Bài toán phân chia thị phần

Chúng ta sẽ khảo sát những người tiêu dùngđối với mặt hàng này với giả định rằng trong 1 chu kỳ thời gian, một khách hàngchỉ mua sản phẩm của một trong hai công ty nói trên không thể mua

BÀI TOÁN PHÂN CHIA THỊ PHẦN Bài toán 1:

Giả sử rằng ta cần nghiên cứu lòng trung thành của khách hàng đối với một loại sản phẩm của hai công ty A và B Chúng ta sẽ khảo sát những người tiêu dùng đối với mặt hàng này với giả định rằng trong 1 chu kỳ thời gian, một khách hàng chỉ mua sản phẩm của một trong hai công ty nói trên (không thể mua sản phẩm của

cả hai công ty)

Ta sẽ dùng Xích Markov thuần nhất với không gian các trạng thái rời rạc để

mô phỏng hệ thống trên

Nếu ta chọn ngẫu nhiên một khách hàng mà người đó mua sản phẩm của công

ty A thì ta nói rằng hệ thống đang ở trạng thái 1; nếu khách hàng được chọn mua hàng của công ty B thì ta nói hệ thống đang ở trạng thái 2 Sau một đơn vị thời gian, một khách hàng trước đó đã mua hàng của công ty A có thể tiếp tục mua hàng của công ty đó với xác suất p11 hoặc chuyển sang mua hàng của công ty B với xác suất p12 Tương tự, một khách hàng trước đó đã mua hàng của công ty B có thể chuyển sang mua hàng của công ty A với xác suất p21 hoặc tiếp tục mua hàng của công ty đó với xác suất p22

Như vậy, ta sẽ có Xích Markov Xn; n = 0; 1; 2;…n; với không gian các trạng thái E = {1; 2} và ma trận xác suất chuyển như sau :

p p P

Nếu ma trận P không đổi theo thời gian thì ta gọi Xn là Xích Markov thuần nhất (trong phần này ta chỉ xét các Xích Markov dạng này)

Ta cũng gọi xác suất để một khách hàng mua sản phẩm của công ty A tại thời điểm n là 1(n) và xác suất để một khách hàng mua sản phẩm của công ty B tại thời điểm n là 2(n) Như vậy, phân phối xác suất của hệ thống tại thời điểm ban đầu là

ma trận :

1 (0) 2 (0) (0) ép p ù

Phân phối xác suất của hệ thống tại thời điểm n là ma trận:

1 ( ) 2 ( ) ( )n ép n p n ù

Sử dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có thể tính được phân phối xác suất của

hệ thống tại thời điểm 1 là :

1 (1) 1 (0).p11 2 (0).p21

2 (1) 1 (0).p12 2 (0).p22

Như vậy :

Một cách tương tự, ta có :

2

Do đó, ta có thể sử dụng công thức trên để xác định phân phối xác suất của hệ thống tại một thời điểm bất kỳ trong tương lai mà chỉ dựa vào phân phối xác suất ban đầu và ma trận xác suất chuyển

Giả sử rằng, ta khảo sát dữ liệu 100 người tiêu dùng trong một chu kỳ thời gian là 1 tháng và thu được kết quả được cho trong bảng sau :

Thời điểm khảo sát ban

đầu

Thời điểm sau 1 tháng Khách hàng của công ty

A

Khách hàng của công ty B

Khách hàng của công ty

A

Khách hàng của công ty

B

Như vậy, ma trận xác suất chuyển của hệ thống là :

0,9 0,1 0,2 0,8

P = êéê ùúú

Tại thời điểm ban đầu, ta chọn ngẫu nhiên một khách hàng mua sản phẩm của công ty A; nghĩa là :

1 0 (0) é ù

Õ = ê úë û Suy ra:

0,9 0,1

0,2 0,8

Õ =êë ú êû ë= úûê ú=êë úû

Như vậy, sau 1 tháng xác suất một khách hàng sẽ trung thành với sản phẩm của công ty A là 90% và sẽ có 10% khách hàng sẽ chuyển sang mua hàng của công

ty B

Sau 2 tháng, các tỉ lệ này sẽ là :

0,9 0,1

0,2 0,8

Õ =êë ú êû ë= úûê ú=êë úû

Bảng sau đây cho kết quả trong 10 tháng :

Xác

suất

Chu kỳ (n)

