cơ học lý thuyết

CƠ HỌC LÝ THUYẾT (Tóm tắt lý thuyết & Bài tập mẫu) Trònh Anh Ng o ï c 15/10/2009 i Lời khuyên We are what we repeate d ly do . Excellence, then, is not an act, but a habit. Aristotle Không ai hy vọ n g ho ï c bơi mà khôn g bò ướt. Cũng không c o ù ai hy vọng học bơi mà chỉ nhờ đọc sách hay nhìn người khác bơi. Bơi lội khô n g thể học mà không có thực hành. Chỉ có một cách ho ï c là tự "ném" mình xuống nước và t a ä p luye ä n hàng tuần, thậ m chí hàng tháng, cho đến khi bài tập luyện trở thành phản xạ nhẹ nhàng. Tương tự như vậy, cơ học không thể được học một cách thụ động. Không giải quyết nhiều bài toán c o ù t ín h thách thức, người sin h viên không có ca ù c h nào khác để kiểm tra năng lực hiểu biết của mình về môn h o ï c . Đ a â y là nơi sinh viên gặt hái được sự tự tin, cảm giác tho û a mãn và lôi cuốn nảy sinh nhờ sự hiểu biết xác thực về các nguyên lý ẩn tàng. Khả năng giải các bài toán là chứng minh tốt nhất sự nắm vững môn học. Như trong bơi lội, bạn giải càng nhiều ba ø i toán, bạn cà n g sắc xảo, nắ m bắt nhanh các kỹ năng giải toán. Để thu lợi đầy đủ từ các thí dụ và bài tập được giải trong tài li e ä u này (cũng như sách bài tập mà bạn có), tránh tham khảo ngay lời giải quá sớm. Nếu bạn không thể giải bài toán sau những nổ lực ba n đầu, h a õ y thử cố gắ n g lần nữa! Nếu ba ï n tìm đọc lời giải chỉ sau nh i e à u lần nổ lực, nó sẽ được giữ lại trong trí bạn một thời gian dài. Còn nếu bạn tìm ra được lời giải của riêng mình cho bài toán, thì nên so sánh nó với lời giải trong sách. Bạn có thể tìm thấy ở đó lời giải gọn hơn, cách tiếp cận thông minh hơn. Tài liệu ôn tập này không thể thay thế cho sách lý t h u ye á t và sách bài tập về cơ học. Nó chỉ có tác dụng giúp bạn ôn tập có chủ điểm về một số vấn đề quan trọng trong chương trình môn cơ học lý th u ye á t . Mo ä t điều quan trọng: vì một c u o á n sách bài tập nói chung thường chứa đựng nhiều, rất nhiều các thí dụ và bài tập, bạn tuyệt đối nên tránh cố gắng nhớ nhiều kỹ thuật và lời giải của nó; thay vì thế, bạn nên tập trung vào sự hiểu biết các khái niệm và những nền tảng mà nó hàm chứa. Hãy bắt đầu HỌC và TẬP. Chúc ba ï n thàn h công . Mục l ụ c 1 ĐỘNG HỌC 1 1 Phương pháp mô tả chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Hệ t o ï a độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Luật chuyển động - Vậ n tốc - Gia tốc . . . . . . . . . . 3 1.3 Vài chuyển động quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Chuyển động của cố t h e å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Trường vận tố c của cố thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Hợp ch u ye å n động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 ĐỘNG LỰC HỌC 8 1 Các đònh luật Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1 Lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Hai b a ø i toán cơ bản của động lực học . . . . . . . . . . 