luận văn thạc sĩ một số dạng toán số học trong trung học cơ sở

Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ OANH MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỐ HỌC TRONG TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 z Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – CƠ – TIN HỌC Nguyễn Thị Oanh MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỐ HỌC TRONG TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS Phạm Văn Quốc Hà Nội - Năm 2012 z Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS LỜI NÓI ĐẦU Số học, ngành lâu đời đầy hấp dẫn Toán học đƣợc nhà Toán học tiếng gọi là:" Bà chúa Toán học" Các toán số học làm say mê nhiều ngƣời, từ nhà toán học lỗi lạc thời đại đến đông đảo bạn yêu Toán Thế giới số, quen thuộc với đời sống thƣờng hàng ngày, giới kì lạ, đầy bí ẩn Điều lý thú nhiều mệnh đề khó Số học đƣợc phát biểu đơn giản; nhiều tốn khó giải sáng tạo với kiến thức phổ thông Số học đƣợc chia làm nhiều mảng đa dạng phong phú nhƣ: Tính chia hết, lý thuyết đồng dƣ, số nguyên tố - hợp số, phƣơng trình nghiệm ngun, số phƣơng… Tuy nhiên, khn khổ luận văn mình, em xin phép trình bày số dạng phù hợp với kiến thức trình độ học sinh THCS, đặc biệt trọng phần chuyên đề phƣơng trình nghiệm nguyên Để Thầy giáo nhƣ em học sinh coi tài liệu tham khảo hữu ích phục vụ cho việc ôn thi vào trƣờng chuyên, lớp chọn phần, em đƣa kiến thức bản, sau phân loại tập theo dạng đồng thời đƣa ví dụ tiêu biểu cuối đề xuất tập tƣơng tự Vì thời gian có hạn trình độ cịn hạn chế nên khóa luận em khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận đƣợc bảo thầy giáo Hà Nội, ngày 22 tháng 09 năm 2012 Học viên Nguyễn Thị Oanh z Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng 1: SỰ CHIA HẾT VÀ CHIA CÕN DƢ 1.1 Những kiến thức cần thiết 1.2 Các dạng toán thƣờng gặp 1.3 Một số tập tự luyện 24 Chƣơng 2: SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ 24 2.1 Các định nghĩa 24 2.2 Các định lý 24 2.3 Các dạng toán thƣờng gặp 25 2.4 Một số tập tự luyện 31 Chƣơng 3: ƢỚC CHUNG LỚN NHẤT - BỘI CHUNG NHỎ NHẤT 33 3.1 Ƣớc chung lớn 33 3.2 Bội chung nhỏ 34 3.3 Các toán ƣớc chung lớn 35 3.4 Các toán bội chung nhỏ 39 3.5 Một số tập tự luyện 40 Chƣơng 4: SỐ CHÍNH PHƢƠNG 42 4.1 Kiến thức cần thiết 42 4.2 Bài tập số phƣơng 45 4.3 Một số tập tự luyện 56 Chƣơng 5: PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 58 5.1 Phƣơng trình vô định bậc hai ẩn 58 5.2 Phƣơng trình bậc hai hai ẩn 66 5.3 Một số phƣơng trình nghiệm nguyên khác cách giải 85 KẾT LUẬN 93 TÀI LIỆU THAM KHẢO 94 z Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS Chƣơng 1: SỰ CHIA HẾT VÀ CHIA CÕN DƢ Trong tập hợp số nguyên với phép tính cộng, trừ, nhân, chia; phép chia thực Đối với phép chia thực số bị chia số chia có quan hệ chia hết Việc nghiên cứu quan hệ có tác dụng lớn việc giải tập toán học rèn luyện tư giải tốn Vì vậy, chun đề chuyên đề quan trọng Số học 1.1 NHỮNG KIẾN THỨC CẦN THIẾT 1.1.1 Định nghĩa  Định lý Với hai số nguyên tùy ý a b ( b  ) tồn cặp số nguyên q; r cho: a = bq + r   r  b   Định nghĩa chia hết: Cho hai số nguyên a b, b  Nếu tìm đƣợc số nguyên q mà a = bq ta nói a chia hết cho b Kí hiệu: a  b Hoặc nói: b chia hết a Kí hiệu: b a Khi đó, ta nói: a bội b; b ƣớc a 1.1.2 Các tính chất chia hết  Tính chất 1: a  a với a   Tính chất 2: ab   a  c b c   Tính chất 3: 0 b với b   Tính chất 4: a  b  a  b  a  b  b a  a  b  Tính chất 5: a  b   a  b   Tính chất 6: am     a  b  m b m  z Đề tài: Một số dạng tốn Số học THCS  Tính chất 7: Nếu hai số a, b chia hết cho m mà số không chia hết cho m a  b khơng chia hết cho m Hệ quả: Nếu tổng hai số chia hết cho m hai số chia hết cho m số cịn lại chia hết cho m  Tính chất 8: Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m  Tính chất 9: am   ab mn b n   Tính chất 10: Nếu am   a  BCNN  m, n  an  Hệ quả: Nếu a  m a  n , mà  m,n   a  mn   Tính chất 11: Nếu  ab  m , mà  b,m   a  m  Tính chất 12: Nếu a  b ka  b với số nguyên k  Hệ quả: a  b  a n  b với n   *  Tính chất 13: am     ka  lb  m với k, l số nguyên b m  1.1.3 Các dấu hiệu chia hết 1) Dấu hiệu chia hết chia hết cho (hoặc 5): Một số chia hết cho (hoặc 5) chữ số tận chia hết cho (hoặc 5) 2) Dấu hiệu chia hết chia hết cho (hoặc 25):Một số chia hết cho (hoặc 25) số tạo hai chữ số tận chia hết cho (hoặc 25) 3) Dấu hiệu chia hết chia hết cho (hoặc 125): Một số chia hết cho (hoặc 125) số tạo ba chữ số tận chia hết cho (hoặc 125) 4) Dấu hiệu chia hết chia hết cho (hoặc 9): Một số chia hết cho (hoặc 9) tổng chữ số chia hết cho (hoặc 9) 5) Dấu hiệu chia hết chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số "đứng vị trí lẻ" tổng chữ số " đứng vị trí chẵn", kể từ trái qua phải chia hết cho 11 1.1.4 Một số kết thƣờng sử dụng z luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.so Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS 1) Trong k số nguyên liên tiếp ln có số chia hết cho k 2) Khi chia số nguyên n cho số nguyên m khác nhận m giá trị dƣ từ đến m  3) Một số tự nhiên tổng chữ số có số dƣ chia cho (hoặc 9) 4) Một số phƣơng chia cho (hoặc 4) có số dƣ 1, chia cho (hoặc 8) có số dƣ 0; hoặc  a  n n 5) a  b  a  b  n   * 2n 1  b2n 1  a  b  n   *  a  b   B(a)   1 n  a  b   B(a)  bn n n bn 1.1.5 Đồng dƣ thức  Định nghĩa: Nếu hai số a b chia cho c ( c  ) có số dƣ ta nói a đồng dƣ với b theo mơđun c Kí hiệu: a  b  mod c  Vậy: a  b  mod c   a  bc  Một số tính chất: Với a, b,c,d  m   * a) a  a  mod m  a  b  mod m  b  c  mod m   a  c  mod m  b) a  b  mod m  ; c  d  mod m   a  c  b  d  mod m  c) a  b  mod m  ; c  d  mod m   ac  bd  mod m  Nếu d ƣớc chung dƣơng a, b, m a  b  mod m   a b m   mod  d d d d) a  c  mod m  ; c ƣớc chung a b  c, m   a b   mod m  c c e) a  b  mod m  ;n   *  ac  bc  mod mc  1.2 CÁC DẠNG TỐN THƢỜNG GẶP Nhìn chung, loại tốn chia hết phong phú đa dạng, đồng thời có nhiều cách giải khác Song, chia số loại toán thường gặp sau: 1.2.1 DẠNG I Giải tập thông thƣờng cấu tạo số luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.so z luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.so Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS Bài tập thuộc dạng thường tốn "Tìm số" “điền chữ số” mà điều kiện ràng buộc có liên quan tới tính chất dấu hiệu chia hết đòi hỏi học sinh phải nắm tính chất dấu hiệu chia hết Để làm dạng này, ta thường sử dụng tính chất sau:   Ta có: m  a1.a a n với a i i  1,n đôi nguyên tố Khi đó: A m  Aa1;Aa ; ;Aa m Ví dụ 1: Hãy thay chữ số vào chữ a, b để số Giải 2a44b180  2a44b phải chia hết cho 10 + Vì 2a44b 10  b  + Vì 2a4409   a     10  a 9   a  19 bội số 180 Mà a chữ số nên  a   10 nên a +1 =  a  Vậy a = 8; b = 0, ta đƣợc số: 28440 Thử lại: 28440 : 180 = 158 Ví dụ 2: Tôi nghĩ hai số tự nhiên liên tiếp, có số chia hết cho Tổng hai số số có đặc điểm sau: a) Có chữ số b) Là bội số c) Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng đơn vị bội số d) Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng chục chia hết cho Bạn đốn xem tơi nghĩ hai số nào? Giải Gọi hai