Tối ưu dạng trong ơ học chất lỏng

Trang 1 Ê VĂN CHIẾNBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI --- LÊ VĂN CHIẾNTOÁN ỨNG DỤNGTỐI ƯU DẠNG TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG Trang 2 LUẬN ĂN HẠC ĨVTSTối ưu dạng trong cơ học

Mô phỏng số phương trình dòng chảy Navier-Stokes

Phương trình Navier-Stokes không nén

ChoΩlà miền bị chặn trong không gianR d ( =d 2hoặc3)có biên∂Ωliên tục Lipschitz.

Hệ phương trỡnh Navier-Stokes mụ tả chuyển động của một chất lỏng với hệ số nhớt vàà hằng số mật độ trong miền :ρ Ω

• u= (u x t, )∈ R d là vận tốc dòng chảy tại vị trí và thời điểm ,x t

• p= (p x t, )∈ R là áp suất dòng chảy tại vị trí và thời điểm ,x t

• f = (f x t, ) ∈ R d là trường ngoại lực trên mỗi đơn vị thể tích, với giả thiết f ∈

Thành phần(uã ∇)umụ tả quỏ trỡnh chuyển động đối lưu của chất lỏng, trong khi, thành phần− div

Phương trình ∇u + ∇u^T mô tả quá trình khuếch tán phân tử, trong đó phương trình đầu tiên thể hiện tính chất bảo toàn động lượng của chuyển động, trong khi phương trình thứ hai phản ánh nguyên lý bảo toàn khối lượng của dòng chảy không nén, hay còn gọi là điều kiện không nén Đặt ν = ρ/μ là hệ số nhớt động học của chất lỏng và p₀ = p/ρ là áp suất trên mật độ, từ đó chúng ta có thể rút gọn hệ phương trình Navier-Stokes thành dạng đơn giản hơn.

(1.2) Khi là hằng số, ta có thể thu được:ν div

Do đó, hệ phương trình (1.2) có thể viết dưới dạng tương đương:

Cho L là độ dài đặc trưng của miền Ω và u là vận tốc chất lỏng Ta định nghĩa số Reynolds:

Số Reynolds là chỉ số quan trọng để đánh giá sự vượt trội của thành phần đối lưu so với thành phần khuếch tán trong dòng chảy Khi Số Reynolds lớn hơn 1 (Re > 1), thành phần đối lưu trở nên chiếm ưu thế, trong khi đó, khi Re nhỏ hơn 1 (Re < 1), thành phần đối lưu có thể bị bỏ qua Do đó, hệ phương trình mô tả dòng chảy sẽ được điều chỉnh tùy thuộc vào giá trị của Số Reynolds.

Navier-Stokes (1.3) có thể đưa về hệ Stokes sau:

Khi số Reynolds lớn, dòng chảy chất lỏng thường trở nên hỗn loạn và phức tạp Để đảm bảo tính đặt chỉnh của bài toán, hệ phương trình Navier-Stokes cần bổ sung điều kiện ban đầu và các điều kiện biên thích hợp Trong động lực học chất lỏng, nhiều loại điều kiện biên được xem xét, bao gồm điều kiện Dirichlet và Neumann Bài nghiên cứu này tập trung vào dòng chảy Navier-Stokes với hai điều kiện biên chính là Dirichlet và Neumann, trong khi các điều kiện biên khác cũng có thể được tham khảo.

• u 0 ( )x là hàm vector cho trước thỏa mãndivu 0 =0,

• u D vàu N là các hàm vector cho trước,

• Γ D vàΓ N là các thành phần của biên thỏa mãn:Γ D ∪ Γ N =∂ΩvàΓ D ∩ Γ N =∅,

• nlà vector pháp tuyến đơn vị của biên∂Ω.

Khi xem xét hệ phương trình Navier-Stokes dưới dạng (1.2) thay vì (1.3), điều kiện biên Neumann của hệ (1.7) sẽ được thay thế bằng công thức: σ(u p, )n = u N(x, t) ∀ x ∈ Γ N, ∀ t ∈ [0, T] Trong đó, tensor ứng suất σ(u p, ) ∈ R d d × được định nghĩa là σ(u p, ) = 2νe u( ) − pI, với e u( ) = 1.

Hai dạng điều kiện biên Neumann (1.7) và (1.8) thể hiện các ý nghĩa vật lý khác nhau của dòng chảy Về mặt toán học và giải số, các điều kiện này dẫn đến những dạng biến phân khác nhau của hệ phương trình Navier-Stokes, sẽ được trình bày trong phần 1.3.

Một phương pháp khác để giải hệ phương trình Navier-Stokes là dựa vào định nghĩa về xoáy (vorticity) ω và các đường dòng vận tốc trong trường hợp ψ hai chiều, với công thức ω = rot u = ∂u 2.

Theo quan điểm toán học, các dạng khác nhau của hệ phương trình Navier-Stokes đều tương đương, mặc dù chúng dẫn đến các phương pháp giải số khác nhau.

Trong chương này, chúng ta sẽ phân tích hệ phương trình Navier-Stokes không nén cùng với điều kiện ban đầu và biên đã được chỉ định Nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Navier-Stokes đã được đề cập trong nhiều tài liệu trước đây Tuy nhiên, trong giới hạn của luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung vào các phương pháp mô phỏng số cho hệ phương trình Navier-Stokes, đặc biệt là phương pháp đặc trưng và phương pháp phần tử hữu hạn.

Phương pháp đặc trưng

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ nghiên cứu lược đồ rời rạc hóa thời gian cho bài toán Navier-Stokes bằng phương pháp đặc trưng, hay còn gọi là phương pháp Lagrange-Galerkin Phương pháp này, được giới thiệu bởi Benqué, là một phương pháp tuyến tính hóa thành phần đối lưu phi tuyến, giúp xây dựng một lược đồ rời rạc hóa thời gian ổn định mà không cần các điều kiện chặt chẽ như các lược đồ cổ điển hiện nay.

Xét đạo hàm Lagrange (hay còn gọi là đạo hàm vật chất hoặc đạo hàm hữu hình -material derivative) của trường vector vận tốc có dạng:

Khi đó, ký hiệuX x s t( , ; )là đường cong đặc trưng kết hợp với trường vector vận tốc , làu nghiệm của hệ phương trình vi phân thường:

(1.11) trong đó, X x s t( , ; ) thể hiện vị trí của phần tử vật chất tại thời điểm , khi biết tại thờit điểm nó ở tại vị trí s x

∂t +uã ∇của hệ phương trỡnh Navier-Stokes cú thể đưa về đạo hàm Lagrange D

Dt theo đường cong đặc trưng Do đó, phương trình đầu tiên của hệ (X 1.3) có thể viết lại dưới dạng:

1.2.2 Rời rạc hóa thời gian

Giả sử khoảng thời gian [0,T] được chia thành N khoảng nhỏ hơn có cùng độ dài ∆t.

Ký hiệu n = n t∆ (n=0, ,N) đại diện cho lược đồ rời rạc hóa thời gian, trong đó chúng ta chỉ tìm nghiệm u(x, t(n)) và (p(x, t(n))) tại từng bước thời gian t(n) Để đơn giản hóa, từ bây giờ, với hàm g: Ω×[0,T] → R (hoặc R^d) bất kỳ, chúng ta quy ước g(n) = (x g(x, t(n))).

Xấp xỉ đạo hàm Lagrange trong khoảng thời gian[t n ,t n+1 ]theo đường cong đặc trưng:

Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình Navier-Stokes và cách rời rạc hóa thời gian của nó Cụ thể, tại thời điểm t_n, đường cong đặc trưng X_n(x,t) được xác định từ điểm x tại thời điểm t_{n+1} Qua đó, từ phương trình (1.12), ta thu được dạng rời rạc hóa thời gian cho hệ phương trình Navier-Stokes (1.3).

Tại mỗi bước thời gian t n+1, lược đồ rời rạc hóa thời gian cho hệ phương trình Navier-Stokes bằng phương pháp đặc trưng tạo ra hai bài toán cần giải quyết

• Giải bài toán vi phân thường (1.11) trong khoảng thời gian [t n ,t n+1 ] để tìm chân đường cong đặc trưngX n ( )x

• Giải bài toán Stokes tổng quát có dạng:

Lợi ích của lược đồ rời rạc hóa thời gian sử dụng phương pháp đặc trưng là chỉ cần cập nhật giá trị hàm vế phải tại mỗi bước thời gian, trong khi vế trái không thay đổi theo từng bước lặp Tuy nhiên, để xác định đường cong đặc trưng và xấp xỉ X_n(x), chúng ta cần giải quyết một số vấn đề quan trọng.

Việc xác định chân đường cong đặc trưng X n ( )x là bước quan trọng để giải bài toán vi phân thường (1.11) trong khoảng thời gian [t n ,t n+1 ] Nghiệm của bài toán này có thể được biểu diễn dưới dạng "hình thức".

Có nhiều phương pháp xấp xỉX n ( )x , trong đó, với giả thiết biết trướcu n , cách đơn giản nhất là áp dụng lược đồ Euler hiện:

Ngoài ra, một phương pháp khác cũng thường được sử dụng là lược đồ xấp xỉ Runge-Kutta 4, được trình bày trong [ ].38

Một trong những vấn đề quan trọng khác liên quan đến việc giải số là đường cong đặc trưng có thể nằm trên một số phần tử của lưới tính toán Điều này đòi hỏi phải có một thuật toán để xác định phần tử lưới chứa chân đường cong đặc trưng Xn(x) hoặc phát hiện và xử lý trường hợp nó rơi ra khỏi miền tính toán.

H ÌNH 1.1: Minh họa xấp xỉ đường cong đặc trưng

Theo công thức (1.16), đường cong đặc trưng trong khoảng thời gian [t n ,t n+1] được xấp xỉ bằng một đường thẳng từ điểm bắt đầu tới chân của nó x X n ( ) Thuật toán này chỉ hiệu quả khi bước thời gian ∆t đủ nhỏ; nếu ∆t lớn, đường cong đặc trưng có thể nằm trên nhiều phần tử của lưới, dẫn đến tính không ổn định của lược đồ giải số Trong Freefem++, việc xấp xỉ đường cong đặc trưng (1.16) được thực hiện thông qua hàm convect Để tìm hiểu thêm về tính ổn định của phương pháp Lagrange-Galerkin, có thể tham khảo các tài liệu liên quan Cuối cùng, chúng ta xây dựng thuật toán rời rạc hóa thời gian để giải hệ phương trình Navier.

Stokes (1.3) trong khoảng thời gian[0,T]:

Thuật toán 1: Thuật toán rời rạc hóa thời gian giải hệ Navier-Stokes

Khởi tạo: n=0, bước thời gian∆t, vận tốcu 0

1 Xác định chân đường cong đặc trưngX n ( )x theo công thức (1.16).

3 Cập nhật giá trị hàm vế phảiF n+1

4 Giải hệ phương trình Stokes (1.15) trên miềnΩtìm nghiệmu n+1 ,p n+1 end

Công thức biến phân

Trong phần trước, chúng ta đã thảo luận về lược đồ rời rạc hóa thời gian cho bài toán Navier-Stokes, dẫn đến việc giải bài toán Stokes tổng quát tại mỗi bước thời gian Vì vậy, trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu dạng biến phân của hệ phương trình Stokes.

Ký hiệu V và Q lần lượt đại diện cho không gian hàm của vận tốc và áp suất Bằng cách nhân hai vế của phương trình đầu tiên trong hệ (1.15) với hàm thử v ∈ V, ta tiến hành lấy tích phân trên miền Ω.