9 1.3 Các đònh lý tổng quát của động lực học . . . . . . . . . 10 3 CƠ HỌC GIẢI TÍCH 15 1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Phương trình L a g ra n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1 Phương trình tổng quát động lực học . . . . . . . . . . . 16 2.2 Phương trình Lagrang e loại hai . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Trường hợp hệ bảo toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Thủ tục thiết la ä p phương trình Lagrange loại hai . . . 18 BÀI TẬP 19 ii CHƯƠNG 1. ĐỘNG HỌC 7 gọi là vận tốc, gia tốc tuyệt đối của M. • Hệ quy c h i e á u đo ä n g (T 1 ) = O 1 x 1 y 1 z 1 ((T 1 ) chuyển động đối với (T )), chuyển động của M đối với (T 1 ) gọi là chuyển động tương đối. v r , w r - vận tốc, gia tốc của M đối với (T 1 ), gọi là vận tốc, gia tốc tương đối của M. • Chuyển động của (T 1 ) đối với (T ) gọi là chuyển đo ä n g the o . Chuyển động của điểm P , gắn với (T 1 ) trù n g với M tại thời điểm đang xét, đối với (T ) gọi là chuyển động theo của M. v e , w e - vận to á c , gi a tốc củ a P đối với (T ), gọi là vận tốc, gia tốc theo của M.  Công thức cộng vận tốc : v a = v r + v e . (1.21)  Công thức cộng gia tốc: w a = w r + w e + w c , (1.22) trong đó w c = 2ω ×v r (1.23) là g i a tốc Coriolis sinh ra do chuyển động quay của (T 1 ) đối với (T ). ◦ Phân loại bài toán hợp chuyển động Bài toán thứ nhất: Bài toán tổng hợp chuyển động. Bài toán thứ hai: Bài toán phân tích chuyển động.  Chuyển động song phẳng là chuyển động trong đó cố thể có ba điểm không thẳng hàng thuộc cố thể luôn luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố đònh. Chuyển động song phẳng được xét bằng cách kha û o sát chuyển động của hình phẳng S thuộc cố thể nằm trong mặt phẳng cố đònh. Giao điểm của trục quay tức thời của cố thể với mặt phẳng cố đònh gọi là tâm quay hay tâm vận to á c tức thời. ◦ Phân loại bài toán chuyển động song phẳng Tính vận tốc góc củ a hình phẳng, tính vận tốc của một điểm bất kỳ trên hình phẳng. Tính gia tốc góc của hình phẳng, tính gia tốc của một điểm bất kỳ trên hình phẳng. Thí dụ về chu ye å n độ n g so n g phẳng sinh viên đọc kỹ lời giải các bài tập 3.2, 3.3, [1]. CHƯƠNG 2. ĐỘNG LƯ Ï C HỌC 11 trong đó d k là kh o a û n g cách từ chất điểm thứ k đến ∆.  Tenxơ quán tính là ma trận J =   J x −J xy −J xz −J yx J y −J yz −J zx −J zy J z   , (2.11) trong đó J x , J y , J z là mômen quán tín h của hệ đối với các trục Ox, Oy, Oz; J xy , J xz , . . . là các mômen quán tính ly tâm của hệ J xy = J yx =  m k x k y k , J yz = J zx =  m k y k z k , J zx = J xz =  m k z k x k .(2.12) Nếu n = [cos α, cos β, cos γ] T là ve c t ơ đơn vò của tru ï c ∆ t h ì J ∆ = n T Jn. Đònh lý 4 (Đònh lý Huygens). J ∆ = J C + Md 2 , (2.13) trong đó d là khoảng cách giữa hai trục.  