(LUẬN văn THẠC sĩ) một số vấn đề về ổn định của phương trình hàm và các dạng toán liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ THU HẰNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Thu Hằng MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội - 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời nói đầu Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực quan trọng Giải tích tốn học Hiện nay, có nhiều cách tiếp cận phương trình hàm với nhiều mục tiêu nghiên cứu khác nghiên cứu định tính (xác định số đặc trưng hàm số) nghiên cứu tính định lượng (ước lượng số nghiệm, xác định dạng nghiệm cụ thể), nghiên cứu nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục, xác định nghiệm liên tục hay gián đoạn Trong đó, tính ổn định nghiệm phương trình hàm số hướng nghiên cứu tiếp cận phương trình hàm Năm 1940, nhiều buổi chuyên đề câu lạc toán học trường đại học Washington, S M Ulam đưa nhiều câu hỏi số lượng lớn vấn đề chưa giải Trong đó, ơng có đưa câu hỏi có liên quan đến tính ổn định đồng cấu sau: Cho G1 , G2 hai nhóm, metric nhóm d(., ) tương ứng Với  > cho trước, tồn số δ > cho hàm h : G1 → G2 cho bất phương trình: d(h(xy), h(x)h(y)) < δ, ∀x, y ∈ G1 có tồn đồng cấu H : G1 → G2 cho d(h(x), H(x)) <  với ∀x ∈ G1 ? Câu hỏi ông đặt tiền đề cho loạt vấn đề nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm, mở hướng điều tra mà ngày ta gọi vấn đề ổn định khái niệm tính ổn định tốn học xem vấn đề nhìn nhận rộng sau: thay đổi chút giả thuyết định lý ta khẳng định vấn đề gần đúng? Với phương trình hàm tổng quát câu hỏi đưa sau: giả thuyết nghiệm phương trình có khác với nghiệm phương trình trước khơng? Tương tự ta thay phương trình bất phương trình nghiệm bất phương trình cho có gần với nghiệm phương trình ban đầu i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời nói đầu Nếu câu trả lời ta nói phương trình Cauchy ổn định Những dạng câu hỏi sở cho tốn tính ổn định Luận văn "Một số vấn đề ổn định phương trình hàm dạng tốn liên quan" trình bày số khái niệm phương trình hàm Cauchy (phương trình hàm cộng tính, hàm mũ, hàm nhân tính, hàm logarit) phương trình hàm D’ Alambert đồng thời đưa dạng tổng quát nghiệm tổng quát phương trình hàm lớp hàm liên tục, gián đoạn trường số phức Từ đưa kết tính ổn định phương trình hàm Bố cục luận văn gồm chương Chương 1: Cơ sở lý thuyết Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm phương trình hàm Cauchy (phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm mũ, phương trình hàm nhân tính, phương trình hàm logarit) phương trình hàm D’ Alambert đồng thời đưa dạng tổng quát nghiệm phương trình lớp hàm liên tục, hàm không liên tục lớp hàm trường phức hai phương trình hàm Chương 2: Tính ổn định phương trình hàm Mục đích chương trình bày tính ổn định phương trình hàm trình bày chương Tính ổn định phương trình hàm