Ω F v dxã , ∀ ∈v V Áp dụng công thức Green:

∂ Ω pnãv ds , ta có thể viết lại: β

Một cách tiếp cận khác, như đã đề cập trong phần 1.1, nếu xem xét hệ phương trình Navier-Stokes có dạng như (1.2) thay vì (1.3), áp dụng công thức Green:

∂ Ω2νe u( )nã v ds , ta được dạng biến phân tương ứng: β

Tương tự, nhân hai vế phương trình thứ hai của hệ Stokes (1.15) với hàm thửq ∈ Q rồi lấy tích phân trên miền , ta được:Ω

Để chọn các không gian hàm \( V \) và \( Q \), cần đảm bảo rằng hàm thử \( v \in V \) bị triệt tiêu trên biên theo điều kiện Dirichlet.

Từ giờ trở đi, ta hiểu rằng vận tốc u ∈ V là nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất u|ΓD = 0 Nghiệm của bài toán ban đầu có thể được biểu diễn dưới dạng u₀ = u + g, trong đó g(x, t) ∈ H¹[0,T] × H²(Ω) là hàm bất kỳ thỏa mãn điều kiện g.

D = u D Từ điều kiện biên Neumann, ta có thể viết lại:

Trong trường hợpΓ D = ∂Ω, nghĩa làΓ N =∅thì không gianVtrở thành:

Việc chọn không gian Q phụ thuộc vào các điều kiện biên của bài toán Cụ thể, khi Γ D = ∂Ω và Γ N = ∅, ta chỉ xem xét bài toán Navier-Stokes với điều kiện biên Dirichlet, trong đó áp suất chỉ xuất hiện trong thành phần gradient p ∇ p Nếu (u, p) là một nghiệm của hệ Stokes, thì với một hằng số c ∈ R bất kỳ, (u, p + c) cũng là nghiệm của bài toán, do ∇ p = ∇(p + c) Để đảm bảo tính xác định của bài toán, ta thường yêu cầu thêm ràng buộc áp suất thỏa mãn điều kiện.

Hơn nữa, khiΓ D =∂Ω, hàmu D cho trước phải thỏa mãn điều kiện tương thích:

Trong trường hợp Γ N 6=∅, áp suất bị ràng buộc bởi điều kiện Neumann, đảm bảo tính duy nhất của nghiệm cho bài toán Do đó, không gian được chọn là Q = L 2(Ω).

Từ các phân tích trên, không gian hàm Qsẽ được chọn như sau:

Với các không gian hàmVvàQlần lượt được chọn như công thức (1.20) và (1.21), ta có dạng biến phân của hệ phương trình Stokes (1.15): tìmu∈ V p , ∈Qsao cho:

Bài toán này có thể viết dưới dạng yếu tương đương: tìm(u p, )∈ V×Qthỏa mãn:

(1.23) trong đó,l V: → R là dạng tuyến tính liên tục: l v( ) Z

Z Γ N u N ã v ds, vàa V: ×V → R , : b V×Q→ R là các dạng song tuyến tính xác định như sau:

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của dạng yếu (1.22) trong bài toán Stokes tổng quát đã được xác nhận qua nhiều nghiên cứu trước đây Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm bao gồm hai bước chính: Thứ nhất, tính elliptic của dạng song tuyến tớnha(ã , ã) được thiết lập dựa trên bất đẳng thức Friedrichs-Poincare, cho thấy tồn tại hằng số C > 0 sao cho ∀ u ∈ V, có u u , ( , ) ≥ k C u k 2 1 Thứ hai, tính tương thích của các không gian hàm cho vận tốc và áp suất phải thỏa mãn điều kiện Babuška–Brezzi (hay còn gọi là điều kiện inf-sup), tức là tồn tại hằng số C > 0: q Q q ∈ inf, 6 =0 sup v V v ∈ , 6 =0 b v q( , ) k v k 1 q 0 ≥ C.

!1/2 là chuẩn trong không gianH 1 ( )Ω d Xét không gian con của không gian SobolevH 1 ( )Ω d :

Khi chọn hàm thử v ∈ V div trong công thức (1.22), chúng ta có thể loại bỏ thành phần áp suất, từ đó chuyển đổi phương trình về dạng chỉ chứa biến vận tốc Nghiệm tìmp u ∈ V div sẽ thỏa mãn phương trình β.

Nếu một hàm là nghiệm của hệ phương trình (u 1.22), thì nó cũng là nghiệm của hệ (1.25) Ngược lại, theo Định lý 1.1 (Định lý 15.1 trong tài liệu tham khảo), nếu Ω là một miền trong R d với biên ∂Ω liên tục Lipschitz, thì nếu hàm u là một nghiệm của bài toán biến phân (1.25), sẽ tồn tại duy nhất hàm p ∈ Q sao cho (u, p) là nghiệm của bài toán (1.22).

Dạng biến phân của hệ phương trình Stokes trên các không gian V và V div là tương đương nhau Không gian V div được sử dụng chủ yếu trong đánh giá lý thuyết về tính ổn định và sai số của lược đồ giải số thông qua vận tốc, với việc triệt tiêu thành phần sẽ được trình bày trong phần 1.6 Tuy nhiên, từ góc độ giải số, việc chọn không gian hàm V div thường không phù hợp, vì nó yêu cầu xây dựng một không gian hữu hạn chiều V div xấp xỉ không gian V div thỏa mãn điều kiện div = 0.

Rời rạc hóa không gian

Sử dụng xấp xỉ phần tử hữu hạn Galerkin, ta thu được dạng rời rạc không gian tương ứng của bài toán (1.23): tìm(u h ,p h ) ∈ V h × Q h thỏa mãn:

Trong bài viết này, chúng ta xem xét hai không gian con hữu hạn chiều V h ⊂ V và Q h ⊂ Q, phụ thuộc vào tham số đặc trưng cho kích thước của phần tử trong lưới tam giác phânh T h trên miền Ω Các dạng song tuyến tính a h : V h × V h → R, b h : V h × Q h → R và dạng tuyến tính l h : V h → R được xác định theo các quy tắc cụ thể.

Bài toán xấp xỉ không gian yêu cầu điều kiện tương thích rời rạc giữa các không gian con hữu hạn chiều V_h và Q_h Cụ thể, cần tồn tại một hằng số C_h > 0 sao cho với mọi q_h thuộc Q_h và v_h thuộc V_h, nếu q_h khác 0 và v_h khác 0, thì điều kiện b_h(v_h, q_h) lớn hơn hoặc bằng k_v_h k_1.

Có nhiều phương pháp để chọn cặp không gian hữu hạn chiều V_h và Q_h đáp ứng điều kiện tương thích rời rạc, có thể tham khảo tại các nguồn tài liệu khác nhau Trong luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng hai cặp không gian phần tử hữu hạn tương ứng với cặp phần tử mini (mini elements).

Cặp phần tử Taylor-Hood (Taylor-Hood elements) được sử dụng để phân tích vận tốc và áp suất trong các bài toán liên quan đến dòng chảy, cụ thể là P2 - P1 Phân tích chi tiết về hai cặp không gian này được trình bày trong tài liệu tham khảo.

1b − P 1 ( ) B Cặp phần tử Taylor-Hood P 2 − P 1

H ÌNH 1.2: Hai cặp phần tử hữu hạn thỏa mãn điều kiện tương thích rời rạc.

Hệ phương trình tuyến tính rời rạc

1.5.1 Xây dựng hệ phương trình đại số

Ký hiệu ϕ_i(x) với i = 1, 2, , N_u và n φ_j(x) với j = 1, 2, , N_p lần lượt là các hàm cơ sở của không gian rời rạc V_h và Q_h, trong đó N_u = dim V_h và N_p = dim Q_h Các nghiệm rời rạc u_h và p_h có thể được biểu diễn thông qua các hàm cơ sở này.

Chọn các hàm thửv h vàq h tương ứng là các hàm cơ sở của không gianV h vàQ h , thay vào công thức rời rạc (1.26), ta có:

∈ R N p là các vector chưa biết cần tìm, ta thu được hệ phương trình đại số tương ứng của bài toán Stokes (1.15):

, (1.30) trong đó, A ∈ R N u × N u , B ∈ R N p × N u là các ma trận hệ số tương ứng với các dạng song tuyến tớnha h (ã ã , )và b h (ã ã , ):

N p × N u vàF∈ R N u là vector hệ số tương ứng với dạng tuyến tớnhl h ( )ã :

Hệ (1.30) là hệ thưa, đối xứng nhưng không xác định, với kích thướcN u +N p

1.5.2 Giải hệ phương trình tuyến tính

Nhiều phương pháp số đã được phát triển để giải hệ phương trình tuyến tính, trong đó phương pháp Uzawa là một trong những phương pháp cổ điển Phương pháp này chia hệ phương trình thành hai hệ nhỏ hơn, cho phép giải quyết lần lượt vector áp suất rời rạc và vector vận tốc rời rạc.

Một phương pháp số khác thường được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính (1.30) là phương pháp phạt (penalty method), trong đó xem xét hệ tuyến tính:

, (1.31) với I ∈ R N p × N p là ma trận đơn vị,ε>0là tham số phạt, thường có giá trị trong khoảng

Trong bài viết này, chúng tôi áp dụng thuật toán LU (phân rã Lower-Upper) để giải hệ phương trình tuyến tính (1.30) Bên cạnh đó, công cụ Freefem++ cung cấp nhiều phương pháp khác như Conjugate Gradient (CG) và Crout, thường được sử dụng để giải các hệ phương trình tuyến tính thưa Để biết thêm chi tiết, vui lòng tham khảo tài liệu [ ]–[ ].

Đánh giá ổn định và sai số

Đánh giá ổn định không điều kiện và sai số của lược đồ giải số cho hệ phương trình Navier-Stokes dựa trên phương pháp đặc trưng và phương pháp phần tử hữu hạn đã được trình bày trong nghiên cứu của Pironneau Bài viết này sẽ tóm tắt lại các kết quả và chi tiết lược đồ chứng minh, mặc dù có một số khác biệt nhỏ so với kết quả trước đó Để đơn giản, chúng ta xem xét bài toán Navier-Stokes với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất, trong đó Γ D = ∂Ω Γ, N = ∅ và u D (x, t) = 0 cho mọi x thuộc ∂Ω và t thuộc [0, T].

Chọn hàm thử thuộc không gian hàmv V div , tại mỗi bước thời gian t n+1 , ta chuyển bài toán (1.22) về xem xét dạng biến phân chỉ chứa biến vận tốcu n+1 :

∆t ã v dx, ∀ ∈ v V div, (1.32) và dạng rời rạc không gian tương ứng

1.6.1 Ổn định không điều kiện

Chọnv= u n+1 , thay vào công thức (1.32) ta có:

Ω u n (X n )ã u n+1 dx, hoặc viết lại dưới dạng tích vô hướng:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

0. (1.34) Tương tự, từ công thức rời rạc (1.33), ta có:

0.(1.35)Công thức (1.34) và (1.35) thể hiện sự ổn định không điều kiện của lược đồ giải số.

