Câu 1: (3,0 điểm) Cho hàm số có đồ thị là , với là tham số thực. Tìm giá trị của để cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt , và sao cho hai điểm có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn Câu 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình trên tập số thực. b) Phương trình có bao nhiêu nghiệm thực? Câu 3: (2,0 điểm) Tìm giá trị , biết là số tự nhiên thỏa mãn Câu 4: (2,0 điểm) Cho tam giác có thỏa mãn . Chứng minh tam giác là một tam giác vuông. Câu 5: (2,0 điểm) Cho dãy được xác định bởi . Xét dãy số với Tìm Câu 6: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho hình thang vuông tại và có đáy lớn là đường thẳng có phương trình , đường thẳng có phương trình , góc tạo bởi hai đường thẳng và bằng . Viết phương trình đường thẳng , biết diện tích hình thang bằng và điểm có hoành độ dương. Câu 7: (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ thỏa mãn vuông góc mặt phẳng biết và Tính thể tích khối lăng trụ Câu 8: (2,0 điểm) Cho ba số thực không âm và thỏa mãn Chứng minh rằng Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH (BẢNG B), NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn: Tốn ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20/02/2022 (Đề thi có 08 câu, gồm 01 trang) Họ tên thí sinh: Số báo danh: Câu 1: (3,0 điểm) (C ) , với m tham số (C ) cắt trục hoành ba điểm phân biệt A ( - 3;0) , B C cho hai thực Tìm giá trị m để B, C (C ) : x + y = điểm có điểm nằm điểm nằm ngồi đường tròn Cho hàm số y = x3 + ( 3- 2m) x2 + ( 1- 5m) x + 3m + có đồ thị m m 2 Câu 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình ( ) 3x x2 + = x2 - 6x + ( ) x + x - = x - x - 2022 b) Phương trình nhiêu nghiệm thực? Câu 3: (2,0 điểm) Tìm giá trị n , biết n số tự nhiên thỏa mãn tập số thực x3+x- ( ) + x3 + x - 2022x - x- có bao 1 22023 - C n0 + C n1 + C n2 +×××+ C nn = × n +1 2023 Câu 4: (2,0 điểm) AB = c, BC = a, CA = b Cho tam giác ABC có thỏa mãn b.cosC + c.cosB = a.cot B.cotC Chứng minh tam giác ABC tam giác vng Câu 5: (2,0 điểm) ìï u = ïï í ïï u = un + 2021un , n ẻ Ơ * n+1 (u ) 2022 Cho dãy n xác định ïïỵ n ui Sn = å × lim Sn u ( Sn ) i =1 i +1 nđ+Ơ Xột dóy s Câu 6: (2,0 điểm) với Tìm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A D có đáy lớn CD, đường thẳng AD có phương trình 3x - y = 0, đường thẳng BD có phương trình x - 2y = , góc tạo hai đường thẳng BC AB 45 Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích hình thang ABCD 24 điểm B có hồnh độ dương Câu 7: (2,0 điểm) ( D ¢ thỏa mãn C ¢ A vng góc mặt phẳng Cho hình lăng trụ ABCD.A ¢B ¢C ¢ ) ( ) ( AC = Tính thể tích khối lăng trụ c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh ABCD.A ¢B ¢C ¢ D ¢ Cho ba số thực khơng âm ab + bc + ca - 2abc „ a, b biết ) d BB ¢;CC ¢ = 6, d A; BB ¢ = 5, d A; CC ¢ = Câu 8: (2,0 điểm) ( ABCD ) , × 27 Hết - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2021 – 2022 Mơn thi: Tốn – Bảng B HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM (Hướng dẫn chấm có 05 trang) Câu Đáp án (C m ) trục Ox Phương trình hồnh độ giao điểm x3 + ( - 2m) x2 + ( 1- 5m) x + 3m + = Û ( x + 3) ( x2 - 2mx + m + 1) = éx = - Û ê êx2 - 2mx + m + = ( ) ê ë (C m ) Để đồ thị (3,0 điểm) ( ) ( ) B xB ; , C xC ; xB , xC 0,75 nghiệm phương trình ( 2) ìï x + x = 2m C ï B í ( * *) ïï xB xC = m + ỵ Ta có B, C Hai điểm (C ) : x 0,75 có điểm nằm điểm nằm ngồi đường trịn ( )( ) 2 + y2 = Û xB2 - xC2 - < Û ( xB xC ) - ( xB + xC ) + 2xB xC + < é êm < - 2 Û - 3m + 4m + < Û ê ê m>2 ê ë ( **) 2 10 m ; 2; \ * 3 7 Đối chiếu với điều kiện ( ) , ta có 2a (3,0 điểm) ( ) 3x x2 + = x2 - 6x + ( 1) Xét phương trình 3x ( x2 + 4) …0 Û x …0 ( *) Điều kiện: Đặt x2 + = u …2, 3x = v …0 Khi ( 1) 0,75 Û ( 2) cắt trục hoành điểm phân biệt có hai nghiệm phân ìï é 1- ïï ê m< ï ê ìï m2 - m - > ïï ê ïï ïï ê Û í Û í êm > + ( *) ïï m ¹ - 10 ïï ê ë ïïỵ ïïï 10 ùù m ợù bit khỏc - Gọi Điểm = u2 - 2v2 trở thành uv ổ v vữ v v2 ỗ ữ ỗ = 1- 2 ữ + u - 1= ỗ ốu ữ ứ u u (do u …2) Trang 0,5 0,25 1,0 év ê =- v ê Û Þ = u êv = ê ëu (do u …2, v …0) v = 2 Với u x + = 3x Û x + = 12x 0,75 éx = - ê Û x - 12x + = Û ê êx = + ë 0,75 x = - 2, x = + Thử lại Xét phương trình nghiệm phương trình ( 1) 0,5 x3 + x2 - = ( x2 - x - 1) 2022x +x- + ( x3 + x - 2) 2022x - x- ( 1) ìï x2 - x - = u ï í ï x +x - 2= v Đặt ïïỵ Khi phương trình ( ) trở thành ( ) ( ) 1) v( 2022 - 1) „ ( a) 0,5 u + v = u.2022v + v.2022u Û u 2022v - + v 2022u - = ( 2) Phương trình ( ) ( 2b (2,0 điểm) có nghiệm ( Û u 2022v - u ) u 2022u - = ( u - 0) é 2022u - 20220 ù …0, " u Ỵ ¡ ê ú ë û Mặt khác (Vì hàm số ( - ¥ ;+¥ ) y = 2022u đồng biến khoảng ) v u v( 2022 - 1) …0 u ( 2022 - 1) v( 2022v - 1) …0 ( b) Tương tự Suy Từ ( a) ,( b) Vậy phương trình có nghiệm thực 1 22023 - C n0 + C n1 + C n2 +×××+ C nn = ( 1) n + 2023 Xét Ta có 0,5 suy dấu " = " xảy ra, tức é 1+ êx = ê ê é éu = ê x x = ê ê ê 1- êv = Û êx3 + x - = Û êx = ê ê ê ë ë êx = ê ê ë ( 1) (2,0 điểm) 0,25 1 n! C nk = × = C nk++11 k +1 k + k !.( n - k) ! n + 1 é1 22023 - n+1 ù ( 1) Û n + 1×ëêC n+1 +C n+1 +×××+ C n+1 ûú= 2023 Khi é n+1 22023 - Û ×ê2 - 1ù = ( 2) ú û n +1 ë 2023 Trang 0,5 0,25 0,25 0,75 Xét hàm số Ta có g( n) = g( 2022) = g¢( n) = 22023 - 2023 ( ) = éêë( n + 1) ln2 - 2n+1.ln2.