Những kiến thức chuẩn bị
Một số kết quả
Tính ổn định của Amart
I Xây dựng không gian Dv
II Sự hội tụ của Dv - Amart Chơng IV: Amart điều kiện:
I Một số khái niệm và kết quả liên quan
II Các định lý đặc trng cho sự hội tụ hầu chắc chắn
Do gặp phải một số khó khăn trong việc thu thập tài liệu tham khảo và khả năng còn hạn chế, tác giả không thể tránh khỏi những sai sót Mong thầy cô và bạn đọc thông cảm và đóng góp ý kiến để hoàn thiện hơn.
Khai triển Riesz của Amart
I Xây dựng không gian Dv
II Sự hội tụ của Dv - Amart Chơng IV: Amart điều kiện:
I Một số khái niệm và kết quả liên quan
II Các định lý đặc trng cho sự hội tụ hầu chắc chắn
Do gặp phải một số khó khăn trong việc tham khảo tài liệu và khả năng còn hạn chế, tác giả xin được thông cảm và mong nhận được ý kiến đóng góp từ thầy cô và bạn đọc để cải thiện nội dung.
Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được sự hỗ trợ tận tình từ thầy Nguyễn Hắc Hải cùng các giảng viên trong tổ Toán ứng dụng thuộc Khoa Toán Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, giúp tôi hoàn thành bản luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hắc Hải và các thầy cô giáo /.
Chơng I Những kiến thức chuẩn bị
I Các kháI niệm cơ bản Định nghĩa I.1.1: Phần tử ngẫu nhiên.
Giả sử không gian xác suất (, ℱ, P); (E, ℬ) là không gian Mêtric đầy đủ, khả ly.
Một ánh xạ đo đợc từ E đợc gọi là phần tử ngẫu nhiên, ký hiệu là X.
Khi đó : X: E sao cho X -1 (B) ℱ, với mọi B ℬ.
Khi E = R (E = R n ) ta có X là biến ngẫu nhiên hay vectơ ngẫu nhiên.
Giả sử Xn n N là dãy các đại lợng ngẫu nhiên tơng thích với họ ℱn, nghĩa là Xn đo đợc đối với ℱn với mọi n.
Khi đó ta nói rằng: (Xn, ℱn)n N tạo thành dãy ngẫu nhiên. Định nghĩa I.1.2: Thời điểm dừng bị chặn.
(i) P[() < ] = 1 (ii) [:() = n ] = [=n] ℱn đợc gọi là điểm dừng bị chặn.
Trong đó: ℱn là họ tăng các - đại số con của ℱ.
Ký hiệu: T = tập các thời điểm dừng bị chặn.
ℱ là - đại số con của ℱ
X là biến ngẫu nhiên X là ℱ - đo đợc
A c ℱ c Ai i I mà Ai ℱ, Ai Aj = , với mọi i ≠ j ¿ i Α i ∩[ τ=n ]=¿ i (Α i ∩[τ=n])∈¿ ¿
Vậy ℱ là - đại số trên
Với a R 1 , ta phải chứng minh: [ X < a] ℱn.
Xn là biến ngẫu nhiên [Xn < a] ℱn
là thời điểm dừng nên [ = n] ℱn [X < a] ℱn
X là biến ngẫu nhiên. Định nghĩa I.1.3: Dãy dự báo.
Dãy ngẫu nhiên (Xn, ℱn)nN đợc gọi là dãy dự báo nếu với mỗi n N thì các biến ngẫu nhiên Xn là ℱn -1 - đo đợc, ở đó ℱ0 = ℱ1. Định nghĩa I.1.4: Martingale (Sub Martingale).
Dãy ngẫu nhiên (Xn, ℱn)nN gọi là Martingale (Sub Mart) nếu với mọi n ≥ 1 các điều kiện sau thoả mãn:
(ii) E(Xn+1 ℱn) = Xn (E(Xn+1/ ℱn) ≥ Xn) (a.s) Định nghĩa I.1.5: Khả tích đều.
Dãy ngẫu nhiên (Xn)nN tơng thích với họ ℱnnN đợc gọi là khả tích đều nÕu:
X n dP⃗c→∞0 hay: SupE ( X n I [ X n >c ] ) ⃗ c →∞ 0 Định nghĩa I.1.6: T - Khả tích đều.
Dãy ngẫu nhiên (Xn)nN tơng thích với họ ℱnnN đợc gọi là T - khả tích đều nếu: EX T là khả tích đều
Nghĩa là: với mọi > 0, ∃ 0 sao cho: sup E(X.I[Xn>]) < với mọi >
0. Định nghĩa I.1.7: Hội tụ theo xác suất.
X n ⃗ P X nÕu ∀ > 0: lim P[|Xn-X| ≤ ] = 1 n n Định nghĩa I.1.8: Hội tụ hầu chắc chắn.
X n ⃗ a s X nÕu P[ : lim Xn()=X()] = 1 n n Định nghĩa I.1.9: Hội tụ theo luật.
X n ⃗ D X nÕu PXn PX n Định nghĩa I.1.10: Hội tụ căn bản theo luật
X n ⃗ ED X nếu với mọi tập X - liên tục A ta có: n
P(lim sup [Xn A]) = P(lim inf [Xn A]) = P(X A) n n
(tập A đợc gọi là X - liên tục nếu P[X A] = 0 A là biên của tập A, A ℬ)
Mêtric – Levy – Prokhorop xác định trên tập PE gồm tất cả các độ đo xác suất trên (E, ℬ) nh sau:
L(PX, PY) = inf { : PX (A) < PY (A ) + ; PY (A) < PX (A) + , A ℬ}
Trong đó: PX là phân phối xác suất của phần tử ngẫu nhiên X
A = {x E; (x,A) < } Ngêi ta cã thÓ viÕt: L(X,Y) = L(PX, PY) Định nghĩa I.1.11: Hội tụ ngẫu nhiên theo luật.
X τ ⃗ D X nÕu ∀ > 0, ∃ 0 T, T, > 0: L(X, X) < (a.s) Định nghĩa I.1.12: Hội tụ vô hớng.
∞ đợc gọi là hội tụ vô hớng (a.s) đến X nếu mọi toán tử tuyến tính liên tục f, f E * thì : f(Xn) f(X).
Trong đó : E * là không gian Banach đối ngẫu của E.