1.6.2 Đánh giá sai số Định lý 1.2(Định lý 3 trong [ ])49 Giả sử bài toán Navier-Stokes(1.3)với điều kiện ban đầu và điều kiện biên Dirichlet thuần nhất có nghiệmu ∈ L ∞ [0,T];W 2, ∞ ( )Ω  d Cho u n+1 h là nghiệm của bài toán rời rạc(1.33) Khi đó, với mọi vàh ∆tđủ nhỏ, ta có:

f h − f   0, ∞ (1.36) nghĩa là, sai số của lược đồ có bậch+√

∆t. Chứng minh Ký hiệuΠlà phép chiếu elliptic trên không gianV h tương ứng với chuẩn: kãk ∗ =  kãk 2 0 +ν∆tk∇ãk 2 0  1/2

Ta nhắc lại tính chất của một phép chiếu elliptic bất kỳ: với mỗiξ ∈ H 2 ( )Ω , tồn tại hằng sốc> 0sao cho: k ξ − Π ξ k 0 +hk ξ − Π ξ k 1 ≤ ch 2 k ξ k 2 (1.37)

Do đó, ta dễ dàng thu được: với mỗi bước thời giant n , tồn tại hằng sốc 1 >0sao cho:

Trong công thức (1.32), chọn hàm thửv=v h rồi lấy hiệu hai vế với công thức (1.33), ta được:

(1.40) Đặtη n+1 =Πδ n+1 ∈ V h Ta có tính chất: η n+1 = δ n+1 + u n+1 − Π u n+1  (1.41)

Chọn v h = η n+1 thay vào công thức (1.40), đồng thời sử dụng tính chất (1.39), ta được:

Sử dụng tính chất (1.41), ta có:

Ta tiếp tục đánh giá thành phần

0của vế phải Sử dụng định lý giá trị trung bình, ta có:

X h n − X n   0 Để đơn giản, ta ký hiệu:

 t n+1 − τ  dτ , ta có đánh giá sau: d| e τ ( )| dτ ≤  uˆ n h 

Sử dụng bổ đề Gronwall-Belman, ta có:

Sử dụng bất đẳng thức Schwartz:

Theo chứng minh của định lý 3 trong [ ], ta có:49

0+c 2 hk ∇ u k ∞ (1.44) Thay vào công thức (1.42), ta thu được ước lượng sai số củaδ n+1 như sau:

Sử dụng đánh giá (1.38), ta viết lại sai số dưới dạng:

f h − f   0,∞ +c 2 h t∆k∇ u k 2 ∞ e k∇ u k ∞ ∆t (1.45) Cuối cùng, ta thu được sai số của vận tốc:

Từ định nghĩa của chuẩnkãk ∗ , ta cú sai số của lược đồ giải số cú bậc là h+√

Các ví dụ mô phỏng số

Trong phần này, chúng tôi sẽ minh họa các ví dụ mô phỏng số cho hệ phương trình Navier-Stokes trong không gian hai chiều Đầu tiên, chúng tôi sẽ kiểm tra các đánh giá lý thuyết về sai số và độ hội tụ của lược đồ thông qua một ví dụ có nghiệm chính xác Sau đó, các thí nghiệm tiêu chuẩn mô phỏng dòng chảy Navier-Stokes như lid-driven cavity, dòng chảy quanh hình trụ và backward facing step sẽ được thực hiện và so sánh với các kết quả từ nhiều nghiên cứu trước đây.

Nội dung chương này đóng vai trò quan trọng trong việc chuẩn bị kiến thức cần thiết, tạo nền tảng cho việc xây dựng thuật toán giải số nhằm giải quyết bài toán tối ưu ở phần sau.

Kết quả mô phỏng số trong phần này chỉ nhằm minh họa cho lược đồ giải số đã trình bày, với các so sánh chủ yếu được thể hiện qua hình ảnh một cách trực quan.

Mã nguồn chương trình và các thí nghiệm giải số cho dòng chảy, đặc biệt là dòng chảy Navier-Stokes, có thể được truy cập tại [GitHub](https://github.com/lvchien/fluid) Tác giả rất mong nhận được ý kiến và đóng góp để phát triển mã nguồn cũng như các thí nghiệm mô phỏng số.

1.7.1 Ước lượng sai số với nghiệm chính xác

Hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều được xét trên miền hình vuông đơn vị Ω = [0, 1]² với nghiệm chính xác được cung cấp Điều kiện ban đầu u₀(x) và điều kiện biên Dirichlet, cùng với ngoại lực vế phải f(x, t), được tính toán phù hợp với nghiệm đã cho.

− 2π 2 t Re /  sin(πx)cos(πy)exp − 2π 2 t Re / 

Trong nghiên cứu này, chúng tôi tiến hành mô phỏng với các tham số cụ thể như số Reynolds Re = 1, cặp phần tử hữu hạn miniP 1b − P 1 và khoảng thời gian T = 1/320 s Để ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ của vận tốc tại thời điểm t = T, chúng tôi sử dụng chuẩn kãk 1 và chuẩn kãk 0 trong các không gian H 1 ( )Ω d và L 2 ( )Ω d tương ứng Bước thời gian ∆t được lựa chọn sao cho sai số của ∆t đủ nhỏ so với sai số tổng thể, như được minh họa trong hình 1.3.

Kết quả sai số và độ hội tụ của vận tốc theo mức lưới tại thời điểm \( t = T \) được trình bày trong bảng 1.1 và minh họa qua hình 1.4 Với bước thời gian cố định đủ nhỏ, sai số của lược đồ giảm theo bậc nhất của mức lưới theo chuẩn \( k = 1 \) và bậc hai theo chuẩn \( k = 0 \) Những kết quả này phù hợp với đánh giá lý thuyết trong phần 1.6.

B ẢNG 1.1: Sai số và độ hội tụ của vận tốc tại thời điểm u t = T

Trong phần này, ta sẽ trình bày các kết quả mô phỏng số cho bài toánLid-driven cavity.

Bài toán này là một thí nghiệm tiêu chuẩn trong việc giải phương trình dòng chảy Navier-Stokes, đã được nghiên cứu nhiều lần Trong thí nghiệm, dòng chảy được xem xét trong miền hình vuông đơn vị Ω = [0, 1]² với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất u(x, t) = 0 áp dụng trên hầu hết các biên Chất lỏng chuyển động do một dòng chảy có vận tốc không đổi 1 m/s theo hướng trục hoành, được đặt tại biên trên y = 1, như mô tả trong hình 1.5.

Chúng tôi đã tiến hành mô phỏng với các số Reynolds từ 100 đến 10000, sử dụng cặp phần tử hữu hạn Taylor-Hood P2-P1 và bước thời gian ∆t = 0.01s Nghiên cứu về thí nghiệm Lid-driven cavity cho thấy sự thay đổi vị trí của xoáy trung tâm và sự gia tăng số lượng xoáy khi số Reynolds tăng Để thực hiện mô phỏng, chúng tôi đã sử dụng hai lưới tam giác phân cho miền tính toán: một lưới đồng nhất với 453 đỉnh và 828 tam giác cho các số Reynolds thấp (100, 400 và 1000), và một lưới mịn hơn với 792 nút và 1482 tam giác cho các số Reynolds cao hơn (5000 và 10000).

H ÌNH 1.3: Sai số chuẩn H 1 ( ) Ω của vận tốc u theo bước thời gian ∆ t với các mức lưới khác nhau

H ÌNH 1.4: Sai số chuẩn H 1 ( ) Ω và L 2 ( ) Ω của vận tốc theo mức lưới u h

Bảng 1.2 mô tả vị trí của tâm xoáy chính trong trạng thái ổn định với các số Reynolds khác nhau Các đường dòng của vận tốc và áp suất tương ứng với các số Reynolds cao (1000) cho thấy sự phân bố đặc trưng của dòng chảy.

Kết quả nghiên cứu cho thấy giá trị vận tốc trên các đường thẳng x = 0.5 và y = 0.5 được tính toán và biểu diễn trong hình 1.8, thể hiện tính chính xác cao của lược đồ giải số khi so sánh với nhiều nghiên cứu nổi tiếng trước đây Đặc biệt, các kết quả này đạt được trên các lưới thưa 19×19 điểm cho số Reynolds thấp và 25×25 cho số Reynolds cao hơn, trong khi nghiên cứu của Ghia và các cộng sự yêu cầu lưới rất mịn lên tới 129×129 và 257×257 điểm cho các kết quả tương tự Những kết quả này được trình bày trong nghiên cứu "Characteristic finite element method for natural convection problems" của tác giả và nhóm nghiên cứu.

Reynolds present method Ghia et al [ ]51 Erturk et al [ ]52 NSIKE [ ]53

B ẢNG 1.2: Lid-driven cavity: So sánh vị trí tâm xoáy chính với số các

Trong nghiên cứu này, chúng ta phân tích dòng chảy xung quanh một hình trụ có tiết diện tròn, như đã được đề cập trong các tài liệu trước đó Hình 1.9 minh họa miền tính toán và các điều kiện biên của thí nghiệm, với chiều cao miền là H = 0.41m và đường kính tiết diện của hình trụ là D = 0.1m Chất lỏng được xem xét có độ nhớt động học không đổi.

H ÌNH 1.5: Lid-driven cavity: Miền tính toán và các điều kiện biên

H ÌNH 1.6: Lid-driven cavity: Streamlines với Re = 1000, 5000 và 10000

H ÌNH 1.7: Lid-driven cavity: So sánh áp suất dòng chảy với Re =10000 , từ trái qua phải: kết quả trong [ ], [ ] và kết quả hiện tại 56 38

U y x present Ghia et al Đường thẳngx= 0.5vớiRe= 100 Đường thẳngy= 0.5vớiRe= 100

U x y present Ghia et al Erturk et al

U y x present Ghia et al Erturk et al Đường thẳngx=0.5vớiRe= 1000 Đường thẳngy= 0.5vớiRe= 1000

U y x present Ghia et al Erturk et al Đường thẳngx=0.5vớiRe= 5000 Đường thẳngy= 0.5vớiRe= 5000

U y x present Ghia et al Erturk et al Đường thẳngx= 0.5vớiRe= 10000 Đường thẳngy= 0.5vớiRe= 10000

Hình 1.8 mô tả dòng chảy trong khoang được điều khiển bằng nắp với vận tốc u trên các đường thẳng x = 0.5 và y = 0.5 tại các số Reynolds khác nhau, với ν = 3 m²/s Dòng chảy parabol với vận tốc không đổi được thiết lập tại đầu vào với công thức u_x(y) = (y^4 * u_m * (H - y)) / H² và u_y = 0, trong đó u_m là hằng số đã cho Tại đầu ra, dòng chảy ra tự do được mô tả bởi điều kiện biên Neumann Số Reynolds được định nghĩa theo công thức cụ thể.

Chúng tôi đã thực hiện mô phỏng với các số Reynolds từ 20 đến 5000, điều chỉnh giá trị m phù hợp cho cặp không gian phần tử hữu hạn Taylor-Hood P2 − P1 Miền tính toán được chia thành 12386 phần tử tam giác và 6418 đỉnh.

Các đường dòng của vận tốc và áp suất của dòng chảy được thể hiện trong hình 1.10 và hình 1.11 Khi số Reynolds tăng, cấu trúc dòng chảy trở nên phức tạp hơn Những kết quả này hoàn toàn nhất quán với các nghiên cứu trước đây.

Kết luận

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày chi tiết các bước xây dựng lược đồ giải số cho hệ phương trình Navier-Stokes, nhằm mô tả chuyển động của dòng chất lỏng nhớt và không nén Nội dung chương đã giải quyết các vấn đề quan trọng liên quan đến việc áp dụng phương pháp giải số cho các hệ phương trình này.

• Trình bày phương pháp đặc trưng nhằm tuyến tính hóa thành phần đối lưu phi tuyến và lược đồ xấp xỉ rời rạc hóa thời gian.

• Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn rời rạc hóa không gian, từ đó xây dựng bài toán rời rạc và hệ phương trình đại số tương ứng.

• Chứng minh tính ổn định không điều kiện và độ hội tụ của sai số của lược đồ.

• Trình bày các ví dụ giải số minh họa.

Chương này cung cấp cơ sở cho việc xây dựng thuật toán giải số cho bài toán tối ưu trong dòng chảy Stokes, sẽ được trình bày chi tiết trong chương tiếp theo.

Tối ưu dạng cho dòng chảy Stokes

2.1.1 Phương trình dòng chảy Stokes 39 2.1.2 Bài toán tối ưu dạng 40 2.2 Phương pháp Lagrange tăng cường giải bài toán tối ưu có ràng buộc 43

2.3 Biểu diễn dạng và đạo hàm dạng 44

2.3.1 Phương pháp biến phân Hadamard 44 2.3.2 Tính khả vi dạng 46 2.3.3 Đạo hàm dạng của hàm mục tiêu 47 2.4 Thuật toán tối ưu dạng 52

2.4.1 Phương pháp gradient giải bài toán tối ưu 52 2.4.2 Tính toán hướng giảm 53 2.4.3 Giải số hệ phương trình Stokes 56 2.4.4 Thuật toán tối ưu dạng cho dòng chảy Stokes 58 2.5 Các ví dụ giải số 59

2.5.1 Thí nghiệm đường ống 602.5.2 Bộ khuếch tán 602.5.3 Đường ống kép 632.5.4 Chướng ngại vật 632.5.5 Cấu trúc phân nhánh của phổi người 662.6 Kết luận 66

Tối ưu dạng cho dòng chảy Stokes

Phát biểu bài toán

2.1.1 Phương trình dòng chảy Stokes

Cho Ω là một miền trơn trong không gian R^d (với d = 2 hoặc 3) có biên ∂Ω liên tục Lipschitz Biên ∂Ω được chia thành ba phần: biên đầu vào Γ_in, biên đầu ra Γ_out và phần tự do Γ = ∂Ω \ (Γ_in ∪ Γ_out) Hệ phương trình Stokes mô tả chuyển động của chất lỏng nhớt, không nén trong miền Ω với vận tốc nhỏ và không phụ thuộc vào thời gian.

− ν ∆ u +∇p = f trong Ω, divu = 0 trong Ω, u =u in trên Γ in , σ( u p, )n =u out trên Γ out , u =0 trên Γ,

• u= ( )u x ∈ R d là vận tốc của chất lỏng tại vị trí ,x Γ in Γ out Γ Γ Ω

H ÌNH 2.1: Dòng chảy Stokes trong miền Ω

• p= ( )p x ∈ R là áp suất của chất lỏng tại vị trí ,x

• f = ( )f x ∈ R d là ngoại lực trên mỗi đơn vị thể tích, với giả thiết f ∈ L 2 ( )Ω d ,

• ν> 0là hệ số nhớt động học cho trước, biểu diễn độ nhớt của chất lỏng.

Phương trình đầu tiên trong hệ (2.1) thể hiện tính chất bảo toàn động lượng của dòng chảy, trong khi phương trình thứ hai được biết đến như điều kiện không nén, phản ánh sự bảo toàn khối lượng của chất lỏng không nén.

2.1.2 Bài toán tối ưu dạng

Bài toán tối ưu dạng nhằm tìm hình dạng "tối ưu" Ω ∗ của vật thể trong tập hợp các dạng chấp nhận được U ad, được xác định qua việc tối thiểu hóa một hàm mục tiêu J: U ad −→ R Mục tiêu của bài toán là xác định hình dạng tốt nhất dựa trên tiêu chí cụ thể nào đó.

Một số câu hỏi toán học thường được quan tâm nghiên cứu đối với bài toán (2.2):

• Điều kiện cần và đủ để tồn tại duy nhất nghiệm.

• Các tính chất của dạng tối ưu như: tính liên thông, tính lồi, tính đối xứng,

• Các phương pháp giải số hiệu quả cho bài toán tối ưu dạng.

Phân tích lý thuyết và tính toán cho các câu hỏi trên có thể tìm thấy tại [ ], [ ], [ ].16 61 62

Trong nhiều bài toán tối ưu, hàm mục tiêu J(Ω) phụ thuộc vào miền Ω thông qua nghiệm y(Ω) của một bài toán biên xác định trên miền đó Đối với các bài toán elliptic bậc hai, hàm J(Ω) thường được biểu diễn dưới dạng cụ thể.

Trong phương trình (2.3), ∂Ω F 0(x y, ( )x ,∇ y x ( )) ds cộng với α E(Ω) đóng vai trò quan trọng trong việc đảm bảo sự tồn tại duy nhất của nghiệm tối ưu trên tập hợp chấp nhận được, với α > 0 là một hằng số đã được xác định trước.

Các tác giả nghiên cứu bài toán tối ưu hình dạng của tấm kim loại mỏng dưới ảnh hưởng của trường điện từ, với mục tiêu là tối thiểu hóa tổng năng lượng điện từ và năng lượng sức căng bề mặt.

Trong các bài toán vật liệu composite và tối ưu hóa cấu trúc [ ], [ ], hàm mục tiêu24 27 dạng mô tả tính mềm (compliance) thường được xem xét hơn cả:

Trong các ứng dụng của tối ưu dạng trong công nghiệp hàng không hoặc cơ học chất lỏng [ ], [ ], lực kéo19 62 T của cánhΩthường được cực tiểu hóa:

Một hàm mục tiêu khác cũng thường được xem xét trong nhiều bài toán kỹ thuật là hàm bình phương sai số [ ], [ ], [ ]:3 27 61

Một số ví dụ khác về các hàm mục tiêu dạng phổ biến và ứng dụng của chúng có thể tham khảo [ ].61

Nhiều hàm đơn giản thường được áp dụng trong các bài toán tối ưu, giữ vai trò quan trọng như ràng buộc hoặc yếu tố điều chỉnh Ví dụ, các hàm thể tích Vol(Ω), chu vi Per(Ω) và tổng độ cong biên K(Ω) thường được sử dụng trong các nghiên cứu này.

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán tối ưu cho dòng chảy Stokes với ràng buộc đẳng thức Bài toán được trình bày dưới dạng (2.1), nhằm phân tích và tìm ra các giải pháp tối ưu cho vấn đề này.

Ωinf ∈ U ad E(Ω), (2.8) vđk.G(Ω) =0, trong đó, tập dạng chấp nhận đượcU ad được định nghĩa như sau:

U ad = { Ωbị chặn và Lipschitz: Γ in ∪ Γ out ⊂ ∂ Ω } , (2.9) với các thành phần biên cố địnhΓ in vàΓ out cho trước.

Xét bài toán cực tiểu hàm năng lượng tiêu tán (dissipated energy) của dòng chảy:

Ω | e (u Ω)| 2 dx, (2.10) với ràng buộc về thể tích dạng :Ω

G( ) =Ω Vol(Ω)− V 0= 0, trong đó, u Ω là vận tốc dòng chảy trong miền và là nghiệm của hệ phương trình Stokes V 0 là thể tích dạng cho trước Phương pháp Lagrange tăng cường sẽ được giới thiệu để chuyển đổi bài toán tối ưu có ràng buộc thành tối ưu không ràng buộc.

Phương pháp Lagrange tăng cường giải bài toán tối ưu có ràng buộc

Phương pháp Lagrange tăng cường, hay còn gọi là phương pháp nhân tử, là một kỹ thuật giải bài toán tối ưu có ràng buộc Phương pháp này được giới thiệu lần đầu tiên bởi nhà nghiên cứu Magnus R Hestenes vào năm 1969.

Xét bài toán tối ưu dạng với ràng buộc đẳng thức (2.8) và hàm Lagrange tăng cường tương ứng:

2G 2 ( )Ω , (2.12) trong đó, là nhân tử Lagrange,l b> 0là hệ số phạt của ràng buộcG(Ω ) =0.

Phương pháp Lagrange tăng cường khác với phương pháp Lagrange thông thường ở thành phần bậc hai b

Phương pháp Lagrange tăng cường cung cấp một thuật toán xấp xỉ cho nhân tử Lagrange qua mỗi bước lặp, giúp cập nhật giá trị của nhân tử Lagrange dựa trên giá trị của ràng buộc và hệ số phạt Tại bước lặp thứ n+1, nhân tử Lagrange l n+1 sẽ được cập nhật thông qua giá trị của ràng buộc G(Ω n) và hệ số phạt b n theo công thức l n+1 = l n − b n G(Ω n) Hệ số phạt b n+1 có thể được cập nhật theo một tham số λ > 1, với công thức b n+1 = λb n, đảm bảo rằng b n+1 luôn lớn hơn b n.

Khi đó, tại mỗi bước lặp, ta đưa bài toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức (2.8) về bài toán tối ưu không ràng buộc sau:

Kết hợp các lược đồ cập nhật nhân tử Lagrange và hệ số phạt, chúng ta phát triển thuật toán Lagrange tăng cường nhằm giải quyết bài toán tối ưu với các ràng buộc đẳng thức.

Thuật toán 2: Thuật toán Lagrange tăng cường

Khởi tạo: n=0, miền khởi tạoΩ 0 và nhân tử Lagrangel 0 và hệ số phạtb 0 for n=1, 2, cho đến khi hội tụ do

1 Tìm nghiệmΩ n của bài toán tối ưu (2.15).

2 Tính giá trị ràng buộcG(Ω n ).

3 Cập nhật nhân tử Lagrangel n+1 theo công thức (2.13).

4 Chọn hệ số phạt mớib n+1 theo công thức (2.14). end Để giải bài toán tối ưu dạng (2.15), một phương pháp phổ biến thường được áp dụng trong nhiều nghiên cứu trước đây là phương pháp gradient [ ], [ ], sẽ được trình bày trong2 27 phần2.4.1 Tuy nhiên, trước hết, phương pháp này yêu cầu cần xác định đạo hàm dạng bậc nhất của hàm Lagrange tăng cườngL(Ω,l n ,b n ) Trong phần tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu lý thuyết về biểu diễn dạng và đạo hàm dạng Phương pháp biến phân Hadamard và các kết quả lý thuyết về đạo hàm của một số hàm dạng sẽ được trình bày, từ đó cho phép xác định đạo hàm dạng của hàm năng lượng tiêu tánE(Ω)và hàm thể tíchVol(Ω).

Biểu diễn dạng và đạo hàm dạng

2.3.1 Phương pháp biến phân Hadamard Ý tưởng trung tâm của phương pháp biến phân Hadamard được đề xuất trong các nghiên cứu [ ], [ ], sau đó được tiếp tục phát triển trong [ ] Dựa trên cách tiếp cận của Murat66 67 68 và Simon [ ], [ ], ta xét biến phân của một dạng trơn68 69 Ωcho trước theo một trường dịch chuyểnθ ∈ W 1, ∞ ( R d ,R d )đủ nhỏ, được cho bởi công thứcΩ θ = ( + )( )I θ Ω (hình2.2).