( n + 1) - 2n+1 - ( n + 1) * Vỡ n ẻ Ơ nờn ( n + 1) ln2 - n+1 ( n + 1) 1ù +1 ỳ ỷ ì 0,5 ổử 4ữ ữ 12ln2 - = ln ỗ > ỗ ữ ỗ ữ ốeứ g n > 0, " n ẻ Ơ Suy ( ) Khi ( ) có nghiệm n = 2022 Ta có b.cosC + c.cosB = a.cot B cotC sin A.cosB.cosC Û sin B.cosC + sinC cosB = × sin B.sinC Û sin ( B +C ) sin B.sinC = sin A.cosB.cosC ¢ (2,0 im) 2n+1 - ,n ẻ Ơ * n +1 * 0,5 0,75 ésin A = Û ê êsin B.sinC = cosB.cosC ê ë 0,75 Û cos( B +C ) = Û B +C = p × 0,5 Khi tam giác ABC vng A Từ giả thiết, suy Vì un ( un - 1) 2022 = u1 < u2 < ×××< un < ××× nên Giả sử dãy (2,0 điểm) un+1 = (u ) n bị chặn trên, tức + un , " n ẻ Ơ * (u ) n 0,5 dãy tăng $M Ỵ é ê2; +Ơ ) tha lim un = M nđ+Ơ éM = M + 2021M M = Û ê êM = lim u = +¥ 2022 Khi ú (khụng tha món) Suy nđ+Ơ n un ( un - 1) = 2022( un+1 - un ) Mặt khác 0,5 2022( un+1 - un ) 0,5 é 1 ù ú = 2022 ê - u - 1ú× un+1 - ( un+1 - 1) ( un - 1) ê ú n+1 ën û é é ù ù ú= 2022 ê1ú Sn = 2022 ê - u - 1ú ê u - 1ú× ê ú ê ú n+1 n+1 ë1 û ë û Do lim Sn = 2022 ị Vy un = nđ+Ơ Trang 0,5 A B D 0,25 C ìï 3x - y = ï Û í ïï x - 2y = Tọa độ D nghiệm hệ phương trình ỵ Vậy ( ) ìï x = ï í ïï y = ỵ D 0; Vectơ pháp tuyến đường thẳng AD BD uu r n2 = ( 1;- 2) (2,0 điểm) uu r n1 = ( 3;- 1) uu r uu r 1 · · cos n1, n2 = cosADB = Þ ADB = 450 , suy Ta có Do AD = AB · 0 Vì góc tạo hai đường thẳng BC AB 45 nên BCD = 45 ( ) 0,5 Suy D CBD vuông cân B, DC = 2AB Mặt khác SABCD = 24 Û 0,75 ( AB +CD ) AD = 24 Þ AB = Suy BD = AB = ỉ x ữ ỗ Bỗ xB ; B ữ ữ ỗ ữ ç 2ø x >0 Gọi è thuộc đường thẳng BD , B ổ ỗ8 10 10ữ ữ Bỗ ; ữ ỗ ữ ỗ 5 ữ ç è ø Vậy BD = Û ổ xB ữ 10 ữ ỗ x +ỗ = xB = ì ữ ỗ ỗ è2 ÷ ø B 0,5 Đường thẳng BC qua B vng góc với BD suy phương trình BC 2x + y - 10 = (2,0 điểm) A' 0,5 D' C' B' N K H A D M B C Gọi M , N K hình chiếu điểm A BB ¢, DD ¢ CC ¢ Trang Ta có AM ^ BB ¢, BB ¢/ / CC ¢ Suy CC ¢^ AM Tương tự AN ^ CC ¢ CC ¢^ ( MANK ) Khi Suy CC ¢^ MK Gọi H hình chiếu vng góc M AK MH Ì ( MANK ) ,CC ¢^ ( MANK ) Ta có MH ^ AK , MH ^ CC ¢( ) MH ^ (C ¢ AC ) Suy Ta có 1 ×AC ¢.SABCD = ×d B;(C ¢ AC ) SC ¢AC ( 1) 3 d B ;(C ¢ AC ) = d M ;(C ¢ AC ) = MH C¢ A ^ ( ABCD ) ( ) VC ¢.ABCD = 2VC ¢.ABC = 2VB C ¢AC Û Vì BB ¢/ / ( C ¢ AC ) nên ( ) ( ) , 0,5 20 SC ¢AC = AC AC  AC Â= ì v Khi ( 1) Û SABCD = MH AC AM = 5, AK = 4, MK = Xét tam giác MAK , ta có Herong Ta có Vậy SDAMK = VABCD A ¢B ¢C ¢D ¢ = SABCD AC ¢= MH AC AC ¢= Ta có 0,75 15 15 = MH AK Û MH = × ab + bc + ca - 2abc „ 15 20 375 = × 0,25 27 7 Û a ( b + c) + ( 1- 2a) bc „ Û a ( 1- a) + ( 1- 2a) bc „ b + c = 1- a 27 27 ( ) (2,0 điểm) Đồ thị