nghiên cứu từ năm 1940 mà đặt móng cho vấn đề câu hỏi S M Ulam Năm 1941, D H Hypers người trả lời câu hỏi Ulam, ông cho định lý nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm cộng tính khơng gian Banach Định lý dãy hàm xấp xỉ cộng tính cho trước, tồn hàm cộng tính xấp xỉ dãy hàm cộng tính cho trước đó, hồn tồn tính tốn trực tiếp hàm cộng tính từ hàm cho trước Sau 30 năm sau đó, vào năm 1977, làm nghiên cứu sinh cho trương đại học California, Th M Rassias đưa điều kiện làm yếu điều kiện dạng sai phân Cauchy định lý Hypers Định lý có sức ảnh hưởng lơn đến nhà tốn học nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm.Trong hội nghị khoa học Quốc tế, Th M Rassias đưa câu hỏi để hồn thiện định lý mình, sau Z Gajda người hồn thiện định lý ông Năm 1979, J Baker, J Lawrence F Zorzitto chứng minh xét loạt hàm xác định nửa nhóm có tính chất xấp xỉ mũ (nhân tính) bị chặn hàm mũ (nhân ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời nói đầu tính) Tương tự việc xét tính ổn định phương trình hàm Cauchy trên, Forti chứng minh định lý tính ổn định hàm logarit xác định nửa nhóm phương pháp trực tiếp cách chứng minh định lý Hypers.Tiếp theo, chương tiếp tục đưa kết nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm cosin (hay cịn gọi phương trình hàm d’ Alambert), tỉnh ổn định nghiên cứu nhà tốn học J Baker P Găvruta Đồng thời, ta mở rộng nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm Wilson (Af g ), (Agf ) , phương trình hàm (Af gf g ), (Af ggf ) có liên quan đến phương trình hàm d’ Alambert iii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Bảng kí hiệu tập số nguyên tập số nguyên không âm tập số thực dương tập số thực tập số thực khác không tập số thực không âm tập số thực dương tập số phức F trường vô hướng, R C Rez phần thực số phức z = a + bi Imz phần ảo số phức z = a + bi   với x >  1 signx = với x =   −1 với x < Z Z+ Z∗+ R R∗ R+ R∗+ C [0, 1] ]0, 1] = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1} = {x ∈ R|0 < x ≤ 1} ]0, 1[ = {x ∈ R|0 < x < 1} µ(E) độ đo tập E số phức liên hợp z z¯ v (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Mục lục Lời mở đầu i Lời cảm ơn iv Bảng kí hiệu v CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Phương trình hàm Cauchy 1.1.1 Phương trình hàm cộng tính 1.1.2 Phương trình hàm mũ 1.1.3 Phương trình hàm logarit 1.1.4 Phương trình hàm nhân tính 1.2 Phương trình hàm d’ Alambert TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2.1 Tính ổn định phương trình hàm Cauchy 2.1.1 Tính ổn định phương trình hàm cộng tính 2.1.2 Tính ổn định phương trình hàm mũ 2.1.3 Tính ổn định phương trình hàm logarit 2.1.4 Tính ổn định phương trình hàm nhân tính 2.2 Tính ổn định phương trình hàm d’ Alembert 2.2.1 Tính ổn định phương trình hàm cosin (A) 2.2.2 Tính ổn định phương trình hàm (Af g ), (Agf ), (Agg ) 2.2.3 Tính ổn