II Một số kết quả
Nếu dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn}n N hội tụ theo xác suất tới phần tử ngẫu nhiên X thì tồn tại một dãy con (nk) sao cho dãy { X n k } k=1
Dãy các phần tử ngẫu nhiên { X n } ∞ n=1 hội tụ a.s tới phần tử ngẫu nhiên X nếu với mọi dãy {n} T, n (a.s) ta có: {Xn} n=1
Giả sử {Xn}nN là một Amart L 1 - bị chặn
∞ là dãy các phần tử ngẫu nhiên, X là phần tử ngẫu nhiên Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
Trong đó: X’ là phần tử ngẫu nhiên nào đó, sao cho PX = PX’
∞ là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach E.
Và tập {Xn ()} là compact tơng đối (a.s)
Giả sử {Xn}nN là dãy các phần tử ngẫu nhiên và X là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
P[sup m>n (X m , X)< ∞ ]=1 (ii) Với mọi dãy (n), n T, n≥ n, n N, ta có:
Giả sử {Xn, ℱn}nN và {Yn, ℱn}nN là Amart L 1 - bị chặn.
Khi đó: {Xn Yn ,ℱn}nN và {Xn Yn, ℱn}nN cũng là Amart L 1 - bị chặn.
Martingale tiệm cận (Amart) đợc mở rộng trực tiếp từ khái niệm martingale: Dãy ngẫu nhiên {Xn, ℱn}nN gọi là Amart nếu lới (EX) T hội tụ.
I Sự hội tụ của Amart:
Giả sử Y là biến ngẫu nhiên ℱ - đo đợc sao cho với mọi : Y() là điểm dính của dãy {Xn()} nN.
Khi đó tồn tại dãy thời điểm dừng (n) n N, n TN, với n+1 ≥ n và n ≥ n sao cho: X τ n ⃗a.s Y , n→ ∞ Chứng minh:
Lấy n0 và > 0, tồn tại n’ ≥ n0 và biến ngẫu nhiên Y’ sao cho Y’ là ℱn’- đođợc và:
Vì Y() là điểm dính của dãy {Xn()}n N nên:
{ ω :Y ' ( ω ) −Y ( ω ) ≤3 ε } ⊂ { ω :X n ( ω ) −Y ' ( ω ) ≤23 ε , n≥n ' } và tồn tại n’’ ≥ n’ sao cho P(A)>1−2ε
Ta xác định thời điểm dừng :
Do Y là ℱ - đo đợc và ℱ = ( ¿ n∈N ℱn)
Y là ℱn - đo đợc với mọi n N [ = n] ℱn , với mọi n N
Theo bổ đề I.2.1 tồn tại dãy (n) TN sao cho X τ n ⃗a.s Y , n→ ∞
bổ đề đợc chứng minh. Định lý II.1.2
{Xn, ℱn}nN là dãy ngẫu nhiên và
Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
Chọn (n)n N là dãy thời điểm dừng bị chặn tăng tới vô hạn khi n
⇒EX τ n →EX ,n→∞ ⇒( EX τ n ) n∈ N là hội tụ
Vì dãy {n} chọn bất kỳ (EX) hội tụ (Xn)n N là Amart
Theo bổ đề II.1.1 tồn tại 2 dãy thời điểm dừng bị chặn {}n N và {n}n
Qua giới hạn dới dấu tích phân (vì
Theo bổ đề Fatou: X n ⃗ a s X , n→ ∞ Định lí đợc chứng minh. Định lí II.1.3.
Giả sử {Xn, ℱn}nN là Amart và Xn là L 1 - bị chặn, khi đó Xn hội tụ (a.s) khi n
Lấy > 0 và đặt Yn = - Xn , n N.
Theo bổ đề I.2.7 {Yn , ℱn}n N là Amart bị chặn đều.
Theo định lý II.1.2 Yn hội tụ (a.s) khi n
Theo bổ đề I.2.3: có thể chọn đủ lớn sao cho: λP [ sup n X n > λ ] ≤sup τ X τ
Xn héi tô a.s khi n Định lí đợc chứng minh. Định lí II.1.4.
Giả sử {Xn, ℱn}nN là T - khả tích đều.
Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
(ii) {Xn, ℱn}nN là một Amart
Chọn (n)n N là dãy tăng các thời điểm dừng bị chặn
Vì { X τ n } n∈N là khả tích đều và chọn (n) bất kỳ nên (EX) hội tụ
Giả sử {Xn, ℱn}nN là một Amart
{ X n >a } {Xn}nN là T – khả tích đều {Xn}nN là L 1 - bị chặn.
Theo định lý II.1.3 X n ⃗ a.s X , n → ∞ Định lí đợc chứng minh.
II tính ổn định của amart.
Trong phần này vấn đề cơ bản cần phải giải quyết là:
Cho {Xn, ℱn}nN là một Amart và một hàm : R R Với điều kiện nào của hàm thì {(Xn), ℱn}nN là một Amart ?
Câu trả lời khẳng định cho những trờng hợp: (x) = |x|, x + , x - với điều kiện{Xn}nN là L 1 - bị chặn đã đợc nêu trong bổ đề sau:
Giả sử {Xn}nN là L 1 - bị chặn.
Nếu{Xn, ℱn}nN là một Amart thì { X n + , ℱn}nN, { X n − , ℱn}nN, { X n ,
Bây giờ chúng ta nghiên cứu các điều kiện đủ của hàm để kết luận trên vẫn đúng. Định lý II.2.2.
Giả sử {Xn, ℱn}nN là một Amart và {Xn}nN là L 1 - bị chặn.
(ii) lim x → ∞ ϕ(x) x và lim x→−∞ ϕ(x) x tồn tại hữu hạn Khi đó {(Xn), ℱn}nN là Amart L 1 - bị chặn
Chứng minh: a Trớc hết ta giả sử rằng Xn 0, (0) = 0, lim x→ ∞ ϕ(x) x = 0.
Giả sử {Xn, ℱn}nN là một Amart và {Xn}nN là L 1 - bị chặn.
Xn héi tô a.s khi n (Xn) héi tô a.s khi n
Ta phải chứng minh {(X)} T là khả tích đều.
ThËt vËy: tõ x→ ∞ lim ϕ ( x ) x = 0 ϕ(x) x M
liên tục bị chặn |(x)| 0 với 0 x M.
{ ϕ( X τ )> A } ≤ ε sup τ EX τ có thể chọn nhỏ tuỳ ý {(X)} T là khả tích đều.
Theo định lý II.1.4 {(Xn), ℱn}nN là Amart. b Giả sử rằng Xn 0, (0) = 0, lim x → ∞ ϕ(x) x = 0 Đặt (x) = (x) - (x) lim x→ ∞ ψ(x) x =0 và (0) = 0.
