Đánh giá điều kiện biên ủa một dầm đàn hồi từ số liệu đo ủa tần số dao động riêng

Trang 3 Nội dung nghiên cứu của đề tài được chia làm 3 chương:Chương 1 nói về thuật toán di truyền.Chương 2 là cơ sỏ lý thuyết của bài toán đánh giá điều kiện biên của dầm đàn hồi bằng t

I H C BÁCH KHOA HÀ N I -

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÁNH GIÁ ĐIỀU KI N BIÊN C A MỘỆ Ủ T DẦM ĐÀN HỒI T S LI U ĐO Ừ Ố Ệ

Mở đầu

Việc đánh giá trạng thái các đối tượng kỹ thuật đang tồn tại là một nhu cầu bức thiết thường xuyên trong kỹ thuật Công việc này cho phép ta phát hiện kịp thời những hư hỏng, sự cố trong hệ thống có thể dẫn đến những tai họa làm tổn hại không chỉ về tiền của mà còn có thể tính mạng con người và hủy hoại môi trường Hơn nữa, nó cho phép chúng ta có biện pháp duy tu bảo dưỡng nâng cao tuổi thọ của đối tượng Đây chính là nội dung của một chuyên ngành mới gọi là Chẩn đoán kỹ thuật Chẩn đoán kỹ thuật dựa trên

cơ sở mô hình (model based technical diagnostics) thực chất là bài toán nhận dạng đối tượng đang tồn tại từ số liệu đo Bài toán này lại là thuộc lớp bài toán không chỉnh vì những lý do sau đây: Trước hết, mô hình được dùng trong chẩn đoán luôn có một khoảng cách so với thực tế Sau đó là số liệu đo đạc luôn thiếu thốn và có những sai số Chính vì những lý do đó, bài toán đặt

ra luôn không có hoặc có nhiều nghiệm không ổn định Đặc tính kỳ dị này của bài toán biểu hiện rõ nét nhất là xuất hiện rất nhiều cực trị địa phương của hàm mục tiêu khi áp dụng phương pháp quy hoạch toán học Một nhu cầu cấp thiết trong việc giải bài toán chẩn đoán kỹ thuật dựa trên công cụ quy hoạch toán học là tìm kiếm cực trị toàn cục cho một hàm mục tiêu đã xác định Một trong những hướng giải quyết vấn đề chính là áp dụng những thuật toán mới, trong số đó là Thuật toán di truyền

Mục đích của đề tài này là áp dụng Thuật toán để giải một bài toán đơn giản của Chẩn đoán kỹ thuật công trình: Đánh giá điều kiện biên của một dầm đân hồi từ số liệu đo của tần số dao động riêng

Nội dung nghiên cứu của đề tài được chia làm 3 chương:

Chương 1 nói về thuật toán di truyền

Chương 2 là cơ sỏ lý thuyết của bài toán đánh giá điều kiện biên của dầm đàn hồi bằng tần số riêng

Chương 3 là áp dụng thuật toán di truyền, minh họa kết quả số

Việc tính toán giải tích và mô phỏng số được thực hiện với sự trợ giúp của phần mềm Matlab

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Giáo sư

Tôi xin chân thành cám ơn Trung tâm Đào tạo và Bồi dưỡng sau đại học, Bộ môn Cơ học ứng dụng Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa Hà nội, Phòng Thực nghiệm Viện cơ học đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi về mọi mặt để luận văn được hoàn thành đúng hạn

Mặc dù đã hết sức cố gắng, tuy nhiên do kiến thức còn hạn chế nên chắc không thể thiếu được sai sót Tôi rất mong sự chỉ bảo, góp ý của các bạn đồng nghiệp, những người quan tâm đến lĩnh vực Chẩn đoán kỹ thuật-một lĩnh vực vô cùng thú vị