Do đó, biến phân(I+θ)là một phép vi phôi "gần" với ánh xạ đồng nhất. x θ ( x )

H ÌNH 2.2: Biến phân ( I + θ ) của một dạng Ω cho trước Để ý rằngW 1, ∞ ( R d ,R d )⊂ L ∞ ( R d ) d là không gian Banach các hàmθ : R d → R d bị chặn và có đạo hàm∇ θ ∈ L ∞ ( R d ) d d × với chuẩn: k θ k W 1,∞ ( R d , R d ) :=k θ k L ∞ ( R d ) d +k∇ θ k L ∞ ( R d ) d d ×

Trong phương pháp Hadamard, biến phân (I+θ) của dạng Ω chỉ phụ thuộc vào giá trị xác định trên biên θ ∂Ω Hệ quả này được rút ra từ định lý điểm bất động Picard.

Bổ đề 2.1(Bổ đề 6.13 trong [ ])70 Với mỗi trường biến dạng θ ∈ W 1,∞ ( R d ,R d ) thỏa mãnk θ k W 1,∞ ( R d , R d ) < 1, ánh xạ( + )I θ : R d → R d là một phép đồng phôi Lipschitz với nghịch đảo Lispchitz.

Các biến phân của một dạng Ω cho trước có thể được biểu diễn thông qua tập con mở của không gian Banach Tập trường biến dạng chấp nhận được Θ ad tương ứng với tập dạng chấp nhận được U ad được xác định bởi điều kiện θ = 0 trên Γ in ∪ Γ out.

Phương pháp biến phân Hadamard cho phép định nghĩa lại khái niệm khả vi cổ điển thông qua các dạng lân cận với Ω, được tạo ra bởi phép biến dạng (I+θ).

W 1,∞ ( R d ,R d )−→ R θ7−→ J (Ω θ ) là khả vi Fréchet tạiθ =0 Đạo hàm Fréchet tương ứng, ký hiệu làJ 0 ( )( )Ω θ , được gọi là đạo hàm dạng của tại Ta có khai triển củaJ Ω J(Ω θ )tại lân cận0∈ W 1, ∞ ( R d ,R d ):

1 J 0 ( )Ω là dạng tuyến tính liên tục trênW 1, ∞ ( R d , R d ).

2 Trong trường hợp hàm nhiều biến, đạo hàm riêng Fréchet theo biến dạng được ký hiệu là ∂ ∂ Ω

Ta nhắc lại hai kết quả chính về đạo hàm dạng sẽ được sử dụng trong các tính toán ở phần sau (xem chứng minh tại [ ] hoặc [ ]).61 27

Bổ đề 2.2(Định lý 5.2.2 trong [ ])61 Cho Ωlà một miền bị chặn Lispchitz trong R d và f x( ) ∈ W 1,1 ( R d ) NếuJ( ) =Ω R

Ω f x dx( ) thì là hàm khả vi dạng tạiJ Ωvà với mỗi θ∈ W 1, ∞ ( R d , R d ):

Bổ đề 2.3(Định lý 5.4.17 trong [ ])61 ChoΩlà một miền bị chặn Lipschitz trong lớpC 2 vàg x( )∈W 2,1 ( R d ) Nếu J(Ω) = R

∂ Ω g x ds( ) thì là hàm khả vi dạng tạiJ Ωvà với mỗi θ∈ W 1,∞ ( R d ,R d ):

 θã n ds , trong đó là độ cong trung bình của biênκ ∂Ω, được định nghĩa bởiκ =div n.

Hơn nữa, kết quả này vẫn đúng nếu thay ∂Ωbởi Γlà một tập con mở, trơn của∂Ω, với giả sử rằng g=0trên ranh giới bề mặt của Γ

Nhận xét 2.2 Một hệ quả trực tiếp từ bổ đề (2.2), ta có thể tính đạo hàm dạng của hàm thể tích:

Tương tự, bổ đề(2.3)cho phép tính đạo hàm dạng của hàm chu vi:

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ tính toán đạo hàm dạng của hàm mục tiêu năng lượng tiêu tán dựa trên các kết quả đã trình bày về tính khả vi dạng.

2.3.3 Đạo hàm dạng của hàm mục tiêu

Mục đích của phần này là tính toán đạo hàm dạng của hàm mục tiêu năng lượng tiêu tán E(Ω) bằng phương pháp hình thức, cụ thể là phương pháp đạo hàm nhanh (fast derivation method) hay còn gọi là phương pháp Lagrange, được giới thiệu bởi Céa năm 1986 Phương pháp này yêu cầu mọi dữ kiện bài toán, bao gồm hàm mục tiêu, các dạng được xét và các trường biến dạng, phải đủ trơn, đồng thời nghiệm Ω và p Ω của hệ phương trình Stokes cũng phải khả vi dạng Định lý 2.1 khẳng định rằng, cho Ω là một miền mở, trơn và bị chặn trong U ad cùng với θ ∈ Θ ad, hàm năng lượng tiêu tán E(Ω) là hàm khả vi dạng và có đạo hàm được.

2νe u( ) :e u( )−2 νe u ( ) : e v( ) θã n ds , (2.20) trong đó,u p, là nghiệm của hệ phương trình Stokes(2.1), v q, là nghiệm của hệ phương trình liên hợp:

− ν ∆ v +∇q =−2ν∆u trong Ω, divv =0 trong Ω, v =0 trên Γ∪Γ in , σ( v q, )n =0 trên Γ out

Chứng minh Ta nhắc lại hệ phương trình trạng thái:

− ν ∆ u +∇p = f trong Ω, divu = 0 trong Ω, u =u in trên Γ in , σ( u p, )n =u out trên Γ out , u =0 trên Γ.

Nhân 2 vế của phương trình đầu tiên với , phương trình thứ hai với thuộc các khôngv q gian hàm phù hợp rồi lấy tính phân, ta được dạng biến phân của hệ phương trình (2.22):

(2.23) Xét hàm mục tiêu tổng quát có dạng:

Ta xem xét hàm Lagrange là tổng của hàm mục tiêu (2.24) và dạng biến phân (2.4.3) của hệ phương trình trạng thái:

Cách tiếp cận này không thành công do các biến không độc lập và phụ thuộc vào không gian hàm trong Ω, liên quan đến các điều kiện biên Dirichlet trên Γ và Γ in Để giải quyết vấn đề này, hai nhân tử Lagrange sẽ được thêm vào ξ để đáp ứng các điều kiện biên Dirichlet Chúng ta sẽ định nghĩa hàm Lagrange như sau:

Z Γ in àã(uưu in )ds.

Trong hàm Lagrange được định nghĩa như (2.25), tất cả các biến đều độc lập với nhau.

Dễ dàng kiểm tra được rằng, ta có thể thu lại hệ phương trình Stokes (2.22) bằng cách lấy đạo hàm riờng của hàm LagrangeL(Ω, , , , , ,u p v q ξ à)theo cỏc biếnv q, ,ξvà à

Lấy đạo hàm riờng của L(Ω, , , , , ,u p v q ξ à) theo cỏc biến u và p theo cỏc hướng ϕ∈ H 1 ( R d ) d vàψ ∈ L 2 ( R d )tương ứng, ta được:

Xét hệ trạng thái cân bằng:

=0 ∀ ∈ ψ L 2 ( R d ). Khi đú, ta cúξ= à =−σ(v q, )nvà hệ phương trỡnh liờn hợp:

− ν ∆ v +∇q = −j 0 ( )u trongΩ, divv =0 trongΩ, v =0 trênΓ∪Γ in , σ( v q, )n =−l 0 ( )u trênΓ out

Cuối cùng, khi lấy đạo hàm riêng của hàm Lagrange theo trường biến dạng θ, với u p là nghiệm của hệ phương trình (2.22) và v q là nghiệm của hệ liên hợp (2.26), ta có ξ = à = −σ(v q, )n Kết quả là đạo hàm dạng của hàm mục tiêu J(Ω) được xác định.

 θã n ds Áp dụng kết quả trên để tính đạo hàm dạng của hàm mục tiêu năng lượng tiêu tán

E(Ω)vớij u( ) =2νe u( ): e u l u( ), ( ) =0vàθ =0trênΓ in ∪ Γ out , ta có:

Thành phần tích phân thứ hai có thể viết lại như sau:

Mặt khác, dou= v=0trên biên nênΓ ∂u

∂n. Cuối cùng, ta thu được đạo hàm dạng của hàm năng lượng tiêu tán của dòng chảy:

Theo bổ đề (2.2) và định lý (2.1), chúng ta có kết quả về đạo hàm dạng của hàm Lagrange tăng cường L(Ω, l b) Định lý 2.2 khẳng định rằng hàm Lagrange tăng cường L(Ω, l b) được định nghĩa tại (2.12) là hàm khả vi dạng và có đạo hàm.

Thuật toán tối ưu dạng

2.4.1 Phương pháp gradient giải bài toán tối ưu

Phương pháp gradient là một thuật toán giải bài toán tối ưu, dựa trên đạo hàm bậc nhất để xác định hướng giảm của hàm mục tiêu.

Như đã đề cập trong phần 2.2, bài toán tối ưu có ràng buộc (2.8) được chuyển đổi thành bài toán tối ưu không ràng buộc (2.15) Trong đó, hàm Lagrange tăng cường L(Ω, l n, b n) có đạo hàm được biểu diễn dưới dạng cụ thể.

Z Γ w Ω θã n ds , vớiw Ωlà hàm vô hướng, phụ thuộc vào dạngΩvà xác định trên biên :Γ w Ω =2νe u( Ω) :e u( Ω)− 2νe u ( Ω ): e v( Ω)− l n +b n 

Trong bài viết này, chúng ta xem xét nghiệm của hệ phương trình Stokes, ký hiệu là u Ω,p Ω, và nghiệm của hệ phương trình liên hợp, ký hiệu là v Ω,q Ω Để tối ưu hóa hàm mục tiêu Ω L(Ω,l n ,b n ), hướng giảm có thể được lựa chọn đơn giản là θ = − w Ω n.

Với mỗi bước giảm gradientt>0đủ nhỏ, từ khai triển (2.17), ta có:

Lựa chọn bước giảm gradient tối ưu là một thách thức lớn, vì bước nhảy quá lớn có thể làm mất ổn định trong quá trình giải số, trong khi bước nhảy quá nhỏ lại dẫn đến những thay đổi không đáng kể trong quá trình hội tụ.

Như vậy, phương pháp gradient cho phép xác định dạng mới Ω tθ "tối ưu hơn" dạng ban đầuΩthông qua công thức:

Sau đây, ta sẽ mô tả lược đồ áp dụng phương pháp gradient giải bài toán tối ưu dạng với ràng buộc thể tích:

Thuật toán 3: Thuật toán gradient giải bài toán tối ưu dạng

Khởi tạo: n=0, miềnΩ 0 , nhân tử Lagrangel 0 và hệ số phạtb 0 của hàm

Lagrange tăng cườngL for n=1, 2, cho đến khi hội tụ do

1 Tìm nghiệmu n ,p n của hệ phương trình Stokes (2.1) trên miềnΩ n

2 Tìm nghiệmv n ,q n của hệ phương trình liên hợp (2.21) trênΩ n

3 Tính đạo hàm dạng của hàm Lagrange tăng cườngL(Ω n ,l n ,b n )và hướng giảmθ n tương ứng theo công thức (2.31).

4 Chọn bước giảmt n > 0đủ nhỏ sao cho:

6 Cập nhật các hệ sốl n+1 ,b n+1 của hàm Lagrange tăng cường L end

Như đã đề cập trong phần 2.4.1, hướng giảm tự nhiên của hàm Lagrange tăng cường L(Ω,l n ,b n ) được xác định bởi θ= − w Ω n, với w Ω ∈ L 2 ( )Γ là trường vô hướng theo công thức (2.30) Tuy nhiên, việc lựa chọn hướng giảm này thường không thích hợp do hai nguyên nhân chính.