Theo chứng minh (a) { (Xn), ℱn}nN là Amart.
Do tính chất tuyến tính {(Xn), ℱn}nN là Amart. c Bây giờ giả sử rằng chỉ có (0) = 0
Từ {Xn, ℱn}nN là một Amart { X n + , ℱn}nN, { X n − , ℱ n}nN là những Amart không âm.
Theo chứng minh (b) { ( X n + ), ℱn}nN, { ( X n − ), ℱn}nN là Amart.
{(Xn), ℱn}nN là Amart. d Cuối cùng nếu (0) 0 Đặt (x) = (x) - (0) (0) = 0
Theo chứng minh (c) { (Xn), ℱn}nN là Amart
{ (Xn), ℱn}nN là Amart Định lí đợc chứng minh
Nếu bỏ điều kiện (ii) trong định lý II.2.2 ta có kết quả sau: Định lý II.2.3
Giả sử {Xn, ℱn}nN là một Amart.
: R R là hàm liên tục sao cho lim x → ∞ ϕ(x) x và lim x→−∞ ϕ(x) x không tồn tại hữu hạn.
Nếu {Xn}nN là L 1 - bị chặn và {(X)} T là khả tích đều thì {(Xn), ℱn}nN là Amart L 1 - bị chặn.
Theo định lý hội tụ của Amart:
liên tục (Xn) hội tụ a.s khi n
{(Xn), ℱn}nN là Amart Định lí đợc chứng minh
III Khai triển Riesz của Amart :
Năm 1953, Doob đã chứng minh thành công định lý khai triển cho Sub Martingale, mở ra hướng nghiên cứu mới cho nhiều nhà toán học Kể từ đó, các nhà khoa học đã nỗ lực mở rộng định lý này theo nhiều cách khác nhau, trong đó có sự phát triển của Amart.
Giả sử {Xn, ℱn}nN là một Amart và số > 0.
Khi đó ∃ 0 T sao cho: E|X - E(X|ℱ)| , 0 và lới E(X |ℱ)T là hội tụ trong L 1 , ∀ T.
+ {Xn, ℱn}nN là một Amart lới E(X)T là hội tụ
Với T, 0 và ∀ A ℱ ta xác định thời điểm dừng:
+ Lới E(X |ℱ)T là hội tụ trong L 1 , ∀ T.
E(X |ℱ)T là hội tụ trong L 1 , ∀ T. Định lí đợc chứng minh Định lý II.3.2 (định lý khai triển Riesz)
Giả sử {Xn, ℱn}nN là một Amart.
Khi đó Xn có thể khai triển một cách duy nhất dới dạng: Xn = Yn + Zn.
Trong đó {Yn, ℱn}nN là martingale.
{Zn, ℱn}nN là Amart T - khả tích đều.
+ Với T tuỳ ý, theo bổ đề II.3.1 lới (E(X |ℱ))T là hội tụ trong L 1 tới
Cố định T, ta xác định: Y = E(Y | ℱ ) với T.
{Yn, ℱn}nN là martingale Đặt Zn = Xn - Yn {Zn, ℱn}nN là Amart.
+ Zn là T -khả tích đều:
Thật vậy với > 0, chon 0 và 0 sao cho bổ đề II.3.1 thoả mãn đối với (Z) T và (Y) T E|Y - E(X | ℱ)|
(ZZ ) T là T - khả tích đều + Khai triển là duy nhất:
Z n (1 ) =Z ( n 2) a.s , ∀ n Định lí đợc chứng minh.
D v – Amart
Amart điều kiện
Các định lý đặc trng cho sự hội tụ hầu chắc chắn 47 KÕt luËn
Do gặp phải những khó khăn nhất định về tài liệu tham khảo và khả năng còn hạn chế, tác giả không thể tránh khỏi một số sai sót Mong thầy cô và bạn đọc thông cảm và góp ý thêm để cải thiện nội dung.
Trong suốt quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được sự hỗ trợ nhiệt tình từ thầy Nguyễn Hắc Hải cùng các giảng viên trong tổ Toán ứng dụng thuộc Khoa Toán Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, giúp tôi hoàn thành bản luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hắc Hải và các thầy cô giáo /.
Chơng I Những kiến thức chuẩn bị
I Các kháI niệm cơ bản Định nghĩa I.1.1: Phần tử ngẫu nhiên.
Giả sử không gian xác suất (, ℱ, P); (E, ℬ) là không gian Mêtric đầy đủ, khả ly.
Một ánh xạ đo đợc từ E đợc gọi là phần tử ngẫu nhiên, ký hiệu là X.
Khi đó : X: E sao cho X -1 (B) ℱ, với mọi B ℬ.
Khi E = R (E = R n ) ta có X là biến ngẫu nhiên hay vectơ ngẫu nhiên.
Giả sử Xn n N là dãy các đại lợng ngẫu nhiên tơng thích với họ ℱn, nghĩa là Xn đo đợc đối với ℱn với mọi n.
Khi đó ta nói rằng: (Xn, ℱn)n N tạo thành dãy ngẫu nhiên. Định nghĩa I.1.2: Thời điểm dừng bị chặn.
(i) P[() < ] = 1 (ii) [:() = n ] = [=n] ℱn đợc gọi là điểm dừng bị chặn.
Trong đó: ℱn là họ tăng các - đại số con của ℱ.
Ký hiệu: T = tập các thời điểm dừng bị chặn.
ℱ là - đại số con của ℱ
X là biến ngẫu nhiên X là ℱ - đo đợc
A c ℱ c Ai i I mà Ai ℱ, Ai Aj = , với mọi i ≠ j ¿ i Α i ∩[ τ=n ]=¿ i (Α i ∩[τ=n])∈¿ ¿
Vậy ℱ là - đại số trên
Với a R 1 , ta phải chứng minh: [ X < a] ℱn.
Xn là biến ngẫu nhiên [Xn < a] ℱn
là thời điểm dừng nên [ = n] ℱn [X < a] ℱn
X là biến ngẫu nhiên. Định nghĩa I.1.3: Dãy dự báo.
Dãy ngẫu nhiên (Xn, ℱn)nN đợc gọi là dãy dự báo nếu với mỗi n N thì các biến ngẫu nhiên Xn là ℱn -1 - đo đợc, ở đó ℱ0 = ℱ1. Định nghĩa I.1.4: Martingale (Sub Martingale).