Chương 1 Giải thuật di truyền

1.1 Giới thiệu:

Trong thực tiễn có nhiều bài toán tối ưu quan trọng đòi hỏi những thuật giải chất lượng cao Nói chung bài toán tối ưu có thể được xem như bài toán tìm kiếm giải pháp (tốt nhất) trong không gian (vô cùng lớn) các giải pháp Khi không gian tìm kiếm nhỏ, các phương pháp cổ điển cũng đủ thích hợp, nhưng khi không gian tìm kiếm lớn cần phải dùng đến những kỹ thuật mới Thuật giải di truyền (GA: Genetic Algorithm) là một trong những kỹ thuật

đó GA là một loại thuật giải mô phỏng các hiện tượng tự nhiên: kế thừa và đấu tranh sinh tồn để cải tiến lời giải và khảo sát không gian lời giải

Thực ra GA thuộc lớp các thuật giải xác suất, nhưng lại rất khác những thuật giải ngẫu nhiên vì chúng kết hợp các phần tử tìm kiếm trực tiếp và ngẫu nhiên Khác biệt quan trọng giữa tìm kiếm của GA và các phương pháp tìm kiếm khác là GA duy trì và xử lý một tập các lời giải (ta gọi là một quần thể) tất cả những phương pháp khác chỉ xử lý mộ– t điểm trong không gian tìm kiếm Chính vì thế GA mạnh hơn các phương pháp tìm kiếm hiện có rất nhiều

Thuật giải di truyền do D.E Goldberg đề xuất, được L.David và Z Michalevicz phát triển Đây là thuật toán sẽ được trình bày chi tiết trong chương này

1.2 Cấu trúc của giải thuật di truyền:

Thuật giải di truyền sử dụng các thuật ngữ vay mượn của di truyền học

Ta có thể nói về các cá thể (hay kiểu gen, cấu trúc) trong một quần thể, những cá thể này cũng còn được gọi là các chuỗi hay các nhiễm sắc thể

Điều này có thể gây chút lẫn lộn: mỗi tế bào của một cơ thể của một chủng loại đã cho, mang một số những nhiễm sắc thể nào đó (thí dụ, người có 46 nhiễm sắc thể) nhưng trong thuật giải di truyền, ta chỉ nói về những cá thể có một nhiễm sắc thể Các nhiễm sắc thể được tạo thành từ các đơn vị - các gen – biểu diễn trong một chuỗi tuyến tính, mỗi gen kiểm soát một (số) đặc trưng Gen với những đặc trưng nhất định có vị trí nhất định trong nhiễm sắc thể Bất cứ đặc trưng nào của mỗi cá thể có thể tự biểu hiện một cách phân biệt và gen có thể nhận một số giá trị khác nhau (các giá trị về tính năng).Mỗi kiểu (nhóm) gen (ta gọi là một nhiễm sắc thể) sẽ biểu diễn một lời giải của bài toán đang giải (ý nghĩa của một nhiễm sắc thể cụ thể được người

sử dụng xác định trước), một tiến trình tiến hóa được thực hiện trên một quần thể các nhiễm sắc thể tương ứng với một quá trình tìm kiếm lời giải trong không gian lời giải Tìm kiếm đó cần cân đối hai mục tiêu: khai thác những lời giải tốt nhất và khảo sát không gian tìm kiếm

Thuật giải di truyền cũng như các thuật toán tiến hóa nói chung, hình thành trên quan niệm cho rằng quá trình tiến hóa tự nhiên là quá trình hoàn hảo nhất, hợp lý nhất và tự nó đã mang tính tối ưu Quan niệm này có thể xem như một tiên đề đúng không chứng minh được nhưng phù hợp với thực

tế khách quan Quá trình tiến hóa thể hiện tính tối ưu ở chỗ, thế hệ sau bao giờ cũng tốt hơn (phát triển hơn, hoàn thiện hơn) thế hệ trước Tiến hóa tự nhiên được duy trì nhờ 2 quá trình cơ bản: sinh sản và chọn lọc tự nhiên Xuyên suốt quá trình tiến hóa tự nhiên, các thế hệ mới luôn được sinh ra để

bổ xung thay thế thế hệ cũ Cá thể nào phát triển hơn, thích ứng hơn với môi trường sẽ tồn tại Cá thể nào không thích ứng được với môi trường sẽ bị đào thải Sự thay đổi môi trường là động lực thúc đẩy quá trình tiến hóa Ngược lại tiến hoá cũng tác động trở lại góp phần làm thay đổi môi trường

