Luận văn một số bất đẳng thức về hàm lồi và ứng dụng

I HC THãI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC o0o U T ầ 0A MậT Sẩ T ã T Һ€M LÇI Ѵ€ ὺПǤ DƯПǤ n ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ Sž T0•П ҺÅເ TҺ•I ПǤUƔ–П, 10/2018 „I HÅC TH•I NGUY–N TRìNG I HC KHOA HC o0o U T ầ 0A MậT Sẩ T ã T M LầI DÖПǤ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lulu lu uả : ữ Ă 0Ă s Đ M số: 8460113 LU T S T0ã Iã0 I ìẻ D S.TS U T TU Tế TãI U, 10/2018 iii Mử lử Ê kỵ iằu M Ưu ữ m lỗi Đ emie adamad 1.1 m lỗi mở iá ѵ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Һeгmiƚe Һadamaгd 1.2 1.1.1 Đ emie adamad m lỗi 1.1.2 yờ ờnn adamad m lỗi kÊ ѵi Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Һeгmiƚe ệpguguny v i hn n gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ὺпǥ döпǥ ເõa ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Һeгmiƚe Һadamaгd 14 1.2.1 ὺпǥ dưпǥ ƚг0пǥ ¡пҺ ǥi¡ ເ¡ເ ǥi¡ ƚгà ƚгuпǥ ь¼пҺ 14 1.2.2 ὺпǥ dưпǥ ເҺὺпǥ miпҺ mëƚ sè ь§ƚ ¯пǥ ữ ẳ 0Ă ổ 17 ữ m lỗi su dử 21 2.1 m J -lỗi 21 2.1.1 Һ m lỗi ả 21 2.1.2 Һ m J -lỗi 23 2.2 m s-lỗi 26 2.2.1 ắa ẵ dử 26 2.2.2 Tẵ Đ ừa m s-lỗi 28 2.3 Đ emie adamad m s-lỗi 33 2.3.1 Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Һeгmiƚe Һadamaгd 33 2.3.2 Mở số Đ mợi ữủ iá lê ứ Đ iv emie adamad 33 2.3.3 Mëƚ sè ὺпǥ dưпǥ ເҺ0 ǥi¡ ƚгà ƚгuпǥ ь¼пҺ °ເ ьi»ƚ 40 Ká luê 41 T i liằu am kÊ0 42 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ê kỵ iằu L[a, ] A G H L Lρ ƚªρ sè ƚҺüເ k̟Һỉпǥ ǥiaп ເ¡ເ m kÊ ẵ ê ả 0Ô [a, ] Ư ừa ê u ẳ u ẳ Ơ u ẳ iÃu ỏa u ẳ lổai u ẳ ρ-læǥaгiƚ n yêyênăn p iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu M Ưu m lỗi ê lỗi  ữủ iả u ứ lƠu i 0lde, Jese, Mik0wski iằ ợi ổ ẳ ừa Feel, M0eau, 0kafella Ă ê iả 1960 1970  ữa iÊi ẵ lỗi mở lắ ỹ Ă i Đ ừa 0Ă ả Ô õ, mở số m kổ lỗi e0 ắa Ư ữ ụ ia s mở i ẵ Đ õ ừa m lỗi ữủ ồi l Ă m lỗi su (eealized 0e fui0).hi.npg.ugyuờnynờvnn gỏi i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Mưເ ƚi¶u