định phương trình hàm (Af gf g ) (Af ggf ) 1 18 23 26 29 36 36 36 48 50 52 53 53 60 71 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 78 vi (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này, chúng tơi đề cập đến hai dạng tốn lý thuyết phương trình hàm phương trình hàm Cauchy phương trình hàm D’ Alambert Chúng đóng vai trị nịng cốt để giải lớp hàm khác xác định hàm số đại số lượng giác tương ứng 1.1 Phương trình hàm Cauchy Trong lý thuyết phương trình hàm, phương trình hàm Cauchy nghiên cứu từ lâu tính chất hữu hiệu việc ngành khoa học tự nhiên Chúng xin đưa số dạng phương trình Cauchy sau: f (x + y) = f (x) + f (y), f (xy) = f (x) + f (y), (Phương trình hàm mũ) f (xy) = f (x) + f (y), (Phương trình hàm logarit) f (xy) = f (x)f (y), 1.1.1 (Phương trình hàm cộng tính) (Phương trình hàm nhân tính) Phương trình hàm cộng tính Định nghĩa 1.1.1 Một hàm f : R → R với R tập số thực, gọi hàm cộng tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính: f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1) Phương trình hàm (1.1) xem xét A.M Legendre (1791) C F Gauss (1890) sau 30 năm A L Cauchy (1821) người tìm cơng thức nghiệm tổng qt Phương trình có ý nghĩa (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT đặc biệt tốn học Nó bắt gặp hầu hết ngành học toán học, khởi đầu phép tính hàm số Lớp hàm cộng tính liên tục Định lí 1.1.2 Cho f : R → R hàm cộng tính Nếu f liên tục f có dạng: f (x) = ax, ∀x ∈ R (1.2) với a số thực Hơn nữa, f hàm xác định với x, y không âm dương liên tục f có dạng (1.2) Chứng minh Trước hết, với x = y = từ (1.1) ta thu được: f (0) = Cho y = −x thay vào (1.1) ta thu được: f (0) = f (x) + f (−x) = ⇔ f (−x) = −f (x) vậy, f hàm lẻ Bây giờ, ta f đồng hữu tỷ nghĩa với x ∈ R số r số hữu tỷ thì: (1.3) f (rx) = rf (x) Thật vậy, từ (1.1) phương pháp quy nạp ta thu được: f (x1 + x2 + + xn ) = f (x1 ) + f (x2 ) + + f (xn ) với xk = x, (k = 1, 2, , n) thay vào phương trình ta có: f (nx) = nf (x), ∀n ≥ (1.4) Hơn nữa, với số n nguyên âm, sử dụng f hàm lẻ (1.4) ta thu được: f (nx) = −f (−nx) = −(−n)f (x) = nf (x) Do (1.4) với số n nguyên Với số hữu tỷ r có dạng r = m n m = nr Ta có: f (nrx) = f (mx) ⇔ nf (rx) = mf (x) m ⇔ f (rx) = f (x) = rf (x), n ∀x ∈ R (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ⇒ (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT Như f hữu tỷ Do lấy f (1) = c cho x = thay vào (1.3) ta có: f (r) = rf (1) = cr ∀r ∈ Q Từ suy f hàm tuyến tính tập số hữu tỷ Mặt khác, giả sử f hàm cộng tính, liên tục tập số thực Với số thực x tùy ý ln tồn dãy {rn } số hữu tỷ với rn → x Do f cộng tính nên f tuyến tính tập số hữu tỷ Nghĩa f (rn ) = arn , ∀n ∈ N Sử dụng tính liên tục hàm f ta có: f (x) = f ( lim rn ) = lim arn = ax n→∞ n→∞ Nhận xét: Như vậy, từ định lý ta thấy hàm cộng tính có tính liên tục tuyến tính nghĩa đồ thị hàm cộng tính liên