Các cá thể mới sinh ra trong quá trình tiến hóa nhờ sự lai ghép ở thế hệ cha mẹ Một cá thể mới có thể mang những tính trạng của cha mẹ (di truyền) cũng có thể mang những tính trạng hoàn toàn mới (đột biến) Di truyền và đột biến là hai cơ chế có vai trò quan trọng như nhau trong tiến trình tiến hóa, dù rằng đột biến xảy ra với xác xuất nhỏ hơn nhiều so với hiện tượng di truyền Các thuật toán tiến hóa tuy có những điểm khác biệt nhưng đều mô phỏng bốn quá trình cơ bản là lai ghép, đột biến, sinh sản và chọn lọc tự nhiên

Quá trình lai ghép (phép lai)

Phép lai là qúa trình hình thành nhiễm sắc thể mới trên cơ sở các nhiễm sắc thể cha mẹ, bằng cách ghép một hay nhiều đoạn gen của hai (hay nhiều) nhiễm sắc thể cha mẹ với nhau Phép lai xảy ra với xác suất Pc có thể mô phỏng như sau:

 Chọn ngẫu nhiên hai (hay nhiều) cá thể bất kỳ trong quần thể Giả sử các nhiễm sắc thể của cha mẹ đều có mgen

 Tạo một số ngẫu nhiên trong khoảng từ 1 đến m −1 (gọi là điểm lai) Điểm lai chia các chuỗi cha mẹ dài m thành hai nhóm chuỗi con dài

1

m và m Hai chuỗi nhiễm sắc thể con mới sẽ là 2 m11 +m22 và

m +m

 Đưa hai cá thể mới này vào quần thể mới tiếp theo

Quá trình đột biến (phép đột biến)

Đột biến là hiện tượng cá thể con mang một số tính trạng không có trong mã di truyền của cha mẹ Phép đột biến này xảy ra với xác suất nhỏ hơn rất nhiều so với xác suất lai Pc Phép đột biến có thể mô phỏng như sau:

 Chọn ngẫu nhiên một cá thể bất kỳ cha mẹ trong quần thể

 Tạo một số ngẫu nhiên ktrong khoảng từ 1 đến m −1, 1 k m≤ ≤

 Thay đổi gen thứ k và trả cá thể này về quần thể để tham gia quá trình tiến hóa tiếp theo

Quá trình sinh sản và chọn lọc (phép tái sinh và phép chọn)

Phép tái sinh là quá trình trong đó các cá thể được sao chép trên cơ sở

độ thích nghi của nó Độ thích nghi là một hàm gán một giá trị thực cho các

cá thể trong quấn thể, các độ thích nghi đều dương (trong trường hợp các độ thích nghi âm thì ta có thể dùng một vài phép biến đổi tương ứng để định lại

tỷ lệ sao cho các độ thích nghi đều dương) Trong bài toán tối ưu thì hàm mục tiêu thường được dùng để tính toán độ thích nghi cho các cá thể

Quá trình sinh sản có thể được mô phỏng như sau:

 Tính độ thích nghi của từng cá thể trong quần thể hiện hành, lập bảng cộng dồn các giá trị thích nghi (theo số thứ tự gán cho từng cá thể) như sau:

Giả sử quần thể có n cá thể Gọi độ thích nghi của cá thể thứ ilà Fi, tổng dồn thứ ilà