Công thức tính mômen quán tính cần nhớ 1. Thanh m a û n h đồ n g chất c h i e à u da ø i l, khối lượng M đối với tru ï c qua khối tâm và vuông gó c với thanh J C = 1 12 Ml 2 . (2.14) 2. Vòng đồng chất bán kính R, khối lượng M đối với trục qua tâm và vuông góc với mặt phẳng chứa vòng J C = MR 2 . (2.15) 3. Đóa tròn đồ n g chất bán kính R, khối lượng M đối với trụ c qua tâm và vuông góc với đóa J C = 1 2 MR 2 . (2.16) CHƯƠNG 1. ĐỘNG HỌC 2 + Hệ tọa độ Descartes: M(x, y, z) ⇔ r = xi + yj + zk (1.1) ⇒ dr = (dx)i + (dy)j + (dz)k (1.2) + Hệ tọa độ trụ: M(r, ϕ, z) ⇔ r = re r + ze z (1.3) ⇒ dr = (dr)e r + (rdϕ)e ϕ + (dz)e z (1.4) trong đó e r , e ϕ , e z là c a ù c vectơ cơ sở đòa phương của tọa độ trụ tại M. + Hệ tọa độ cầu: M(r, ϕ, θ) ⇔ r = re r (1.5) ⇒ dr = (dr)e r + (rdϕ)e ϕ + (rdθ)e θ (1.6) trong đó e r , e ϕ , e θ là c a ù c vectơ cơ sở đòa phương của tọa độ cầu tại M. Hệ t o ï a độ Quan hệ với tọa độ Ve c t ơ cơ sở đòa phương Descartes Trụ x = r cos ϕ e r = cos ϕi + sin ϕj (r, ϕ, z) y = r sin ϕ e ϕ = −sin ϕi + cos ϕj z = z e z = k Cầu x = r sin θ cos ϕ e r = sin θ(cos ϕi + sin ϕj) + cos θk (r, ϕ, θ) y = r sin θ sin ϕ e ϕ = sin θ(−sin ϕi + cos ϕj) z = r cos θ e θ = cos θ(cos ϕi + sin ϕj) −sin θk Hình 2: Vect ơ cơ sở đòa phương của tọa độ tự n h i e â n . Trên đường cong C, chọn điểm M 0 và m o ä t chiều dương trên C. Hoành độ cong của điểm M trên C là số đại số s có trò tuyệt đối bằng chiều dài cung  M 0 M và lấy dấu cộng nếu chiều từ M 0 đến M là chiều dương, dấu trừ nếu ngược lại . CHƯƠNG 1. ĐỘNG HỌC 3 Hình 2 thể hiện các vectơ cơ sở đòa phương của hệ tọa độ tự nhiên (hoành độ cong s) của đường cong có phương trình tham số r = r(s). Vectơ tiếp tuye á n đơn vò t: t = dr ds . (1.7) Vectơ pháp tuye á n đơn vò n được xác đònh sao cho dt ds = kn = 1 ρ n, (1.8) trong đó k = 1/ρ là đo ä cong, ρ là bán kính cong (của đường cong) tại M. Chú ý, vectơ pháp tuyến đơn vò n luôn hướ ng về bề lõm của đường cong C. Vectơ lưỡng pháp tuyến đơn vò: b = t × n. (1.9) + Tọa độ tự nhiên: M(s) ⇔ r = r(s) (1.10) ⇒ dr = (ds) dr ds = (ds)t (1.11) 1.2 Luật c h uy e å n động - Va ä n tốc - Gia tốc Phương phá p Luật chuyển đo ä n g Vận t o á c Gia tốc Vectơ r = f(t) ˙ r ¨ r Descartes {i, j, k}    x = f(t) y = g(t) z = h(t) ( ˙x, ˙y, ˙z) (¨x, ¨y, ¨z) Trụ {e r , e ϕ , k}    r = f(t) ϕ = g(t) z = h(t) ( ˙r, r ˙ϕ, ˙z) (¨r − r ˙ϕ 2 , 2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ , ¨z) Cực {e r , e ϕ }  r = f(t) ϕ = g(t) ( ˙r, r ˙ϕ) (¨r − r ˙ϕ 2 , 2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ) Tự nh i e â n {t, n, b} s = f(t ) (v, 0), v = ˙s  ˙v, v 2 ρ  CHƯƠNG 1. ĐỘNG HỌC 4 Tốc độ v = |v|. Trong tọa độ tự nhiên, tốc độ v = ˙s, gia tốc tiếp w t = ˙v, gia tốc pháp w n = v 