tục có dạng đường thẳng (khơng thẳng đứng) qua gốc tọa độ Hơn nữa, tính liên tục hàm f (1.1) làm yếu chí điều kiện liên tục trở thành liên tục điểm hàm f có dạng tuyến tính Điều G Darboux chứng minh định lý sau Định lí 1.1.3 Nếu f liên tục điểm x0 ∈ R cho trước f thỏa mãn tính cộng tính liên tục R Chứng minh Thật vậy, theo giả thiết ta có: lim f (x) = f (x0 ), x→x0 với x1 ∈ R ta có: f (x) = f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) ∀x ∈ R Từ suy ra: lim f (x) = lim f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) x→x1 x→x1 = f (x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) = f (x1 ) Vì x1 ∈ R tùy ý nên f hàm liên tục tập R (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com , |δA(x + y) − δA(x) − δA(y)| = lim − − n→∞ n n n δ = 0, n→∞ n ≤ lim tương đương với |f (x) − A(x)| < δ ∀x ∈ X 39 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM Như biết, từ định lý (2.1.1) ta xây dựng hàm cộng tính thỏa mãn (2.3) phương pháp trực tiếp công thức (2.2) từ hàm cho trước f thỏa mãn (2.1) Điều trở thành công cụ tuyệt vời để nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm nhiều biến từ hàm cho trước Ngay sau Hypers cho ta khẳng định trả lời câu hỏi Ulam, số lượng lớn báo đưa bàn câu hỏi Ulam định lý Hypers Khơng có lý để dạng sai phân f (x + y) − f (x) − f (y) bị chặn biểu diễn (2.1) Đóng góp cho quan điểm này, làm việc nghiên cứu sinh trường đại học California Berkley năm 1977, Th M Rassias cố gắng làm yếu số điều kiện cho dạng sai phân Cauchy Định lý sau Th M Rassias có sức ảnh hưởng lớn đến nhà tốn học nghiên cứu tốn tính ổn định phương trình hàm phát biểu sau: Định lí 2.1.3 (Th M Rassias) Cho X, Y hai không gian Banach, ánh xạ f : X → Y thỏa mãn f (tx) liên tục theo ẩn t với x cố định Giả sử tồn số θ ≥ p ∈ [0, 1) cho: ||f (x + y) − f (x) − f (y)|| ≤ θ, ||x||p + ||y||p ∀x, y ∈ X (2.6) Khi tồn ánh xạ tuyến tính T : X → Y cho: ||f (x) − T (x)|| 2θ ≤ , p ||x|| − 2p ∀x ∈ X (2.7) Chứng minh Ta có khẳng định sau: n−1 X ||[f (2n x)]/2n − f (x)|| ≤ θ 2m(p−1) ||x||p (2.8) m=0 với số nguyên n, số θ ≥ Ta chứng minh (2.8) phương pháp quy nạp theo n: • Trường hợp n = 1: từ (2.6) cho y = x, theo giả thiết tồn số θ ≥ số p cho ≤ p < thỏa mãn: ||f (2x)/2 − f (x)|| ≤ θ, ||x||p ∀x, y ∈ X (2.9) suy (2.8) với trường hợp n = 40 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM • Giả sử (2.8) với n, ta chứng minh trường hợp n + Thật vậy: Từ (2.8) ta có: n−1 X ||[f (2n 2x)]/2n − f (2x)|| ≤ θ 2m(p−1) ||2x||p m=0 đó: || [f (2n+1 x)] n − f (2x)|| X 2n+1 ≤ θ 2m(p−1) ||x||p m=0 Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có: || 2n+1 [f (2n+1 x)] − f (x)|| ≤ || 2n+1 [f (2n+1 x)] − [f (2x)]||, n X + || f (2x) − f (x)|| ≤ θ||x||p 2m(p−1) m=0 Do n X ||[f (2n+1 x)]/2n+1 − f (x)|| ≤ θ 2m(p−1) ||x||p m=0 (2.8) với n nên ta suy ra: ||[f (2n x)]/2n − f (x)|| 2θ ≤ ||x||p − 2p chuỗi n P 2m(p−1) hội tụ đến m=0 (2.20) với ≤ q < Tuy nhiên với m > n > − 2p || 1 1 [f (2m x)] − n [f (2n x)]|| = n || m−n [f (2m x)] − [f (2n x)]|| 2m 2 2θ < 2n(p−1) ||x||p − 2p Do lim || n→∞ 1 [f (2m x)] − n [f (2m x)]|| = m 2 Vì Y khơng gian Banach nên khơng gian đầy đủ, dãy {[f (2n x)]/2n } hội tụ Đặt: [f (2n x)] n→∞ 2n T (x) = lim 41 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM suy ||f [2n (x + y)] − f [2n x] − f [2n y]|| ≤ θ(||2n x||p + ||2n y||p ), = 2np θ(||x||p + ||y||p ) Vì ||f [2n (x + y)] − f [2n x] − f [2n y]|| ≤ 2n(p−1) θ(||x||p + ||y||p ) 2n hay ||f [2n (x + y)] − f [2n x] − f [2n y]|| ≤ lim 2n(p−1) θ(||x||p + ||y||p ) n→∞ n→∞ 2n lim hay f [2n (x + y)] − lim f [2n x] − lim f [2n y]|| = n→∞ 2n n→∞ n→∞ || lim hay ||T (x + y) − T (x) − T (y)|| = 0, với x, y ∈ X hay T (x + y) = T (x) + T (y), với x, y ∈ X Như vậy, ta ln có T (x + y) = T (x) + T (y), với x, y ∈ X T (rx) = rT (x) với số hữu tỉ r Cố định x0 ∈ X ρ ∈ Y ∗ (không gian đối ngẫu Y) Xét ánh xạ: R t 7−→ ρ(T (tx)) = φ(t) φ : R → R, thỏa mãn tính chất φ(a + b) = φ(a) + φ(b), φ đồng cấu nhóm Hơn ta suy φ hàm Borel Đặt φ(t) = lim ρ(f (2n tx0 ))/2n φn (t) = ρ(f (2n tx0 ))/2n φn (t) hàm n→∞ liên tục Vì φ(t) giới hạn hàm liên tục, φ(t) hàm Borel Ta biết φ : Rn → Rn hàm thỏa mãn φ đồng cấu nhóm, φ(x + y) = φ(x) + φ(y), φ hàm đo φ liên tục Nhận xét: Mệnh đề ta thay Rn nhóm abel compact địa phương tách Vì φ(t) hàm liên tục Với a ∈ R, a = lim rn , {rn } dãy số hữu tỉ Do đó: n→∞ φ(at) = φ(t lim rn ) = lim φ(trn ) = ( lim rn )φ(t) = aφ(t) n→∞ n→∞ r→∞ Vì φ(at) = aφ(t) với a ∈ R Do T (ax) = aT (x) với a ∈ R T ánh xạ liên tục Từ (2.20) ta thu 2θ ||[f (2n x)]/2n − f (x)|| ≤ lim , p n→∞ − 2p n→∞ ||x|| lim 42 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM tương đương với ||T (x) − f (x)|| ≤ ||x||p , với = 2θ − 2p (2.21) ta có (2.17) Ta chứng minh T ánh xạ liên tục Giả sử tồn ánh xạ khác, ký hiệu g : X → Y cho T (x) 6≡ g(x), x ∈ X , tồn số 1 ≥ q cho ≤ q < ||g(x) − f (x)|| ≤ 1 ||x||p (2.22) Sử dụng bất đẳng thức tam giác (2.21) ta có: ||T (x) − g(x)|| ≤ ||T (x) − f (x)|| + ||f (x) − g(x)|| ≤ ||x||p + 1 ||x||q Do 1 ||T (x) − g(x)|| = || [T (nx)] − [g(nx)]|| = ||T (nx) − g(nx)|| n n n ≤ (||nx||p + 1 ||x||q ) = np−1 ||x||p + nq−1 1 ||x||q n Do lim ||T (x) − g(x)|| = với x ∈ X T (x) ≡ g(x) với n→∞ x ∈ X Kết sau hệ định lý trường hợp hai không gian Banach thay không gian R Kết 2.1.4 Nếu f : R → R ánh xạ thực thỏa mãn: | f (x + y) − f (x) − f (y) |≤ δ(| x |p + | y |p ) (2.23) với δ > 0, p ∈ [0, 1), với x, y ∈ R, tồn hàm cộng tính A : R → R cho: | f (x) − A(x) |≤ 2δ | x |p , p 2−2 với x ∈ R Kết 2.1.5 p = kết (2.1.4) cho ta định lý (2.1.1) Nhận xét: Như vậy, so với định lý (2.1.1) Hypers, dạng sai phân Cauchy định lý (2.1.3) Th Rassias không đòi hỏi điều kiện bị chặn Hơn nữa, ta dễ dàng nhận thấy định lý cho kết trường hợp ≤ p < Trong suốt nhiều năm sau Th Rassias trả lời câu hỏi 43 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM Ulam ổn định phương trình hàm cộng tính Cauchy, hội nghị khoa học Quốc tế lần thứ 27, Rassias đưa câu hỏi việc mở rộng định lý trường hợp p ≥ Z Gajda trả lời câu hỏi cách đưa định nghĩa ánh xạ cộng tính T Ơng nhận rằng: nguyên tắc chứng minh phụ thuộc vào dãy { f (2n x) : n ∈ N} 2n dãy hội tụ với x ∈ X T : X → Y cho công thức f (2n x) n→∞ 2n T (x) := lim x∈X (2.24) ánh xạ tuyến tính xấp xỉ hàm f Lý luận áp dụng trường hợp p > để hoàn thiện chứng minh định lý ta thay đổi định nghĩa ánh xạ T Phát biểu chứng minh hoàn thiện định lý Gajda đưa [5] Kết 2.1.6 (Gajda) Cho X không gian định chuẩn Y không gian Banach Giả sử p > số thực đặt f : X → Y ánh xạ mà tồn số  > cho: ||f (x + y) − f (x) − f (y)|| ≤ (||x||p + ||y||p ) với x, y ∈ X Khi giới hạn A(x) = lim 2n f (2−n x) n→∞ tồn với x ∈ X A : R → R, ánh xạ cộng tính thỏa mãn: ||f (x) − A(x)|| ≤  2p − với x ∈ X Chứng minh Nhận xét: Trong định lý (2.1.4) cho ta kết trường hợp p ∈ [0, 1) đến ta chứng minh trường hợp p > sau: Đặt x T (x) := lim 2n f ( n ) với x ∈ X n→∞ Ta chứng minh tính hội tụ dãy {2n f ( Đặt x )} Thật vậy: 2n x x y (2.23), ta thu được: x x ||f (x) − 2f ( )|| ≤ 2|| ||p = 21−p ||x||p 2 ∀x ∈ X 44 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM Do với n ∈ N với x ∈ X ta ln có: ||f (x) − 2n f ( x x x x x x )|| ≤ ||f (x) − 2f ( )|| + 2||f ( ) − 2f ( )|| + + 2n−1 ||f ( n−1 ) − 2f ( n )||, n 2 2 2 x p 1−p p 1−p x p n−1 1−p ≤ ||x|| + 2.2 || || + + 2 || n−1 || , 2 = (21−p + 22(1−p) + + 2n(1−p) )||x||p , ≤ δ||x||p , (2.25) δ tổng chuỗi hội tụ sau đây: ∞ X 2n(1−p)  = n=1 2 −2 2p Cố định x ∈ X chọn m, n ∈ N cho m > n Khi ||2m f ( x x x x ) − 2n f ( n ) = 2n ||2m−n f ( m−n n ) − f ( n )|| m 2 2 x p n(1−p) p n δ||x|| ≤ δ|| n || = 2 cho n → ∞ vế trái trở thành nhỏ tùy ý Từ tính đầy đủ Y suy dãy x {2n f ( n )|n ∈ N} hội tụ với x ∈ X Do T định nghĩa Tuy nhiên thỏa mãn điều kiện: ||f (x) − T (x)|| ≤ 2p  −2 từ (2.25) cho n → ∞ x y Cuối cùng, thay x n y n ||f (x + y) − f (x) − f (y)|| ≤ 2 (||x||p + ||y||p ) nhân hai vế với 2n ta có: ||2n f ( x+y x y ) − 2n f ( n ) − 2n f ( n ) ≤ 2n(1−p) (||x||p + ||y||p ), n 2 với x, y ∈ X Khi cho n → ∞ vế phải bất đẳng thức tiến tới ánh xạ T đồng thời chứng tỏ T cộng tính Kết (2.1.4) khơng cịn trường hợp p = [5] cách đưa phản ví dụ Trong [5], Gajda xây dựng ví dụ sau hàm liên tục f : R → R thỏa mãn: | f (x + y) − f (x) − f (y) |≤ (| x | + | y |) ∀x, y ∈ R (2.26) không tồn số δ ∈ [0, ∞) khơng tồn hàm cộng tính T : R → R cho: |f (x) − T (x)| ≤ δ|x|, ∀x ∈ R (2.27) 45 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM  Cố định số  > Đặt µ := , ta định nghĩa hàm φ : R → R thỏa mãn: φ(x) =    µ ≤ x < +∞, µx − < x < 1,   −µ − ∞ < x ≤ −1, Rõ ràng φ hàm liên tục |φ(x)| ≤ µ, xác