Dãy ngẫu nhiên (Xn, ℱn)nN gọi là Martingale (Sub Mart) nếu với mọi n ≥ 1 các điều kiện sau thoả mãn:
(ii) E(Xn+1 ℱn) = Xn (E(Xn+1/ ℱn) ≥ Xn) (a.s) Định nghĩa I.1.5: Khả tích đều.
Dãy ngẫu nhiên (Xn)nN tơng thích với họ ℱnnN đợc gọi là khả tích đều nÕu:
X n dP⃗c→∞0 hay: SupE ( X n I [ X n >c ] ) ⃗ c →∞ 0 Định nghĩa I.1.6: T - Khả tích đều.
Dãy ngẫu nhiên (Xn)nN tơng thích với họ ℱnnN đợc gọi là T - khả tích đều nếu: EX T là khả tích đều
Nghĩa là: với mọi > 0, ∃ 0 sao cho: sup E(X.I[Xn>]) < với mọi >
0. Định nghĩa I.1.7: Hội tụ theo xác suất.
X n ⃗ P X nÕu ∀ > 0: lim P[|Xn-X| ≤ ] = 1 n n Định nghĩa I.1.8: Hội tụ hầu chắc chắn.
X n ⃗ a s X nÕu P[ : lim Xn()=X()] = 1 n n Định nghĩa I.1.9: Hội tụ theo luật.
X n ⃗ D X nÕu PXn PX n Định nghĩa I.1.10: Hội tụ căn bản theo luật
X n ⃗ ED X nếu với mọi tập X - liên tục A ta có: n
P(lim sup [Xn A]) = P(lim inf [Xn A]) = P(X A) n n
(tập A đợc gọi là X - liên tục nếu P[X A] = 0 A là biên của tập A, A ℬ)
Mêtric – Levy – Prokhorop xác định trên tập PE gồm tất cả các độ đo xác suất trên (E, ℬ) nh sau:
L(PX, PY) = inf { : PX (A) < PY (A ) + ; PY (A) < PX (A) + , A ℬ}
Trong đó: PX là phân phối xác suất của phần tử ngẫu nhiên X
A = {x E; (x,A) < } Ngêi ta cã thÓ viÕt: L(X,Y) = L(PX, PY) Định nghĩa I.1.11: Hội tụ ngẫu nhiên theo luật.
X τ ⃗ D X nÕu ∀ > 0, ∃ 0 T, T, > 0: L(X, X) < (a.s) Định nghĩa I.1.12: Hội tụ vô hớng.
∞ đợc gọi là hội tụ vô hớng (a.s) đến X nếu mọi toán tử tuyến tính liên tục f, f E * thì : f(Xn) f(X).
Trong đó : E * là không gian Banach đối ngẫu của E.
II Một số kết quả
Nếu dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn}n N hội tụ theo xác suất tới phần tử ngẫu nhiên X thì tồn tại một dãy con (nk) sao cho dãy { X n k } k=1
Dãy các phần tử ngẫu nhiên { X n } ∞ n=1 hội tụ a.s tới phần tử ngẫu nhiên X nếu với mọi dãy {n} T, n (a.s) ta có: {Xn} n=1
Giả sử {Xn}nN là một Amart L 1 - bị chặn
∞ là dãy các phần tử ngẫu nhiên, X là phần tử ngẫu nhiên Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
Trong đó: X’ là phần tử ngẫu nhiên nào đó, sao cho PX = PX’
∞ là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach E.
Và tập {Xn ()} là compact tơng đối (a.s)
Giả sử {Xn}nN là dãy các phần tử ngẫu nhiên và X là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
P[sup m>n (X m , X)< ∞ ]=1 (ii) Với mọi dãy (n), n T, n≥ n, n N, ta có:
Giả sử {Xn, ℱn}nN và {Yn, ℱn}nN là Amart L 1 - bị chặn.
Khi đó: {Xn Yn ,ℱn}nN và {Xn Yn, ℱn}nN cũng là Amart L 1 - bị chặn.
Martingale tiệm cận (Amart) đợc mở rộng trực tiếp từ khái niệm martingale: Dãy ngẫu nhiên {Xn, ℱn}nN gọi là Amart nếu lới (EX) T hội tụ.
I Sự hội tụ của Amart:
Giả sử Y là biến ngẫu nhiên ℱ - đo đợc sao cho với mọi : Y() là điểm dính của dãy {Xn()} nN.
Khi đó tồn tại dãy thời điểm dừng (n) n N, n TN, với n+1 ≥ n và n ≥ n sao cho: X τ n ⃗a.s Y , n→ ∞ Chứng minh:
Lấy n0 và > 0, tồn tại n’ ≥ n0 và biến ngẫu nhiên Y’ sao cho Y’ là ℱn’- đođợc và:
Vì Y() là điểm dính của dãy {Xn()}n N nên:
{ ω :Y ' ( ω ) −Y ( ω ) ≤3 ε } ⊂ { ω :X n ( ω ) −Y ' ( ω ) ≤23 ε , n≥n ' } và tồn tại n’’ ≥ n’ sao cho P(A)>1−2ε
Ta xác định thời điểm dừng :
Do Y là ℱ - đo đợc và ℱ = ( ¿ n∈N ℱn)
Y là ℱn - đo đợc với mọi n N [ = n] ℱn , với mọi n N
Theo bổ đề I.2.1 tồn tại dãy (n) TN sao cho X τ n ⃗a.s Y , n→ ∞
bổ đề đợc chứng minh. Định lý II.1.2
{Xn, ℱn}nN là dãy ngẫu nhiên và
Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
Chọn (n)n N là dãy thời điểm dừng bị chặn tăng tới vô hạn khi n
⇒EX τ n →EX ,n→∞ ⇒( EX τ n ) n∈ N là hội tụ
Vì dãy {n} chọn bất kỳ (EX) hội tụ (Xn)n N là Amart
Theo bổ đề II.1.1 tồn tại 2 dãy thời điểm dừng bị chặn {}n N và {n}n
Qua giới hạn dới dấu tích phân (vì
Theo bổ đề Fatou: X n ⃗ a s X , n→ ∞ Định lí đợc chứng minh. Định lí II.1.3.
Giả sử {Xn, ℱn}nN là Amart và Xn là L 1 - bị chặn, khi đó Xn hội tụ (a.s) khi n
Lấy > 0 và đặt Yn = - Xn , n N.
Theo bổ đề I.2.7 {Yn , ℱn}n N là Amart bị chặn đều.