hàm số Ta có f ( u) đoạn f ( 0) = a ( 1- a) 2ù é ê ( 1- a) ú ê0; ú ê ú ê ú ë û 0,5 đoạn thẳng „ AM - GM éa + 1- a ù ê ú= < ê ú 27 ë û 2ù é ỉư ê( 1- a) ú 1÷ ú= - 2a3 + a2 + „ max g( a) = gỗ ữ= fờ ỗ ộ0; 1ự ữ ỳ ỗ 3ữ ố ứ 27 ỷ ỳ ê ú ë û ( ) - 2a3 + a2 + ,a Ỵ với 2ù é ê ( 1- a) ú ú f ( u) „ , " u Ỵ ê0; ê 27 ú ê ú ë û g( a) = Vậy æ ö ( 1- a) b + c÷ ÷ f ( u) = a ( 1- a) + ( 1- 2a) u,0 u = bc ỗ ì ỗ ữ= AM - GM ỗ ố ữ ứ Xét hàm số 0,25 ( ) 0,75 , é0; 1ù ê ë ú û hay ab + bc + ca - 2abc „ Trang × 27 0,5 Lưu ý: - Thí sinh giải cách khác, lập luận chặt chẽ chấm điểm tối đa - Điểm tồn khơng làm trịn Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH (BẢNG B), NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn: Tốn ĐỀ THI DỰ BỊ Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20/02/2022 (Đề thi có 08 câu, gồm 01 trang) Họ tên thí sinh: Số báo danh: Câu 1: (3,0 điểm) f ( m) = Max x3 - 3x2 + 2m - é- 1; 1ù f ( m) „ a ê ú ë û Đặt Biết bất phương trình có 2022 giá trị m a nguyên tham số thỏa mãn Số thực nhỏ bao nhiêu? Câu 2: (5,0 điểm) ( x + 3) 48 - x2 - 8x = x - 24 đoạn éêë- 11;- 10ùúûcó nghiệm thực? a) Phương trình log6 ( 2022x + m) = log4 ( 1011x) b) Tìm tất cả giá trị tham số thực m để phương trình có nghiệm Câu 3: (2,0 điểm) Từ số thuộc tập hợp { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} viết ngẫu nhiên số tự nhiên gồm chữ số khác aaa a a a a + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 có dạng Tính xác suất để số viết thoả mãn điều kiện Câu 4: (2,0 điểm) A, B,C Cho tam giác ABC có ba góc nhọn thỏa mãn tan A tan B tanC + + „ tan B + tanC tanC + tan A tan A + tan B Chứng minh tam giác ABC tam giác Câu 5: (2,0 điểm) ìï u = ï í lim u ïï 3un+1.un2 = 2un3 + 3, n ẻ Ơ * u ( ) Cho dóy s n xỏc nh bi cụng thc ùợ Tớnh nđ+Ơ n Câu 6: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A D, biết AB = AD < CD, điểm B ( - 1;5) đường thẳng BD có phương trình y = Đường thẳng D : 5x - y - 25 = cắt đoạn thẳng AD, CD M, N hai điểm cho BM vng góc với BC tia BN phân giác góc · MBC Tìm tọa độ điểm D , biết D có hồnh độ âm Câu 7: (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi, tam giác ABD cạnh a, tam giác BCD · SA ^ ( ABCD ) ( P ) qua A vng góc với cân C BCD = 120 Biết SA = a Mặt phẳng SB, SC , SD M, N, P SC cắt Tính thể tích khối chóp S.AMNP Câu 8: (2,0 điểm) a, b, c 2 Cho số thực dương thỏa mãn a + b + c = Trang a2 + ab + b2 + bc + c2 + ca + … 5( a + b + c) 2 2 b + bc + a c + ca + b Chứng minh Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Cán coi thi khơng giải thích thêm a2 + 3ab + c2 + + Trang