định công thức: f (x) := ∞ X 2−n φ(2n x), ∀x ∈ R Do hàm f : R → R x ∈ R n=0 Vì f xác định chuỗi hàm liên tục hội tụ nên f hàm liên tục Hơn nữa, ∞ X µ |f (x)| ≤ = 2µ x ∈ R n n=0 Nếu x = y = (2.27) trường hợp tầm thường Bước tiếp theo, ta giả sử θ < |x| + |y| < tồn số N ∈ N cho: 2N < |x| + |y| < N −1 |2N −1 x| < 1, |2N −1 y| < |2N −1 (x + y)| < 2N −1 (|x| + |y|) < 1, ∀n ∈ {0, 1, , N − 1} số 2n x, 2n y, 2n (x + y) nằm khoảng (−1, 1) Hơn nữa, φ tuyến tính khoảng nên ta rằng: φ(2n (x + y)) − φ(2n x) − φ(2n y) = với số n = 0, 1, , N − Ta có: ∞ X |f (x + y) − f (x) − f (y)| |φ(2n (x + y)) − φ(2n x) − φ(2n y)| ≤ (|x| + |y|) 2n (|x| + |y|) ≤ n=N ∞ X k=0 ∞ X 3µ 3µ ≤ = 6µ =  2k 2N (|x| + |y|) 2k k=0 Cuối cùng, ta giả sử |x| + |y| ≥ Từ tính giới nội hàm f ta có: |f (x + y) − f (x) − f (y)| ≤ 6µ =  (|x| + |y|) ta kết luận f thỏa mãn điều kiện (2.27) với ∀x, y ∈ R Ta chứng minh phương pháp phản chứng, giả sử tồn số δ ∈ [0, 1) 46 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM hàm cộng tính T : R → R cho (2.28) Do từ tính liên tục hàm f ta suy hàm T bị chặn lân cận điểm Hơn nữa, tồn số c ∈ R cho T (x) = cx Do |f (x) − cx| ≤ δ|x| với x ∈ R suy f (x) | ≤ δ + |x| với x ∈ R x Mặt khác chọn N ∈ N đủ lớn cho N µ > δ + |x| Chọn số x khoảng (0, N −1 ) ta có 2n x ∈ (0, 1) với n ∈ {0, 1, , N − 1} Do với x | ta có: ∞ ∞ n=0 n=0 f (x) X φ(2n x) X µ2n x = = N µ > δ + |x| ≥ x 2n x 2n x hay f (x) = ∞ x→0 x lim mâu thuẫn Điều phải chứng minh Rassias Semrl [23] xây dựng hàm liên tục f cho bởi: ( xlog(x + 1) x > 0, f (x) = xlog|x − 1| x < 0, thỏa mãn (2.25) với x, y ∈ R với: f (x) = ∞ x→∞ x lim Từ suy tập hợp   | f (x) − A(x) | : x 6= |x| tập không giới nội với ánh xạ tuyến tính A : R → R xác định A(x) = cx với c ∈ R Nói cách khác, kết tương tự (2.1.4) không ˘ Kết tổng quát tương tự có Th M Rassias p Serlm [23] Kết 2.1.7 Cho β : R+ × R+ → R+ ánh xạ dương cấp p 6= X không gian định chuẩn Y không gian Banach, giả sử hàm f : X → Y thỏa mãn: ||f (x + y) − f (x) − f (y)|| ≤ β(||x||, ||y||) 47 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM với x, y ∈ X Khi tồn ánh xạ cộng tính A : X → Y cho: ||f (x) − A(x)|| ≤ δ||x||p với x ∈ X , đó: δ= 2.1.2    β(1, 1) − 2p β(1, 1)   p −2 với p < với p > Tính ổn định phương trình hàm mũ Năm 1979, J Baker, J Lawrence F Zorzitto đưa loạt định lý tính ổn định, chứng minh hàm xấp xỉ mũ tồn hàm mũ hàm ln bị chặn Cụ thể, J Baker tổng quát kết tiếng sau: Định lí 2.1.8 Cho (S, +) nửa nhóm tùy ý, giả sử f : S → C hàm xấp xỉ mũ, nghĩa tồn số không âm  cho ||f (x + y) − f (x)f (y)|| < , ∀x, y ∈ S hàm f bị chặn bởi: |f (x)| ≤ 1+ √ + 4δ ∀x ∈ X hàm mũ với x, y ∈ S 1+ √ + 4δ nghĩa 2 −  = δ  > Giả sử tồn a ∈ S cho ||f (x0 )|| >  nghĩa α := ||f (x0 )|| −  > ta có: Chứng minh Đặt  = ||f (2x0 )|| = ||f (x0 )2 − (f (x0 )2 − f (2x0 ))||, ≥ ||f (x0 )2 || − ||f (x0 )2 − f (2x0 )||, ≥ ||f (x0 )2 || − δ, = ( + α)2 − δ, = ( + α) + (2 − 1)α + α2 , >  + 2α Bằng phương pháp phản chứng, ta chứng minh ||f (2n x0 )|| >  + (n + 1)α, ∀n ∈ Z+ 48 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (*) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM Thật vậy, giả sử (∗) chứng minh với n, ta chứng minh (∗) trường hợp n + ||f (2n+1 x0 )|| = ||f (2n x0 )2 − (f (2n x0 )2 − f (2n+1 x0 ))||, ≥ ||f (2n x0 )2 || − ||(f (2n x0 )2 − f (2n+1 x0 ))||, ≥ ||f (2n x0 )||2 − δ, ≥ ( + (n + 1)α)2 − δ, =  + 2(n + 1)α + α2 (n + 1)2 , >  + (n + 2)α Như vậy, theo phương pháp quy nạp, ta có ||f (2n x0 )|| >  + (n + 1)α với số n ∈ N Hơn nữa, với x, y, z ∈ S , ||f (x + y + z) − f (x + y)f (z)|| ≤ δ ||f (x + y + z) − f (x)f (y + z)|| ≤ δ nên ||f (x + y)f (z) − f (x)f (y + z)|| ≤ 2δ Do ||f (x + y)f (z) − f (x)f (y)f (z)|| ≤ ||f (x + y)f (z) − f (x)f (y + z)|| + ||f (x)f (y + z) − f (x)f (y)f (z)|| ≤ 2δ + ||f (x)||δ Như vậy, với x, y, z ∈ S ta có ||f (x + y) − f (x)f (y)||.||f (z)|| ≤ 2δ + ||f (x)||δ Trong trường hợp cụ thể, ta cho z = 2n x0 ta ||f (x + y) − f (x)f (y)|| ≤ (2δ + ||f (x)||δ) \ ||f (x)||δ với x, y ∈ S ∀n ∈ N Cho n → +∞ ta có f (x + y) = f (x)f (y) ∀x, y ∈ X, nghĩa f hàm mũ Tiếp theo xin giới thiệu số kết tính ổn định phương trình hàm mũ miền bị hạn chế Gần đây, S M Jung chứng minh định lý áp dụng để có tính chất tiệm cận với phương trình hàm mũ 49 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM Kết 2.1.9 Cho E không gian với chuẩn thực (hoặc phức) cho trước số d > Giả sử f : E → C thỏa mãn bất phương trình sau: |f (x + y) − f (x)f (y)| ≤  với số  > với x, y ∈ E, ||x|| ≥ d ||y|| ≥ d Nếu tồn số C cho ||x|| ≤ d|f (x)| ≤ C sup f bị chặn f hàm mũ Trong báo tương tự, Baker đưa ví dụ để kết sai đại số khơng có tính chất chuẩn nhân tính Với  > 0, chọn δ > cho |δ − δ | =  f : C → C ⊕ C xác định sau: f (λ) = (eλ , δ), λ ∈ C Khi đó, với chuẩn khơng nhân tính cho ||(λ, µ)|| = max{|λ|, |µ|}, ta có ||f (λ + µ) − f (λ)f (µ)|| =  ∀λ, µ ∈ C f khơng bị chặn f (λ + µ) = f (λ)f (µ) với số λ, µ ∈ C 2.1.3 Tính ổn định phương trình hàm logarit Nửa nhóm S gọi left (right) amenable tồn giá trị biến thiên trái (phải) không gian Banach tất hàm với giá trị phức bị chặn định nghĩa S Một miền giá trị trái (phải) hàm tuyến tính giá trị bất biến trái (phải) bị chặn, nhận giá trị với hàm Kết 2.1.10 (Szekelyhidi [14, 15]) Cho S nửa nhóm left amenable M giá trị bất biến trái không gian tất hàm biên giá trị phức định nghĩa S Cho f : S → C ánh xạ thỏa mãn: ||f (xy) − f (x) − f (y)|| ≤  với x, y ∈ S hàm L : S → C định nghĩa bởi: L(x) = My [f (xy) − f (y)] với x ∈ S hàm logarit thỏa mãn: ||f (x) − L(x)|| ≤  với x ∈ S 50 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan(LUAN.van.THAC.si).mot.so.van.de.ve.on.dinh.cua.phuong.trinh.ham.va.cac.dang.toan.lien.quan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com