số cho là: N N + Theo ta có: N + N +1 = abc (a, b, c chữ số) (1) (2) (3) (4) abc5 a + c chia hết cho a + b chia hết cho Từ (2)  c = c = Từ (1)  abc lẻ Do c = 5, thay vào (3) ta đƣợc:  a  59  a  Thay a = vào (4) ta đƣợc:   b   b  0;4;8 + Nếu b = N + ( N +1) = 405  N  202 , N + = 203 (loại khơng có số chia hết cho 9) + Nếu b = N   N  1  445  N  222 N + = 223 (loại) + Nếu b = 485 = N + (N +1)  N  242 N + = 243 (Thỏa mãn 243 9 ) Vậy hai số cần tìm là: 242; 243 Ví dụ 3: Tìm chữ số đẳng thức: luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.so z luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.so Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS Giải Đặt 23673xy674592117233400  A     10 10 Vì 109  108 Mà 108 = 9.3 2  109  9  A9  Tổng chữ số A = 72 +x + y chia hết cho   x  y 9        (1) 10 10 10 Mặt khác: 109   109   109  110.108  109  110  A110  A11 Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 11, ta có:  y  x  811 Từ (1) (2)  x  y = (2) LỜI BÌNH: Trên tốn sử dụng dấu hiệu chia hết Tuy nhiên, số có dấu hiệu chia hết, để giải tốn ta dùng cấu tạo số kết hợp tính chất lập luận cách linh hoạt Dưới hai ví dụ minh họa cho tốn khơng thể sử dụng dấu hiệu chia hết Ví dụ 4: Biết vừa chia hết cho 7; cho 11 cho 13 Tìm số đó? Giải Vì số a7b8c9 vừa chia hết cho 7, cho 11 cho 13 Mà 7, 11, 13 số đôi nguyên tố nên a7b8c9 phải chia hết cho 7.11.13 = 1001 thƣơng tìm đƣợc số có chữ số Gọi số có chữ số là: def d  a  Khi ta có: def 1001  a7b8c9  defdef  a7b8c9   e   c f  b   Vậy số phải tìm là: 879879 Kiểm tra lại ta thấy kết Ví dụ 5: Hãy thay chữ số vào chữ x, y số N = chia hết cho 13 Giải Ta có: N = 3.10  x.10  y.10  (1) với  x, y   N = B(13) +  x  3y  2  3 x  3y  2 chia hết cho 13 Mà  x, y    x  3y   38 Nên x  3y   13;26 Ta xét hai trƣờng hợp: cho N x 1 Do y nguyên nên x +1 chia hết cho 3  x 2,5,3 Tƣơng ứng y 3;2;1 + Nếu x + 3y + = 13  y   luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.so z luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.so Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS + Nếu x + 3y +2 = 26  3y  24  x  x chia hết cho  x  0,3,6,9 Tƣơng ứng: y  9;7;6;5 Vậy ta đƣợc kết sau: 3020303; 3050203; 3080103; 3000803; 3030703; 3060603; 3090503 1.2.2 DẠNG II Bài tập chứng minh chia hết trực định nghĩa tính chất Bài tập loại chủ yếu toán dạng A chia hết cho m, A số cụ thể biểu thức chứa chữ m số cụ thể Thông thường ta phân tích m thành thừa số đơi ngun tố Rồi chứng minh A chia hết cho thừa số Ví dụ 1: Cho A = Chứng minh rằng: n số tự nhiên khơng chia hết cho A chia hết cho 285 Giải Do 285 = 5.57 Trƣớc hết ta chứng minh A chia hết cho 5:         2 2 Ta có: n   n  n   n  n   n    =  n  2 n  1 n  1 n  2 + n  Do n không chia hết ta thấy n có dạng 5k  5k  + Nếu n = 5k +1 (n - 1)  + Nếu n = 5k - (n + 1)  + Nếu n = 5k + (n - 2)  + Nếu n = 5k - (n + 2)  Vậy  n  2 n  1 n  1 n   chia hết cho với n không chia hết cho Vậy, ta đƣợc A chia hết cho (1) Ta cần chứng minh thêm: A 57   2n 6n n n Thật vậy: 11   121  64 121  64   A57 Từ (1) (2)  A 285  dpcm  (2) NHẬN XÉT: Nhận thấy n  chia hết cho với n lẻ 112n  26n chia hết cho 185 = 112  26 với n lẻ,mà (8, 185) =1, ta tạo tốn sau: Cho A = Chứng minh rằng: A chia hết cho 1480 với n số tự nhiên lẻ Với cách làm vậy, ta tự đặt tốn tương tự sau: Chứng minh rằng:  n n 1) A = 46  296.13  n  n 354 với n 10 luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.soluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.so.hoc.trong.trung.hoc.co.so z