Theo định lý II.1.2 Yn hội tụ (a.s) khi n
Theo bổ đề I.2.3: có thể chọn đủ lớn sao cho: λP [ sup n X n > λ ] ≤sup τ X τ
Xn héi tô a.s khi n Định lí đợc chứng minh. Định lí II.1.4.
Giả sử {Xn, ℱn}nN là T - khả tích đều.
Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
(ii) {Xn, ℱn}nN là một Amart
Chọn (n)n N là dãy tăng các thời điểm dừng bị chặn
Vì { X τ n } n∈N là khả tích đều và chọn (n) bất kỳ nên (EX) hội tụ
Giả sử {Xn, ℱn}nN là một Amart
{ X n >a } {Xn}nN là T – khả tích đều {Xn}nN là L 1 - bị chặn.
Theo định lý II.1.3 X n ⃗ a.s X , n → ∞ Định lí đợc chứng minh.
II tính ổn định của amart.
Trong phần này vấn đề cơ bản cần phải giải quyết là:
Cho {Xn, ℱn}nN là một Amart và một hàm : R R Với điều kiện nào của hàm thì {(Xn), ℱn}nN là một Amart ?
Câu trả lời khẳng định cho những trờng hợp: (x) = |x|, x + , x - với điều kiện{Xn}nN là L 1 - bị chặn đã đợc nêu trong bổ đề sau:
Giả sử {Xn}nN là L 1 - bị chặn.
Nếu{Xn, ℱn}nN là một Amart thì { X n + , ℱn}nN, { X n − , ℱn}nN, { X n ,
Bây giờ chúng ta nghiên cứu các điều kiện đủ của hàm để kết luận trên vẫn đúng. Định lý II.2.2.
Giả sử {Xn, ℱn}nN là một Amart và {Xn}nN là L 1 - bị chặn.
(ii) lim x → ∞ ϕ(x) x và lim x→−∞ ϕ(x) x tồn tại hữu hạn Khi đó {(Xn), ℱn}nN là Amart L 1 - bị chặn
Chứng minh: a Trớc hết ta giả sử rằng Xn 0, (0) = 0, lim x→ ∞ ϕ(x) x = 0.
Giả sử {Xn, ℱn}nN là một Amart và {Xn}nN là L 1 - bị chặn.
Xn héi tô a.s khi n (Xn) héi tô a.s khi n
Ta phải chứng minh {(X)} T là khả tích đều.
ThËt vËy: tõ x→ ∞ lim ϕ ( x ) x = 0 ϕ(x) x M
liên tục bị chặn |(x)| 0 với 0 x M.
{ ϕ( X τ )> A } ≤ ε sup τ EX τ có thể chọn nhỏ tuỳ ý {(X)} T là khả tích đều.
Theo định lý II.1.4 {(Xn), ℱn}nN là Amart. b Giả sử rằng Xn 0, (0) = 0, lim x → ∞ ϕ(x) x = 0 Đặt (x) = (x) - (x) lim x→ ∞ ψ(x) x =0 và (0) = 0.
Theo chứng minh (a) { (Xn), ℱn}nN là Amart.
Do tính chất tuyến tính {(Xn), ℱn}nN là Amart. c Bây giờ giả sử rằng chỉ có (0) = 0
Từ {Xn, ℱn}nN là một Amart { X n + , ℱn}nN, { X n − , ℱ n}nN là những Amart không âm.
Theo chứng minh (b) { ( X n + ), ℱn}nN, { ( X n − ), ℱn}nN là Amart.
{(Xn), ℱn}nN là Amart. d Cuối cùng nếu (0) 0 Đặt (x) = (x) - (0) (0) = 0
Theo chứng minh (c) { (Xn), ℱn}nN là Amart
{ (Xn), ℱn}nN là Amart Định lí đợc chứng minh
Nếu bỏ điều kiện (ii) trong định lý II.2.2 ta có kết quả sau: Định lý II.2.3
Giả sử {Xn, ℱn}nN là một Amart.
: R R là hàm liên tục sao cho lim x → ∞ ϕ(x) x và lim x→−∞ ϕ(x) x không tồn tại hữu hạn.
Nếu {Xn}nN là L 1 - bị chặn và {(X)} T là khả tích đều thì {(Xn), ℱn}nN là Amart L 1 - bị chặn.
Theo định lý hội tụ của Amart:
liên tục (Xn) hội tụ a.s khi n
{(Xn), ℱn}nN là Amart Định lí đợc chứng minh
III Khai triển Riesz của Amart :
Năm 1953, Doob đã chứng minh thành công định lý khai triển cho Sub Martingale, mở ra hướng nghiên cứu mới trong toán học Kể từ đó, nhiều nhà toán học đã nỗ lực mở rộng định lý này theo nhiều cách khác nhau, trong đó có sự khai triển của Amart.
Giả sử {Xn, ℱn}nN là một Amart và số > 0.
Khi đó ∃ 0 T sao cho: E|X - E(X|ℱ)| , 0 và lới E(X |ℱ)T là hội tụ trong L 1 , ∀ T.
+ {Xn, ℱn}nN là một Amart lới E(X)T là hội tụ
Với T, 0 và ∀ A ℱ ta xác định thời điểm dừng:
+ Lới E(X |ℱ)T là hội tụ trong L 1 , ∀ T.
E(X |ℱ)T là hội tụ trong L 1 , ∀ T. Định lí đợc chứng minh Định lý II.3.2 (định lý khai triển Riesz)
Giả sử {Xn, ℱn}nN là một Amart.
Khi đó Xn có thể khai triển một cách duy nhất dới dạng: Xn = Yn + Zn.
Trong đó {Yn, ℱn}nN là martingale.
{Zn, ℱn}nN là Amart T - khả tích đều.
+ Với T tuỳ ý, theo bổ đề II.3.1 lới (E(X |ℱ))T là hội tụ trong L 1 tới
Cố định T, ta xác định: Y = E(Y | ℱ ) với T.
{Yn, ℱn}nN là martingale Đặt Zn = Xn - Yn {Zn, ℱn}nN là Amart.
+ Zn là T -khả tích đều:
Thật vậy với > 0, chon 0 và 0 sao cho bổ đề II.3.1 thoả mãn đối với (Z) T và (Y) T E|Y - E(X | ℱ)|
(ZZ ) T là T - khả tích đều + Khai triển là duy nhất:
Z n (1 ) =Z ( n 2) a.s , ∀ n Định lí đợc chứng minh
- Ký hiệu I = tập hợp các hàm v liên tục, đơn điệu giản, xác định trên [0, +) sao cho:
(ii) Tồn tại [0, 1] sao cho: sup λ>0 v(αλ)/v(λ)=C α 0
Vậy với > 0 cố định thì:
Giả thiết rằng: lim sup
T ‖X τ ‖ v ≥α>0 Khi đó từ định nghĩa ‖.‖ v và từ điều kiện (3.1) ta nhận đợc:
, M + Điều này không thể xảy ra.