Công thức (2.32) chỉ áp dụng trên biên của miền, trong khi đó, cần lựa chọn một trường biến dạng xác định ít nhất trong lân cận của biên miền θ ∂Ω, đồng thời đảm bảo rằng θ thuộc tập hợp Θ ad.

Trường vô hướng Ω phụ thuộc vào đạo hàm của nghiệm hệ phương trình Stokes và hệ phương trình liên hợp trên miền Các nghiệm này có thể rất bất thường, đặc biệt tại các điểm xung quanh thành phần biên Γ out, do sự thay đổi điều kiện biên Điều này ảnh hưởng đến tính ổn định của lược đồ giải số Để giải quyết những vấn đề này, một phương pháp mở rộng và hiệu chỉnh được đề xuất.

–regularization) trường biến dạng thường được sử dụng Ta xác định một trường biến dạng trong không gian Hilbertθ Mcác trường vector chính quy hơn, định nghĩa trên toàn

Ω, bằng cỏch sử dụng tớch vụ hướng (ã , ã) M thay vỡ tớch vụ hướng(ã , ã) L 2 ( ) Γ trờn [ ],Γ 38 [ ]–[ ] Cụ thể, tìm72 75 θ∈ M thỏa mãn:

Rõ ràng, trường vector thỏa mãn (θ 2.33) là một hướng giảm củaL(Ω,l n ,b n ):

Một cách tiếp cận tự nhiên của M Burger và F de Gournay [ ], [ ] là chọn không73 74 gianM = n θ ∈ H 1 ( )Ω d : θ =0trênΓ in ∪ Γ out ovới tích vô hướng tương ứng:

Ω θ ηã dx, (2.34) trong đó,γ> 0là một tham số "nhỏ" Khi đó, phương trình (2.33) dẫn đến giải bài toán elliptic sau:

− γ θ ∆ +θ =0 trongΩ, θ =0 trênΓ in ∪ Γ out , γ ∂ ∂θ n = − φ Ω n trên Γ

Việc lựa chọn không gianMnhư trên mặc dù đơn giản nhưng thường không mang lại hiệu quả cao, tham khảo các ví dụ phần 4.1 trong [ ].76

Một phương pháp hiệu quả hơn là áp dụng toán tử Laplace-Beltrami ∆ Γ trên biên Γ, như đã được trình bày trong [ ] Cụ thể, cho hàm f ∈ C 2 (Γ) và một hàm mở rộng f˜ của f với f˜ ∈ C 2 (U) và f˜ được xác định trên miền mở U.

Γ = f, trong đó,Ulà một lân cận hình ống của trongΓ R d Xét gradient tiếp tuyến∇ Γ của hàm : f

, và toán tử Laplace-Beltrami∆ Γ :

, (2.36) trong đó,∇ 2 f ˜là ma trận Hessian của f˜và là tổng độ cong của κ Γ

Dựa trên cách tiếp cận này, ta lựa chọn không gian:

M =n θ∈ H 1 ( )Ω d : θ| Γ in ∪ Γ out = 0,∇ Γ θ ∈ L 2 ( )Γ d o, với tích vô hướng tương ứng:

Tích vô hướng (2.37) bao gồm hai thành phần chính: một thành phần elliptic áp dụng trên miền Ω và một thành phần liên quan đến toán tử Laplace-Beltrami ∆ Γ trên biên Hai thành phần này được cân bằng bởi tham số γ nằm trong khoảng [0, 1], trong đó toán tử Laplace-Beltrami đóng vai trò quan trọng.

∆ Γ là hiệu chỉnh trường biến dạng trên biên θ Γ

Bài toán biến phân (2.33) có thể được giải xấp xỉ thông qua phương pháp phần tử hữu hạn Bằng cách áp dụng xấp xỉ phần tử hữu hạn Galerkin, ta có bài toán rời rạc tương ứng: a h (θ h ,η h ) =l h (η h ), với mọi η h thuộc M h , trong đó M h là không gian con rời rạc phụ thuộc vào tham số đặc trưng cho kích thước phần tử trong lưới tam giác phân T h của miền Các hàm a h (ã ã , ) và l h ( ) được định nghĩa rõ ràng để phục vụ cho quá trình giải bài toán.

Phương pháp xây dựng hệ phương trình đại số tương ứng và các thuật toán giải có thể tham khảo thêm trong phần1.5của chương 1

2.4.3 Giải số hệ phương trình Stokes

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày khái quát lược đồ giải số cho hệ phương trình Stokes bằng phương pháp phần tử hữu hạn Để có cái nhìn chi tiết hơn, bạn có thể tham khảo lược đồ mô phỏng số cho hệ phương trình Navier-Stokes đã được trình bày trong chương trước Bên cạnh đó, bài toán liên hợp cũng có thể được giải theo lược đồ tương tự.

Xét các không gian hàm cho vận tốc và áp suất lần lượt như sau:u p

Nhân 2 vế phương trình đầu tiên của hệ Stokes (2.1) với hàm thửv∈ V, phương trình thứ hai vớiq∈Qrồi lấy tích phân trên miền , ta thu được dạng biến phân:Ω

Ω qdivu dx =0, ∀ ∈q Q , hoặc dạng yếu tương ứng:

(2.39) trong đú,l( )ã là dạng tuyến tớnh liờn tục trờn : V l v( ) Z

Z Γ out u out ã v ds, a(ã , ã)vàb(ã , ã)lần lượt là cỏc dạng song tuyến tớnh xỏc định trờnVìVvà V ì Q : a u v( , ) Z

Sử dụng xấp xỉ phần tử hữu hạn Galerkin, ta thu được công thức rời rạc tương ứng:

Trong bài viết này, chúng ta xem xét hai không gian con hữu hạn chiều V h ⊂ V và Q h ⊂ Q, phụ thuộc vào tham số đặc trưng cho kích thước của lưới tam giác phân T h trên miền Các toán tử Ω a h (ã ã , ), b h (ã ã , ) và l h ( )ã được xác định một cách rõ ràng để phục vụ cho việc phân tích và ứng dụng trong lĩnh vực nghiên cứu này.

Bài toán Navier-Stokes trong chương trước yêu cầu điều kiện tương thích cho không gian hàm rời rạc Do đó, chúng ta chọn cặp không gian phần tử hữu hạn Taylor-Hood, với P2 cho vận tốc và P1 cho áp suất Phương pháp xây dựng hệ phương trình tuyến tính và các thuật toán giải được trình bày trong phần 1.5.

Dựa trên các phân tích và kết quả đã trình bày, chúng ta sẽ đề xuất một lược đồ giải số cho bài toán tối ưu trong dòng chảy Stokes.

2.4.4 Thuật toán tối ưu dạng cho dòng chảy Stokes

Trong bài viết này, chúng tôi đề xuất một thuật toán giải số cho bài toán tối ưu trong dòng chảy Stokes, kết hợp với các kỹ thuật xử lý lưới tính toán Quá trình biến dạng miền được thực hiện thông qua các hàm cài đặt sẵn checkmovemesh và movemesh trong Freefem++, cho phép dịch chuyển các đỉnh của lưới theo hướng giảm và bước nhảy gradient Để đảm bảo tính ổn định của lược đồ giải số, chúng tôi áp dụng kỹ thuật làm đều lưới nhằm ngăn chặn sự xuất hiện của các phần tử tam giác kỳ dị sau quá trình biến dạng, thông qua việc tam giác phân lại miền tính toán với toán tử adaptmesh.

Thuật toán 4: Thuật toán tối ưu dạng cho dòng chảy Stokes

Khởi tạo: n=0, lướiT 0 của miềnΩ 0 , nhân tử Lagrangel 0 và hệ số phạtb 0 của hàm Lagrange tăng cường L for n=1, 2, cho đến khik θ n k L 2 ( Γ n ) 0đủ nhỏ sao cho:

6 Dịch chuyển các đỉnh của lướiT n theoθ n vàt n :x n+1 =x n +t n θ n (x n ).

7.if lưới thu được hợp lệ then

7.2 Xác định các đỉnh của lưới mới T n+1 else

Quay lại bước 5, làm đều lưới và giảm giá trị bước nhảyt n end

8 Cập nhật các hệ sốl n+1 ,b n+1 của hàm Lagrange tăng cường L end

Các ví dụ giải số

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả giải số cho bài toán tối ưu trong dòng chảy Stokes Để đơn giản, chúng tôi chỉ xem xét các hình dạng trong không gian hai chiều, với giả thiết rằng ngoại lực tác động lên dòng chảy f = 0 và dòng chất lỏng qua biên đầu ra Γ out là dòng chảy tự do dou out = 0 Bắt đầu từ hình dạng ban đầu Ω 0, miền Ω sẽ được tối ưu hóa thông qua việc biến dạng của thành phần biên trong quá trình lặp, trong khi các thành phần biên Γ in và Γ out được giữ cố định Năng lượng tiêu tán của dòng chảy sẽ được phân tích trong quá trình này.

E(Ω)được cực tiểu hóa, với ràng buộc về thể tíchVol(Ω) = V 0 , trong đó,V 0 là thể tích của dạng ban đầuV 0 =Vol(Ω 0 ).

Các tham số mô hình được áp dụng trong các thí nghiệm giải số được trình bày trong bảng 2.1 Sự lựa chọn các tham số phù hợp hoàn toàn dựa vào quan điểm giải số và từng thí nghiệm cụ thể, trong khi tác giả và nhóm nghiên cứu không đưa ra ý kiến hay giải thích rõ ràng nào khác.

Hệ số phạt khởi tạo b 0 1 10 1 10 0.1

Hệ số phạt cực đại b max 10 100 10 100 10

Nhân tử Lagrange khởi tạo l 0 0 0 0 0 0

Tham số cập nhật nhân tử Lagrange λ 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05

Bước giảm gradient khởi tạo t 0 0.01 0.01 0.01 0.003 0.01 Điều kiện dừng ε stop 0.01 0.01 0.01 0.02 0.005

B ẢNG 2.1: Tham số mô hình sử dụng trong các thí nghiệm giải số

Mã nguồn chương trình cho thuật toán tối ưu và các thí nghiệm giải số liên quan đến tối ưu trong dòng chảy Stokes có sẵn tại: https://github.com/lvchien/shape_optimization Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp và đề xuất để cải thiện mã nguồn và các thí nghiệm giải số.

Thí nghiệm đầu tiên nghiên cứu dòng chất lỏng trong một ống với đầu vào và đầu ra cố định, tạo thành góc vuông Mô hình thí nghiệm cùng với hình dạng ban đầu Ω 0 được minh họa trong hình 2.3.

Dòng chảy vào tại biênΓ in được xác định bởi một vận tốc có dạng parabol: u in(x y, ) = 

Kết quả biến dạng được thể hiện trong hình 2.4, trong khi quá trình hội tụ của hàm mục tiêu J(Ω), ràng buộc Vol(Ω), hàm Lagrange L(Ω, l b) và nhân tử Lagrange được minh họa trong hình 2.5 Sau khi tối ưu, năng lượng nhớt tiêu tán của dòng chảy giảm gần 15%, và hình dạng tối ưu của đường ống gần giống với đường thẳng Kết quả này phù hợp với các nghiên cứu trước đó.

Thí nghiệm thứ hai tập trung vào thiết kế hình dạng bộ khuếch tán nhằm tối thiểu hóa năng lượng tiêu tán do chuyển động của chất lỏng có hệ số nhớt không đổi Hình dạng ban đầu của bộ khuếch tán được thể hiện trong hình ν 2.6 Dòng chảy vào được đặt tại Γ in với vận tốc: u in(x, y) = y(1 - y) T.

Quá trình biến dạng của miền và hội tụ tương ứng được minh họa trong hình 2.7 và 2.8 Sau 60 bước lặp, hình dạng tối ưu của bộ khuếch tán đã được đạt được, với năng lượng tiêu tán giảm khoảng 10% so với hình dạng ban đầu Kết quả này hoàn toàn phù hợp với các thí nghiệm đã được thực hiện.

H ÌNH 2.3: Thí nghiệm đường ống đơn: Mô hình bài toán

H ÌNH 2.4: Thí nghiệm đường ống đơn: Quá trình biến dạng của miền

Từ trái sang phải: bước thứ , 1 46 và 241

H ÌNH 2.5: Thí nghiệm đường ống đơn: Quá trình hội tụ

Từ trái qua phải, từ trên xuống dưới: J ( Ω ) , Vol( Ω ) , L( Ω , , l b ) và l Γ in Γ out Γ Γ

H ÌNH 2.6: Thí nghiệm bộ khuếch tán: Mô hình bài toán

H ÌNH 2.7: Thí nghiệm bộ khuếch tán: Quá trình biến dạng của miền

Từ trái sang phải: bước thứ , 1 16 và 106

H ÌNH 2.8: Thí nghiệm bộ khuếch tán: Quá trình hội tụ

Từ trái qua phải, từ trên xuống dưới: J ( Ω ) , Vol( Ω ) , L( Ω , , l b ) và l

Vận tốc đầu vào có dạng hàmcos: u in(x y, ) =

1−cos 8( πy), 0 T , do đó, dòng chảy vào có vận tốc cực đại tại điểm chính giữa biên đầu vào của mỗi đường ống.

Hình 2.10 minh họa các hình ảnh biến dạng trong quá trình tối ưu, trong khi hình 2.11 thể hiện quá trình hội tụ tương ứng Sau 300 bước lặp, hình dạng hội tụ của đường ống kép đã đạt được, với kỳ vọng tối thiểu hóa năng lượng tiêu tán của dòng chảy, tương tự như các kết quả đã được ghi nhận trong các nghiên cứu trước đó.

Một chướng ngại vật được đặt trong khoang chứa chất lỏng với dòng chảy ổn định theo hướng ngang Miền thí nghiệm là phần không gian xung quanh chướng ngại vật trong khoang chứa, và điều kiện Dirichlet thuần nhất được áp dụng trên bề mặt của chướng ngại vật.

Kết quả tối ưu hóa được trình bày trong hình 2.13 và hình 2.14 cho thấy hình dạng tối ưu của chướng ngại vật tương tự như một cái "cánh", phù hợp với những nghiên cứu trước đây.

Thí nghiệm chướng ngại vật là một thử nghiệm phức tạp, đòi hỏi sự lựa chọn bước giảm gradient một cách cẩn thận và tinh tế Thí nghiệm này cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của phương pháp mở rộng và hiệu chỉnh hướng giảm, như đã được đề cập trong phần 2.4.2.

Sử dụng phương pháp hiệu chỉnh đơn giản theo công thức (2.34) sẽ dẫn đến sự giao nhau của biên chỉ sau một vài bước lặp. Γ in Γ in Γ out Γ out Γ Γ Γ Ω Γ

H ÌNH 2.9: Thí nghiệm đường ống kép: Mô hình bài toán

H ÌNH 2.10: Thí nghiệm đường ống kép: Quá trình biến dạng

Từ trái qua phải: bước thứ , 1 46 và 301

H ÌNH 2.11: Thí nghiệm đường ống kép: Quá trình hội tụ

Từ trái qua phải, từ trên xuống dưới: J ( Ω ) , Vol( Ω ) , L( Ω , , l b ) và l Γ in Γ out Γ Γ Γ Ω

H ÌNH 2.12: Thí nghiệm chướng ngại vật: Mô hình bài toán

H ÌNH 2.13: Thí nghiệm chướng ngại vật: Quá trình biến dạng

Từ trái qua phải, từ trên xuống dưới: bước thứ , 1 136 và 301

H ÌNH 2.14: Thí nghiệm chướng ngại vật: Quá trình hội tụ

2.5.5 Cấu trúc phân nhánh của phổi người

Thí nghiệm cuối cùng nghiên cứu một mô hình đơn giản hóa cấu trúc phổi người, mở rộng từ nghiên cứu trước đó Mô hình bài toán được minh họa trong hình 80 2.15, với các dòng chảy vào có dạng parabol được áp dụng trên từng đoạn biên đầu vào Γ in, nằm giữa hai điểm (x1, y1) và (x2, y2) Công thức xác định dòng chảy vào được mô tả như sau: u in(x, y) = (s1 − s) − (y2 − y1) / (x2 − x1).

Quá trình biến dạng được thể hiện qua công thức s = (x1 - x) / (x1 - x2) = (y1 - y) / (y1 - y2) Hình 2.16 mô tả quá trình này, trong khi hình 2.17 minh họa quá trình hội tụ tương ứng Kết quả sau quá trình tối ưu cho thấy hình dạng thu được có sự phân nhánh, phản ánh một cách hoàn hảo sự tiến hóa trong sinh học.

Kết luận

Trong chương này, chúng tôi đã phát triển một thuật toán giải số cho bài toán tối ưu trong cơ học chất lỏng Cụ thể, chương đã tập trung vào việc giải quyết các vấn đề liên quan đến tối ưu hóa trong lĩnh vực này.

• Giới thiệu khái quát về bài toán tối ưu dạng nói chung và bài toán tối ưu dạng trong dòng chảy Stokes nói riêng.

• Trình bày phương pháp Lag range tăng cường đưa bài toán tối ưu có ràng buộc về bài toán tối ưu không ràng buộc.

• Trình bày lý thuyết biểu diễn dạng và các kết quả đạo hàm dạng dựa trên phương pháp biến phân Hadamard.

• Đề xuất lược đồ giải bài toán tối ưu dạng trong dòng chảy Stokes dựa trên phương pháp gradient và phương pháp phần tử hữu hạn.

• Trình bày các ví dụ giải số minh họa. Γ in Γ in Γ in Γ in Γ out Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

H ÌNH 2.15: Thí nghiệm cấu trúc phổi người: Mô hình bài toán

H ÌNH 2.16: Thí nghiệm cấu trúc phổi người: Quá trình biến dạng

Từ trái qua phải, từ trên xuống dưới: bước thứ , 1 301 và 1111

H ÌNH 2.17: Thí nghiệm cấu trúc phổi người: Quá trình hội tụ

Luận văn này giới thiệu một lược đồ giải số cho bài toán tối ưu trong cơ học chất lỏng, áp dụng phương pháp biến phân Hadamard kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn Nội dung chính của nghiên cứu tập trung vào việc giải quyết các vấn đề liên quan đến tối ưu hóa trong lĩnh vực này.

• Xây dựng lược đồ mô phỏng số cho hệ phương trình Navier-Stokes, dựa trên phương pháp đặc trưng và phương pháp phần tử hữu hạn.

• Đề xuất thuật toán giải số cho bài toán tối ưu dạng trong dòng chảy Stokes.

• Mô phỏng các thí nghiệm giải số minh họa.

Lược đồ giải số được đề xuất cho bài toán tối ưu dạng trong cơ học chất lỏng có những ưu điểm sau đây:

• Cho phép thực hiện các biến dạng phức tạp trong quá trình tối ưu.

Dễ dàng mở rộng để áp dụng cho nhiều hình dạng khác nhau, các hàm mục tiêu đa dạng và các mô hình cơ học khác, bao gồm mô hình đàn hồi tuyến tính và dòng đối lưu tự nhiên.

• Chi phí của thuật toán là vừa phải.

Tính hiệu quả và độ tin cậy của lược đồ đã được chứng minh qua năm thí nghiệm giải số, nhưng thuật toán này cũng tồn tại một số nhược điểm.

• Dạng tối ưu thu được phụ thuộc nhiều vào hình dạng ban đầu.

• Thuật toán chỉ làm thay đổi hình dạng chứ không làm thay đổi topology của miền.

Các hướng nghiên cứu tiếp theo

Tác giả đề xuất các hướng nghiên cứu liên quan có thể tiếp tục phát triển từ nội dung của luận văn này:

• Mô phỏng các thí nghiệm giải số cho hệ phương trình Navier-Stokes cũng như cho bài toán tối ưu dạng trong không gian ba chiều.

• Xây dựng thuật toán tìm bước giảm tối ưu.

Phương pháp tập mức (level set method) được áp dụng trong bài toán tối ưu nhằm thay đổi topology của miền, như đã được trình bày trong nghiên cứu [ ].27

Mở rộng lược đồ giải số cho dòng chảy Navier-Stokes và xem xét các hàm mục tiêu khác như hàm cực tiểu bình phương sai số hoặc cực đại tính thấm là những vấn đề quan trọng được đề cập trong nghiên cứu.

Áp dụng lược đồ hiện tại để giải quyết các bài toán tối ưu trong nhiều mô hình vật lý khác nhau, bao gồm các cấu trúc đàn hồi, cấu trúc truyền nhiệt và dòng đối lưu tự nhiên.

Dựa trên thuật toán đề xuất, tác giả đã nghiên cứu và xây dựng lược đồ giải số cho bài toán tối ưu trong cấu trúc đàn hồi tuyến tính, đạt được một số kết quả khả quan Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian, nghiên cứu vẫn đang trong quá trình hoàn thiện.

Danh mục các công trình liên quan đến luận văn đã công bố

1 L.V Chien, N.H Du, T.T.T Mai, T.M Tam “Character istic finite element method for natural convection problems” May 2018 (đã gửi đăng)

2 T.T.T Mai, L.V Chien, and P.H Thanh “Shape optimization for Stokes flows using sensitivity analysis and finite element method”.Applied Numerical Mathematics.

[1] O Pironneau, “On optimum profiles in Stokes flow”,Journal of Fluid Mechanics, vol 59, no 1, pp 117–128, 1973.

[2] ——, “On optimum design in fluid mechanics”,Journal of Fluid Mechanics, vol 64, no 1, pp 97–110, 1974.

[3] B Mohammadi and O Pironneau, “Shape optimization in fluid mechanics”,An- nual Review of Fluid Mechanics, vol 36, pp 255–279, 2004.

[4] S Painchaud-Oullet, C Tribes, J Trepanier, and D Pelletier, “Airfoil shape optimization using a nonuniform rational b-spline parametrization under thickness constraint”,IAAA, vol 44, no 10, pp 2170–2178, 2006.

[5] A Quarteroni and G Rozza, “Optimal control and shape optimization of aorto- coronaric bypass anastomoses”,Mathematical Models and Methods in Applied Sci- ences, vol 13, no 12, pp 1801–1823, 2003.

[6] V Agoshkov, A Quarteroni, and G Rozza, “A mathematical approach in the design of arterial bypass using unsteady Stokes equations”,Journal of Scientific Com- puting, vol 28, no 2-3, pp 139–161, 2006.

[7] ——, “Shape design in aorto-coronaric bypass anastomoses using perturbation theory”,SIAM Journal on Numerical Analysis, vol 44, no 1, pp 367–384, 2006.