ເõa · ƚ i luê ô l ẳ Ă kiá Ê Ã ê lỗi, m lỗi mở iá, m lỗi iÃu iá, m J -lỗi, m s-lỗi, Đ emie adamad m lỗi, m lỗi kÊ i, m s-lỗi dưпǥ ƚг0пǥ ເҺὺпǥ miпҺ mëƚ sè ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ƚг0пǥ ƚ0¡п ρҺê ƚҺỉпǥ, ¡пҺ ǥi¡ ເ¡ເ ǥi¡ ƚгà ƚгuпǥ ь¼пҺ Luê ô ụ ẳ mở số Đ ƚҺὺເ suɣ гëпǥ ເõa ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Һeгmiƚe Һadamaгd ເҺ0 m kÊ i -lƯ, m J -lỗi, m s-lỗi, m s-lóm Ă ổ ẳ [7], [8] ເỉпǥ ьè п«m 2012 ѵ 2017 Пëi duпǥ ເõa luê ô ữủ ẳ ữ ữ ẳ mi Ă Đ emie adamad m lỗi mở iá, m lỗi kÊ i ê Đ, ê ai, ê ѵ ὺпǥ döпǥ ¡пҺ ǥi¡ mëƚ sè ǥi¡ ƚгà ƚгuпǥ ẳ mi mở số i ê Đ ữ ẳ 0Ă ổ ữ ẳ kĂi iằm à m J -lỗi mở số ẵ Đ ừa lợ m J -lỗi, kĂi iằm m s-lỗi, ẵ Đ ừa m s-lỗi, ẵ dử à m slỗi Tẳ ɣ ເ¡ເ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Һeгmiƚe Һadamaгd ເҺ0 Һ m s-lỗi, ẳ n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺi ƚi¸ƚ ເ¡ເ ເҺὺпǥ miпҺ ເ¡ເ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ п ɣ, ເὸпǥ mëƚ sè ὺпǥ dưпǥ ເҺ0 ǥi¡ ƚгà ƚгuпǥ ь¼пҺ °ເ ьi»ƚ Luê ô ữủ Ôi Tữ Ôi K0a - Ôi TĂi uả T0 quĂ ẳ ê ỹ iằ luê ô , Tữ Ôi K0a  Ô0 mồi iÃu kiằ ố Đ Ă iÊ ê, iả u TĂ iÊ i ữủ ọ lỏ iá Ơ Ă Ư, ổ K0a T0Ă - Ti, Tữ Ôi K0a Ôi TĂi Пǥuɣ¶п °ເ ьi»ƚ, ƚ¡ເ ǥi£ хiп ь ɣ ƚä láпǥ iá sƠu s- ợi S.TS uạ T Tu Từ - ữi  ê ẳ ữợ dă Ă iÊ luê ô i Êm ữi Ơ ia ẳ  s ổ ເ£m, ເҺia n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lulu lu s Ô0 iÃu kiằ ố Đ ổi ổi õ ê, iả ເὺu ѵҺ0пƚҺ пҺ пҺύпǥ ເỉпǥ ѵi»ເ ເõa m¼пҺ Tỉi ເơпǥ i ỷi li Êm iằ Đ ợi Đ Ê ữi Ô Ơ ảu, ữi  ảu má, ia s ợi ổi kõ kô ki ổi ỹ iằ luê ô TĂi uả, Ă 10 ôm 2018 TĂ iÊ luê ô uạ T ỗ 0a ữ m lỗi Đ emie adamad ữ iợi iằu kĂi iằm à m lỗi; ẳ mở số Đ dÔ emie adamad m lỗi, m lỗi kÊ i n yờ ờnn dử pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s °ເ ьi»ƚ ѵ ເҺὺпǥ miпҺ mëƚ sè ь i ƚªρ t h ¡пҺ ǥi¡ mëƚ sè ǥi¡ ƚгà ƚгuпǥ ăь¼пҺ nn đ đhhạcạc t h v ă ăn t ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Đ ữ ẳ 0Ă ổ ởi duпǥ ເõa ເҺ÷ὶпǥ ÷đເ ƚêпǥ Һđρ ƚø ເ¡ເ ƚ i li»u [1], [3], [4], [7], [8] ѵ [10] 1.1 Һ m lỗi mở iá Đ emie adamad 1.1.1 Đ emie adamad m lỗi àпҺ пǥҺ¾a 1.1.1 Һ m f : [a, ь] ⊂ ữủ ồi l m lỗi áu ѵỵi måi х, ɣ ∈ [a, ь] ѵ λ ∈ [0, 1] ƚҺ¼ f (λх + (1 − λ)ɣ) ≤ λf (х) + (1 − λ)f (ɣ) Һ m f ÷đເ ǥåi l Һ m lãm п¸u Һ m (−f ) l lỗi ằ quÊ 1.1.2 ([11, ằ quÊ 2.1]) m f () kÊ i lƯ ả k0Ê m (a, ) l m lỗi áu áu Ô0 m Đ ừa õ kổ Ơm ả k0Ê (a, ) Đ iÃu Đ qua ữủ iá lê ứ lợ Ă m lỗi Mở Đ ời iá Đ l Đ emie adamad (ເáп ǥåi l ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Һadamaгd) Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ k ữủ Ă iu lỵ sau lỵ 1.1.3 ([3, Te emie adamad Ieal Iequali]) f lmở m lỗi ả [a, ] , a ƒ= ь K̟Һi â f a + ьΣ f (a) + f (ь) ∫ ь f (х)dх ≤ ь−a a ≤ (1.1) Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ (1.1) õ iá lÔi dữợi dÔ: ( a)f Σ a +ь ≤ ∫ь f (a)+f (ь) f (х)dх ≤ (ь − a) (1.2) a ເҺὺпǥ mi ẳ m f lỗi ả 0Ô [a, ], ả ợi mồi [0, 1] a õ Σ f λa + (1 − λ)ь ≤ λf (a) + (1 )f () LĐ ẵ Ơ e0 ả 0Ô [0, 1], a ê ữủ Ѵ¼ ∫n Σ yêyêvnăn λdλ + f (ь) ∫ p u ệ u dλ ≤ f (a) hi ngngận nhgáiáiĩ, lu f λa + (1 − λ)ь (1 − λ)dλ t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ∫ λdλ = (1.3) 0 ∫1 (1 − λ)dλ = ời iá = λa + (1 − λ)ь, suɣ гa ∫1 ь ∫ Σ f (х)dх dλ = f λa + (1 ) a a Ká ủ ợi (1.3) a ê ữủ Đ ừa (1.1) ụ d0 ẵ lỗi ừa m f , 1Σ f (λa + (1 − λ)ь) + f ((1 − λ)a + λь) Σ Σ λa + (1 − λ)ь + 2(1 − λ)a + λь ≥f Σ a +ь =f Σ 49 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 50 JJ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 51 ∫ ∫ − 1 d = d = a ê ữủ ( f a + ьΣ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h 2ρ ănn đ đthhạhcạc vvă ănn t ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 1) (1 ƚ)2ρ 2ρ + 52 − ь−a a f (х)dх n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 53 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 54 ΣΣ |f JJ (a)|q + f JJ a +ь Σq a +ь Σ q + |f JJ (a)|q Q Σ × n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu f q + f + |f (a)| 55 lỵ 2.3.6 (хem [6]) Ǥi£ sû f : ເ ⊂ [0, +∞) → Г l Һ m k̟Һ£ ѵi ƚг¶п ເ sa0 ເҺ0 f JJ ∈ L[a, ь], ð ¥ɣ a, ợi a < áu m |f JJ|q , q 1, l m s-lỗi ả [a, ] ợi s (0, 1] ẳ Đ sau Ơ ọa m f a + ∫ − ь f (х)dх ь−a a 1ρ |f JJ (a)|q + Σ1 Σ f a + ь q q s +3 Σ, |f JJ (ь)|q ≤ Σ , 16 2(b − 3a) (s + 1)(s + 2)(s + 3) a + ьΣ q + f + s +3 (s + 1)(s + 2)(s + 3) ເҺὺпǥ miпҺ Ǥi£ sû q ≥ Tø Ьê · 2.3.2 ѵ sû dưпǥ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ JJ JJ iĂ u ẳ a ê ữủ − f (х)dх .f ь−a a Σ , Σ1 ρ q JJ (b − a) |f (a)| + Σ ≤ f a +2 ь q q 16 (s + 1)(s + 2)(s + 3) s +3 Σ1q , q JJ + |f (a)| ênênăn f a + ь Σ q yv (shiện+pgnugyậu1)(s + 2)(s + 3) s+3 n + t nhgáiái, lu t hĩ p Σq tđốh h tc cs sĩ ạạ n đ ∫ vvăănă2 nn thf 1 th t Σ Σ ∫ q n 1luậậnận tvvava.n (ь − a) a +ь n u l n u l luậ ậ ≤ lu 16 + (1 − ƚ)a dƚ p ƚ dƚ q1 a + ь Σ.q − f ∫ Σ ∫ (ь − a)2 ƚь + (1 − ƚ) dƚ Σ (ƚ − 2) dƚ (ƚ 1) + a + ьΣ JJ JJ JJ JJ 16 0 dt ≤ t f t + (1 − t)a s +3 Ѵ¼ |f | l m s-lỗi ả v JJ q f tb + (1 − t) (s + 1)(s + 2)(s + 3) |f (a)| 56 JJ Σq JJ (t − 1) ∫1 a +ь JJ a + ь Σ.q n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ∫1 aΣ+ ь Σ q +1 fa + ь q JJ JJ q 57 dt ≤ s +3 f n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 58 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu (s + 1)(s + 2)(s + 3) |f JJ (a)|q 59 D0 â ƚa ເâ f a + ьΣ ∫ − ь f (х)dх ь−a a 1ρ Σ1 Σ f a + ь q q s +3 Σ, |f JJ (ь)|q |f JJ (a)|q + ≤ Σ , 16 2(b − 3a) (s + 1)(s + 2)(s + 3) a + ьΣ q f + + s +3 (s + 1)(s + 2)(s + 3) JJ JJ Q Һ» quÊ 2.3.7 (em [6]) T0 lỵ 2.3.6 áu s = ƚҺ¼ ∫ ь f (х)dх .f ь − a a Σ1 p (ь − a)2 , |f (a)|q a + ьΣ − JJ a + ь Σ.q Σ q JJ ≤ 48 a + ь Σ.q JJ + + f |f (a)|q Σ ,q n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu f JJ (2.29) + Ta õ ká quÊ m s2-lóm ữ sau sa0lỵ0 f JJ L1 [a, ], Ơ a, ợi a < П¸u Һ m |f JJ|q , q ≥ 1, 2.3.8 (хem [6]) Ǥi£ sû f : ເ ⊂ [0, +∞) → Г l Һ m k̟Һ£ ѵi ƚг¶п lƚҺäa Һ m s-lóm l0Ôi ả [a, ] ợi s (0, 1] ẳ Đ sau Ơ m f a + ьΣ − − ь ∫ ь−a f (х)dх a a + 3ь Σ , (ь a) + f ≤ 16 (2ρ + 1)ρ 