2 /ρ. Công th ứ c tính bán kính cong (ký hiệu w = |w| ) : ρ = v 2  w 2 −w 2 t . (1.12) Tích vô hướng v · w của vận tốc và gia tốc thể hiện sự nhanh chậm của chuyển động v ·w = v ˙v    > 0 nhanh dầ n < 0 chậm dần = 0 đều (1.13) 1.3 Vài chuyển động quan trọng  Chuyển động tròn. Điểm chuyển động tròn trong Oxy quanh O. Ký hiệu: r - vectơ đònh vò điểm, ϕ - go ù c quay, ω = ˙ϕ - vận tốc góc, ω = ωk - vectơ vận tốc góc. Vận tốc của điểm v = ω × r. (1.14) Gia tốc của điểm w =  ×r  w t −ω 2 r  w n , (1.15) trong đó  = dω/dt (  = dω/dt) là vectơ gia tốc góc. Nếu chuyển động đều thì v = ωR (ω = const) và gia tốc hướng tâm w = ω 2 R (R - bán kính c u û a quỹ đạo).  Chuyển động có gia tốc xuyên tâm gia tốc xuyên tâm ⇔ r × v = c (const)⇒ Quỹ đạo phẳng ⇔ vận tốc diện tích dσ dt = 1 2 r ×v = 1 2 c (const ) . CHƯƠNG 1. ĐỘNG HỌC 5 Công th ứ c Binet : mc 2 r 2  d 2 dϕ 2  1 r  + 1 r  = − F. (1.16) ◦ Phân loại bài toán động học điểm Bài toán thứ nhất: Tìm phương trình chuyển đo ä n g (luật chuyển động), phương t rìn h quỹ đạo, vận tốc, g i a tốc , gia tốc tiếp, gia tốc pháp, bán kính cong củ a quỹ đạo. Bài toán thứ hai: Khảo sát chuyển động nhanh dần đều, chậm dần đều và đe à u . 2 Chuyển động của c o á thể Cố thể là cơ hệ mà khoảng cách giữa các điểm của nó không tha y đổi trong quá trình chuyển động. Vò trí của cố thể được xác đònh bởi ba điểm không thẳng h a ø n g của nó. 2.1 Trường vận tốc của cố thể Đònh lý 1. Trường vận tốc của một cố thể (S) là trường đẳng chiếu v(M)· ✲ MN= v(N)· ✲ MN ∀M, N ∈ (S). (1.17)  Chuyển động tònh tiến Cố thể (S) chuyển động tònh t i e á n khi vectơ nối hai điể m bất kỳ của nó luôn luôn cùng phương với chính nó. Trường vận tốc, gia tốc trong chuyển động tònh tiến là trường đều. Chuyển động của (S) d a ã n về chuyển động của một điểm thuộc (S).  Chuyển động quay quanh một trục cố đònh Cố thể (S) chuyển động quay qu a n h trục cố đònh khi nó có hai điểm cố đònh. Trục qua y là đường thẳng đi qua hai điểm cố đònh này. Các điểm nằm ngoài tru ï c quay chuyển động tròn với tâm nằm trên trục quay. Gọi k là vectơ đơn vò của trục quay (Oz), ϕ là góc quay. CHƯƠNG 1. ĐỘNG HỌC 6 Phương trình chuyển động: ϕ = ϕ(t). Trường vận tố c : v(M) = ω × r, (1.18) trong đó ω = ˙ϕk là vectơ vận tốc góc. Trường gia tốc: w(M) =  ×r + ω × (ω × r), (1.19) trong đó  = ¨ϕk là vectơ gia tốc gó c . Gia tốc tiếp w t =  × r, gia tốc pháp w n = ω ×(ω × r).  Chuyển động tổng quát. Chuyển dòch bất kỳ của cố thể từ vò trí này sang vò trí khác, trong khoả n g thời gian vô cùng béù (chuyển động tức t h ờ i ) , có thể được thực hiện nhờ chuyển động tònh tiến, tương ứng với chuyển dòch của một đi e å m , và chuyển động quay quanh trục đi qua điểm ấy. Trường vận tốc của cố thể trong chu ye å n động tổng quát (công thức Euler): v(M) = v(C) + ω(t)× ✲ CM . (1.20)  Chuyển động song phẳng Cố thể (S) chuyển động song phẳng khi có ba điểm không thẳng hàng luôn luôn chuyển động trong mặt phẳng (π) cố đònh. Khi khảo sát chuyển động song phẳng ta chỉ cần xét chuyển động của một tiết diện của nó (phần giao của cố thể với (π)). Chuyển động tức thời của cố thể gồm: chuyển động chu ye å n động quay quanh một trục vuông góc với (π), và chuyển động tònh tiến xác đònh bởi chuyển động của giao điểm trục quay tức thời với mặt phẳng ( π) gọi là tâm vận tốc tức thời. ◦ Phân loại bài toán động học cố thể Bài to á n thứ nhất: Khảo sát chuyể n động quay của cố thể quanh trục cố đònh. Vấn đề: tìm ϕ, ω,  của cố thể; vận tốc, gia tốc của một đi e å m nào đó trên cố thể. Bài toán thứ hai: Bài toán chuyền động. Bài toán thứ ba: Kế t hợp với chuyển đo ä n g quay với chuyển động tònh tiến. 2.2 Hợp c h uy e å n động • Hệ quy chiếu cố đònh (T ) = O xyz, chuyển động của M đối với (T ) gọi là chuyể n động tuyệt đối. v a , w a - vận tốc, gia tốc của M đối với (T ), [...]... thứ nhất: Dùng đònh lý bảo toàn động lượng và đònh lý bảo toàn mômen động lượng để tìm chuyển dòch của một vài bộ phân trong toàn hệ Bài toán thứ hai: Dùng đònh lý động lượng để xác đònh phản lực tại các liên kết Bài toán thứ ba: Dùng đònh lý mômen động lượng và đònh lý động năng để xác đònh các đặc trưng động học của chuyển động Chương 3 CƠ HỌC GIẢI TÍCH 1 Các khái niệm cơ bản Cơ hệ gồm N chất điểm... CHƯƠNG 2 ĐỘNG LỰC HỌC 1.3 10 Các đònh lý tổng quát của động lực học Nội dung các đònh lý, xem Mục 1.5, 2.1, 2.2 và 2.3, [1] Lưu ý một số khái niệm và công thức cần thiết dưới đây Khối tâm của một hệ là điểm hình học C xác đònh bởi rC = 1 M m k rk , trong đó rk là vectơ đònh vò chất điểm thứ k, M = toàn hệ (2.6) mk là khối lượng của Động lượng của hệ P= mk vk = MvC Đònh lý 2 (Đònh lý động lượng của... = 0 (3.3) 2 Phương trình Lagrange Các phương trình Lagrange được rút ra từ nguyên lý công ảo, còn gọi là nguyên lý chuyển dòch ảo 2.1 Phương trình tổng quát động lực học Đònh lý 7 (Nguyên lý công ảo) Trong trường hợp liên kết đặt lên hệ là lý tưởng, tổng công phân tố của các lực chủ động và lực quán tính tác dụng lên cơ hệ trên chuyển dòch ảo bất kỳ bằng không tại mọi thời điểm k [(Fxk − mk xk )δxk... Hai bài toán cơ bản của động lực học Các bước cần thực hiện khi phân tích một bài toán cơ học: + Chọn hệ quy chiếu và hệ tọa độ gắn với hệ quy chiếu ấy + Chọn đối tượng khảo sát (một hay nhiều vật) + Phân tích các lực tác dụng lên đối tượng khảo sát (vẽ sơ đồ lực) + Áp dụng các đònh luật Newton thiết lập phương trình hay hệ phương trình xác đònh các đại lượng cần tìm Các bài toán động lực học thuộc về... HỌC 14 3 Công của lực ma sát δW = −ηRn dx (2.31) Công của lực ma sát luôn luôn âm (công cản) Lực ma sát không có thế 4 Công của lực trong chuyển động quay quanh trục