Nghiên cứu sự hội tụ của lớp các quá trình ngẫu nhiên có tính chất tương tự như martingale

Mục lục Lời nói Trang đầu .2 Chơng I::Những kiÕn thøc chuÈn bÞ: I Các khái niệm II Mét sè kÕt qu¶: Ch¬ng II: Amart: 11 I Sù héi tơ cđa Amart 11 II Tính ổn định Amart 15 III Khai triĨn Riesz cđa Amart .18 Ch¬ng III: Dv – Amart: 23 I Xây dựng không gian Dv 23 II Sù héi tơ cđa Dv - Amart 25 Chơng IV: Amart điều kiÖn: 44 I Một số khái niệm kết liên quan 44 II Các định lý đặc trng cho hội tụ hầu chắn 47 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 Lời nói đầu Từ thập niên đầu kỷ XX, lý thuyết xác suất đà đợc phát triển mạnh mẽ Một hớng nghiên cứu lý thuyết trình ngẫu nhiên Lý thuyết trình ngẫu nhiên nói chung lý thuyết Martingale nói riêng trở thành phận thiếu đợc lý thuyết xác suất Theo Doob Never, công cụ hữu hiệu đợc áp dụng rộng rÃi nhiều ngành toán học đại thực tế Việc nghiên cứu phụ thuộc đại lợng ngẫu nhiên lý thuyết xác suất đợc thực nhiều phơng pháp khác Chẳng hạn, trình dừng (theo nghĩa rộng) phụ thuộc dÃy đại lợng ngẫu nhiên đợc nghiên cứu thông qua hàm tơng quan Đối với trình Markov, đặc trng phụ thuộc hàm xác suất chuyển Đối với trình Martingale, phụ thuộc đợc nghiên cứu dựa tính chất kỳ vọng điều kiện Một hớng nghiên cứu lý thuyết Martingale định lý giới hạn trình ngẫu nhiên Trong luận văn nghiên cứu hội tụ sù khai triĨn Riesz cđa Amart vµ sù më réng lớp tổng quát hơn: D v - Amart Amart điều kiện: Luận văn gồm bốn chơng: Chơng I: Những kiến thức chuẩn bị: I Các khái niệm II Một số kết Chơng II: Amart : I Sù héi tơ cđa Amart II TÝnh ỉn định Amart III Khai triển Riesz Amart Chơng III: Dv - Amart: I Xây dựng không gian Dv II Sù héi tơ cđa Dv - Amart Ch¬ng IV: Amart điều kiện: I Một số khái niệm kết liên quan II Các định lý đặc trng cho hội tụ hầu chắn Do có khó khăn định tài liệu tham khảo khả hạn chế nên không tránh khỏi sai sót, tác giả mong thầy cô bạn đọc thông cảm góp ý thêm Trong suốt trình làm luận văn, nhận đợc giúp đỡ tận tình thầy Nguyễn Hắc Hải thầy tổ Toán ứng dụng - Khoa toán tin - Trờng đại học S phạm Hà Nội để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hắc Hải thầy cô giáo / Chơng I Những kiến thức chuẩn bị I Các kháI niệm Định nghĩa I.1.1: Phần tử ngẫu nhiên Giả sử không gian xác suất (, , P); (E, ) không gian Mêtric đầy đủ, khả ly Một ánh xạ đo đợc từ E đợc gọi phần tử ngẫu nhiên, hiệu X Khi : X:   E cho X-1 (B)  ℱ, víi mäi B  ℬ Khi E = R (E = Rn) ta có X biến ngẫu nhiên hay vectơ ngẫu nhiên Giả sử Xn n N dÃy đại lợng ngẫu nhiên tơng thích với họ n, nghĩa Xn đo đợc ℱn víi mäi n Khi ®ã ta nãi r»ng: (Xn, n)n N tạo thành dÃy ngẫu nhiên Định nghĩa I.1.2: Thời điểm dừng bị chặn ánh xạ : N () thoả mÃn điều kiÖn: (i) P[() < ] = (ii) [:() = n ] = [=n] n đợc gọi điểm dừng bị chặn Trong đó: n họ tăng - đại số Ký hiệu: T = tập thời điểm dừng bị chặn Với T, ta xác định: X: E   X() = X() () ℱ = B ℱ : B [=n] n - đại số - đại số X biến ngẫu nhiên X - đo đợc Chứng minh: + F - đại số: Với T: = B  ℱ: B  [ = n]  ℱn a   [ = n] = [ = n]  ℱn    ℱ ký  (vì - đại số)  [ = n] =   ℱn    ℱ b A  ℱ Ac = \AA XÐt Ac  [ = n] = (\AA)  [ = n] = (  [ = n]) \A (A  [ = n])  ℱn  Ac  ℱ c Ai i  I mµ Ai  ℱ, Ai  Aj = , víi mäi i ≠ j ¿ Α i ∩[ τ=n ] =¿ ( Αi ∩[τ =n ])∈¿ ¿ i i ℱn  ¿ Αi i  