 Tạo một số ngẫu nhiên F trong đoạn từ 0 đến Fn

 Chọn cá thể thứ k đầu tiên thỏa mãn F F≥ tkđưa vào quần thể của thế

hệ mới

Phép chọn là quá trình loại bỏ các cá thể xấu trong quần thể để chỉ giữ lại trong quần thể các cá thể tốt Phép chọn có thể được mô phỏng như sau:

 Sắp xếp quần thể theo thứ tự độ thích nghi giảm dần

 Loại bỏ các cá thể cuối dãy chỉ giữ lại n cá thể tốt nhất (giả sử quần thể có kích thước cố định n)

Thuật giải di truyền giải một bài toán phải có năm thành phần sau đây:

 Một cấu trúc dữ liệu I biểu diễn không gian lời giải của bài toán

 Phương pháp khởi tạo quần thể ban đầu P(0)

 Hàm định nghĩa độ thích nghi eval đóng vai trò môi trường()

 Các phép toán di truyền như đã mô phỏng

 Các tham số thuật giải di truyền sử dụng (kích thước quần thể, xác suất lai, đột biến, )

Tiến trình khởi tạo quần thể ban đầu rất đơn giản: ta tạo một quần thể gổm n cá thể (hay n nhiễm sắc thể) trong đó mỗi cá thể là một vectơ nhị phân gồm m bit nhị phân (mỗi bit chỉ nhận một trong hai giá trị là 0 và 1), tất cả m bit đều được khởi tạo ngẫu nhiên

Thuật giải di truyền có thể được mô tả tóm tắt như sau:

Bắt đầu

0

t =

Khởi tạo ( )P t ;

Tính độ thích nghi cho các cá thể thuộc ( )P t ;

Khi(điều kiện dừng chưa thỏa mãn) lặp

3 Thuật giải di truyền: cơ chế thực hiện

Trong phần này, tôi sẽ trình bày về cơ chế thực hiện của thuật giải di truyền thông qua một bài toán tối ưu số đơn giản Ta sẽ bắt đầu thảo luận một vài ý kiến chung trước khi đi vào chi tiết ví dụ Không mất tính tổng quát, ta giả định những bài toán tối ưu là bài toán tìm giá trị cực đại Bài toán tìm giá trị cực tiểu hàm f chính là tìm cực đại hàm g = −f

Bây giờ giả sử ta muốn tìm cực đại của một hàm k biến

b −a × ≤ − Như vậy mỗi biến được biểu diễn bằng một chuỗi nhị phân có chiều dài mi Biễu diễn như trên rõ ràng thỏa mãn điều kiện về độ chính xác yêu cầu Công thức sau tính giá trị thập phân của mỗi chuỗi nhị phân biễu diễn biến

số lẻ Miền giá trị của có chiều dài

( )

2− − =1 3, với yêu cầu về độ chính xác 6 số lẻ như thế thì ta phải chia khoảng [−1,2] thành ít nhất 3 10× 6

khoảng có kích thước bằng nhau Điều này có nghĩa là cần có 22 bit nhị phân cho vectơ nhiễm sắc thể vì:

Thí dụ nhiễm sắc thể (1000101110110101000111 biểu diễn số )0.637197 vì:

'

10 2

Bây giờ mỗi nhiễm sắc thể (là một lời giải) được biễu diễn bằng chuỗi

nhị phân có chiều dài

1

k i i

=

=∑ , với m bit đầu tiên biễu diễn các giá trị 1trong khoảng [a b1 1, ],m2 bit kế tiếp biễu diễn giá trị trong khoảng [a b2, 2], nhóm mk bit cuối cùng biễu diễn giá trị trong khoảng [a bk, k]