δW = ωM∆ (F)dt, (2.32) trong đó M∆ (F) là chiếu của mômen lực F xuống trục ∆, còn gọi là mômen của lực đối với trục ∆ Đònh lý 6 (Đònh lý động năng của hệ) dT = (e) Fk · δrk + (i) Fk · δrk (2.33) ◦ Phân loại bài toán áp dụng các đònh lý. .. của vật A và của tâm C hình trụ Hình 18: Bài tập 43 Cơ học giải tích Bài tập về phương trình Lagrange 44 Một hạt khối lượng m di chuyển dưới tác dụng của lực hấp dẫn do khối lượng M cố đònh đặt tại gốc Lấy tọa độ cực r, θ làm tọa độ suy rộng, viết phương trình Lagrange loại hai cho chuyển động của hạt Tìm một tích phân đầu và giải thích ý nghóa cơ học của nó Bài tập 30 Hình 19: Bài tập 44 Hình 20:... mk vk = MvC Đònh lý 2 (Đònh lý động lượng của hệ) ˙ P = (e) Fk (2.7) Đònh lý 3 (Đònh lý chuyển động khối tâm) M¨C = r (e) Fk (2.8) Mômen quán tính của hệ đối với điểm O: JO = 2 m k rk , (2.9) trong đó rk là khoảng cách từ chất điểm thứ k đến O Mômen quán tính của hệ đối với trục ∆: J∆ = mk d2 , k (2.10) CHƯƠNG 2 ĐỘNG LỰC HỌC 11 trong đó dk là khoảng cách từ chất điểm thứ k đến ∆ Tenxơ quán tính là... (Fyk − mk yk )δyk + (Fzk − mk zk )δzk ] = 0 ¨ ¨ ¨ (3.4) Phương trình (3.4) gọi là phương trình tổng quát động lực học 2.2 Phương trình Lagrange loại hai ∂T d ∂T − = Qs dt ∂ qs ∂qs ˙ (s = 1, 2, , d), trong đó T là động năng của hệ, Qs (s = 1, 2, , d) là lực suy rộng (3.5) CHƯƠNG 3 CƠ HỌC GIẢI TÍCH 17 Trong thực hành, lực suy rộng được rút ra từ hệ thức Qs δqs = s (Fxk δxk + Fyk δyk + Fzk δzk ) (3.6)... tâm và vuông góc với đóa 1 JC = MR2 2 (2.16) CHƯƠNG 2 ĐỘNG LỰC HỌC 12 4 Hình trụ tròn đồng chất bán kính R, khối lượng M đối với trục hình trụ1 (2.17) JC = MR2 Mômen động lượng của hệ L= rk × mk vk = rC × MvC + rk × m k v k (2.18) Đặc biệt, trong chuyển động quay ω, L = Jω (2.19) L∆ = J∆ ω (2.20) Chiếu xuống trục quay ∆ Đònh lý 5 (Đònh lý mômen động lượng của hệ) ˙ L= (2.21) (e) rk × Fk Động năng... , là các mômen quán tính ly tâm của hệ Jxy = Jyx = mk xk yk , Jyz = Jzx = mk yk zk , Jzx = Jxz = mk zk xk (2.12) Nếu n = [cos α, cos β, cos γ]T là vectơ đơn vò của trục ∆ thì J ∆ = nT Jn Đònh lý 4 (Đònh lý Huygens) J∆ = JC + Md2 , (2.13) trong đó d là khoảng cách giữa hai trục Công thức tính mômen quán tính cần nhớ 1 Thanh mảnh đồng chất chiều dài l, khối lượng M đối với trục qua khối tâm và vuông . CƠ HỌC LÝ THUYẾT (Tóm tắt lý thuyết & Bài tập mẫu) Trònh Anh Ng o ï c 15/10/2009 i Lời khuyên We are what we repeate d ly. sách bài tập về cơ học. Nó chỉ có tác dụng giúp bạn ôn tập có chủ điểm về một số vấn đề quan trọng trong chương trình môn cơ học lý th u ye á t . Mo ä t điều quan trọng: vì một c u o á n sách bài. thậ m chí hàng tháng, cho đến khi bài tập luyện trở thành phản xạ nhẹ nhàng. Tương tự như vậy, cơ học không thể được học một cách thụ động. Không giải quyết nhiều bài toán c o ù t ín h thách thức, người