[8] F Alouges, A DeSimone, and L Heltai, “Numerical strategies for stroke optimization of axisymmetric microswimmers”,Math Models Methods Appl Sci., vol 21, no 2, pp 361–387, 2011.

[9] T Borrvall and J Petersson, “Topology optimization of fluids in Stokes flow”,

International Jour nal for Numerical Methods in Fluids, vol 41, pp 77–107, 2003.

[10] J Guest and J Prévost, “Topology optimization of creeping fluid flows using a Darcy-Stokes finite element”,International Journal for Numerical Methods in En- gineering, vol 66, pp 461–484, 2006.

[11] N Wiker, A Klarbring, and T Borrvall, “Topology optimization of regions of Darcy and Stokes flow”, International Journal for Numerical Methods in Engi- neering, vol 69, pp 1374–1404, 2007.

[12] A Evgrafov, “Topology optimization of slightly compressible fluids”,ZAMM - Z. Angew Math Mech, vol 86, no 1, pp 46–62, 2006.

In their study published in the International Journal for Numerical Methods in Engineering, Olesen, Okkels, and Bruus present a high-level programming language implementation of topology optimization, specifically applied to steady-state Navier-Stokes flow This research contributes to advancements in numerical methods, enhancing the efficiency and effectiveness of engineering simulations.

[14] S Zhou and Q Li, “A variational level set method for the topology optimization of steady-state Navier-Stokes flow”, Journal of Computational Physics, vol 227, pp 10 178–10 195, 2008.

[15] X Duan, Y Ma, and R Zhang, “Shape-topology optimization for Navier-Stokes problem using variational level set method”,Journal of Computational and Applied Mathematics, vol 222, pp 487–499, 2008.

[16] J Haslinger and P Neittaanm¨aki,Finite Element Approximation for Optimal Shape, Material and Topology Design Wiley, 1996,ISBN: 9780471958505.

[17] M Bends e and O Sigmund,ứ Topology Optimization, Theory, Methods and Appli- cations, 2nd Springer Verlag, Berlin Heidelberg, 2003.

[18] M Gunzburger,Perspectives in Flow Control and Optimization, ser Advances in

[19] B Mohammadi and O Pironneau, Applied Shape Optimization for Fluids, 2nd.

[20] X Duan, Y Ma, and R Zhang, “Shape-topology optimization of Stokes flow via variational level set method”, Applied Mathematics and Computation, vol 202, pp 200–209, 2008.

[21] V Braibant and C FIeury, “Shape optimal design using B-splines”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 44, no 3, pp 247–267, 1984.

[22] M Bends e and N Kikuchi, “Generating optimal topologies in structural designứ using a homogenization method”,Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 71, pp 197–224, 1988.

[23] M Bends e, “Methods for optimization of structural topology”, inứ Shape and Ma- terial, Springer- Verlag, New York, 1995.

[24] G Allaire, E Bonnetier, G Francfort, and F Jouve, “Shape optimization by the homogenization method”,Numer Math., vol 76, pp 27–68, 1997.

[25] G Allaire,Shape optimization by the homogenization method New York: Springer

[26] M Wang, X Wang, and D Guo, “A level set method for structural topology optimization”,Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 192, pp 227–246, 2003.

[27] G Allaire, F Jouve, and A Toader, “Structural optimization using shape sensitivity analysis and a level-set method”, Journal of Computational Physics, vol 194, pp 363–393, 2004.

[28] M Kim, S Ha, and S Cho, “Level set–based topological shape optimization of nonlinear heat conduction problems using topological derivatives”,Mech Based Design Struct Machines, vol 37, pp 550–582, 2009.

[29] S Ha and S Cho, “Topological shape optimization of heat conduction problems using level set approach”,Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals: An In- ternational Journal of Computation and Methodology, vol 48, pp 67–88, 2005.

[30] ——, “Level set-based topological shape optimization of nonlinear heat conduction problems”,Numerical Heat Transfer, part B, vol 54, pp 454–475, 2008.

[31] F Hecht, “New development in freefem++”, J Numer Math., vol 20, no 3-4, pp 251–265, 2012,ISSN: 1570-2820.

[32] R Temam,Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, ser Studies in mathematics and its applications North-Holland, 1979.

[33] C Foias, O Manley, R Rosa, and R Temam,Navier-Stokes Equations and Turbu- lence, ser Encyclopedia of Mathematics and its Applications Cambridge Univer- sity Press, 2001.

[34] A Er n and J L Guermond, Theory and Practice of Finite Elements Springer,

[35] L Quartapelle,Numerical solution of the incompressible Navier-Stokes equations,

English Basel ; Boston : Birkh ¨auser Verlag, 1993.

[36] A Quarteroni,Numerical Models for Differential Problems, ser MS-A Springer,

[37] J Benqué, B Ibler, A Keramsi, and G Labadir, “A finite element method for the Navier-Stokes equations”, Proceedings of the third international conference on the finite elements in flow problems, 1980.

In her 2015 PhD thesis at Université Pierre et Marie Curie, M Ta explores the modeling of bi-fluid problems using the level set method and mesh adaptation techniques This research focuses on optimizing shapes within fluid dynamics, highlighting innovative approaches to enhance computational efficiency and accuracy in complex fluid interactions.

[39] K Morton, A Priestley, and E Suli, “Stability of the Lagrange-Galerkin method with non-exact integration”,RAIRO-Modélisation mathématique et analyse numérique, vol 22, no 4, pp 625–653, 1988.

[40] G Fourestey, “Stabilité des méthodes de Lagrange-Galerkin du premier et du sec- ond ordre”, INRIA Rocquencourt, Tech Rep 4505, 2002.

[41] V Girault and P Raviar t, Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations.

[42] A M Quarteroni and A Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, 1st ed 1994 2nd printing Springer Publishing Company, Incorporated,

[43] O Pironneau,The finite element methods for fluids Wiley, 1989.

[44] D Boffi, F Brezzi, L F Demkowicz, R G Durán, R S Falk, and M For tin,Mixed Finite Elements, Compatibility Conditions, and Applications Springer, 2006.

[45] K Arrow, L Hurwicz, and H Uzawa, Studies in linear and non-linear programming Stanford University Press, Stanford, Calif, 1958, vol II.

[46] J Shewchuk, An introduction to the conjugate gradient method without the ago- nizing pain, School of Computer Science, Carnegie Mellon University, Pittsburgh,

[47] Y Saad,Iterative methods for sparse linear systems Philadelphia, PA: Society for

[48] G Yang and P Jiang, “SSOR and ASSOR preconditioners for Block-Broyden method”,Applied Mathematics and Computation, vol 188, pp 194–205, 2007.

[49] O Pironneau, “On the transport-diffusion algorithm and its applications to the Navier-Stokes equations”, Numerische Mathematik, vol 38, no 3, pp 309–332,

[50] A Labovschii, “A defect correction method for the time-dependent navier-stokes equations”,Numerical Methods for Partial Differential Equations, vol 25, no 1, pp 1–25, 2009.

[51] C S U Ghia K.N Ghia, “High-resolution for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method”, Journal of Computational Physics, vol 48, no 3, pp 387–411, 1982.

[52] E Erturk, T Corke, and C Gokcol, “Numerical solutions of 2D steady incompressible driven cavity flow at high Reynolds numbers”,International Journal for Numerical Methods in Fluids, vol 48, pp 747–774, 2005.

[53] M Gorazd and B Mohammadi, “NSIKE- an incompressible Navier-Stokes solver for unstructured meshes”, INRIA Rocquencourt, Tech Rep 3644, 1999.

[54] R Araya, G R Barrenechea, A H Poza, and F Valentin, “Convergence analysis of a residual local projection finite element method for the Navier-Stokes equations.”,

SIAM J Numer Anal., vol 50, no 2, pp 669–699, 2012.

[55] R Araya, A H Poza, and F Valentin, “An adaptive residual local projection finite element method for the Navier–Stokes equations”,Adv Comput Math, 2014.

[56] E Hachem, B Rivaux, T Kloczko, H Digonnet, and T Coupez, “Stabilized finite element method for incompressible flows with high reynolds number”,Jour nal of Computational Physics, vol 229, no 23, 8643–8665, 2010.

[57] M Sch¨afer, S Turek, F Durst, E Krause, and R Rannacher, “Benchmark computa- tions of laminar flow around a cylinder”, inFlow Simulation with High-Performance Computers II: DFG Priority Research Programme Results 1993–1995, E H Hirschel,

Ed Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag, 1996, pp 547–566, ISBN: 978-3-322- 89849-4.

[58] Z Si, Y He, and Y Wang, “Modified characteristics mixed defect-correction finite element method for the time-dependent navier–stokes problems”,Applicable Analysis, vol 94, no 4, pp 701–724, 2015.

[59] B F Armaly, F Durst, J C F Pereira, and B Schonung, “Experimental and the- oretical investigation of backward-facing step flow”, J Fluid Mech., vol 127, pp 473–496, 1983.

[60] H Le, P Moin, and J Kim, “Direct numerical simulation of turbulent flow over a backward-facing step”,J Fluid Mech, vol 330, no 349-374, 1997.

[61] A Henrot and M Pierre,Shape Variation and Optimization A Geometrical Anal- ysis European Mathematical Society, 2018.

[62] O Pironneau,Optimal Shape Design for Elliptic Systems Springer, 1984.

[63] M Pierre and J Roche, “Numerical simulation of tridimensional electromagnetic shaping of liquid metals”, Numerische Mathematik, vol 65, no 1, pp 203–217,

[64] M R Hestenes, “Multiplier and gradient methods”,Journal of Optimization The- ory and Applications, vol 4, no 5, pp 303–320, 1969,ISSN: 1573-2878.

[65] J Nocedal and S Wright,Numerical Optimization Springer, 2006.

[66] J Hadamard, “Mémoire sur le problème d’analyse relatif à l’équilibre des plaque élastiques encastrées”, Bull Soc Math France, Tech Rep., 1907.

[67] J Sokolowski and J.-P Zolesio, Introduction to Shape Optimization; Shape Sen- sitivity Analysis, ser Series in Computational Mathematics Heidelberg: Spr inger,

[68] F Murat and S Simon, “Etudes de problèmes d’optimal design”, in Spr inger Ver- lag, Berlin, 1976, pp 54–62, Lecture Notes in Computer Science 41.

[69] J Simon, “Differentiation with respect to the domain in boundary value problems”,

Numer Funct Anal Optim., vol 2, pp 649–687, 1980.

[70] G Allaire,Conception optimale de structures, Mathematiques et Applications Springer, Heidelberg, 2006, vol 58.

[71] J Céa, “Conception optimale ou identification de formes, calcul rapide de la dér ivée directionnelle de la fonction co ˆut”,Math Model Num., vol 3, no 20, pp 371–420, 1986.

[72] C Dapogny, “Shape optimization, level set methods on unstructured meshes and mesh evolution”, PhD thesis, Universite Pierre et Marie Curie, 2013.

[73] M Burger, “A framework for the construction of level-set methods for shape optimization and reconstr uction”,Interfaces and Free Boundaries, vol 5, pp 301–329,

Tiêu đề	Tối Ưu Dạng Trong Cơ Học Chất Lỏng
Tác giả	Lê Văn Chiến
Người hướng dẫn	TS. Tạ Thị Thanh Mai
Trường học	Đại học Bách Khoa Hà Nội
Chuyên ngành	Toán Ứng Dụng
Thể loại	Luận Văn Thạc Sĩ
Năm xuất bản	2018
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	91
Dung lượng	1,69 MB