Nh vậy giả thiết là không đúng.
(Xn, ℱ n)n N là Dv - Amart với v I thoả mãn điều kiện (3.1).
II Sự hội tụ của D v - Amart. Định lý III.2.1: (Tính hội tụ làm trội trong D v ).
Cho {Xn}nN là dãy biến ngẫu nhiên hội tụ tới X (a.s) trên và Y Dv: |Xn| Y (a.s) trên
Khi đó: X, Xn Dv, n 1 và: lim n→∞‖X n −X‖ v =0
Các mệnh đề dưới đây chỉ ra rằng tập hội tụ của Dv - Amart thực sự mở rộng các kết quả đã biết về lớp Martingale Để thuận tiện, chúng ta sẽ sử dụng một số ký hiệu sau đây.
Giả sử {Xn}nN là dãy biến ngẫu nhiên tơng thích với họ (ℱ n)n N sao cho sup
C1 là hằng số dơng không phụ thuộc vào
Với > 0 cố định và > 0 tuỳ ý, tồn tại N sao cho: M() MN() +
Từ định nghĩa MN() trên tồn tại k0 sao cho:
Từ định nghĩa hàm: ‖.‖ v , ta có:
Với C(.) là đại lợng có trong định nghĩa hàm số v
Bổ đề đợc chứng minh.
Giả sử {Xn}nN là dãy biến ngẫu nhiên tơng thích với họ (ℱn)n N sao cho Xn
C2 là hằng số dơng không phụ thuộc vào
Ta xác định thời điểm dừng:
Bổ đề đợc chứng minh.
Nếu {Xn, ℱn}n N là Dv - Amart, v I, thì sup
{Xn, ℱn}n N là Dv - Amart, v I tồn tại N sao cho với N thì:
Bổ đề đợc chứng minh.
Nếu {Xn, ℱn}n ∈ N và {Yn, ℱn}n ∈ N là Dv - Amart, thì tổ hợp {Xn ± Yn, ℱn}n ∈ N cũng là Dv - Amart Bài viết này sẽ nghiên cứu và chứng minh một số định lý về sự hội tụ của Dv - Amart, các định lý này đã được chứng minh trước đó với Amart Định lý tiếp theo tương đương với định lý II.1.2 của Amart là Định lý III.2.5.
Giả sử {Xn}nN là dãy biến ngẫu nhiên tơng thích với họ (ℱ n)n N sao cho sup n≥1 X n ∈ D v
Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
(ii) {Xn, ℱn}n N là Dv - Amart
Nếu n T và n thì X τ n ⃗a.s Y trên Theo định lý về tính hội tụ làm trội ta có: lim n→∞ ‖X τ n −Y‖ v =0
{Xn, ℱn}n N là Dv - Amart (ii) (i)
Giả sử {Xn, ℱn}n N là Dv - Amart Đặt
(a.s) trên Theo định lý về tính hội tụ làm trội ta có:
X ¿ − X ¿ =0 ⇒ X ¿ =X ¿ (a.s) trên Định lí đợc chứng minh
Sau đây là một số điều kiện đủ về sự hồi tụ theo xác suất, hội tụ hầu khắp nơi đối với dãy Dv - Amart. Định lý III.2.6.
Cho {Xn, ℱn}n 1 và {Yn, ℱn}n 1 là các dãy biến ngẫu nhiên, Xn, Yn Dv, v I
(i) Nếu ( ‖X τ ‖ v ) τ ∈T và ( ‖Y τ ‖ v ) τ ∈T bị chặn thì ( ‖X τ ∨Y τ ‖ v ) τ ∈T và ( ‖X τ ∧Y τ ‖ v ) τ ∈T cũng bị chặn
(ii) Nếu {Xn, ℱn}n 1 và {Yn, ℱn}n 1 là các Dv - Amart đồng thời sup
T Y τ ∈D v thì {XnYn, ℱn}n 1 và {XnYn, ℱn}n 1 cũng là
(i) Dễ dàng suy ra từ bất đẳng thức: ‖X τ ∨Y τ ‖ v ≤‖X τ ‖ v +‖Y τ ‖ v
(ii) Ta sẽ chứng minh {XnYn, ℱn}n 1 là Dv - Amart ({XnYn, ℱn}n 1 tơng tù).
Theo bổ đề III.2.4, các họ ( ‖X τ ‖ v ) τ ∈T và ( ‖Y τ ‖ v ) τ ∈T là bị chặn
Tõ (i) ta suy ra: sup ‖X τ ∨Y τ ‖ v 0, k = 1, sao cho:
Ta xét các trờng hợp: a k 0 khi k +:
Nh vậy điều giả sử ở (3.10) là không đúng.
{Zn, ℱn}n N là Dv – Amart, v I. Định lí đợc chứng minh
Giả sử {Xn, ℱn}n N là Dv - Amart, v I.
(i) X n , X n + ,X − n ,− χ ∨ X n ∨ χ ( χ >0 ) là Dv - Amart bị chặn trong Dv tơng thích với { ℱn}n N.
(i) + Ta có {Xn, ℱn}n N và {-Xn, ℱn}n N là Dv - Amart.
+ Nếu = Yn , n = 1, thì Yn là Dv - Amart
X n + =X n ∨0; X − n =X n ∧0 và − χ∨ X n ∨ χ là những Dv - Amart bị chặn trong Dv tơng thích với{ℱn}n N
⇒lim λ→∞ M(λ)=0 Tơng tự, theo bổ đề III.2.3:
Hệ quả đợc chứng minh Định lý III.2.8.
Giả sử {Xn, ℱn}n N là Amart và sup N ∫ X n 0
(3.14) Chứng minh nh định lý III.2.6 ta thấy giả sử (3.14) là không đúng thì với bất kỳ dãy ( τ n ) n∈N ⊂T và τ n ( ω)↑+∞ , ta có: lim‖X τ n −X‖ v =0
Tức là:{Xn, ℱn}n N là Dv - Amart.
Theo tính chất đầy đủ của không gian Dv X Dv Định lí đợc chứng minh. Định lý III.2.9.
Giả sử:{Xn, ℱn}n N là Dv - Amart, v I.
( τ k ) k ∈N là một dãy không giảm những thời điểm dừng bị chặn tơng thích víi{ℱn}n N Đặt Y k =X τ k Ǥk = ℱ k
Khi đó {Yk, Ǥk}k N là Dv - Amart.
- đại số Ǥk đợc xác định sao cho Yk là Ǥ - đo đợc.
Nếu là thời điểm dừng đối với {Ǥk}k N thì n là thời điểm dừng đối với {ℱn}n N
Vì {Xn, ℱn}n N là Dv - Amart nên với > 0 bất kỳ ∃ n0 N sao cho với bất kú , ’ T; , ’ > n0 th×: ‖X τ − X τ ' ‖ v < ε
(3.15) Đặt τ ∞ = lim k→+∞ τ k ⇒τ ∞ là thời điểm dừng (có thể là vô tận) đối với {ℱn}n
Theo định lý III.2.5 { X τ k ∧n 0 , Ǥk}k N là Dv - Amart.
> 0, ∃ k N sao cho với bất kỳ thời điểm dừng bị chặn , ’ đối với {Ǥn}n N
(3.16) Khi đó và ’ là những thời điểm dừng đối với {ℱn}n N
Tơng tự ta cũng có: ‖X τ σ ∨n 0 − X τ σ ' ∨n 0 ‖ v ¿ ε
{Yk, Ǥk}k N là Dv - Amart Định lí đợc chứng minh Định lý III.2.10.
Giả sử :{Xn, ℱn}n N là Dv - Amart, v I
(i) {Xn}n N là dãy hội tụ theo xác suất (ii) NÕu sup
T ‖X τ ‖ v 0,
Ta xác định thời điểm dừng:
+ víi G σ ( ω ) = min{kN: |Xi()| ; i = 1, k; Xk+1() > } víi G
Vì {Xn}n N là dãy dự báo nên là thời điểm dừng đối với {ℱn}n N
Theo bổ đề III.2.11 suy ra {Xn, ℱn}n N là Dv - Amart.
Theo định lý III.2.5 ta có: {Xn }n N hội tụ (a.s) trên
Mà Xn = Xn với n 1 trên tập G
{Xn}n N hội tụ (a.s) trên G với > 0
{Xn}n N hội tụ (a.s) trên G μ≥0 ¿ G μ = { sup N X n và = ’ = + nếu Xn|
Ta xác định thời điểm dừng ’n đối với {ℱn}n N nh sau: n nÕu {’ > n}
Theo bổ đề III.2.11 suy ra {Xn , ℱn}n N là Dv - Amart.
Theo định lý III.2.5 suy ra {Xn }n N hội tụ (a,s) trên
G μ = { sup N X n < μ } nên {Xn}n N hội tụ (a.s) trên G μ≥0 ¿ G μ = { sup N X n 0 tuỳ ý, ∃ 0 T sao cho với , T, , > 0 thì
Giả sử {Xt, ℱt}t J là Dv - Amart, v I và sup
(i) {Xt }t J hội tụ theo xác suất
(ii) Nếu J là tập hợp sắp thứ tự bộ phận đếm đợc thì {Xt }t J hội tụ (a.s) trên
(i) Giả thiết phản chứng rằng {Xt }t J không hội tụ theo xác suất trên .
Ta xác định dãy (tn)n N theo qui nạp:
Nếu n chẵn, chọn tn sao cho tn > tn-1 và P { X t n − X t n−1 ¿ ε } > ε
Nếu n lẻ, chọn tn sao cho > tn’ , T thì
(Điều này luôn thực hiện đợc vì {Xt, ℱt}t J là Dv - Amart.)
Hiển nhiên X t n là ℱ t n - đo đợc và nếu TN thì t TJ , với t( )=()
Nếu n và n lẻ thì t tn và
Nhng với mỗi n chẵn, ta lại có : P { X t n −X t n−1 ¿ ε } > ε
Nghĩa là ( X t n )n N không hội tụ theo xác xuất. Điều này mâu thuẫn với định lý III.2.10 giả thiết phản chứng là sai Định lý đợc chứng minh
(ii) Ta cần cần chỉ ra là tồn tại 1 dãy ( t n ) n N J sao cho: lim sup
(a.s) Với > 0, t0 J, tồn tại một tập hợp hữu hạn t0 tn t0 sao cho:
Vì sup, inf đợc lấy theo tập hợp đếm đợc
(3.18) đợc suy ra từ - P cộng tính. Định lí đợc chứng minh.
Chơng IV - martingale tiệm cận điều kiện
I Một số khái niệm và kết quả liên quan.
Năm 1986, Szynal và Zieba đã đa ra khái niệm Martingale tiệm cận điều kiện (Amart điều kiện). Định nghĩa IV.1.1.
Dãy (Xn)n ∈ N được gọi là Martingale tiệm cận với điều kiện A (A là σ - đại số con của ℱ) nếu kỳ vọng có điều kiện E(Xn| A) được xác định cho mọi n ∈ N và tồn tại một đại lượng ngẫu nhiên.
X sao cho líi (E(X| A )) T héi tô theo luËt tíi X.
- Mở rộng định nghĩa Martingale tiệm cận điều kiện trên không gian Banach: Dãy (Xn)n N là Martingale tiệm cận điều kiện đối với - đại số A nếu E(||
Xn||| A ) < (a.s) và tồn tại biến ngẫu nhiên X sao cho: E( X τ n | A ) hội tụ theo luËt tíi X khi n ; n T , τ n ⃗ P ∞ khi n
Khái niệm Martingale tiệm cận điều kiện giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các đặc trưng của sự hội tụ hầu chắc chắn trong các quá trình ngẫu nhiên tổng quát Điều này cho phép phân tích và mô tả cách mà dãy các quá trình ngẫu nhiên này hội tụ trong các điều kiện cụ thể.
E là không gian Metric, khái niệm kỳ vọng điều kiện cho A ℱ cha đợc định nghĩa nhng với A = ℱ ta có thể coi E(X|ℱ) = X (a.s) với mọi X L 0 (E , ℱ ).
Nh vậy, đặc trng sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy { X n } n=1
∞ là dới dạng hội tụ theo luật của lới ( X τ ) τ∈T
Trong không gian Banach, khái niệm kỳ vọng điều kiện được định nghĩa cho một - đại số con A của ℱ và một biến ngẫu nhiên X thuộc L 1 (E, ℱ) Vấn đề chính là xác định đặc trưng của sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy (Xn)n ∈ N dưới dạng Martingale tiệm cận điều kiện.
Từ định nghĩa IV.1.1 ta suy ra:
“Dãy (Xn)n N là Martingale tiệm cận khi và chỉ khi dãy (Xn)n N là Martingale tiệm cận đối với điều kiện A = A0 = {, }”
Dãy (Xn)n N là Amart đối với điều kiện A0
líi ( E( X τ A0 )) τ ∈T héi tù theo luËt tíi X
líi ( E ( X τ )) τ ∈T héi tù theo luËt tíi X
líi (δEE ( X τ )) τ∈T héi tù yÕu tíi X
lới ( E ( X τ )) τ ∈T hội tự mạnh tới X
Amart chỉ là một trường hợp đặc biệt của Amart có điều kiện, và các khái niệm này là sự mở rộng tự nhiên từ Martingale đến Amart và sau đó đến Amart có điều kiện.
Từ định nghĩa IV.1.1, các tác giả Szynal và Zieba đã đặc trng đợc sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy (Xn)n N.
∞ là dãy các biến ngẫu nhiên sao cho Xn >Xn+1 (dãy giảm) (a.s) và E(X1| A ) < + (a.s) với A là - đại số con của ℱ.
Xét dãy {X1 – Xn}, ta có: X 1 - X n ⃗ a s X 1 khi n
Do tính đơn điệu của dãy {Xn} ta có:
Do giả thiết: E(X1| A ) < (a.s) nên E(Xn| A ) < (a.s)
Bổ đề đợc chứng minh.
Giả sử (Xn)n N là dãy các đại lợng ngẫu nhiên sao cho
(a.s) với A là - đại số con của ℱ
{Yn} là dãy giảm các đại lợng ngẫu nhiên.
Ta có: EY1| A )< (a.s) và Yn 0 (a.s), n
Theo bổ đề IV.1.4 ta có: E(Yn|A ) ⃗ a s 0 , n
VËy E(Xn| A ) ⃗ a s E(X|A ), n Định lí đợc chứng minh
II Các định lý đặc trng cho sự hội tụ hầu chắc chắn. Để giải quyết vấn đề đặt ra trong nhận xét IV.1.2, trớc hết ta mở rộng kết quả Austin Edgar - Ionescu Tulcea (năm 1974) - Bổ đề II.1.1 đã nêu - Cho dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Metric E. Định lý IV.2.1.
Giả sử (Xn)n N là dãy các phần tử ngẫu nhiên, X là phần tử ngẫu nhiên
Khi đó: Tồn tại một dãy (n) T, τ n ⃗ P ∞ sao cho ( X τ n ) n∈ N ⃗a.s X khi và chỉ khi X là điểm dính của dãy (Xn)n N
Giả sử: (Xn)n N là dãy các phần tử ngẫu nhiên, X là phần tử ngẫu nhiên
Khi đó: Tồn tại một dãy (n), n T, n n, n N sao cho X τ n ⃗ a s X
Ta phải chứng minh: X là điểm dính của dãy (Xn)n N
Mặt khác: [ m>n inf ρ ( X m ,X ) < ε ] ⊃ [ τ inf n ≥n ρ ( X τ n , X ) < ε ] ⊃ [ sup τ n ≥n ρ ( X τ n , X ) nK sao cho:
Kết hợp với (4.2) suy ra:
Ta xây dựng dãy thời điểm dừng bị chặn (k) thoả mãn X τ k ⃗ a s X
, k Định lí đợc chứng minh. Định lý IV.2.2.
Giả sử (Xn)n N là dãy các phần tử ngẫu nhiên,X là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
(iii) X τ ⃗ D X , T và X là điểm dính của dãy (Xn)n N
Giả sử (Xn)n N và X trong L 0 (E, ℱ) sao cho: X n ⃗ a s X , n N
Khi đó, theo bổ đề I.2.2 ta có: với mọi dãy (n), n T, τ n ⃗ a s ∞
Nhng do sự hội tụ theo xác suất có thể Metric hoá đợc nên suy ra:
X τ ⃗ P X , T (ii) (iii): Hiển nhiên sự hội tụ theo xác suất kéo theo sự hội tụ theo luật.
(iii) (i): Đây là phần quan trọng của định lý.
Giả sử X là điểm dính của dãy (Xn)n N Khi đó, theo bổ đề II.1.1, tồn tại một dãy thời điểm dừng (n), n T sao cho σ n ⃗ a s ∞ để:
Tiếp theo, ta giả sử: X τ ⃗ D X , T
Theo bổ đề I.2.4, ta có: X n ⃗ ED X , n N và tồn tại X’ L 0 (E, ℱ) với Px = Px’ sao cho: X n ⃗ a s X , n N
Hơn nữa, theo bổ đề I.2.2, với mọi dãy (n), n T, τ n ⃗ a s ∞ ta đều có: X τ n ⃗ a s X ' , n (4.5)
Từ các kết quả tại (4.4) và (4.5), ta có thể kết luận rằng X = X’ (a.s) và X n ⃗ a.s X với n thuộc N, chứng minh cho định lý đã được thực hiện Định lý IV.2.2 đã giải quyết vấn đề được nêu trong nhận xét IV.1.2 Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu các vấn đề được đề cập trong nhận xét IV.1.3, cụ thể là tìm hiểu đặc trưng của sự hội tụ hầu chắc chắn dưới dạng Martingale, nhằm đạt được điều kiện tiệm cận Định lý IV.2.3 sẽ được xem xét trong không gian thực.
Giả sử (Xn)n N là dãy biến ngẫu nhiên tơng thích với họ (ℱn) các - đại số con của ℱ Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
2 Tồn tại - đại số con A của ℱ sao cho:
2b Dãy (Xn, n N) là Martingale tiệm cận với điều kiện A
Giả sử (Xn)n N là dãy ngẫu nhiên, X là phần tử ngẫu nhiên sao cho:
Ta sẽ chứng tỏ (2a) và (2b) thoả mãn với A = ℱ.
Thật vậy, theo bổ đề I.2.2 ta có:
Hơn nữa, theo định lý IV.2.2 ta cũng suy ra: X τ ⃗ D X , T
Líi (E(X|ℱ)) T héi tô theo luËt tíi X.
(Xn)n N là Martingale tiệm cận với điều kiện A = ℱ.
Giả sử các điều kiện (2a) và (2b) đợc thoả mãn Đặt
Giả sử Xn không hội tụ hầu chắc chắn tới X, khi n
P [ sup N X τ n