ℱ Vậy - đại số + X biến ngẫu nhiên: Với a R1, ta ph¶i chøng minh: [ X < a]  ℱn Ta cã: [X < a]  [ = n] = [Xn < a]  [ = n]  ℱn  [Xn < a] n Xn biến ngẫu nhiên thời điểm dừng nên [ = n] n  [X < a]  ℱn  X lµ biÕn ngẫu nhiên Định nghĩa I.1.3: DÃy dự báo DÃy ngẫu nhiên (Xn, n)nN đợc gọi dÃy dự báo với n N biến ngẫu nhiên Xn n -1 - đo đợc, = Định nghĩa I.1.4: Martingale (Sub Martingale) DÃy ngẫu nhiên (Xn, n)nN gọi Martingale (Sub Mart) với n điều kiện sau thoả mÃn: (i) E(Xn) < +  (ii) E(Xn+1 ℱn) = Xn (E(Xn+1/ n) Xn) Định nghĩa I.1.5: Khả tích (a.s) DÃy ngẫu nhiên (Xn)nN tơng thích với họ nnN đợc gọi khả tích Sup nếu: hay: ∫ X ndP⃗ c →∞ {X n>c } SupE (X n I [X >c ] )⃗ c →∞ n Định nghĩa I.1.6: T - Khả tích DÃy ngẫu nhiên (Xn)nN tơng thích với họ nnN đợc gọi T - khả tích nếu: EX T khả tích Nghĩa là: với > 0, ∃ 0 cho: sup E(X.I[Xn>]) <  víi > Định nghĩa I.1.7: Hội tụ theo x¸c suÊt Xn P ⃗ X nÕu ∀  > 0: lim P[|Xn-X| ] = n n Định nghĩa I.1.8: Hội tụ hầu chắn X n a s X nÕu P[ : lim Xn()=X()] = n n Định nghĩa I.1.9: Hội tụ theo luật Xn D X PXn PX n Định nghĩa I.1.10: Hội tụ theo luật Xn ED X víi mäi tËp X - liªn tơc A ta cã: n P(lim sup [Xn  A]) = P(lim inf [Xn  A]) = P(X  A) n n (tËp A đợc gọi X - liên tục P[X A] = A biên tập A, A ) Mêtric Levy Prokhorop xác định tập P E gồm tất độ đo xác suÊt trªn (E, ℬ) nh sau: L(PX, PY) = inf { : PX (A) < PY (A) + ; PY (A) < PX (A) + , A  ℬ} Trong đó: PX phân phối xác suất phần tử ngÉu nhiªn X PX(B) = P[X B], B  ℬ A = {x  E; (x,A) <  } Ngêi ta viết: L(X,Y) = L(PX, PY) Định nghĩa I.1.11: Héi tơ ngÉu nhiªn theo lt Xτ ⃗ D X  nÕu ∀  > 0, ∃ 0  T,   T,  > 0: L(X, X) < (a.s) Định nghĩa I.1.12: Hội tụ vô hớng { X n }n=1 DÃy đợc gọi hội tụ vô hớng (a.s) đến X toán tử tuyến * tính liên tục f, f E : f(Xn) f(X) Trong : E* không gian Banach đối ngẫu E II Một số kết Bổ đề I.2.1 Nếu dÃy phần tử ngẫu nhiên {Xn}n N hội tụ theo xác suất tới phần tử ngẫu nhiên X tồn dÃy (n k) cho d·y k   { Xn } k k=1 héi tơ a.s tíi X Bổ đề I.2.2 DÃy phần tử ngẫu nhiên { X n }n=1 héi tơ a.s tíi phÇn tư ngÉu nhiªn X nÕu víi mäi d·y {n}  T, n   (a.s) ta cã: {Xn} Bỉ ®Ị I.2.3 Giả sử {Xn}nN Amart L1 - bị chặn Khi ®ã: ∞ n=1 héi tơ a.s tíi X n   sup ΕX τλ ≤sup ΕX τ ( (ii) n∈N supX n1 3 ] Vì Y() điểm dính dÃy {Xn()}n N nên: {:Y ' ( ω )−Y ( ω)≤ 3ε }⊂{ω:X ( ω )−Y ' (ω )≤2 3ε , n≥n ' } n tồn n n cho P ( A ) >1−2 ε ε A= ω :X n ( ω )−Y ' ( ω )≤2 , n '≤n≤n'' Trong đó: { } Ta xác định thời điểm dõng  : = { n : n ' ≤n≤n'' vaX n ( ω )−Y ' ( ω )≤ n’’ nÕu   A 2ε } nÕu   A ℱn’- ¿ Do Y lµ ℱ - đo đợc = ( nN n) Y n - đo đợc với n N  [ = n]  ℱn , víi mäi n  N    TN 2ε ε 2ε ε ⇒ Ρ ( X τ −Y> ε ) ≤Ρ X τ −Y '> + Ρ Y '−Y> ≤ + =ε 3 3 ( ) ( ) ⇒ X τ ⃗P Y , τ → ∞ X ⃗ a s Y , n→ ∞ τn Theo bæ ®Ị I.2.1 tån t¹i d·y (n)  TN cho bổ đề đợc chứng minh Định lý II.1.2 E supX n< nN {Xn, n}nN dÃy ngẫu nhiên Khi điều kiện sau tơng đơng: (i) Xn héi tơ a.s víi n   (ii) (Xn) n  N lµ Amart Chøng minh: (i)  (ii) X a s Y , n→∞ n⃗ Gi¶ sư Chän (n)n N dÃy thời điểm dừng bị chặn tăng tới vô hạn n Khi đó: Xτ ⃗ a s Y , n→∞ n X τ ≤supX n n vµ N ⇒ EX τ ≤E supX n¿ ∞ n ⇒ EX τ → EX ,n →∞ ⇒ ( EX τ )n∈ N lµ héi tơ V× d·y {n} chän bÊt kú  (EX) héi tơ  (Xn)n  N lµ Amart (ii)  (i): n §Ỉt n X ¿ =lim sup X n , X ¿ =lim inf X n n→∞ n→∞  X* vµ X* điểm dính 10