Để khởi tạo quần thể, chỉ cần đơn giản tạo n nhiễm sắc thể ngẫu nhiên theo từng bit Phần còn lại của thuật giải di truyền rất đơn giản: trong mỗi

thế hệ, ta lượng giá từng nhiễm sắc thể (tính giá trị hàm f trên các chuỗi biến nhị phân đã được giải mã), chọn quần thể mới thỏa mãn phân bố xác suất dựa trên độ thích nghi và thực hiện các phép đột biến và lai để tạo ra các

cá thể thế hệ mới Sau một số thế hệ, khi không còn cải thiện thêm được gì nữa, nhiễm sắc thế tốt nhất sẽ được xem như lời giải của bài toán tối ưu (thường là toàn cục) Thông thường ta cho dừng thuật giải di truyền sau một

số bước lặp cố định tùy thuộc vào tài nguyên và tốc độ máy tính

Đối với tiến trình chọn lọc (chọn quần thể mới thỏa mãn phân bố xác suất dựa trên độ thích nghi) ta dùng bánh xe quay Roulette (Roulette wheel selection methods) với các rãnh được định kích thước theo độ thích nghi Ta xây dựng bánh xe Roulette như sau:

 Tính độ thích nghi eval(vR i R) của mỗi nhiễm sắc thể vR i R, i=1 n

 Tính tổng giá trị thích nghi toàn quấn thể

n

i i

Tiến trình chọn lọc được thực hiện bằng cách quay bánh xe Roulette

n lần, mỗi lần chọn một nhiễm sắc thể từ quần thể hiện hành vào quần thể mới theo cách sau:

 Tạo một số ngẫu nhiên có phân bố đều trong khoảng r [ ]0,1

 Nếu r q< 1 thì chọn nhiễm sắc thể đầu tiên vR 1 R, ngược lại thì chọn nhiễm sắc thể thứ i, vR i R (2 i n≤ ≤ ) sao cho qi −1< ≤r qi

Hiển nhiên có thể sẽ có một số nhiễm sắc thể được chọn nhiều lần Các nhiễm sắc thể tốt nhất có nhiều bản sao hơn, các nhiễm sắc thể trung bình không thay đổi, các nhiễm sắc thể kém nhất thì chết đi.

Bây giờ có thể áp dụng phép toán di truyền: kết hợp, lai tạo và đột biến vào các cá thể trong quần thể mới, vừa được chọn từ quần thể cũ như trên Một trong những tham số của hệ di truyền là xác suất lai tạo pR c R Xác suất này cho ta số nhiễm sắc thể n ×pR c Rmong đợi, các nhiễm sắc thể này được dùng trong tác vụ lai tạo Ta tiến hành theo cách sau đây Đối với mỗi nhiễm sắc thể trong quần thể mới:

 Tạo một số ngẫu nhiên có phân bố đều trong khoảng r [ ]0,1

 Nếu r< pc thì chọn nhiễm sắc thể đó để lai tạo

Bây giờ ta ghép đôi các nhiễm sắc thể đã chọn được một cách ngẫu nhiên: đối với mỗi cặp nhiễm sắc thể được ghép đôi, ta tạo một số ngẫu nhiên pos trong khoảng [1,m −1] ( m là tổng chiều dài, số bit của một nhiễm sắc thể) Số pos cho biết vị trí của điểm lai Hai nhiễm sắc thể:

Phép toán kế tiếp, đột biến được thực hiện trên cơ sở từng bit Một tham

số khác của hệ thống di truyền pR m Rcho ta số bit đột biến pm × ×m pop size−mong đợi Mỗi bit (trong tất cả các nhiễm sắc thể trong quần thể) có cơ hội

bị đột biến như nhau nghĩa là đổi từ 0 thành 1 hoặc ngược lại Vì thế ta tiến hành theo cách sau đây:

Đối với mỗi nhiễm sắc thể trong quần thể hiện hành (nghĩa là sau khi lai) và đối với mỗi bit trong nhiễm sắc thể:

