SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: Toán – Bảng B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 09122017 Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng : ( là tham số). Tìm để đường thẳng cắt tại ba điểm phân biệt và hai điểm có hoành độ lần lượt là thỏa mãn điều kiện . Câu 2 (2,0 điểm). Giải phương trình Câu 3 (2,5 điểm). Tính tổng các nghiệm thuộc đoạn của phương trình . Câu 4 (2,0 điểm). Cho tập hợp . Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc . Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10. Câu 5 (2,5 điểm). Cho số nguyên dương thỏa mãn điều kiện . Tìm hệ số lớn nhất của biểu thức sau khi khai triển và rút gọn. Câu 6 (2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi : Câu 7 (1,5 điểm). Cho dãy số xác định bởi Tính giới hạn . Câu 8 (1,0 điểm). Cho là các số thực phân biệt và không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Câu 9 (2,5 điểm). Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , . Gọi là trung điểm của cạnh , là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . Gọi lần lượt là thể tích của các khối chóp và . a) Tính tỷ số . b) Chứng minh rằng . Câu 10 (1,5 điểm). Cho tam giác có . Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . Chứng minh rằng biểu thức có giá trị không đổi. HẾT • Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. • Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 2018 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán – Bảng B (Hướng dẫn chấm này gồm 05 trang) CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1 (2,5 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm của và là 0,5 d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0,5 Khi đó, là các nghiệm của phương trình (2) nên (3) 0,5 Ta có, Tương tự, Do đó, 0,25 0,5 Kết hợp với (), ta thấy thỏa mãn. 0,25 Câu 2 (2,0 điểm) Điều kiện: . Phương trình đã cho tương đương với 0,25 0,5 Xét hàm số ; Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên . 0,25 Khi đó, phương trình 0,25 0,5 Đối chiếu điều kiện, nghiệm của phương trình đã cho là và . 0,25 Câu 3 (2,5 điểm) Điều kiện: Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình . 0,5 0,5 Tổng hợp nghiệm, ta có Vì nên Do đó, nhận mọi giá trị thuộc 0,5 Trên đoạn , phương trình đã cho có 65 nghiệm, lập thành cấp số cộng có số hạng đầu và số hạng thứ 65 là 0,5 Vậy tổng các nghiệm là 0,5 Câu 4 (2,0 điểm) Số lượng các số của tập gồm ba chữ số là: Số lượng các số của tập gồm bốn chữ số là: Số lượng các số của tập gồm năm chữ số là: Vậy số phần tử của không gian mẫu là 0,5 Gọi là biến cố “Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10” Các số gồm ba chữ số có tổng bằng 10 được lập từ các bộ số . Vậy số lượng số có ba chữ số thỏa mãn yêu cầu là . 0,5 Các số gồm bốn chữ số có tổng bằng 10 được lập từ bộ số . Vậy số lượng số có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu là . Không tồn tại số có năm chữ số thỏa mãn yêu cầu. 0,5 Vậy xác suất để chọn được số có tổng các chữ số bằng 10 là 0,5 Câu 5 (2,5 điểm) . Với thì 0,75 0,25 Ta có, , trong đó . Do đó, . Ta có và . Suy ra và . 0,25 0,25 0,25 Bởi vậy, và Mặt khác, 0,25 Vậy hệ số lớn nhất của là . 0,5 Câu 6 (2,0 điểm) Điều kiện: Đặt do nên . 0,5 Bất phương trình trở thành . Xét hàm số 0,5 Bảng biến thiên 0,5 Bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi . 0,5 Câu 7 (1,5 điểm) Từ cách xác định dãy suy ra và Đặt , ta có 0,5 Đặt 0,5 Dãy là cấp số nhân nên . 0,25 Suy ra Vậy 0,25 Câu 8 (1,0 điểm) Không mất tính tổng quát, đặt . Ta có : . 