luận văn thạc sĩ một số dạng toán cực trị trong lớp hàm mũ và hàm hyperbolic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HƯỜNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP HÀM MŨ VÀ HÀM HYPERBOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HƯỜNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP HÀM MŨ VÀ HÀM HYPERBOLIC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 84 60 113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2018 download by : skknchat@gmail.com i Mục lục MỞ ĐẦU Một số kiến thức liên quan đến hàm mũ hyperbolic 1.1 Tính chất hàm mũ hyperbolic 1.1.1 Tính chất hàm mũ 1.1.2 Tính chất hàm hyperbolic 1.2 Đẳng thức sinh hàm mũ hàm hyperbolic 1.3 Một số bất đẳng thức chứa đạo hàm tích phân quan trọng ii 1 10 Bất đẳng thức cực trị lớp hàm mũ hàm hyperbolic 2.1 Bất đẳng thức lớp hàm mũ hàm hyperbolic 2.2 Các dạng toán cực trị sinh hàm mũ hyperbolic 27 27 47 Một số dạng toán liên quan 3.1 Các phương trình đại số giải phương pháp hàm hyperbolic 3.2 Khảo sát số lớp phương trình chứa hàm mũ hàm hyperbolic 59 59 67 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 download by : skknchat@gmail.com ii MỞ ĐẦU Chuyên đề hàm siêu việt (hàm mũ logarit) đề cập lớp 12 bậc trung học phổ thơng Vì ứng dụng hàm mũ logarit không đề cập lớp 10 11 Đặc biệt, giảm tải chương trình, lớp hàm hyperbobic không đưa vào SGK Các hàm khảo sát chương trình bồi dưỡng HSG lớp chuyên Toán phục vụ kỳ thi HSG quốc gia, Olympic khu vực quốc tế Trong kì thi học sinh giỏi tốn cấp bậc THPT Olympic khu vực quốc tế, toán liên quan tới hàm mũ hàm hyperbolic thường xuyên đề cập Những dạng toán thường xem thuộc loại khó phần kiến thức sâu sắc hàm mũ hàm hyperbolic khơng nằm chương trình thức giáo trình Đại số Giải tích bậc trung học phổ thơng Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề hàm mũ hàm hyperbolic, chọn đề tài luận văn “Một số dạng toán cực trị lớp hàm mũ hàm hyperbolic” Luận văn nhằm tổng hợp số tính chất hàm mũ hàm hyperbolic mối quan hệ chúng Tiếp theo, xét toán cực trị, khảo sát số lớp phương trình, bất phương trình số dạng tốn đại số có sử dụng tính chất hàm mũ, hàm ngược hàm logarit hàm hyperbolic Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Một số kiến thức liên quan đến hàm mũ hyperbolic Chương Bất đẳng thức cực trị lớp hàm mũ hàm hyperbolic Chương Một số dạng toán liên quan Luận văn sử dụng số dạng toán tập từ tài liệu [1]-[9] số download by : skknchat@gmail.com iii đề thi Olympic liên quan đến hàm hàm mũ hàm hyperbolic năm gần Luận văn hoàn thành với hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Tốn thầy trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, huyện Vĩnh Bảo, thành phố Hải Phịng tạo điều kiện cho tác giả hồn thành tốt nhiệm vụ học tập cơng tác Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2018 Tác giả luận văn Trần Thị Hường download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic Chương Một số kiến thức liên quan đến hàm mũ hyperbolic 1.1 1.1.1 Tính chất hàm mũ hyperbolic Tính chất hàm mũ Xét hàm số mũ dạng f (x) = ax với < a 6= * Tập xác định: D f = R * Tập giá trị: I f = R+ * Tính đơn điệu: Hàm số f (x) = ax đồng biến R a > nghịch biến R < a < Nhận xét 1.1 Đồ thị hàm số mũ có tiệm cận ngang trục Ox phía −∞ a > tiệm cận ngang trục Ox phía +∞ < a < Tiếp theo, ta xét số đẳng thức lớp hàm mũ Tính chất 1.1 (Cơng thức tính đạo hàm) (ex )0 = ex ; (eu )0 = u0 eu , (ax )0 = ax ln a; (au )0 = u0 au ln a Tính chất 1.2 (Đồng thức lớp hàm mũ) Cho < a 6= Khi đó: download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic a) a f (x) = ag(x) ⇔ f (x) = g(x) b) Giả sử b > Khi a f (x) = b ⇔ f (x) = loga b c) a f (x) > ag(x) ⇔ (a − 1)( f (x) − g(x)) > d) Giả sử b > Khi a f (x) > b ⇔ (a − 1)( f (x) − loga b) > 1.1.2 Tính chất hàm hyperbolic Trong phần này, ta trình bày số tính chất hàm mũ đặc biệt, hàm hyperbolic sinh e±x Tính chất 1.3 (Hàm sin hyperbolic) Hàm sin hyperbolic sinh x = ex − e−x hàm số lẻ R sinh x ≥ 0, ∀x ≥ 0, sinh x < 0, ∀x < (sinh x)0 = cosh x; (sinh u)0 = u0 cosh u Ta có (sinh x)0 = cosh x ≥ 1, ∀x ∈ R nên hàm số sinh x đồng biến R Do (sinh x)00 = sinh x nên hàm số sinh x lồi (0; +∞) lõm (−∞; 0) Tính chất 1.4 (Hàm cosin hyperbolic) Hàm cosin hyperbolic ex + e−x cosh x = hàm số chẵn R Ta có (cosh x)0 = sinh x; (cosh u)0 = u0 sinh u (cosh x)0 = sinh x nên hàm số cosh x đồng biến (0; +∞) nghịch biến (−∞; 0) Do (cosh x)00 = cosh x ≥ 1, ∀x ∈ R cosh x lồi R download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic Tính chất 1.5 (Hàm tang hyperbolic) Hàm tang hyperbolic sinh x ex − e−x x = = cosh x ex + e−x hàm số lẻ R Ta có (tanh x)0 = u0 ; (tanh u) = cosh2 x cosh2 u Do (tanh x)0 = > 0, ∀x ∈ R cosh2 x nên hàm số x đồng biến R Tính chất 1.6 (Hàm cotang hyperbolic) Hàm cotang cosh x ex + e−x coth x = = sinh x ex − e−x hàm số lẻ R \ {0} Ta có (coth x)0 = −1 −u0 ; (coth u) = sinh2 x sinh2 u < 0, ∀x ∈ R\ {0} nên hàm số coth x đồng biến sinh2 x khoảng (−∞; −1) (1; +∞) (coth x)0 = − Tính chất 1.7 (Công thức khai triển tổng hiệu) cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y, (1.1) cosh (x − y) = cosh x cosh y − sinh x sinh y, (1.2) sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y, (1.3) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic sinh (x − y) = sinh x cosh y − cosh x sinh y, (1.4) (x + y) = x + y , + x y (1.5) (x − y) = x − y − x y (1.6) Chứng minh Ta có ex + e−x ey + e−y ex − e−x ey − e−y cosh x cosh y + sinh x sinh y = + 2 2 = ex+y + e−x−y = cosh(x + y) Từ đó, suy (1.1) Tiếp theo, cơng thức (1.1) thay y −y, ta thu cosh (x − y) = cosh x cosh(−y) + sinh x sinh(−y) = cosh x cosh y − sinh x sinh y Ta nhận (1.2) Các cơng thức cịn lại (1.3)-(1.6) chứng minh tương tự Từ công thức cộng ta dễ dàng chứng minh công thức nhân sau Tính chất 1.8 (Cơng thức khai triển góc nhân hai nhân ba) sinh (2x) = sinh x cosh x, cosh (2x) = cosh2 x + sinh2 x = 2cosh2 x − = + 2sinh2 x, (2x) = x , + tanh2 x sinh (3x) = 4sinh3 x + sinh x, download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic cosh (3x) = 4cosh3 x − cosh x Tính chất 1.9 (Cơng thức biến đổi tích thành tổng) [cosh(x + y) + cosh(x − y)] , sinh x sinh y = [cosh(x + y) − cosh(x − y)] , sinh x cosh y = [sinh(x + y) + sinh(x − y)] cosh x cosh y = Tính chất 1.10 (Cơng thức biến đổi tổng thành tích) x−y x+y cosh , 2 x+y x−y cosh x − cosh y = sinh sinh , 2 x−y x+y cosh , sinh x + sinh y = sinh 2 x+y x−y sinh x − sinh y = cosh sinh , 2 sinh(x + y) x + y = , cosh x cosh y sinh(x − y) x y = cosh x cosh y cosh x+ cosh y = cosh 1.2 Đẳng thức sinh hàm mũ hàm hyperbolic Trong phần ta xét số dạng tốn áp dụng tính chất hàm mũ hàm hyperbolic Bài tốn 1.1 Tính giá trị hàm hyperbolic điểm ln ln Lời giải Theo định nghĩa, ta có sinh(ln 2) = eln − e−ln = download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic x→0 x→0 x sin x x f (x) = lim ≤ 1, x→0 sin x ⇒ | f (0)| = |a1 + 2a2 + · · · + nan | ≤ Bài toán 1.10 Cho a số thực dương Chứng minh ex > xa ⇔ a < e với x > ex Lời giải Xét hàm f (x) = a , x > x Ta có f (x) → ∞ x → x → ∞ Do tồn giá trị cực tiểu f x0 Theo định lí Fermat ta có f (x0 ) = ex0 x0−a 1−a = x0 ea Giá trị nhỏ x = a f (a) = a Do a ex > xa ⇔ a < e, x > Bài tốn 1.11 Cho f hàm có đạo hàm cấp liên tục đoạn [0; 1], thỏa mãn f (0) = f (0) = f 00 (0) = f (1) = f 00 (1) = f (1) = Chứng minh tồn c ∈ [0; 1] cho f 000 (c) ≥ 24 Lời giải Hãy xem xét mở rộng chuỗi Taylor điểm x = x = : download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic 20 f 00 (0) f 000 (ξx ) x + x , f 00 (1) f 000 (ηx ) f (x) = f (1) + f (1)(x − 1) + (x − 1)2 + (x − 1)3 với ≤ ξx ≤ x; x ≤ ηx ≤ f (x) = f (0) + f (0)x + Kết hợp với giả thiết, ta có f (x) = f 000 (ξx ) x , f 000 (ηx ) (x − 1)3 f (x) = + ta thấy tồn ξ ; η cho f 000 (ξ ) + f 000 (η) = 48 Như vậy, số f 000 (ξ ), f 000 (η) lớn 24 Chọn x = Vậy tồn c ∈ [0; 1] để f 000 (c) ≥ 24 Bài toán 1.12 Cho hàm số f khả vi [0; 1] cho f (0) = 0, f (1) = Chứng 0 minh tồn số phân biệt a, b thuộc (0; 1) cho f (a) f (b) = Lời giải Xét hàm số g(x) = f (x) + x − g khả vi [0; 1] Ta có g(0) = −1 < g(1) = > nên tồn số c ∈ (0; 1) cho g(c) = Do f (c) + c − = hay f (c) = − c Áp dụng định lý Lagrange cho f đoạn [0; c] [c; 1] thì: f (c) − f (0) + Tồn a ∈ (0; c) cho = f (a) c−0 f (1) − f (c) + Tồn b ∈ (c; 1) cho = f (b), nên 1−c f (c) − f (c) (1 − c)c f (a) f (b) = = = c 1−c c(1 − c) 0 Vậy tồn số phân biệt a, b thuộc (0; 1) cho f (a) f (b) = Bài toán 1.13 Cho hàm f : R → R hàm C3 Chứng minh tồn a ∈ R cho f (a) f (a) f 00 (a) f 000 (a) ≥ download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic 21 Lời giải Nếu giá trị f (a), f (a), f 00 (a); f 000 (a) ta có điều phải chứng minh Ta giả sử giá trị f (x), f (x), f 00 (x), f 000 (x) âm hay dương với x Giả sử f 00 (x) > 0, f (x) > 0, (nếu f 00 (x) < ta thay f (x) thành − f (x), f (x) < ta thay f (x) f (−x) Từ f 00 (x) > ta có f (x) hàm tăng, mặt khác f 000 (x) > điều cho thấy f (x) hàm lồi Khi ta có f (x + a) > f (x) + a f 00 (x), ∀x ∈ R Cho x cố định lấy a đủ lớn, ta có f (x) > 0, ∀x ∈ R Với lập luận tương tự ta có f (x) > f 00 (x) > f (x) > 0, ∀x ∈ R Do tồn a ∈ R cho f (a) f (a) f 00 (a) f 000 (a) ≥ f (x) = e f (x)−g(x) , ∀x g0 (x) f (0) = g(2018) = Tìm số c lớn cho f (2018) > c Bài toán 1.14 Cho hàm số f , g thỏa mãn điều kiện f (x) = e f (x)−g(x) , ∀x hay f (x).e− f (x) = g0 (x).e−g(x) Từ ta có g0 (s) e− f (x) = e−g(x) , ∀x ∈ R Lời giải Ta có Xét hàm số h(x) := e− f (x) − g0 (x).e−g(x) = a với a số Khi ta có h(0) = h(2018), kết hợp với giả thiết ta e−1 − e−g(0) = e− f (2018) − e−1 Do e− f (2018) = 2e−1 − e−g(0) < 2e−1 = e−1+ln Vậy ta chọn số c lớn c = −1 + ln thỏa mãn điều kiện f (2018) > c Bài toán 1.15 Chứng minh ab + ba > 1, ∀a > 0, b > download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic 22 Lời giải - Bất đẳng thức hiển nhiên số a b lớn - Ta xét giá trị a, b ∈ (0; 1) Thật vậy, đặt a = − c, b = − d; c, d ∈ (0; 1) Ta xét hàm số sau f (x) = (a − cx)d , x ∈ [0; 1] Áp dụng định lí Lagrange tồn x0 ∈ (0; 1) cho: (1 − c)d = − cd < − cd (1 − cx0 )1−d Từ ab + ba = 1−c 1−d 1−c 1−d (1 − c)(1 − d) + > + = + > c d (1 − d) − cd − cd − cd (1 − c) Bài toán 1.16 Cho f : R → R hàm lớp C3 cho f , f , f 00 , f 000 số dương Hơn ta giả sử f 000 (x) ≤ f (x), ∀x ∈ R Chứng minh f (x) < f (x), ∀x ∈ R Lời giải Ta nhận thấy, từ giả thiết ta có lim f (x) = lim f 00 (x) = x→−∞ x→−∞ Thật vậy, theo định lí giá trị Lagrange, tồn ξn ∈ (−n2 ; −n) cho f (−n2 ) − f (−n) = (n − n2 ) f (ξn ) < Bằng giả thiết giới hạn f f −∞ tồn giới hạn không âm Ta giả sử phản chứng lim f (x) > Để có giới hạn −∞ từ ta có x→−∞ = −∞ (mâu thuẫn) Do ta có lim f (x) = x→−∞ download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic luan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolicluan.van.thac.si.mot.so.dang.toan.cuc.tri.trong.lop.ham.mu.va.ham.hyperbolic 23 Lập luận tương tự, ta có lim f 00 (x) = x→−∞ Vậy theo bổ đề, ta có f (x) < f (x), ∀x Bài toán 1.17 Cho f : [0; 1] → R hàm liên tục [0; 1] khả vi khoảng (0; 1) thỏa mãn ≤ f (x) ≤ f (x), ∀x ∈ (a; b) Chứng minh f đồng Lời giải Xét g := [0; 1] → R hàm xác định g(x) = e−2x f (x) Khi g0 (x) = e−2x ( f (x) − f (x)) ≤ Do g hàm giảm Mặt khác, g(0) = 0, g ≥ 0, nên ta có g ≡ hay f ≡ Bài toán 1.18 Chứng minh sin(ax) sin(bx)  2 a a 1− ≤ sup