 Tạo một số ngẫu nhiên có phân bố đều trong khoảng r [ ]0,1

 Nếu r< pm hãy đột biến bit đó

Sau quá trình chọn lọc, lai tạo và đột biến, ta tiến hành đánh giá quần thể mới, tức là tính độ thích nghi cho các cá thể trong quần thể mới Đánh giá này được dùng để xây dựng phân bố xác suất (cho tiến trình chọn lọc kế tiếp), nghĩa là để xây dựng lại bánh xe Roulette với các rãnh được định kích thước theo các giá trị thích nghi hiện hành Phần còn lại của tiến hóa chỉ là lặp lại chu trình của những bước trên

Toàn bộ tiến trình sẽ được minh họa trong một ví dụ Trong ví dụ này ta

sẽ mô phỏng thuật giải di truyền giải bài toán tối ưu số

Giả sử kích thước quần thể n = 20 và các xác suất di truyền tương ứng

2 ≤151000 2≤

Miền của biến 2 có chiều dài , điều kiện chính xác đòi hỏi đoạn [4 1 5 8] cần được chia thành các khoảng có kích thước bằng nhau, ít nhất là 1.7 10000× khoảng.

q , nghĩa là v4

được chọn cho quần thể mới, vv…

Như vậy quần thể mới gồm có các nhiễm sắc thể sau:

ngẫu nhiên r trong khoảng [ ]0,1 Nếu r <0.25ta chọn một nhiễm sắc thể cho trước để lai tạo.

Giả sử thứ tự các số ngẫu nhiên là:

v , ' 13

Điều này có nghĩa là ta phải phát sinh 660 số ngẫu nhiên Giả sử có 5 trong số 660 số này nhỏ hơn 0.01, vị trí bit và số ngẫu nhiên được trình bày dưới đây:

Vị trí bit Số ngẫu nhiên

Vị trí bit Số nhiễm sắc thể Số bit trong nhiễm sắc

Tiến trình lặp lại lần nữa và các phép toán di truyền được áp dụng, lượng giá thế hệ kế tiếp … v.v… Giả sử sau 1000 thế hệ ta được quần thể:

Không khó để theo dõi cá thể tốt nhất trong tiến trình tiến hóa Thông thường (trong các cài đặt thuật giải di truyền) cá thể tốt “trội hơn cả” trong mỗi thế hệ được lưu giữ tại một vị trí riêng biệt, bằng cách đó, thuật giải có thể duy trì cá thể tốt nhất tìm được trong suốt quá trình.

Chương 2 Đánh giá điều kiện biên của dầm đàn hồi

2.1 Dao động uốn của dầm đàn hồi

Về kết cấu dầm

Dầm là một dạng kết cấu đơn giản cùng với thanh Nếu trong thanh người ta chỉ quan tâm đến sự kéo nén và biến dạng dọc trục, thì với dầm người ta xem xét biến dạng ngang vuông góc với trục thanh gọi là uốn Cũng như thanh, hình học của dầm được xác định bằng hai kích thước: chiều dài

và tiết diện ngang Tiết diện ngang có thể có hình dạng khác nhau như hình chữ nhật, hình tròn … nhưng nói chung cũng lại được xác định bằng hai kích thước khác nhau, hay đặc biệt cũng có trường hợp người ta chỉ xét một kích thước đặc trưng cho tiết diện Theo một số kết quả nghiên cứu thì khái niệm về dầm chỉ được sử dụng khi chiều dài lớn hơn rất nhiều các kích thước còn lại Nếu chiều dài và kích thước của tiết diện có cùng cỡ (tỷ lệ nhỏhơn 10) thì mô hình dầm không còn tác dụng nữa

Trong nghiên cứu mô hình dầm, người ta phân loại dầm như sau:

 Dầm Euler – Bernoulli là loại dầm thõa mãn các giả thiết sau:

 Tiết diện ngang luôn luôn là phẳng trong mọi trạng thái biến dạng

 Mặt đối xứng của dầm luôn trùng với mặt phẳng dao động (hay tiết diện ngang luôn luôn vuông góc với trục trung hòa)