0,25 Suy ra : A ≥ Đặt 0,25 Đặt . Ta có : . Hay . Bảng biến thiên : 0,25 Vậy khi , và các hoán vị của 0,25 Nhận xét: Phương trình luôn có nghiệm phân biệt. Câu 9 (2,5 điểm) a) Hai mặt phẳng và lần lượt chứa hai đường thẳng song song và nên . Do đó, là trung điểm của cạnh . 0,5 ; 0,25 . 0,25 Suy ra . 0,25 Vậy . 0,25 b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Dễ thấy vuông tại S. 0,25 Do đó . Mà . Suy ra . 0,25 Vì AO (SBD) nên 0,25 Mà . Vậy . 0,25 Câu 10 (1,5 điểm) 0,25 Gọi lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh Diện tích tứ giác là . 0,5 Tương tự, diện tích các tứ giác lần lượt là 0,25 Do đó, . 0,5 Lưu ý: Học sinh có cách giải khác, nếu đúng đều cho điểm tối đa theo từng bước. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO … ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: Toán – Bảng B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 12122018 Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số có đồ thị (H) và đường thẳng d: (với m là tham số). Tìm tất cả giá trị của m để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt có hoành độ sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Câu 2 (4,5 điểm). Giải các phương trình sau trên tập hợp các số thực 1) . 2) . Câu 3 (2,5 điểm). Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển , biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn thi: Tốn – Bảng B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 09/12/2017 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) ( C ) đường thẳng d : y = kx + ( k Câu (2,5 điểm) Cho hàm số y = x + x - x + có đồ thị ( C ) ba điểm phân biệt M ( ; 2) , N , P hai điểm tham số) Tìm k để đường thẳng d cắt x13 - (k + 3) x1 x23 - (k + 3) x2 + +2 = x1 +1 x2 +1 N , P có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn điều kiện Câu (2,0 điểm) Giải phương trình ( ) x +1 - ( x + 2) - Câu (2,5 điểm) Tính tổng nghiệm thuộc đoạn x +1 + = 0, ( x Ỵ ¡ ) [ ; 43p] phương trình cos x ( tan x - cos x) = cos3 x - cos x +1 A = {1; ; 3; 4; 5} Câu (2,0 điểm) Cho tập hợp Gọi T tập hợp tất số tự nhiên có ba chữ số đơi khác thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên số thuộc T Tính xác suất để số chọn có tổng chữ số 10 n- n Câu (2,5 điểm) Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện Cn+1 + Cn+1 = 171 Tìm hệ số lớn n biểu thức P( x) = (1 + x)(1 + x) sau khai triển rút gọn Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình sau nghiệm với x 1 : m log ( x + 3x - 1) + m < log ( x + x - 1) ìï u1 = ïï 2un- í ïï un = ," n³ lim (2n un ) 3un- + ( u ) ï n n ï ỵ Câu (1,5 điểm) Cho dãy số xác định Tính giới hn đ+Ơ Cõu (1,0 im) Cho x, y, z số thực phân biệt không âm Tìm giá trị nhỏ biểu thức é 1 ù ú A = ( x2 + y + z ) ê + + 2 2ú ê ( y - z ) ( z - x) ú ê ë( x - y ) û Câu (2,5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a , SA = SB = SC = 2a Gọi M trung điểm cạnh SA , N giao điểm đường thẳng SD mặt phẳng ( MBC ) Gọi V , V ¢ thể tích khối chóp S ABCD S BCNM V¢ a) Tính tỷ số V b) Chứng minh V £ 2a Câu 10 (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi I tâm đường tròn nội IA2 IB IC + + bc ca ab có giá trị khơng đổi tiếp tam giác ABC Chứng minh biểu thức HẾT T= Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI LỚP 12 THPT - NĂM HỌC 2017 - 2018 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn – Bảng B CÂU Câu (2,5 điểm) Câu (2,0 điểm) (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) ĐÁP ÁN ( C ) d x3 + x - x + = kx + (1) Phương trình hồnh độ giao điểm éx = Û ê2 êx + x - k - = (2) ë Û d cắt (C) điểm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt Û phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác ìï ìïï D > ï k >Û í Û íï (*) ùùợ - k - ùù ợù k ¹ - ìïï x1 + x2 =- í ï x x =- k - x , x Khi đó, nghiệm phương trình (2) nên ïỵ (3) é ù x - (k + 3) x1 = x1 ê( x1 + x1 - k - 1) - ( x1 + 2) ú=- x1 ( x1 + 2) ë û Ta có, x2 - (k + 3) x2 =- x2 ( x2 + 2) Tương tự, x1 x2 + x1 + x2 x13 - (k + 3) x1 x23 - (k + 3) x2 - 2=0 + + = Û ( x1 + x2 ) + x1 x2 +( x1 + x2 ) +1 x + x + 1 Do đó, 2(- k - 1) - Û - 1+ - = 0, (3) - k - 1- +1 Û k =0 k = Kết hợp với (*), ta thấy thỏa mãn Điều kiện: x ³ - ( x + 2) ( x +1 - 2) = x +1 - Phương trình cho tương đương với Û ( x +1) x +1 + x +1 = x +1 + x +1 (1) f ( t ) = t +t Xét hàm số f '( t ) = 3t +1 > 0, " t ĐIỂM 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 ; 0,25 f ( t) Suy hàm số liên tục đồng biến ¡ (1) Û f ( x +1) = f ( x +1) Û Khi đó, phương trình x +1 = x +1 0,25 ìï ïï x ³ éx = ìï ïï ïìï ïï x ³ ê ïï é ï x³ - Û í Û í Û í x =0 Û ê 1+ êx = ïï ïï ïê 2 ê ïïỵ ( x +1) = ( x +1) ïỵ x - x - x = ïïï ê ± ë x = ïï ê ê ïỵ ë 1+ x= x = Đối chiếu điều kiện, nghiệm phương trình cho Câu p x + k p, ( k ẻ Â ) (2,5 điểm) Điều kiện: Với điều kiện đó, phương trình cho tương đương với phương trình tan x - cos x = cos x - + Û cos x + cos x - = cos x éx = p + k 2p ê Û ê p êx = ± + k 2p ê ë p 2p x = +k 3 Tổng hợp nghiệm, ta có - £ k £ 64 { , , , K , 64} Vì £ x £ 43p nên Do đó, k nhận giá trị thuộc [ ; 43p] , phương trình cho có 65 nghiệm, lập thành cấp số cộng có số hạng Trên đoạn p x1 = số hạng thứ 65 x65 = 43p đầu 65( x1 + x65 ) 4225p S= = Vậy tổng nghiệm Câu Số lượng số tập T gồm ba chữ số là: 5.4.3 (2,0 điểm) Số lượng số tập T gồm bốn chữ số là: 5.4.3.2 Số lượng số tập T gồm năm chữ số là: 5.4.3.2.1 n ( W) = 5.4.3 + 5.4.3.2 + 5.4.3.2.1 = 300 Vậy số phần tử không gian mẫu Gọi A biến cố “Số chọn có tổng chữ số 10” {1; 4; 5} hc { 2; 3; 5} - Các số gồm ba chữ số có tổng 10 lập từ số Vậy số lượng số có ba chữ số thỏa mãn yêu cầu 2.3! =12 {1; 2; 3; 4} Vậy số lượng - Các số gồm bốn chữ số có tổng 10 lập từ số số có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu 4! = 24 - Khơng tồn số có năm chữ số thỏa mãn yêu cầu Vậy xác suất để chọn số có tổng chữ số 10 2.3!+ 4! 36 P ( A) = = = 300 300 25 én = 17 Câu n- n n (2,5 điểm) Cn+1 + Cn+1 = 171 Û Cn+2 =171 Û n + 3n - 340 = Û ê ê ën =- 20 (lo¹i) 17 Với n = 17 P( x ) = (1 + x)(1 + x) 17 17 k k Ta có, (1 + x) = a0 + a1 x +L + a17 x , ak = C17 , k = 0,17 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,25 0,25 0,25 17 18 Do đó, P ( x) = a0 + ( a0 + a1 ) x + ( a1 + a2 ) x +L + ( a16 + a17 ) x + a17 x k k k- k- Ta có ak ³ ak - Û C17 ³ C17 Û £ k £ 12 ak ³ ak +1 Û 2k C17k ³ 2k +1 C17k +1 Û k ³ 11 Suy a12 = a11 > a10 > K > a0 a12 > a13 > a14 > K > a17 0,25 Bởi vậy, a11 + a12 > a10 + a11 > a9 + a10 > K > a0 + a1 > a0 a12 + a13 > a13 + a14 > a14 + a15 > K > a16 + a17 > a17 Mặt khác, a11 > a13 0,25 11 11 12 12 Vậy hệ số lớn P( x) a11 + a12 = C17 + C17 = 50 692 096 Câu éx £ - ê (2,0 điểm) log (2 x + x - 1) ³ Û ê êx ³ ê ë Điều kiện: Đặt t= 0,5 0,5 log (2 x + x - 1), x ³ nên t ³ Bất phương trình trở thành Xét hàm số mt + m < 2t Û m < 2t , t +1 t Ỵ [1; +¥ ) 0,5 2t 2t + 4t f ( t) = , t ³ Þ f '( t) = t +1 ( t +1) ét = f '( t) = Û ê ê ët =- Bảng biến thiênng biến thiênn thiên 0,5 Bất phương trình nghiệm với t phương trình nghiệm với ng trình nghiệm với m với úng với i i x ³ Câu (1,5 điểm) m < f (t ) Û m