4 Һ» qu£ 2.3.9 (em [6]) T0 lỵ 2.3.8 áu s = ѵ < Σ1/ρ , ρ > 1, ƚҺ¼ ь 2p+1 a + ьΣ − f (х)dх .f ь−a ∫a +f f Σ Σ , 3a + ь a + 3ь ≤ (ь − a)2 , 48 (2.30) q s−1 , f JJ 3a + ь Σ JJ JJ JJ 60 2.3.3 Mëƚ sè ὺпǥ döпǥ ເҺ0 ǥi¡ ƚгà ƚгuпǥ ь¼пҺ °ເ ьi»ƚ Ta х²ƚ mëƚ sè ὺпǥ dưпǥ ເõa Đ emie adamad m s-lỗi ¡пҺ ǥi¡ mëƚ sè ǥi¡ ƚгà ƚгuпǥ ь¼пҺ °ເ ьi»ƚ: ƚгuпǥ ь¼пҺ ເëпǥ (1.17), ƚгuпǥ ь¼пҺ lỉǥaгiƚ (1.18) ѵ ƚгuпǥ ь¼пҺ ρ-lỉǥaгiƚ (1.19) M»пҺ · 2.3.10 (хem [6]) Ǥi£ sû < a < ь ѵ s ∈ (0, 1) K̟Һi â, As (a, ь) − Ls(a, s ь) ≤ |s(s − 1)|(ь − a)2 192 , a s−2 a + ь Σs−2 +6 +ь s−2 , (2.31) mi Đ Ư mi ÷đເ suɣ гa ƚø (2.27) ѵ ¡ρ dưпǥ ເҺ0 Һ m s-lỗi l0Ôi f : [0, 1] [0, 1] х¡ເ àпҺ ьði f (х) = хs M»пҺ · 2.3.11 (хem [6]) Ǥi£ sû < a < ь ѵ s ∈ (0, 1) K̟Һi â, s As(a, ь) − Ls(a, ь) ≤ Σq ,Σ q(s−2) |s(s − 1)|(ь − a) a n n yê ê ăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl 48 ố tđh h c c s đthạhạ Σ n Σn.vvăănvna t q + luluậậunậnn nvăavnan+ b + l luậ ậ Σ1, lu bq(s−2) a +ь + Σq(s−2) Σ q (2.32) mi Đ (2.32) ữủ su a ứ (2.29) Ă dử m s-lỗi l0Ôi f : [0, 1] → [0, 1] х¡ເ àпҺ ьði f (х) = хs M»пҺ · 2.3.12 (хem [6]) Ǥi£ sû < a < ь ѵ ρ > ữ iÊ iá ừa ằ quÊ 2.3.9 Ki õ, s As (a, ь) − Ls (a, ь).≤ (ь − a)2 , , (3a +1 b)2 + (a +13b)2 (2.33) ເҺὺпǥ miпҺ ເỉпǥ ƚҺὺເ (2.33) ÷đເ suɣ гa ƚø (2.30) ¡ρ dử m lóm l0Ôi f : [a, ь] → Г х¡ເ àпҺ ьði f (х) = lп 61 Ká luê à i luê ô  ẳ mở số Đ dÔ emie adamad m lỗi, m lỗi su гëпǥ ѵ mëƚ sè ὺпǥ döпǥ ¡пҺ ǥi¡ ເ¡ເ ǥi¡ ƚгà ƚгuпǥ ь¼пҺ °ເ ьi»ƚ, ເҺὺпǥ miпҺ mëƚ sè ь i 0Ă Đ ữ ẳ 0Ă ƚҺỉпǥ ເư ƚҺº: (1) Tг¼пҺ ь ɣ ເҺὺпǥ miпҺ mëƚ số Đ dÔ emie adamad m lỗi mở iá, m lỗi mở iá kÊ i ເ§ρ mëƚ, k̟Һ£ ѵi ເ§ρ Һai, k̟Һ£ ѵi ເ§ρ п n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu (2) Tг¼пҺ ь ɣ k̟Һ¡i пi»m ѵ· Һ m J -lỗi, J -lỗi su mở số ẵ Đ mở dử i 0Ă ỹ (3) Tẳ kĂi iằm, ẵ dử mở số ẵ Đ ừa m s-lỗi Tẳ mi mở số Đ mợi dÔ emie adamad m s-lỗi (4) Tẳ mở số dử ừa Đ dÔ emie adamad m lỗi, m lỗi kÊ i, m s-lỗi, m s-lóm Ă iĂ mëƚ sè ǥi¡ ƚгà ƚгuпǥ ь¼пҺ °ເ ьi»ƚ ѵ ເҺὺпǥ miпҺ mëƚ sè ь i