 Quán tính quay và biến dạng trượt có thể bỏ qua

 Dầm Timoshenko là loại dầm trong đó điều kiện thứ hai và ba không còn thỏa mãn nữa Điều này xảy ra khi chiều dài dầm

không đủ lớn so với kích thước tiết diện ngang (tỷ lệ nhỏ hơn 10)

Hiện tượng tiết diện ngang không còn phẳng khi biến dạng là rất phức tạp, còn ít được nghiên cứu và là một loại dầm thứ ba Trong khuôn khổ luận văn chủ yếu xem xét dầm đơn giản Euler – Bernoulli

Phương trình dao động uốn của dầmđàn hồi

Xét dầm cho trong hình vẽ 2.1 và tách một phần tử dầm có chiều dài

dx Các tham số của dầm là modun đàn hồi E , mật độ khối ρ, diện tích tiết diện F , chiều dài L và momen quán tính của tiết diện là I Ký hiệu chuyển

vị ngang của tiết diện tại x là ( , )u x t Gốc tọa độ chọn là đầu trái của dầm như hình vẽ

Các lực và momen tác dụng lên phần tử dầm này gồm:

 Các lực cắt tại hai đầu xvà x dx+ gồm lực cắt V x t( ), , ( ), V

x

∂+

2.2 Mô hình điều kiện biên không lý tưởng của dầm đàn hồi

Xét dầm AB như hình vẽ Tính không lý tưởng của các liên kết biên được mô tả bằng các lò xo dịch chuyển St0,S t 1 và lò xo quay S r 0,S r 1 tại hai đầu A và B

Hình 2.2 Bây giờ ta xét một số kiểu liên kết biên như là trường hợp riêng của trường hợp tổng quát nói trên.

5 Một đầu ngàm một đầu trượt tự do: St0 =Sr0 =Sr1 = ∞,S =t1 0

Như vậy mô hình dầm với liên kết biên mềm như trên là khá tổng quát

và đầy đủ Nó không chỉ mô tả tính không lý tưởng của liên kết mà còn chứa đựng các liên kết lý tưởng khác như là trường hợp riêng Mô hình này đã được Timoshenko đưa ra nhưng ông chỉ dừng lại ở việc thiết lập phương trình tần số Việc nghiên cứu sự biến thiên của tần số và dạng riêng theo các tham số lò xo biên chưa được giải quyết

Xét dao động riêng không cản của dầm được mô tả bởi phương trình dao động:

trong đó ω là tần số riêng và Φ( )x là dạng dao động riêng

Khi đó phương trình đối với Φ( )x có dạng:

( ) IV ( )x λ4 ( )x 0

Còn C C C C1, , ,2 3 4 là các hằng số phải tìm từ điều kiện biên

Với những liên kết lò xo tại hai đầu dầm thì các điều kiện biên sẽ được viết như sau:

(a) là điều kiện cân bằng lực tại đầu A, x = −1 2

(b) là điều kiện cân bằng momen tại đầu A, x = −1 2

(c) là điều kiện cân bằng lực tại đầu B, x=1 2

(d) là điều kiện cân bằng momen tại đầu B, x=1 2

EI b

S = (b là độ mềm 1tương đối của lò xo dịch chuyển tại đầu A của dầm) thu được:

và tham số b=(b b b b1 2 3 4, , , ) gọi là tham số biên, các hàm L z j =j( ), 1,4 gọi

là các hàm biên Dễ thấy các điều kiện biên cổ điển (như hai đầu ngàm, hai đầu khớp, một đầu ngàm một đầu khớp,…) ứng với các giá trị khác nhau của tham số biên

Khai triển định thức trên ta được phương trình tần số xác định λ:

EI = , là độ cứng tương đối của lò xo xoay tại đầu A thì phương trình thứ hai có dạng: