Tổng hợp đề thi và đáp án hsg môn Toán 2017 2023 - Luyện thi học sinh giỏi môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: Toán – Bảng B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 09122017 Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng : ( là tham số). Tìm để đường thẳng cắt tại ba điểm phân biệt và hai điểm có hoành độ lần lượt là thỏa mãn điều kiện . Câu 2 (2,0 điểm). Giải phương trình Câu 3 (2,5 điểm). Tính tổng các nghiệm thuộc đoạn của phương trình . Câu 4 (2,0 điểm). Cho tập hợp . Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc . Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10. Câu 5 (2,5 điểm). Cho số nguyên dương thỏa mãn điều kiện . Tìm hệ số lớn nhất của biểu thức sau khi khai triển và rút gọn. Câu 6 (2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi : Câu 7 (1,5 điểm). Cho dãy số xác định bởi Tính giới hạn . Câu 8 (1,0 điểm). Cho là các số thực phân biệt và không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Câu 9 (2,5 điểm). Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , . Gọi là trung điểm của cạnh , là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . Gọi lần lượt là thể tích của các khối chóp và . a) Tính tỷ số . b) Chứng minh rằng . Câu 10 (1,5 điểm). Cho tam giác có . Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . Chứng minh rằng biểu thức có giá trị không đổi. HẾT • Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. • Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 2018 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán – Bảng B (Hướng dẫn chấm này gồm 05 trang) CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1 (2,5 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm của và là 0,5 d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0,5 Khi đó, là các nghiệm của phương trình (2) nên (3) 0,5 Ta có, Tương tự, Do đó, 0,25 0,5 Kết hợp với (), ta thấy thỏa mãn. 0,25 Câu 2 (2,0 điểm) Điều kiện: . Phương trình đã cho tương đương với 0,25 0,5 Xét hàm số ; Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên . 0,25 Khi đó, phương trình 0,25 0,5 Đối chiếu điều kiện, nghiệm của phương trình đã cho là và . 0,25 Câu 3 (2,5 điểm) Điều kiện: Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình . 0,5 0,5 Tổng hợp nghiệm, ta có Vì nên Do đó, nhận mọi giá trị thuộc 0,5 Trên đoạn , phương trình đã cho có 65 nghiệm, lập thành cấp số cộng có số hạng đầu và số hạng thứ 65 là 0,5 Vậy tổng các nghiệm là 0,5 Câu 4 (2,0 điểm) Số lượng các số của tập gồm ba chữ số là: Số lượng các số của tập gồm bốn chữ số là: Số lượng các số của tập gồm năm chữ số là: Vậy số phần tử của không gian mẫu là 0,5 Gọi là biến cố “Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10” Các số gồm ba chữ số có tổng bằng 10 được lập từ các bộ số . Vậy số lượng số có ba chữ số thỏa mãn yêu cầu là . 0,5 Các số gồm bốn chữ số có tổng bằng 10 được lập từ bộ số . Vậy số lượng số có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu là . Không tồn tại số có năm chữ số thỏa mãn yêu cầu. 0,5 Vậy xác suất để chọn được số có tổng các chữ số bằng 10 là 0,5 Câu 5 (2,5 điểm) . Với thì 0,75 0,25 Ta có, , trong đó . Do đó, . Ta có và . Suy ra và . 0,25 0,25 0,25 Bởi vậy, và Mặt khác, 0,25 Vậy hệ số lớn nhất của là . 0,5 Câu 6 (2,0 điểm) Điều kiện: Đặt do nên . 0,5 Bất phương trình trở thành . Xét hàm số 0,5 Bảng biến thiên 0,5 Bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi . 0,5 Câu 7 (1,5 điểm) Từ cách xác định dãy suy ra và Đặt , ta có 0,5 Đặt 0,5 Dãy là cấp số nhân nên . 0,25 Suy ra Vậy 0,25 Câu 8 (1,0 điểm) Không mất tính tổng quát, đặt . Ta có : . 0,25 Suy ra : A ≥ Đặt 0,25 Đặt . Ta có : . Hay . Bảng biến thiên : 0,25 Vậy khi , và các hoán vị của 0,25 Nhận xét: Phương trình luôn có nghiệm phân biệt. Câu 9 (2,5 điểm) a) Hai mặt phẳng và lần lượt chứa hai đường thẳng song song và nên . Do đó, là trung điểm của cạnh . 0,5 ; 0,25 . 0,25 Suy ra . 0,25 Vậy . 0,25 b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Dễ thấy vuông tại S. 0,25 Do đó . Mà . Suy ra . 0,25 Vì AO  (SBD) nên 0,25 Mà . Vậy . 0,25 Câu 10 (1,5 điểm) 0,25 Gọi lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh Diện tích tứ giác là . 0,5 Tương tự, diện tích các tứ giác lần lượt là 0,25 Do đó, . 0,5 Lưu ý: Học sinh có cách giải khác, nếu đúng đều cho điểm tối đa theo từng bước. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO … ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: Toán – Bảng B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 12122018 Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số có đồ thị (H) và đường thẳng d: (với m là tham số). Tìm tất cả giá trị của m để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt có hoành độ sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Câu 2 (4,5 điểm). Giải các phương trình sau trên tập hợp các số thực 1) . 2) . Câu 3 (2,5 điểm). Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển , biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Môn thi: Toán – Bảng B

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 09/12/2017

Câu 1 (2,5 điểm) Cho hàm số y=x3+ -x2 x+ có đồ thị 2 ( )C và đường thẳng d: y=kx+ (2 k

là tham số) Tìm k để đường thẳng d cắt ( )C tại ba điểm phân biệt M(0 ; 2 , ,) N P và hai điểm

Câu 2 (2,0 điểm) Giải phương trình( x+ -1 2) (x+ -2) 32x+ + =1 3 0,(xÎ ¡ )

Câu 3 (2,5 điểm) Tính tổng các nghiệm thuộc đoạn [0 ; 43p] của phương trình

cos x tan x- cos 2x =cos x- cos x+1

Câu 4 (2,0 điểm) Cho tập hợp A={1; 2 ; 3; 4; 5} Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất

ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên một số thuộc T Tính xác suất để số

Câu 6 (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi

1

.2

n n

ïïïïí

SA=SB=SC= a Gọi M là trung điểm của cạnh SA , N là giao điểm của đường thẳng SD và

mặt phẳng (MBC) Gọi ,V V lần lượt là thể tích của các khối chóp ¢ S ABCD và S BCNM .

a) Tính tỷ số

V V

¢

.b) Chứng minh rằng V £ 2a3.

Câu 10 (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có BC=a CA b AB, = , = Gọi c I là tâm đường tròn nội

tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng biểu thức

-HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

 Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIA LAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT - NĂM HỌC 2017 - 2018 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

Û ê + - - =ëx x x k

0,5

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Û phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

50

(*)4

(2,0 điểm) Điều kiện: x³ - 1

Phương trình đã cho tương đương với (x+2) ( x+ -1 2)=3 2x+ -1 3 0,25

Û (x+1) x+ +1 x+ =1 2x+ +1 32x+1 (1) 0,5Xét hàm số ( ) 3

p p

é = +ê

êÛ

ê =± +ê

Tổng hợp nghiệm, ta có

2

Số lượng các số của tập T gồm năm chữ số là: 5.4.3.2.1

Vậy số phần tử của không gian mẫu là n( )W =5.4.3 5.4.3.2 5.4.3.2.1 300+ + =

- Các số gồm bốn chữ số có tổng bằng 10 được lập từ bộ số {1; 2; 3; 4} Vậy số lượng

số có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu là 4! 24= .

- Không tồn tại số có năm chữ số thỏa mãn yêu cầu

ê ë

Ta có, (1 2 )+ x 17 = +a0 a x1 + +L a x17 17, trong đó 2k 17k, 0,17

k

0,25

ê ³ê

Đặt

2 2

1log (2 3 1),2

ê=-B ng bi n thiênảng biến thiên ến thiên

v u

= , ta có

1

1

1

.3

ï = + " ³ïïî

.2

5

n n

khi

( )2

5 12

x y xy

-=

, z=0 và các hoán vị của, ,

x y xy

MBC và ( SAD lần lượt chứa hai đường thẳng song song ) BC và

AD nên MN/ /AD Do đó, N là trung điểm của cạnh SD.

V V

¢

=

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD

Dễ thấy DSAC= DBACÞ SO=BOÞ DBSD vuông tại S. 0,25

AEIF BDIF CDIE

Lưu ý: Học sinh có cách giải khác, nếu đúng đều cho điểm tối đa theo từng bước.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

…

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: Toán – Bảng B

Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian phát đề)

(Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 12/12/2018

Câu 1 (2,5 điểm) Cho hàm số

1

x y

x





 có đồ thị (H) và đường thẳng d: y  ( m2  1) x  2(với m là tham số) Tìm tất cả giá trị của m để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt có hoành độ

1, 2

x x sao cho biểu thức P12(x1x2) 11 x x1 2 đạt giá trị lớn nhất

Câu 2 (4,5 điểm) Giải các phương trình sau trên tập hợp các số thực

Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Câu 5 (2,0 điểm) Một quả bóng cao su được thả rơi từ độ cao h = 18 m Sau mỗi lần chạm

đất, quả bóng lại nảy lên cao bằng

3

4 độ cao của lần rơi ngay trước đó Giả sử quả bóng khi

rơi và nảy đều theo phương thẳng đứng Tính tổng độ dài đoạn đường quả bóng đã di chuyển

từ lúc được thả đến lúc quả bóng không nảy nữa

Câu 6 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I có phương trình

(x 1) ( + 1)y  , 5 tam giác ABC nội tiếp đường tròn và đường phân giác trong góc A có

phương trình x y 1 0 Biết rằng hai điểm A và I cách đều đường thẳng BC và điểm A có hoành độ dương Tính diện tích tam giác ABC.

Câu 7 (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, chiều cao h

không đổi Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên hai cạnh BC, CD sao cho góc

-Hết -Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

- Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……… ……; Số báo danh: … ; Phòng thi số:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: Toán – Bảng B

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

Đường thẳng d cắt (H) tại hai điểm phân biệt  (m25)2  4(m2 1) 0

 (m 2 3)2 12 0 Suy ra m    thì d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt. 0,5

y x

Mà g(0) 0, (1) 0 g  nên x = 0, x = 1 là tất cả các nghiệm của (*) Vậy nghiệm

2 5

5 0

h  h

Tiếp theo, bóng rơi từ độ

cao h , chạm đất và nảy lên độ cao 1 2 1

34

h  h

Sau đó bóng lại rơi từ độ cao h và cứ tiếp 2

tục như vậy Sau lần chạm đất thứ n, quả bóng nảy lên độ cao 1

34

Ta có I(1; 1) Tọa độ giao điểm của đường phân giác

trong góc A và (I) là nghiệm của hệ phương trình

s AMN AMN

.12

Vậy với x a .tan 22,50 a( 2 1) thì thể

tích của khối chóp S.AMN đạt giá trị nhỏ nhất. 0,5

a c

Lưu ý : - Thí sinh giải cách khác, nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn chấm điểm tối đa.

- Điểm toàn bài không làm tròn.

Hết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Môn thi: Toán – Bảng B

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 4 (2,5 điểm) Cho tứ diện ABCD và M là điểm nằm trong tứ diện sao cho các đường

thẳng MA, MB, MC, MD cắt các mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) lần lượt tại A’, B’,

Chứng minh dãy số (un) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Câu 6 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(1; 3) Biết M(6;

Câu 7 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có m m m lần lượt là độ dài ba đường trung tuyến a, b, c

xuất phát từ các đỉnh A, B, C của tam giác Chứng minh rằng

3

27

Câu 8 (1,5 điểm) Cho a, b, c là ba số thực tùy ý thuộc đoạn [1;9] và a b a c ,  Tìm giá trịnhỏ nhất của biểu thức

- Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……… …; Số báo danh… ; Phòng thi số:

MA TRẬN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN TOÁN – BẢNG B

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIA LAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: Toán – Bảng B

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

Đường thẳng d cắt (H) tại hai điểm phân biệt  (m2 5)2 4(m21) 0

 (m 2 3)2 12 0 Suy ra m    thì d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt. 0,5

y x

Mà (0) 0, (1) 0g  g  nên x = 0, x = 1 là tất cả các nghiệm của (*) Vậy nghiệm

h  h

Tiếp theo, bóng rơi từ độ

cao h , chạm đất và nảy lên độ cao 1 2 1

34

h  h

Sau đó bóng lại rơi từ độ cao h và cứ tiếp 2

tục như vậy Sau lần chạm đất thứ n, quả bóng nảy lên độ cao 1

34

Ta có (1; 1)I  Tọa độ giao điểm của đường phân giác

trong góc A và (I) là nghiệm của hệ phương trình

s AMN AMN

.12

Vậy với x a .tan 22,50 a( 2 1) thì thể

tích của khối chóp S.AMN đạt giá trị nhỏ nhất. 0,5

a c

Lưu ý : - Thí sinh giải cách khác, nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn chấm điểm tối đa.

- Điểm toàn bài không làm tròn.

Hết

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH (BANG B), NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: Toán

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 12/12/2020

(Đề thi có 08 câu, gồm 01 trang)

Câu 1 (3,0 điểm) Cho hàm số y = x3 — (2m — 1)x2 + í 1 — m)x (m là tham số thực) có đồ thị (c) Tìm m để đường thẳng

d : y = x — m cắt đồ thị (c) tại ba điểm phân biệt A, B và C sao cho tổng hệ số góc của ba tiếp tuyến với (c ) tại các điểm A, B và C nhỏ hơn 9

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình sau trên tập số thực 5x2 — 10x = <

b) Cho 3 số thực x > 1, y > 1 và z > 1 thỏa mãn

log(xy+yz+zx) (5x2 + 16y2 + 27 z2) + log12 4lxỹ+ỹz+ zx = 2 Tính M = x + y + z

Câu 3 (2,0 điểm) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển

giác ABC đều.

Câu 5 (3,0 điểm) Cho dãy số (un) thỏa mãn: u1 = 2021 và un+1

đặt V = — + — + + — Tính lim V

Câu 6 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A Gọi H là trung

điểm của đoạn BC, K là hình chiếu vuông góc của H lên AC Biết M 4; 4 là trung điểm của đoạn HK, đường thẳng BK có phương trình x + 7y — 13 = 0 Gọi N là giao điểm của BK và AM Tìm tọa độ điểm A, biết I 2 ;5 là trung điểm của đoạn AB.

Câu 7 (2,0 điểm) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A

xuống mặt phẳng ịlìCI)) và O là trung điểm của đoạn AH Gọi (ơ) là mặt phẳng qua O và không đi qua các điểm A,B,C và D Mặt phẳng (a) cắt các đoạn AB, AC và AD lần lượt tại M,N và P Tìm giá

trị nhỏ nhất của AM AN AP theo a

Câu 8 (2,0 điểm) Cho hàm số f (x) = In (x + 7x2 + 1 ) + 2021x, a,b và c là ba số thực dương sao cho

phương trình f [(a + b + c)x] + f (2020 — 3x) = 0 vô nghiệm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Hết

- Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay; không được sử dụng các tài liệu khác.

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

S GI O D C V Ở GIÁO DỤC VÀ ÁO DỤC VÀ ỤC VÀ À

O T O

GIA LAI THI CH NH TH C

'ri'C

M = „ , „

ab + bc + ca

Trang 1

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 tHpT, Năm học 2020 - 2021

Môn thi: Toán - Bảng B

(Hướng dẫn chấm có 05 trang)

Cho hàm số y = x3 — (2m — 1) x2 + (1 — m) x ( m là tham số thực) có đồ thị (c) Tìm m để đường thẳng d : y = x — m cắt đồ thị (c) tại ba điểm phân biệt A, B và C sao cho tổng hệ số góc của ba tiếp tuyến với [C) tại các điểm A, B và C nhỏ hơn 9

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (ứ) và d :

án

i

Đ ể m

Trang 2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 6 + 2và x = 6—2 ^6 3 3

Cho 3 sô thực x > 1, y > 1 và z > 1 thỏa mãn log(xy+yz+zx) (5x 2 + 16y2 + 27 z 2)+ l(’g.24 xy+ yz + zx =2 í1)

(2,0đ)

5

(3,0đ)

Từ giả thiết, suy ra k = 8 và hệ số cần tìm bằng Cị2 (—1) = CỊ2 = 495.

Cho tam giác ABC thỏa mãn

2019 sin A + 2020 sin B + 2021sin C = 2022 cos

Chứng minh rằng tam giác ABC đều.'

2X7

Từ (a), (b) suy ra A = B = C Vậy tam giác ABC đều.

Cho dãy số (un) thỏa mãn: u1 = 2021 và un+1

Ta có un+1 = un — un + 1 > un+1 — un = (un — 1) > 0, suy ra dãy (un) tăng

TH1: (un) bị chặn trên, khi đó dãy (un) có giới hạn, giả sử lim un = a > u1 = 2021 (vì (un) tăng)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A Gọi H là trung điểm của đoạn BC,

K là hình chiếu vuông góc của H lên AC Biết M

BK có phương trình x + 7y — 13 = 0 Gọi N là giao điểm

của BK và AM Tìm tọa độ điểm A, biết

là trung điểm của đoạn AB

Theo bài toán ta có IA = IN =

t = 2 (*)

9 ^t = 2.

= 5

Vậy A(2;3) 0,25

Cho tứ diện đêu ABCD có cạnh băng a Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuông mặt phẳng (BCD)

và O là trung điểm của đoạn AH Gọi (a) là mặt phẳng qua O và không đi qua các điểm A,B,C và D Mặt

phẳng (a) cắt các đoạn AB, AC và AD lần lượt tại M,N và P Tìm giá trị nhỏ nhất của AM AN AP theo a : Gọi V là thể tích tứ diện ABCD.

khi đó V_ = iv ^ Vamno = AMAN 0,5

0,2 5

0,2 5 0,2 5

102

f (x) = In (x ị Vx2 ị 1) ị 2021x, a, b và c là ba số thực dương sao cho phương trình f \ịa ị b ị c) x] ị f (2020 —

3x) = 0 (1) vô nghiệm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

số

b ị bc ị > 1 Khi đó MMin = 1 khi a = b = c = 1.

Lưu ý: - Thí sinh giải cách khác, nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn chấm điểm tối đa.

- Điểm toàn bài không làm tròn

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A -( 3;0)

, B và C sao cho hai điểm

Cho tam giác ABC có AB =c BC, =a CA, =b

thỏa mãn cosb C +c.cosB =a.cot cotB C Chứng minh tam giác ABC là một tam giác vuông.

2

2021

,2022

u S

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD , đường thẳng

AD có phương trình 3 x y - = 0, đường thẳng BD có phương trìnhx - 2 y = 0, góc tạo bởi hai đườngthẳng BC và AB bằng 450 Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích hình thang ABCD

bằng 24 và điểm B có hoành độ dương.

Câu 7: (2,0 điểm)

Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ¢ ¢ ¢ ¢ thỏa mãn C A ¢ vuông góc mặt phẳng (ABCD),

biết( ; ) 6, ( ; ) 5, ( ; ) 4

Câu 8: (2,0 điểm)

Cho ba số thực không âm a b,

và c thỏa mãn a b c+ + =1. Chứng minh rằng7

2

27

ab bc ca+ + - abc „ ×

Hết

- Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIA LAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2021 – 2022

Môn thi: Toán – Bảng B HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

0,75

Để đồ thị ( )C m

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Û ( )2

có hai nghiệm phân

biệt khác - 3

( )2

trở thành uv. =u2- 2v2

2 2

é

ê = ê

ê =ê

0,75

Với

12

12

n n

Û ×êë - úû=+

Ta có b.cosC +c.cosB =a.cot cotB C

sin cos cos

12022

Vậy D( )0; 0

.Vectơ pháp tuyến của các đường thẳng AD và BD lần lượt là n =uur1 (3; 1- )

B B

D

C A

C' B'

B M

Suy ra CC¢^MK.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AK.

Ta có MH ^AK MH, ^CC ¢( vì MH Ì (MANK CC), ¢^(MANK)

)Suy ra MH ^(C AC¢ )

AC ¢= ×

Khi đó ( )1 Û S ABCD =MH AC

.Xét tam giác MAK ta có , AM =5,AK =4,MK =6

Ta có

Herong AMK

2 2

27

ab bc ca+ + - abc „ × 0,5

Lưu ý: - Thí sinh giải cách khác, nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn chấm điểm tối đa.

- Điểm toàn bài không làm tròn

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

có đúng 2022 giá trị nguyên tham

số m thỏa mãn Số thực a nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Câu 2: (5,0 điểm)

a) Phương trình (x+3 48) - x2- 8x = -x 24

trên đoạn éêë- 11; 10- ùúû có bao nhiêu nghiệm thực?

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình log 20226( x m+ ) =log 10114( x)

B + C + C + A + A+ B „ Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

®+¥

Câu 6: (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và ,, D biết AB =AD CD< , điểm B -( 1;5)

và đường thẳng BD có phương trình y = Đường thẳng : 55 D x y- - 25 0= cắt các đoạn thẳng AD CD, lầnlượt tại hai điểm M N,

sao cho BM vuông góc với BC và tia BN là phân giác trong của góc MBC· . Tìm tọa

độ điểm D , biết D có hoành độ âm.

- Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC PHỔ T HÔ N G CẤP TỈNH (BẢNG B)

NĂM HỌC 2022-2023 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 17/12/2022

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

S GI O D C V Ở GIÁO DỤC VÀ ÁO DỤC VÀ ỤC VÀ À ĐÀ O

T O ẠO GIA LAI THI CH NH TH C

ĐỀ THI CHÍNH THỨC ÍNH THỨC ỨC

(G m 08 câu, 01 trang)ồm 08 câu, 01 trang)

Câu 1 (3,0 điếm)

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = mx - m cắt đồ thị () của hàm số y = - x3 +

(m +1)x2 - m tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho OA, OB, OC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông (O

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp thỏa mãn R

[2(a + b) - c] = abV3 Chứng minh tam giác ABC đều.

cạnh bên SA vuông góc với đáy và

SA = a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB, CD và E, F

là hai điểm lần lượt thuộc hai cạnh

SB, SC.

a) Khi ES = EB và SC = 3SF, hãy tính theo a thể tích của khối đa diện BCNMEF.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đường gấp khúc MEFN theo a.

-* Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;

* Giám thị không giải thích gì thêm.

b) Gi i h phảng biến thiên ệm đúng với mọi ương trình nghiệm đúng với mọi ng trình <j trên t p s th c.ậy ố ực

4 xy +

4( x 2 +y2) + 3 = 7

Câu 6 (2,0 i m) đ) ếm)

Trong m t ph ng t a ặt phẳng tọa độ ẳng ọi đúng với mọi ộ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(0;

AB Hình chi u vuông góc c a ến thiên ủa đoạn đúng với mọi ỉnh nh D lên đúng với mọi ườngng th ng ẳng CM l i mà n 6 N thỏa mãn A đúng với mọi ểm của đoạn

bi t i m ến thiên đúng với mọi ểm của đoạn M thu c ộ đúng với mọi ườngng th ng ẳng d: x + 2y-2 = 0

Câu 7 (2,0 i m) đ) ếm)

Cho kh i chóp ố S.ABCD có áy đúng với mọi ABCD l hình vuông c nh à n 6 N thỏa mãn A ạn a,