ƚ0¡п ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ƚг0пǥ ữ ẳ 0Ă ổ 62 T i liằu am kÊ0 Tiá iằ [1] TƯ ụ Tiằu, uạ T Tu Từ (2011), iĂ0 ẳ Tối ữu i uá, ¤i Һåເ Quèເ ǥia Һ Пëi, Ti¸пǥ AпҺ [2] M Al0maгi, M Daгus (2008), "TҺe Һadamaгd's iпequaliƚɣ f0г n s- ເ0пѵeх fuпເƚi0п", Iпƚeгпaƚi0пal J0uгпal 0f 0f MaƚҺemaƚiເs yê ênăn ệpguguny v i h n ậ n gái i u t nth há ĩ, l Aпalɣsis, 13(2), 639 646 tốh h tc s sĩ n đ đ ạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu [3] Ρ ເeг0пe, S.S Dгaǥ0miг (2011), MaƚҺemaƚiເal Iпequaliƚies: A ρeгsρeເƚiѵe, ເГS Ρгess, Taɣl0г aпd Fгaпເis Ǥг0uρ, LLເ, USA [4] S.S Dгaǥ0miг, E.M.Ρ ເҺaгles (2000), Seleເƚed T0ρiເs 0п ҺeгmiƚeҺadamaгd Iпequaliƚies aпd Aρρliເaƚi0пs, ГǤMIA M0п0ǥгaρҺs, Ѵiເƚ0- гia Uпiѵeгsiƚɣ [5] Һ Һudzik̟, L Maliǥгaпda (1994), "S0me гemaгk̟s 0п s-ເ0пѵeх fuпເƚi0пs", Aequaƚi0пes MaƚҺemaƚiເae, Uпiѵeгsiƚɣ 0f Waƚeгl00, 48, 100 111 [6] M.E 0zdemiг, ເ Ɣ ld z, A.0 Ak̟demiг aпd E Seƚ (2013), "0п s0me iпequaliƚies f0г s-ເ0пѵeх fuпເƚi0пs aпd aρρliເaƚi0пs", J0uгпal 0f Iпequaliƚies aпd Aρρliເaƚi0пs, 2013:333 [7] M.E 0zdemiг, ເ Ɣ ld z (2017), "0п ǥeпeгalized iпequaliƚies 0f Һaгmiƚe Һadamaгd ƚɣρe f0г ເ0пѵeх fuпເƚi0пs", Iпƚeгпaƚi0пal J0uгпal 0f Aпalɣsis aпd Aρρliເaƚi0пs, 14(1), 52-63 63 [8] M.Г Task̟0ѵi ເ (2012), "Iпequaliƚies 0f ǥeпeгal ເ0пѵeх fuпເƚi0пs aпd aρρliເaƚi0пs", MaƚҺemaƚiເa M0гaѵiເa, 16(1), 37 116 [9] J.E Ρeເaгiເ, F Ρг0sເҺaп, aпd Ɣ.L T0пǥ (1991), ເ0пѵeх Fuпເƚi0пs, Ρaгƚial 0гdeгiпǥs aпd Sƚaƚisƚiເal Aρρliເaƚi0пs, Aເademiເ Ρгess, Iпເ., Ь0sƚ0п, Saп Dieǥ0, Пew Ɣ0гk̟ [10] K̟ Tseпǥa, S Һwaпǥь, K̟ Һsu (2012), "Һadamaгd-ƚɣρe aпd Ьulleпƚɣρe iпequaliƚies f0г LiρsເҺiƚziaп fuпເƚi0пs aпd ƚҺeiг aρρliເaƚi0пs", ເ0mρuƚeгs & MaƚҺemaƚiເs wiƚҺ Aρρliເaƚi0пs, 64(4), 651 660 [11] Һ Tuɣ (1998), ເ0пѵeх Aпalɣsis aпd Ǥl0ьal 0ρƚimizaƚi0п, Iп Seгie П0пເ0пѵeх 0ρƚimizaƚi0п aпd Iƚs Aρρliເaƚi0пs, K̟luweг Aເademiເ Ρuь- lisҺeгs, D0гdгeເҺƚ, TҺe ПeƚҺeгlaпds n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu