

nhiều môn học: Đại số Đại cương, Đa thức, Lý thuyết nhóm, Lý

thuyết trường Thời gian trên lớp quá ít cho việc giảng dạy và học

tập của thầy và trò

- Vì vậy chúng tôi chọn đề tài thiết kế bài giảng điện tử cho môn

học này để giảm bớt áp lực về thời gian và kiến thức Mong muốn

các em có thể học tốt môn học và thấy yêu thích nó, thấy được sự

đẹp đẽ của toán học trong mối quan hệ chặt chẽ giữa các lĩnh vực

của toán học

Đề tài nghiên cứu khoa học

1.1 Mở rộng trường

quy Khi đó K = F [x]/(f (x)) là trường và x = x + (f (x)) là một

nghiệm của f (x) Hơn nữa ta có đơn cấu ϕ : F −→ K, do đó ta

có thể coi F là trường con của K

Chứng minh - Đặt I = (f (x)) Vì f (x) bất khả quy nên

K = F [x]/I là vành giao hoán khác 0 Lấy g(x) + I ∈ K sao cho

g(x) /∈ I Khi đó (g(x), f (x)) = 1 Suy ra tồn tại

q(x), p(x) ∈ F [x] sao cho 1 = q(x)g(x) + p(x)f (x) Từ đó

1 + I = q(x)g(x) + I = (q(x) + I)(g(x) + I) Chứng tỏ g(x) + I

khả nghịch trong K, do vậy K là trường Ta thấy

ϕ : F −→ K, a 7−→ a + I là một đơn cấu Đặt x = x + I ∈ K Giả

sử f (x) =Pni=0aixi Khi đó f (x) =Pni=0aixi =Pni=0(aixi+ I)

= (Pni=0aixi) + I = f (x) + I = 0 Suy ra x là nghiệm của f (x)

Đề tài nghiên cứu khoa học

Định nghĩa 1.2 Cho F là trường con của trường K Khi đó quan

hệ F ⊆ K được gọi là một mở rộng trường, nó còn được kí hiệu

bởi K/F Một dãy các mở rộng trường F1 ⊆ F2⊆ ⊆ Fn,

thường được gọi là một tháp các trường

Chú ý 1.3 Nếu K/F là một mở rộng trường, thì K là một

F -không gian véctơ, trong đó phép nhân một phần tử của F với

một véctơ của K xác định bởi F × K −→ K, (a, x) 7−→ ax Kí

K = F [x]/(f (x)) Khi đó K/F là một mở rộng trường và

[K : F ] = deg(f (x))

Đề tài nghiên cứu khoa học

Chứng minh Đặt d = deg(f (x)) và I = (f (x)) Khi đó

K = F [x]/I là trường và là F -không gian véctơ.Đặt

S = {1 + I, x + I, , xd−1+ I}

Ta sẽ chứng tỏ S là cơ sở của K.Lấy tùy ý g(x) ∈ F [x], khi đó từ

Định lý phép chia với dư, tồn tại q(x), r(x) ∈ F [x] sao cho

Định nghĩa 1.5 Cho E/F là mở rộng trường và α1, , αn∈ E.

Khi đó trường con bé nhất của E chứa F và α1, , αn, kí hiệu là

F (α1, , αn), và nó được gọi là mở rộng của F bằng cách ghép

thêm các phần tử α1, , αn

Nhận xét 1.6 i) F (α1, , αn) là giao của mọi trường con của E

chứa F và α1, , αn

ii) Khi n = 1 và α = α1, ta gọi F (α)/F là mở rộng đơn

iii) Mỗi phần tử của F (α1, , αn) có dạng f (α1, , αn)

Trường hợp 1 α là phần tử đại số trên F

Trường hợp 2 α là phần tử siêu việt trên F

Định nghĩa 1.7 Cho E/F là mở rộng trường Khi đó

- E/F được gọi là mở rộng hữu hạn nếu [E : F ] < ∞

- E/F được gọi là mở rộng đại số nếu mọi phần tử của E đều là

phần tử đại số trên F

[E : F ] = [E : K][K : F ] Do đó E/F là mở rộng hữu hạn nếu và

chỉ nếu cả E/K và K/F là các mở rộng hữu hạn

và {βj}j∈J là một cơ sở của F -không gian vectơ K Khi đó ta

chứng minh được rằng {αiβj}(i,j)∈I×J là một cơ sở của F -không

gian vectơ E

Nhận xét 1.9 i) Mọi mở rộng hữu hạn E/F là mở rộng đại số

Thật vậy, giả sử [E : F ] = n Lấy α ∈ E Khi đó 1, α, , αn phụ

thuộc tuyến tính Nên ∃a0, a1, , an∈ F không đồng thời bằng 0

để a0+ a1α + a2α2+ + anαn= 0 Suy ra α đại số trên F

Đề tài nghiên cứu khoa học

ii) Mọi mở rộng đơn đại số là mở rộng hữu hạn Thật vậy, giả sử

E = F (α) với α là phần tử đại số trên F Lấy f (x) ∈ F [x] là đa

thức bất khả quy bậc n nhận α là nghiệm Khi đó

E = F [x]/(f (x)) ∼= {Pn−1i=0 aiαi | ai∈ F }

là F −không gian véc tơ chiều n

iii) Giả sử E = F (α1, , αn) với α1, , α2 là phần tử đại số trên

F Khi đó E/F là mở rộng hữu hạn Thật vậy, có tháp trường

nhất của R chứa Q và S Khi đó, E/F là mở rộng đại số nhưng

không là mở rộng hữu hạn

Đề tài nghiên cứu khoa học

Định nghĩa 1.10 i) Cho F là trường, và f (x) ∈ F [x] phân tích

được thành tích các nhân tử bất khả quy (không nhất thiết phân

biệt) f (x) = p1(x) pk(x) Ta nói f (x) là đa thức tách được nếu

ii) Cho E/F là mở rộng trường, khi đó α ∈ E được gọi là phần tử

tách được nếu α siêu việt trên F hoặc đa thức tối tiểu của α (tức

là, đa thức bất khả quy, hệ tử cao nhất bằng 1 và nhận α là

nghiệm) là đa thức tách được

iii) Mở rộng trường E/F được gọi là mở rộng tách được nếu mọi

phần tử của E đều là phần tử tách được

Đề tài nghiên cứu khoa học

Định nghĩa 1.11 Trường F được gọi là trường hoàn thiện nếu mọi

đa thức khác hằng trong F [x] đều là đa thức tách được

Nhận xét 1.12 Cho p(x) ∈ F [x] là đa thức bất khả quy Nếu đạo

hàm p0(x) 6= 0 thì deg(p0(x)) < deg(p(x)) Do đó

(p(x), p0(x)) = 1, vì thế tồn tại u(x), v(x) ∈ F [x] sao cho

không có nghiệm bội, tức là p(x) tách được

Đề tài nghiên cứu khoa học

1.2 Trường phân rã của đa thức

Định nghĩa 1.13 Cho mở rộng trường E/F và f (x) ∈ F [x] Ta

nói f (x) phân rã trong E nếu f (x) được viết thành tích những

nhân tử tuyến tính trong E[x] Ta nói E là trường phân rã của

f (x) trên F nếu f (x) phân rã trong E và nó không phân rã trong

mọi trường con thực sự của E (khi đó thường nói gọn là E/F là

trường phân rã của f (x))

trong R[x], do đó f (x) phân rã trong R Ta cũng thấy f (x) phân

khi đó 2 = [Q(√2) : Q] = [Q(√2) : K][K : Q]; do đó [K : Q] = 1

Q(

√

2) là trường phân rã của f (x) trên Q

Đề tài nghiên cứu khoa học

Định lý 1.14Cho F là một trường và f (x) ∈ F [x] là đa thức có

bậc dương Khi đó luôn tồn tại trường phân rã E của f (x) trên F

Chứng minh Đặt n = deg(f (x)) Ta chứng minh bằng bằng quy

nạp theo n Khi n = 1, ta chọn E = F Giả sử n > 1 Ta lấy p(x)

là một ước bất khả quy của f (x), khi đó deg(p(x)) ≥ 1 Đặt

K = F [x]/(p(x)), ta thấy F ⊆ K là một mở rộng trường và p(x)

f (x) = (x − α1)g(x), với deg(g(x)) = n − 1 Áp dụng giả thiết

quy nạp đối với trường K và đa thức g(x), suy ra tồn tại trường

phân rã T của đa thức g(x) trên K Do đó g(x) có n − 1 nghiệm

α2, , αn∈ T (đây cũng là các nghiệm của f (x)) Đặt

E = F (α1, , αn), suy ra E là trường phân rã của f (x) trên F

Đề tài nghiên cứu khoa học

Bổ đề 1.15Cho ϕ : F → F , a 7−→ a là một đẳng cấu trường Khi

đó ta có đẳng cấu vành cảm sinh ϕ∗: F [x] → F [x],

f (x) =Pn

i=0aixi7−→Pn

i=0ai xi = f (x) Giả sử p(x) ∈ F [x] là

đa thức bất khả quy trên F và gọi p(x) = ϕ∗(p(x)) ∈ F [x] Gọi α

và α thứ tự là nghiệm của p(x) và p(x) Khi đó có duy nhất đẳng

Đặtϕ = vb −1 ϕ∗ u, khi đó ϕ : F (α) → F (α) thỏa mãn Bổ đề Giảb

sử tồn tại ψ : F (α) → F (α) là mở rộng của ϕ và ψ(α) = α Khi

đó, với mọi f (α) =Pni=0aiαi ∈ F (α), ta có

ψ(f (α)) = f (α) =ϕ(f (α)) Vậy ψ =b ϕ.b

Đề tài nghiên cứu khoa học

Hệ quả 1.16Cho p(x) là đa thức bất khả quy và α, β là hai

nghiệm của p(x) Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu trường

đa thức tương ứng với f (x) qua ϕ∗ (với ϕ∗ như trong Bổ đề 1.15)

Lấy E là trường phân rã của f (x) trên F , và lấy E là trường phân

rã của f (x) trên F Khi đó

(i) Tồn tại một đẳng cấu trườngϕ : E → E là mở rộng của ϕ.∼

(ii) Nếu f (x) tách được thì có chính xác [E : F ] mở rộng∼ϕ của ϕ

Đề tài nghiên cứu khoa học

Chứng minh Ta có nhận xét deg(f (x)) = deg(f (x)).

(i) Ta chứng minh bằng quy nạp theo [E : F ] ≥ 1 Nếu

[E : F ] = 1 thì E = F và f (x) phân rã trong F ; khi đó f (x) cũng

phân rã trong F ; vì thế E = F Do đó ta lấyϕ = ϕ Giả sử∼

[E : F ] > 1, khi đó tồn tại nhân tử bất khả quy p(x) của f (x) có

deg(p(x)) ≥ 2 Gọi α ∈ E là một nghiệm của p(x) Lấy

đó theo Bổ đề 1.15, tồn tại đẳng cấuϕ : F (α) → F (α) là mở rộngb

phân rã của f (x) trên F (α) và của f (x) trên F (α) Vì

[E : F ] = [E : F (α)][F (α) : F ] và [F (α) : F ] = deg(p(x)) ≥ 2,

nên [E : F (α)] < [E : F ] Từ đó theo giả thiết quy nạp, tồn tại

đẳng cấu trường∼ϕ : E → E là mở rộng củaϕ, do đób ϕ là mở rộng∼

của ϕ

Đề tài nghiên cứu khoa học

(ii) Ta cũng quy nạp theo [E : F ] Nếu [E : F ] = 1 thì E = F và

chỉ có duy nhất mở rộng∼ϕ của ϕ, chính là ϕ Giả sử [E : F ] > 1,

và p(x) là nhân tử bất khả quy của f (x) có deg(p(x)) = d ≥ 2

của p(x) Ta thấy∼ϕ(F (α)) = F (α), do đóϕ|∼F (α) : F (α) → F (α)

là một đẳng cấu trường, và là một mở rộng của ϕ Như vậy mỗi

thu được bằng cách mở rộng từ ϕ qua hai bước: thứ nhất ta mở

rộng từ ϕ lên đẳng cấuϕ : F (α) → F (α) (trong đó α, α lần lượtb

là nghiệm của p(x), p(x)), thứ hai ta mở rộng từϕ lênb ϕ.∼

Đề tài nghiên cứu khoa học

- Vì f (x) tách được nên p(x) có d nghiệm phân biệt α Khi đó, từ

của ϕ, tương ứng với d nghiệm α Lưu ý rằng E cũng là trường

phân rã của f (x) trên F (α), và E cũng là trường phân rã của

f (x) trên F (α); hơn nữa [E : F (α)] = [E : F ]/d < [E : F ] Từ đó

và từ giả thiết quy nạp ta suy ra rằng ứng với mỗi một trong số d

∼

d × ([E : F ]/d) = [E : F ] mở rộng của ϕ theo cách như trên

f (x) ∈ F [x] là đa thức có bậc dương Khi đó trường phân rã của

f (x) trên F là duy nhất sai khác một đẳng cấu giữ nguyên các

phần tử của F

Đề tài nghiên cứu khoa học

Nhận xét 1.19 Từ chứng minh Định lý 1.14 và Hệ quả 1.18, ta

thấy: nếu f (x) ∈ F [x] có bậc n > 0 và có n nghiệm α1, , αnthì

trường phân rã của f (x) trên F là E = F (α1, , αn).

1.3 Cấu trúc trường hữu hạn

Định nghĩa 1.20 Trường F được gọi là trường nguyên tố nếu nó

không có trường con nào ngoài bản thân nó

Nhận xét 1.21 i) Cho F là trường nguyên tố Khi đó chỉ có thể

nếu F có đặc số p thì F ∼= Zp Trường hợp F ∼= Zp ta thường kí

hiệu Fp thay cho F

ii) Cho E là một trường, đặt F là giao của mọi trường con của E,

khi đó F là một trường con nhỏ nhất của E, vì thế F là một

trường nguyên tố Trong trường hợp này, ta còn nói F là trường

con nguyên tố của E Như vậy, mọi trường đều chứa một trường

con nguyên tố

Đề tài nghiên cứu khoa học

Hệ quả 1.22 (Cấu trúc trường hữu hạn)(i) Cho F là trường

hữu hạn có q phần tử Khi đó tồn tại số nguyên tố p sao cho

q = pn với số tự nhiên n nào đó

(ii) Với mỗi số nguyên tố p và số tự nhiên n 6= 0, tồn tại duy nhất

một trường hữu hạn có pn phần tử (sai khác một đẳng cấu

trường)

Chứng minh (i) Gọi p là đặc số của F , khi đó p là số nguyên tố

Gọi Fp là trường con nguyên tố của F , khi đó F là Fp-không gian

véctơ hữu hạn chiều Giả sử dimFp(F ) = n < ∞, và lấy một cơ sở

của F là {e1, , en} Khi đó mỗi phần tử của F biểu diễn duy

nhất dưới dạng x =Pni=1aiei với a1, , an∈ Fp Từ đó ta được

|F | = |Fp× × Fp| (n lần) Do đó q = pn

Đề tài nghiên cứu khoa học

(ii) Sự tồn tại của trường có q = pn phần tử Xét đa thức

f (x) = xq− x ∈ Fp[x] với Fp(∼= Zp) là trường nguyên tố có đặc số

nguyên tố p Gọi E là trường phân rã của f (x) trên Fp Đặt

K = {α ∈ E | f (α) = 0} Ta thấy K là một trường con của E

(thật vậy, với mọi α, β ∈ K ta có (α − β)q = αq− βq = α − β,

(α−1)q= (αq)−1= α−1; suy ra α−1∈ K Ngoài ra, rõ ràng

rã của f (x) trên Fp, trường này có q = pn phần tử (lưu ý rằng đa

thức f (x) không có nghiệm bội)

Đề tài nghiên cứu khoa học

Tính duy nhất của trường có q = pn phần tử Giả sử Fq là trường

có q = pn phần tử Khi đó Fq có đặc số là p (giả sử p1 là đặc số

của Fq thì theo (i) suy ra q = pn0

1 ; do đó pn= pn10, vì thế p1 = p)

Vì Fq∗= Fq\ {0} là nhóm với phép nhân nên αq−1 = 1 với mọi

α ∈ Fq∗; do đó αq= α với mọi α ∈ Fq Chứng tỏ mọi phần tử của

Fq đều là nghiệm của đa thức f (x) = xq− x ∈ Fp[x] với Fp là

trường nguyên tố của Fq Suy ra Fq chính là trường phân rã của

f (x) trên Fp Điều đó khẳng định tính duy nhất của Fq sai khác

một đẳng cấu trường (theo Hệ quả 1.18)

là trường Galoa cấp pn và thường kí hiệu là GF (pn) hoặc Fq hoặc

Hq

Đề tài nghiên cứu khoa học

Bài tập Chương 1

1 Cho mở rộng trường E/F và α ∈ E là phần tử đại số trên F

Gọi p(x) ∈ F [x] là đa thức tối tiểu của α Giả sử deg(p(x) = n,

chứng tỏ rằng F (α) ∼= {Pn−1i=0 aiαi | ai∈ F, i = 0, , n − 1}

2 | p là số nguyên tố })/ Q là mở rộngđại số nhưng không là mở rộng hữu hạn

3 Chứng tỏ rằng đa thức f (x) có nghiệm bội nếu và chỉ nếu f (x)

4 Chứng minh rằng nếu trường F có đặc số 0 thì F là trường

2.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 2.1 Một đẳng cấu trường từ E vào chính nó được gọi

là một tự đẳng cấu của E Giả sử E/F là một mở rộng trường và

σ là tự đẳng cấu của E, khi đó ta nói σ cố định F theo từng điểm

tự đẳng cấu của E cố định F theo từng điểm và α là một nghiệm

của f (x) Khi đó σ(α) cũng là một nghiệm của f (x)

Chứng minh Giả sử f (x) =Pni=0aixi, khi đó 0 =Pni=0aiαi Ta

tác động σ vào hai vế ta được

0 =Pni=0σ(ai)σ(α)i =Pni=0aiσ(α)i (do σ cố định F theo từng

điểm) Do đó σ(α) cũng là một nghiệm của f (x)

Đề tài nghiên cứu khoa học

Định nghĩa 2.3 Cho E/F là một mở rộng trường Khi đó nhóm

Galoa của E/F , kí hiệu là Gal(E/F ), là nhóm được xác định bởi

Gal(E/F ) =

= {σ|σ là tự đẳng cấu của E cố định F theo từng điểm}

trong đó phép toán hai ngôi là phép hợp thành các ánh xạ Nếu

f (x) ∈ F [x] có trường phân rã trên F là E thì ta gọi Gal(E/F )

là nhóm Galoa của f (x)

phân rã E (của f (x) trên F ), thì nhóm Gal(E/F ) đẳng cấu với

một nhóm con của nhóm đối xứng Sn, và do đó cấp của nó là ước

của n!

Chứng minh Đặt X = {α1, , αn} là tập n nghiệm phân biệt của

f (x) trong E Theo Bổ đề 2.2, với mỗi σ ∈ Gal(E/F ), ta có σ|X

xác định bởi σ 7−→ σ|X Suy ra |Gal(E/F )| là ước của n!

Đề tài nghiên cứu khoa học

Hệ quả 2.5Cho f (x) ∈ F [x] là đa thức tách được và trường

phân rã của f (x) trên F là E Khi đó |Gal(E/F )| = [E : F ]

Chứng minh Áp dụng Định lý 1.17 (ii) với F = F , E = E và

ϕ : F → F là ánh xạ đồng nhất idF Khi đó có chính xác [E : F ]

tự đẳng cấu của E cố định F theo từng điểm

2.5 suy ra |Gal(C /R)| = 2

ε2 = ε với ε = −1

√3

g(x) bất khả quy nên [E : Q] = deg(g(x)) = 2 Từ đó vì g(x) tách

được nên |Gal(E/ Q)| = [E : Q] = 2 (theo Hệ quả 2.5) Cụ thể,

nhóm Gal(E/ Q) = {σ1, σ2}, trong đó σ1,2: a + bε 7−→ a ± bε

Đề tài nghiên cứu khoa học

Ví dụ 3 Gọi E là trường phân rã của f (x) = x3− 2 trên Q Ta

thấy f (x) có ba nghiệm là α, αε, αε2 trong đó α =√3

2 và

√3

Ta thấy [Q(α) : Q] = deg(f (x)) = 3 (vì f (x) là đa thức tối tiểu

hai nghiệm ε, ε2 ∈ Q(α), nên g(x) bất khả quy trên Q(α) và nó là/

đa thức tối tiểu của ε trên Q(α) Do đó

[Q(α, ε) : Q(α)] = deg(g(x)) = 2 Vậy |Gal(E/ Q)| = 2 × 3 = 6

Suy ra Gal(E/ Q) ∼= S3 (theo Định lý 2.4)

Đề tài nghiên cứu khoa học

Định lý 2.6Cho F ⊆ B ⊆ E là một tháp trường trong đó E là

trường phân rã của f (x) ∈ F [x] trên F , và B là trường phân rã

của g(x) ∈ F [x] trên F Khi đó

(i) Gal(E/B) là nhóm con chuẩn tắc của nhóm Gal(E/F ), và

(ii) Gal(E/F )/Gal(E/B) ∼= Gal(B/F )

Chứng minh Cho σ ∈ Gal(E/F ) Kí hiệu α1, , αn là các nghiệm

phân biệt của g(x) trong E, khi đó B = F (α1, , αn) Ta có

σ(B) = σ(F (α1, , αn)) = F (σ(α1), , σ(αn)) = B Chứng tỏ

Ker ψ = Gal(E/B) Hơn nữa, lấy τ ∈ Gal(B/F ), chú ý rằng E

cũng là trường phân rã của f (x) trên B, khi đó từ Định lý 1.17

suy ra tồn tại tự đẳng cấu τ : E → E là một mở rộng của τ ; do

đó ψ(τ ) = τ |B= τ Suy ra ψ là toàn cấu; do đó

Đề tài nghiên cứu khoa học

2.2 Căn của đơn vị, một số cấu trúc nhóm Galois

Bổ đề 2.7Cho G =< a > là nhóm xyclic cấp n Khi đó với mỗi

ước dương d của n tồn tại duy nhất một nhóm con của G có cấp d

Chứng minh Giả sử n = dc Khi đó < ac> là nhóm con của G có

vì cả hai nhóm con này cùng có d phần tử nên < am>=< ac>

Chú ý 2.8 i) Nhắc lại rằng nếu C =< a > là nhóm xyclic cấp n

thì một phần tử ak sinh ra C nếu và chỉ nếu (k, n) = 1 Khi đó, số

phần tử sinh của C là ϕ(n) (hàm Euler)

Đề tài nghiên cứu khoa học

ii) Với mỗi số nguyên dương n, ta có công thức

có cấp n, trong G ta định nghĩa quan hệ a ∼ b nếu và chỉ nếu

< a >=< b > Ta thấy ∼ là quan hệ tương đương Suy ra G được

phân thành các lớp tương đương rời nhau Ta kí hiệu g(C) là lớp

tương đương của a, khi đó g(C) bằng tập phần tử sinh của

C =< a > Từ đó, ta có G =S

cả các nhóm con xyclic C của G) Suy ra

Định lý 2.9Một nhóm G cấp n là nhóm xyclic nếu và chỉ nếu mỗi

ước dương d của n tồn tại nhiều nhất một nhóm con của G có cấp

d

Chứng minh Nếu G là xyclic thì kết quả suy ra từ Bổ đề ?? Ngược

nhóm con xyclic cấp d với mọi d là ước của n Trường hợp đặc biệt

suy ra G chứa nhóm con xyclic có cấp n Do đó G là nhóm xyclic

Đề tài nghiên cứu khoa học

Định lý 2.10Cho F là trường với nhóm nhân F∗= F − {0} Khi

đó mọi nhóm con hữu hạn G của F∗ đều là nhóm xyclic

Chứng minh Giả sử |G| = n và d|n Nếu C là một nhóm con xyclic

của G có cấp d thì mọi phần tử của C là nghiệm của đa thức

điều này là vô lý (vì ta đã biết đa thức xd− 1 chỉ có nhiều nhất d

nghiệm trong một trường) Chứng tỏ với mỗi d|n có nhiều nhất

một nhóm con xyclic của G có cấp d Từ đó suy ra G là nhóm

xyclic (theo Định lý 2.9)

Đề tài nghiên cứu khoa học

Hệ quả 2.11Cho F là một trường và n là số tự nhiên khác 0 Khi

đó G = {a ∈ F | an= 1} là nhóm con xyclic của nhóm nhân F∗

nhóm xyclic, hơn nữa tồn tại phần tử α ∈ F sao cho F = Fp(α),

trong đó Fp là trường con nguyên tố của F

Chứng minh Vì F là trường hữu hạn nên nó có đặc số nguyên tố p

và có trường con nguyên tố là Fp Đặt |F | = q Khi đó tồn tại số

trên Fp Do đó F = Fp(0, α1, , αq−1) = Fp(α1, , αq−1),

trong đó 0, α1, , αq−1 là tất cả các nghiệm của f (x) Lưu ý

F∗; vì thế F∗ là nhóm xyclic cấp q − 1 (theo Định lý 2.10), giả sử

F∗ =< α > với α ∈ F∗ Khi đó mọi αi đều là lũy thừa của α (với

i = 1, , q − 1) Do vậy F = Fp(α)

Đề tài nghiên cứu khoa học

Định nghĩa 2.13 Cho E/F là một mở rộng hữu hạn Một phần tử

α ∈ E được gọi là phần tử nguyên thủy của E nếu E = F (α)

Nhận xét 2.14 Cho F là trường hữu hạn Khi đó

i) Theo chứng minh của Hệ quả 2.12, ta thấy mỗi phần tử sinh α

ii) Nếu α là phần tử nguyên thủy của F thì mọi phần tử của F

hoặc là 0 hoặc là lũy thừa của α

Bổ đề 2.15Xét mở rộng trường Fq/Fp, với q = pn Giả sử α là

phần tử nguyên thủy của Fq Khi đó α là một nghiệm của một đa

thức bậc n bất khả quy trong Fp[x].Chứng minh Ta có

đại số, ta thấy [Fp(α) : Fp] = d, suy ra Fp(α) có pd phần tử Do

đó pd= |Fp(α)| = pn, kéo theo d = n

Đề tài nghiên cứu khoa học

Định lý 2.16Đặt G = Gal(Fq/Fp), với q = pn Khi đó G ∼= Zn

và có phần tử sinh là σ : u 7−→ up (tự đẳng cấu Frobenius)

thức f (x) bất khả quy trong F [x] có bậc n (theo Bổ đề 2.15) Do

đó [F (α) : F ] = deg(f (x)) = n Mặt khác E là trường phân rã

ra |G| = [E : F ] Vậy |G| = n Bây giờ ta chứng minh

σ(uv) = (uv)p= upvp = σ(u)σ(v) với mọi u, v ∈ E;

∈ E sao cho σ(u) = w (do

wpn− w = 0 ) Suy ra σ là toàn cấu Ta lại có σ là đơn cấu (do

Đề tài nghiên cứu khoa học

Cuối cùng ta thấy σ|F = idF (do với mọi a ∈ F đều thỏa mãn

chứng minh σj 6= idE với mọi 0 < j < n (vì hiển nhiên đã có

σn= idE) Giả sử trái lại rằng tồn tại 0 < j < n sao cho

σj = idE, khi đó với mọi u ∈ E ta có σj(u) = u hay upj− u = 0

với mọi u ∈ E Suy ra mọi phần tử của E đều là nghiệm của đa

thức xp j

− x, đa thức này có bậc pj < pn, đây là điều mâu thuẫn

Chứng tỏ σ có cấp là n Vậy G là nhóm xyclic cấp n, vì thế

G ∼= Zn

hoặc là F có đặc số 0 hoặc là F có đặc số p không là ước của n

Khi đó đa thức f (x) = xn− 1 có n nghiệm phân biệt trong trường

phân rã của f (x) trên F

Chứng minh Giả thiết suy ra f0(x) 6= 0, do đó (f (x), f0(x)) = 1,

nên có u(x), v(x) ∈ F [x] sao cho u(x)f (x) + v(x)f0(x) = 1 Vậy

f (x), f0(x) không có nghiệm chung, nên f (x) kh có nghiệm bội.Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois

Đề tài nghiên cứu khoa học

Định nghĩa 2.18 Cho F là một trường và n là số nguyên dương

không chia hết cho đặc số của F Giả sử E là trường phân rã của

một phần tử sinh α của nhóm G được gọi là một căn nguyên thủy

bâc n của đơn vị

Chú ý 2.19 i) Một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị trong trường

ii) Cho R là vành giao hoán, ta kí hiệu U (R) là tập các phần tử

khả nghịch của R Khi đó dễ thấy U (R) là một nhóm với phép

Đề tài nghiên cứu khoa học

Định lý 2.20Cho F là một trường và E = F (α) với α là một căn

nguyên thủy bậc n của đơn vị Khi đó nhóm Gal(E/F ) đẳng cấu

với nhóm con của nhóm U (Zn) và do đó Gal(E/F ) là nhóm Abel

Chứng minh Vì E = F (α) là mở rộng đơn đại số của F nên mỗi

phần tử của E có dạngPm−1i=0 aiαi trong đó ai∈ F và

m = deg(f (x)) (với f (x) ∈ F [x] là đa thức tối tiểu của α, lưu ý

rằng f (x)|(xn− 1)) Ta sẽ thiết lập ánh xạ

là nghiệm của f (x) và là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị

σ(α) = αi (vì nếu trái lại còn có j ∈ U (Zn) sao cho i 6= j và

αi = αj thì αj−i= 1, suy ra j − i chia hết cho n; do đó i = j,

điều này mâu thuẫn)

Đề tài nghiên cứu khoa học