1(n) 1 0,9 0,83 0,78

1

0,74 7

0,72 3

0,70 6

0,69 4

0,68 6

0,68 0

0,67 6

2(n) 0 0,1 0,17 0,21

9

0,25 3

0,27 7

0,29 4

0,30 6

0,31 4

0,32 0

0,32 4

Kết quả trên cho ta biết rằng, nếu ban đầu ta khảo sát 1000 khách hàng của công ty A thì sau 10 tháng sẽ có khoảng 676 khách hàng trung thành với sản phẩm của công ty A và khoảng 324 khách hàng sẽ chuyển sang mua sản phẩm của công

ty B

Một cách tương tự, ta cũng có thể bắt đầu với một khách hàng của công ty B, nghĩa là :

1 0 (0) é ù

Õ = ê úë û

Bảng sau đây cho kết quả trong 10 tháng :

Xác

suất

Chu kỳ (n)

1(n) 0 0,2 0,34 0,43

8

0,50 7

0,55 5

0,58 9

0,61 2

0,62 8

0,64 0

0,64 8

2(n) 1 0,8 0,66 0,56

2

0,49 3

0,44 5

0,41 1

0,38 8

0,37 2

0,36 0

0,35 2

Vậy nếu ban đầu ta khảo sát 1000 khách hàng của công ty B thì sau 10 tháng

sẽ có khoảng 648 khách hàng chuyển sang mua sản phẩm của công ty A và khoảng

352 khách hàng trung thành với sản phẩm của công ty B

Một cách tổng quát, chúng ta sẽ xét một hệ X (tự nhiên hoặc xã hội) theo thời gian Ta viết Xn = i nghĩa là hệ X rơi vào trạng thái i tại thời điểm n, với n = 0,1,2… Tập hợp tất cả các trạng thái của X được gọi là không gian các trạng thái,

kí hiệu là E Giả sử E = {1,2,…,N}

Nếu sau 1 đơn vị thời gian, hệ chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j với xác suất pij thì ta gọi pij là xác suất chuyển trạng thái, nghĩa là :

p  P X   j X  i

Ta đặt : P p ij N N



  là ma trận xác suất chuyển trạng thái

Nếu quá trình chuyển đổi trạng thái của hệ X thỏa mãn tính chất :

P X   j X  i , X  i , , X   i , X   i P X   j X  i , i ,i , i    E thì ta nói là hệ thỏa tính chất Markov, nghĩa là trạng thái của hệ trong tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại và độc lập với quá khứ

Giả sử tại thời điểm ban đầu, các xác suất để hệ rơi vào trạng thái i  E là :

P X   1 ;P X  2  ; ;P X  N  Tại thời điểm n, các xác suất để hệ rơi vào trạng thái i  E là :

 n  1  n  2  n  N

P X   1 (n); P X  2  (n); ; P X  N  (n)

Ta gọi : (0)   1 (0)  2 (0)   N (0) là phân phối ban đầu của hệ và

      là phân phối của hệ tại thời điểm n

Khi đó, bộ ba gồm có X , , P n   thỏa tính chất Markov được gọi là xích Markov (hay quá trình Markov với thời gian rời rạc)

Bằng cách sử dụng phép nhân ma trận và công thức xác suất đầy đủ, người ta

đã chứng minh được rằng :

Nhờ công thức này, ta có thể dự đoán được phân phối của hệ tại thời điểm nào

đó trong tương lai

Ngoài ra, một vấn đề khác là liệu rằng trong tương lai phân phối của hệ có

“dừng” không Nghĩa là, có tồn tại phân phối Õ( )n sao cho Õ +(n 1)» Õ( )n » L , khi n đủ lớn, mà không phụ thuộc vào phân phối ban đầu hay không?

Vấn đề trên đã được giải quyết trọn vẹn bằng kết quả sau đây : “Điều kiện cần

và đủ để xích Markov tồn tại phân phối “dừng” là ma trận P phải chính quy (theo nghĩa là tồn tại số n0 sao cho mọi phần tử của P n 0đều là số dương)” Hơn nữa, nếu

P là chính quy thì phân phối dừng Õ( )n sẽ tồn tại duy nhất Khi đó Õ( )n là nghiệm không âm của hệ phương trình sau :

x x x 1

p x p x p x x

p x p x p x x











 Chúng ta có thể ứng dụng kết quả trên để giải bài toán sau đây :

Bài toán 2:

Một công ty cho thuê ôtô đã khảo sát thị hiếu của khách hàng về 3 loại xe 1,

2, 3 và thu được số liệu như sau :

 Đối với các khách hàng đã thuê loại xe 1 trong một chu kì thời gian :

có 60% khách hàng sẽ tiếp tục thuê loại xe 1 ở chu kì tiếp theo; 30% sẽ chuyển sang thuê loại xe 2; và 10% còn lại sẽ chuyển sang thuê loại xe 3

 Đối với các khách hàng đã thuê loại xe 2 trong một chu kì thời gian :

có 60% khách hàng sẽ tiếp tục thuê loại xe 2 ở chu kì tiếp theo; 20% sẽ chuyển sang thuê loại xe 1; và 20% còn lại sẽ chuyển sang thuê loại xe 3

 Đối với các khách hàng đã thuê loại xe 3 trong một chu kì thời gian :

có 50% khách hàng sẽ tiếp tục thuê loại xe 2 ở chu kì tiếp theo; 50% sẽ chuyển sang thuê loại xe 3; và không có ai chuyển sang thuê loại xe 1

Giả định rằng, thị hiếu của người tiêu dùng không thay đổi trong một thời gian dài sao cho các tỉ lệ trên không thay đổi nếu ta xét theo từng chu kì thời gian Câu hỏi đặt ra là công ty cần phải đặt mua các loại xe trên với tỉ lệ như thế nào để đáp ứng nhu cầu của khách hàng trong tương lai

Mô hình hóa bài toán trên ta được một xích Markov với không gian trạng thái

E = {1,2,3} và ma trận xác suất chuyển là :

0,6 0,3 0,1

P 0, 2 0, 6 0, 2

0 0,5 0,5

2

0, 42 0, 41 0,17

P 0, 24 0,52 0, 24

0,1 0,55 0,35

Như vậy, ma trận P là chính quy Do đó, phân phối dừng sẽ tồn tại và được tìm bằng cách giải hệ phương trình sau :

1

2

3

x 0, 25

0, 6x 0, 2x x

x 0,5 0,3x 0,6x 0,5x x

x 0, 25 0,1x 0, 2x 0,5x x











 Vậy, công ty nên đặt mua các loại xe 1, 2, 3 theo tỉ lệ 25%, 50%, 25% thì sẽ đáp ứng nhu cầu của khách hàng trong tương lai

17.2 Phân tích tài khoản phải thu (Accounts Receivable)

Một ứng dụng kế toán bằng quá trình Markov có những kết quả hữu dụng liên quan đến việc đánh giá khoản dự phòng cho những tài khoản phải thu Phần dự phòng này là ước lượng của trong tài khoản phải thu mà cuối cùng sẽ cho thấy đó

là khoản nợ khó đòi (bad debts)

Bây giờ hãy xem xét bài toán phân tích tài khoản phải thu trong tình huống sau Cửa hảng Heidman dùng hai loại tài khoản phải thu: một tài khoản có thời gian từ 0 – 30 ngày, một tài khoản có thời gian từ 31 – 90 ngày Nếu có khoản nào vượt quá 90 ngày thì ghi là nợ khó đòi, tính theo thời gian của hóa đơn trễ nhất chưa thanh toán

Ví dụ: Giả sử một khách hàng có số dư tài khoản vào ngày 30 tháng 9 là

Ngày mua

Tiền phải trả ($)

15 tháng 8 25

18 tháng 9 10

28 tháng 9 50 Tổng

cộng

85$

Tài khoản phải thu vào ngày 30 tháng 9 sẽ chuyển 85$ vào loại tài khoản 31 –

90 ngày bởi vì hóa đơn trễ nhất chưa thanh toán là ngày 15 tháng 8, tức là đã qua

46 ngày

Giả sử một tuần sau, vào ngày 7 tháng 10, khách hàng thanh toán cho hóa đơn ngày 15 tháng 8 là 25$ Khi đó phần còn lại của tài khoản là 60$ sẽ được chuyển vào tài khoản loại 0 – 30 ngày, theo hóa đơn chưa thanh toán trễ nhất là 18 tháng 9,

ít hơn 31 ngày

Chú ý rằng, trong ví dụ này tiền phải trả có thể chuyển từ loại tài khoản 31 – 90 ngày sang tài khoản từ 0 – 30 ngày

