1181 một số bất đẳng thức đối với hàm lượng giác hàm hyperbolic và áp dụng luận văn tốt nghiệp

B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯÍNG ĐẠI HOC QUY NHƠN NGUYEN CÔNG HUY MËT SO BAT ĐANG THỨC ĐOI VỴI HÀM LƯĐNG GIÁC, HÀM HYPERBOLIC VÀ ÁP DỤNG LUŠN VĂN THẠC SĨ TỐN HOC Bình Định - Năm 2021 B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯÍNG ĐẠI HOC QUY NHƠN NGUYEN CÔNG HUY MËT SO BAT ĐANG THỨC ĐOI VỴI HÀM LƯĐNG GIÁC, HÀM HYPERBOLIC VÀ ÁP DỤNG Chun ngành: Phương pháp toán sơ cap Mã so: 8460113 LUŠN VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC Người hướng dan: PGS.TS ĐINH THANH ĐỨC Bình Định - Năm 2021 LÍI CAM ĐOAN Tụi xin cam oan nđi dung luên Mởt so bat thfíc đoi vỵi hàm lưđng giác, hàm hyperbolic áp dnng” thân thực hi»n theo logic riêng hướng dan PGS.TS Đinh Thanh Đác Các n®i dung ket sả dụng luªn văn đeu có trích dan thích nguon goc rõ ràng Bình Định, tháng năm 2021 Hoc viên thực hi»n Nguyen Công Huy i Mnc lnc MÐ ĐAU 1 MËT SO KIEN THỨC CHUAN B± 1.1 Hàm so lượng giác-Hàm hyperbolic .4 1.2 Định nghĩa hàm lượng giác, hàm hyperbolic tőng quát .9 1.3 Các trung bình hai bien 13 1.4 Khai trien hàm lượng giác hàm hyperbolic thành chuoi 14 BAT ĐANG THỨC ĐOI VỴI HÀM LƯĐNG GIÁC, HÀM HYPERBOLIC VÀ ÁP DỤNG 16 2.1 M®t so bat đȁng thác đoi với hàm lượng giác 16 2.2 Áp dụng 28 2.3 M®t so bat đȁng thác đoi với hàm hyperbolic 34 2.4 Áp dụng .44 2.5 Bat đȁng thác liên h» giǎa hàm lượng giác hàm hyperbolic 49 2.6 Áp dụng .56 BAT ĐANG THỨC ĐOI VỴI HÀM LƯĐNG GIÁC VÀ HÀM HYPERBOLIC MÐ RËNG VÀ ÁP DỤNG 60 3.1 M®t so bat đȁng thác 60 3.2 Áp dụng .67 Ket luªn .71 Tài li»u tham khảo 72 MÐ ĐAU Vào the kỉ 16, nhà toán hoc Châu Âu bat đau tạo nhǎng bước tien mà không can biet đen nhǎng nơi khác the giới, tới mác ngày M®t nhǎng bước tien phát trien lượng giác Do nhu cau cap thiet ve định hướng vě đo xác cho nhǎng khu vực r®ng lớn, lượng giác phát trien thành m®t ngành lớn tốn hoc Cùng với xuat hi»n hình hoc vào the kỉ 19, hình hoc hyperbolic Nhǎng lý thuyet ve hàm lượng giác hàm Hyperbolic có m®t vị trí quan trong tốn hoc giải tích hàm, tốn dụng, hình hoc, tính tích phân, giải phương trình vi phân tuyen tính, Do đó, khơng phải ngau nhiên mà bat đȁng thác lượng giác nhà tốn hoc the giới quan tâm cơng bo nhieu cơng trình tạp chí tốn hoc Journal of Mathematical Inequalities; Mathematical Inequalities and Applications, Cụ the, đau tiên toán hoc hi»n đại phải ke đen giáo sư người Trung quoc Ling Zhu, m®t nhǎng nghiên cáu làm nên tên tuői ông vi»c nghiên cáu bat đȁng thác Jordan, Redheffer, Wilker Shafer-Fink m®t so bat đȁng thác đoi với hàm lượng giác hàm hyperbolic khác ([8],[10]) Và với giáo sư Liu Jianjun người Trung Quoc, nghiên cáu lĩnh vực Toán dụng, có đóng góp vi»c nghiên cáu bat đȁng thác lượng giác có ([5]) Ngồi ra, cịn có rat nhieu nhà Tốn hoc khác Riku Klén, M.Visuri, M Vuorinen, Xiaohui Zhang ([6],[7]), Nhǎng toán ve bat đȁng thác đoi với hàm lượng giác, hàm hyperbolic nhǎng dạng toán thường g°p ,nhǎng dạng tốn rat khó đoi với hoc sinh trung hoc phő thơng, thường dạy m®t so trường chun Do vi»c giảm tải chương trình phő thơng nên tài li»u ve bat đȁng thác đoi với hàm lượng giác, hàm hyperbolic viet Đe có m®t nhìn tőng quan chi tiet tőng ket ket đạt ve bat đȁng thác đoi với hàm lượng giác, hàm hyperbolic dụng giải tốn có liên quan đen van đe này, tơi chon đe tài "M®t so bat đȁng thác đoi với hàm lượng giỏc, hm hyperbolic v ỏp dng" Luên "Mđt so bat đȁng thác đoi với hàm lượng giác, hàm hyperbolic áp dụng" gom ba chương Chương Mët so kien thfíc chuan bị Trong chương này, chúng tơi sě giới thi»u ve định nghĩa, tính chat quan hàm lượng giác , hàm lượng giác ngược, hàm hyperbolic, hàm hyperbolic ngược, mở r®ng chúng Đong thời, nhac lại định nghĩa trung bình so hoc, trung bình nhân, trung bình logarit, trung bình identric Chương Bat thfíc đoi vỵi hàm lưđng giác; hàm hyperbolic áp dnng Trong chương này, sě trình bày chi tiet bat thác đoi với hàm lượng giác, hàm hyperbolic quan trong; bat đȁng thác liên h» giǎa hàm lượng giác hàm hyperbolic; với nhǎng tªp áp dụng Chương Bat thfíc đoi vỵi hàm lưđng giác, hàm hyperbolic mð rëng áp dnng Trong chương này, chúng tơi sě trình bày chi tiet bat thác đoi với hàm lượng giác; hàm hyperbolic mở r®ng áp dụng Luªn văn thực hi»n hồn thành Trường Đại hoc Quy Nhơn hướng dan PGS.TS Đinh Thanh Đác Qua muon dành lời cảm ơn chân thành sâu sac đen PGS TS Đinh Thanh Đác - giảng viên hướng dan thực hi»n đe tài luªn văn Thay người định hướng, tạo moi đieu ki»n thuªn lợi nhat cho tơi nhǎng nhªn xét q báu đe tơi có the hồn thành luªn văn với hi»u cao nhat Tôi xin phép gải lời cảm ơn chân thành đen quý thay cô giảng dạy lớp Phương pháp toán sơ cap, trường Đại hoc Quy Nhơn tồn the q thay Khoa Tốn - Thong kê trường Đại hoc Quy Nhơn, nhǎng người cho tơi kien thác, quan tâm, đ®ng viên, nhi»t tình giúp tơi suot q trình hoc tªp thời gian thực hi»n đe tài Cuoi tơi xin phép gải lời cảm ơn đen gia đình nhǎng người bạn quan tâm, giúp đng viờn tụi suot quóng ng hoc têp va qua M°c dù rat co gang hoc hỏi, tìm tịi nghiên cáu q trình hồn thành luªn văn, hạn che ve thời gian v trỡnh đ nờn luên van khụng trỏnh khỏi nhǎng thieu sót Rat mong nhªn góp ý quý thay cô bạn đoc đe luªn văn hồn thi»n Bình Định, ngày tháng năm 2021 Hoc viên thfic hi»n Nguyen Công Huy Chương MËT SO KIEN THỨC CHUAN B± Đe chuȁn bị cho chương tiep theo, ta can nam lại kien thác ve định nghĩa, tính chat quan hàm lượng giác , hàm lượng giác ngược, hàm hyperbolic, hàm hyperbolic ngược, mở r®ng chúng Ngồi ra,chúng ta cịn phải biet cơng thác mở r®ng chuoi đoi với hàm lượng giác hàm hyperbolic đe nham mục đích đánh giá bat đȁng thác chương tiep theo Đong thời, chúng tơi trình định nghĩa trung bình so hoc, trung bình nhân, trung bình logarit, trung bình đong nhat ([1],[3],[4],[6],[12],[13]) 1.1 Hàm so lưñng giác-Hàm hyperbolic Định nghĩa 1.1.1 Quy tac đ°t tương moi so thực x với so thực sin x sin :R → R x ›→ y = sin x goi hàm so sin Kí hi»u y = sin x Hàm so y = sin x có tính chat sau - Có tªp giá trị: [−1; 1] - Là hàm so lẻ - Là hàm so tuan hồn với chu kì 2π π - Đong bien moi khoảng + k2π; π2 + k2π − nghịch bien moi khoảng π 3π 2+ k2π; + k2π , k ∈ Z Định nghĩa 1.1.2 Quy tac đ°t tương moi so thực x với so thực cos x cos :R → R x ›→ y = cos x goi hàm so cosin Kí hi»u y = cos x Hàm so y = cos x có tính chat sau: - Có tªp giá trị: [−1; 1] - Là hàm so chȁn - Là hàm so tuan hồn với chu kì 2π - Đong bien moi khoảng (−π + k2π; k2π) nghịch bien moi khoảng(k2π; π + k2π) , k ∈ Z - (cos x)′ = − sin x Định nghĩa 1.1.3 Hàm so tang xác định công thác sin x y = 0) cos(cos x /= x Kí hi»u y = tan x Hàm so y = tan x có tªp xác định D = R \ π + kπ, k ∈ Z Hàm so y = tan x có tính chat sau: - Có tªp giá trị: R - Là hàm so lẻ - Là hàm so tuan hồn với chu kì π π −π - Đong bien moi khoảng ( + kπ; + kπ), k ∈ Z 2 - (tan x)′ = = + tan2 x cos x Định nghĩa 1.1.4 Hàm so cotang xác định công thác cos x y = 0) sin (sin x /= x Kí hi»u y = cot x Hàm so y = tan x có tªp xác định D = R \ {kπ, k ∈ Z} Hàm so y = cot x có tính chat sau - Có tªp giá trị: R - Là hàm so lẻ - Là hàm so tuan hoàn với chu kì π - Nghịch bien moi khoảng (kπ; π + kπ), k ∈ Z - (cot x)′ = = −(1 + cot2 x) −sin2 x Định lý 1.1.5 [1]Giả sủ hàm so y = f (x) xác đành, đong bi»n ho¾c nghàch bien liên tực m®t khoảng X Khi khoảng Y giá trà tương đương hàm so đó, ton hàm ngược x = g(y) hàm đong bien ho¾c nghàch bien, liên tực khoảng Theo Định lý 1.1.5, ta định nghĩa hàm lượng giác ngược hàm lượng giác y = sin x; y = cos x; y = tan x; y = cot x sau Định nghĩa 1.1.6 [4] π π Hàm so y = sin x hàm đong bien, liên tục − ; Khi ton 2 hàm ngược y = arcsin x xác định sau π y= , arcsin x ⇔ x = sin y, |x| ≤ 1, |y| ≤ ∫x arcsin √ Định nghĩa 1.1.7 [4] dt, |x| ≤ 1.1 − t2 Hàm so y = cosx hàm nghịch bien, liên tục [0; π] Khi ton hàm ngược y = arccos x xác định sau y x ⇔ x = cos y, |x| ≤ 1, |y|π ≤ = arccos , arccos x ∫ dt, |x| ≤ 1√ = − t x