Giả sử vào ngày 31 tháng 12 Heidman thấy có tổng cộng là 3000$ trong tài khoản phải thu Quản lý cửa hàng muốn biết lượng đã thu được và lượng nợ khó đòi là bao nhiêu Lượng nợ khó đòi sẽ xem như là phần dự phòng cho các tài khoản thu không chắc chắn (doubful accounts) vào cuối năm tài chính

Bây giờ ta sẽ dùng quá trình Markov để giải quyết cho việc điều hành tài khoản phải thu Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm hiểu một dollar sẽ chuyển đổi như thế nào trong tài khoản phải thu Nếu công ty vẫn tiếp tục hoạt động trong tương tai, chúng ta có thể xem mỗi tuần là một quá trình Markov, với mỗi dollar sẽ thuộc một trong các trạng thái sau:

Trạng thái 1 Loại đã được trả.

Trạng thái 2 Loại nợ khó đòi.

Trạng thái 3 Loại nợ trong 0 – 30 ngày.

Trạng thái 4 Loại nợ trong 31 – 90 ngày.

Vì vậy, chúng ta có thể kiểm tra theo từng tuần trạng thái của một dollar bằng cách sử dụng quá trình Markov để biết trạng thái của hệ thống at từng tuần cụ thể

Sử dụng mô hình quá trình Markov với các trạng thái nêu trên, chúng ta định nghĩa xác suất chuyển trạng thái (hay còn gọi là xác suất chuyển) như sau:

pij = xác suất một dollar chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j trong tuần kế tiếp

Dựa trên lịch sử giao dịch của cửa hàng Heidman, chúng ta giả sử xây dựng được ma trận xác suất chuyển trạng thái P như sau:

11 12 13 14

p p p p 1.0 0.0 0.0 0.0

p p p p 0.0 1.0 0.0 0.0 P

p p p p 0.4 0.0 0.3 0.3

p p p p 0.4 0.2 0.3 0.1

Chú ý rằng xác suất để một dollar ở loại tài khoản 0 – 30 ngày (trạng thái 3) lần lượt chuyển sang trạng thái đã được trả (trạng thái 1) là 0.4, tiếp tục ở trạng thái 0 –

30 ngày là 0.3, và chuyển sang trạng thái 31 – 90 (trạng thái 4) ngày là 0.3 Và cũng lưu ý rằng một dollar trong tài khoản 0 – 30 ngày thì không thể chuyển sang trạng thái nợ khó đòi (trạng thái 2) được

Một thuộc tính quan trọng của mô hình quá trình Markov cho bài toán tài khoản phải thu của Heidman là tồn tại trạng thái hấp thụ (absorbing state) Tức là, một dollar đang ở trạng thái 1 (trạng thái đã trả) chuyển sang bất kỳ trạng thái khác đều

là 0 Tương tự, một dollar đang ở trạng thái 2 (trạng thái nợ khó đòi) chuyển sang bất kỳ trạng thái khác cũng đều là 0 Vì vậy, một dollar đang ở trạng thái 1 hoặc 2, thì sẽ tiếp tục ở trạng thái này mãi mãi

Ma trận cơ bản (fundamental matrix) và minh họa

Khi quá trình Markov có trạng thái hấp thụ, chúng ta quan tâm đến xác suất

để một đơn vị sẽ kết thúc ở trạng thái hấp thụ Trong bài toán tài khoản phải thu của Heidman, chúng ta muốn biết xác suất một dollar ở trạng thái 0 – 30 ngày sẽ kết thúc ở trạng thái đã trả hoặc trạng thái nợ khó đòi (trạng thái hấp thụ) là bao nhiêu Tương tự cho một dollar ở trạng thái 31 – 90 ngày

Việc tính toán xác suất ở trạng thái hấp thụ cần và sử dụng ma trận cơ bản (fundamental matrix) Chia ma trận xác suất chuyển trạng thái P thành bốn phần như sau:

1.0 0.0 | 0.0 0.0 1.0 0.0 | 0.0 0.0 0.0 1.0 | 0.0 0.0 0.0 1.0 | 0.0 0.0

Trong đó

0.4 0.0 0.3 0.3

0.4 0.2 Q 0.3 0.1

Ma trận N gọi ma trận cơ bản, được tính toán theo công thức sau:

1 1

1

1.0 0.0 0.3 0.3

0.0 1.0 0.3 0.1 0.7 0.3 1.67 0.56 0.3 0.9 0.56 1.30

= - = ç çê çèë ú êû ë- ú÷û÷ø

= ç çê ç-èë úû÷÷ø = êë úû Nếu nhân ma trận cơ bản N với ma trận R, thì chúng ta có được xác suất để một dollar đang ở trạng thái 3 hoặc trạng thái 4 chuyển sang trạng thái hấp thụ

1.67 0.56 0.4 0.0 0.89 0.11 NR

0.56 1.30 0.4 0.2 0.74 0.26

Dòng đầu tiên của tích ma trận NR cho biết xác suất để một dollar ở tài khoản 0 – 30 ngày chuyển sang trạng thái được trả và trạng thái nợ khó đòi lần lượt là 0.89

và 0.11 Tương tự, dòng thứ thai cho biết xác suất để một dollar ở tài khoản 31 –

90 ngày chuyển sang chuyển sang trạng thái được trả và trạng thái nợ khó đòi lần lượt là 0.74 và 0.26

Tính toán phần dự phòng cho tài khoản thu không chắc chắn

Cho ma trận B gồm hai thành phần chứa tài khoản phải thu loại 0 – 30 ngày và loại

31 -90 ngày như sau

[ 1 2]

B = b b Trong đó b1, b2 lần lượt là số dư trong tài khoản phải thu loại 0 – 30 ngày và loại

31 – 90 ngày

Giả sử rằng trong ngày 31 tháng 12, tài khoản phải thu của Heidman có như sau

B = 1000 2000 Nhân ma trận B với tích ma trận NR, chúng ta sẽ tính được phần thu được và phần

bị sẽ mất do nợ khó đòi

0.74 0.26

Tức là trong tài khoản phải thu có 2370$ thu được và 630$ là nợ khó đòi Dựa vào phân tích này, bộ phận kế toán sẽ thiết lập phần dự phòng cho tài khoản thu không chắc chắn là 630$

Trong bài toán phân tích tài khoản phải thu của Heidman, chúng ta muốn giảm lượng nợ khó đòi xuống bằn cách thay đổi chính sách

Các nhà quản lý cho rằng các chính sách này sẽ tăng xác suất chuyển từ trạng thái

0 – 30 ngày sang trạng thái đã trả và giảm xác suất chuyển từ trạng thái 0 – 30 ngày sang trạng thái 31 – 90 ngày Và giả sử rằng chúng ta nhận được ma trận xác suất chuyển trạng thái như sau

1.0 0.0 | 0.0 0.0 1.0 0.0 | 0.0 0.0 0.0 1.0 | 0.0 0.0 0.0 1.0 | 0.0 0.0

Chúng ta có xác suất để một dollar ở trạng thái 0 – 30 ngày chuyển sang trạng thái

đã trả tăng lên bằng 0.6 và xác suất để một dollar ở trạng thái 0 – 30 ngày chuyển sang trạng thái 31 – 90 ngày giảm xuống bằng 0.1

Để xác định được sự thay đổi của chính sách này lên nợ khó, chúng ta cần tính các

ma trận N, NR, BNR Trước hết ta tính được ma trận cơ bản N

1 1

1

1.0 0.0 0.3 0.1

0.0 1.0 0.3 0.1 0.7 0.1 1.5 0.17 0.3 0.9 0.5 1.17

= - = ç çê çèë ú êû ë- ú÷û÷ø

= ç çê ç-èë úû÷÷ø = êë úû Nhân ma trạn N với ma trận R, ta được

1.5 0.17 0.6 0.0 0.97 0.03 NR

0.5 1.17 0.4 0.2 0.77 0.23

Với chính sách mới này, chúng ta thấy tài khoản loại 0 – 30 ngày chuyển thành nợ khó đòi chỉ 0.03(3%) và tài khoản 31 – 90 ngày chuyển thành nợ khó đòi chỉ còn 0.23(23%)

Giả sử rằng chúng ta có 1000$ trong tài khoản phải thu loại 0 – 30 ngày và 2000$ trong tài khoản phải thu loại 31 – 90 ngày Khi đó chúng ta có thể tính được phần thu được và phần nợ khó đòi bằng cách lấy tích ma trận B với ma trận tích NR

0.77 0.23

Từ đây, cho thấy chính sách mới nhận được nợ khó đòi là 490$ So với chính sách trước kia, thì nợ khó đòi là 630$ Vậy chúng ta đã giảm được 630$-490$ = 140$