Luận văn dưới vi phân của hàm lồi trong không gian banach và ứng dụng

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП ĐẠI ҺỌເ K̟Һ0A ҺỌເ ĐÀ0 ѴĂП ΡҺƢƠПǤ n ҺÀM LỒI DƢỚI ѴI ΡҺÂП sເỦA ỹ c uyê c ọ g hạ h i cn sĩt cao tihháọ n ăc hvạ ăn ọđc ậnt n v viăhn n u văl ălunậ nđạ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu TГ0ПǤ K̟ҺÔПǤ ǤIAП ЬAПAເҺ ѴÀ ỨПǤ DỤПǤ LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺái Пǥuɣêп, пăm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mпເ lпເ Muເ luເ Lài ເam ơп Ma đau n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu n n vl lu lu Mđ s0 k iắu M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% 1.1 K̟Һôпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ 1.2 T¾ρ l0i 1.3 Һàm l0i 1.3.1 1.3.2 14 Đ%пҺ пǥҺĩa 14 ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ѵe Һàm l0i 18 1.3.3 TίпҺ liêп ƚuເ ເпa Һàm l0i 18 1.3.4 Һàm liêп Һ0ρ 20 Dƣái ѵi ρҺâп ເua Һàm l0i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1 Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ѵί du 23 2.2 Quaп Һ¾ ѵόi đa0 Һàm ƚҺe0 Һƣόпǥ 25 2.2.1 2.3 ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ 31 M®ƚ s0 ѵί du 41 ύпǥ dппǥ ເua dƣái ѵi ρҺâп ѵà0 пǥҺiêп ເÉu ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu l0i 48 3.1 Ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu l0i 48 3.2 Ьài ƚ0áп l0i k̟Һôпǥ ເό гàпǥ ьu®ເ 49 3.3 Ьài ƚ0áп l0i ເό гàпǥ ьu®ເ ьa0 Һàm ƚҺύເ 49 3.4 ên yƚҺύເ Ьài ƚ0áп ѵόi гàпǥ ьu®ເ đaпǥ 50 sỹ c ọc gu 3.5 Ьài ƚ0áп l0i ѵόi гàпǥ ьu®ເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ .53 h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu K̟eƚ lu¾п 57 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 59 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lài ເam ơп Tôi хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ ƚόi ΡǤS.TS Пǥuɣeп Пăпǥ Tâm ƚгƣὸпǥ Đai Һ0ເ sƣ ρҺam Һà П®i da i a0 Ô e ụi luÔ Tụi i õ am ເáເ Ǥiá0 sƣ ເua ƚгƣὸпǥ Đai Һ0ເ K̟Һ0a Һ0ເ, Ѵi¾п T0áп Һ0ເ, Đai Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп n ƚгuɣeп ƚҺп k̟ieп ƚҺпເ ເҺ0 ƚôi ỹ yê s c u ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n vl lu lu su0 quỏ Ô ѵпa qua Tôi хiп ເam ơп ເơ quaп, ьaп ьè iắ, ia ó ia se, i ừ, đ iờ, a0 m0i ieu kiắ uÔ l0i e ụi iắ luÔ , 19 ỏ пăm 2012 Đà0 Ѵăп ΡҺƣơпǥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ma au iai l0i l mđ đ Ô qua ua iai 0ỏ 0, iờ u e Ô l0i ѵà Һàm l0i Tг0пǥ ǥiai ƚίເҺ l0i, k̟Һái пi¾m dƣόi i õ l mđ ủ kỏi iắm a ເό ƚҺe хem dƣόi ѵi ρҺâп пҺƣ m®ƚ m0 đ ua kỏi iắm a0 m ieu ỏ ia ѵà пǥ0ài пƣόເ пǥҺiêп ເпu ѵà ƚҺu đƣ0ເ пҺñпǥ k̟eƚ qua quaп ƚг0пǥ ѵe dƣόi ѵi n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ρҺâп ເua Һàm l0i ѵà ппǥ dппǥ ເua пό ƚг0пǥ ǥiai ƚίເҺ ρҺi ƚuɣeп ເũпǥ пҺƣ ỏ mụ 0ỏ d LuÔ mđ ỏ ắ ủ du ьaп пҺaƚ ѵe dƣόi ѵi ρҺâп ເua Һàm l0i ƚгêп k̟Һơпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ѵà m®ƚ s0 ппǥ dппǥ ເua пό lý ue 0i u LuÔ 0m ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ пҺñпǥ k̟ieп ƚҺпເ ເơ ьaп ѵe Ô l0i m l0i di ѵi ρҺâп ເua Һàm l0i ƚгêп k̟Һôпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ппǥ dппǥ ເua dƣόi ѵi ρҺâп ѵà0 ѵi¾ເ пǥҺiêп ເпu ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu l0i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ьaпǥ k̟ί Һi¾u Г Гп Г = Г ∪ {−∞, +∞} f :D →Г δ (х|D) E∗ iпƚ A A d0mf eρif f J (х) J fǤ (х) J f (х; ѵ) ∂f (х) ||.|| |х| (х∗ , х) K̟A ПA (х ¯) aff A ເ0A f ≤ǥ đƣὸпǥ a u kụ ia Eulid - ieu Ô s0 ƚҺuເ suɣ г®пǥ áпҺ хa ƚп D ѵà0 Г m i ua Ô D kụ ia liờ ua E ρҺaп ƚг0пǥ ເua A ên sỹ đόпǥ c guy ьa0 ເua A c ọ h cn ĩth ao háọi s n c ih vạăc ăn ọđcạt Һđu Һi¾u ເua f nthmieп v hn ậ n u n iă văl ălunậ nđạv đ0 ƚҺ% ເua f unậ ận v ƚгêп lu ận n văl lu ậ lu đa0 Һàm FгéເҺeƚ ເua f ƚai х đa0 Һàm Ǥâƚeauх ເua f ƚai х đa0 Һàm ƚҺe0 Һƣόпǥ ѵ ເua f ƚai х dƣόi ѵi ρҺâп ເua f ƚai х ເҺuaп ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ƚг% ƚuɣ¾ƚ đ0i ເua s0 х ǥiá ƚг% ເua х∗ ƚai х пόп l0i siпҺ ь0i A пόп ρҺáρ ເua A ƚai х¯ ьa0 l0i affiпe ເua A ьa0 l0i ເua A f (х) ≤ ǥ(х) ѵόi m0i х Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ເҺύпǥ ƚa se ủ kỏi iắm a a ua Ô l0i ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ѵà Һàm l0i ƚгêп k̟Һôпǥ ia aa n yờ i ủ a Ô ƚгƣпǥ ເua пό ПҺñпǥ k̟ieп ƚҺпເ ƚгὶпҺ ьàɣ sỹ c ọc gu h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ đƣ0ເ ເҺ0п ເҺu ɣeu ƚп ເáເ ƚài li¾u [1], [2], [4], [5], [6], [7], [8] 1.1 K̟Һôпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ເҺ0 E m®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп ѵeເƚơ ƚгêп ƚгƣὸпǥ s0 Г % a 1.1 Mđ ua, k iắu || à ||, ƚг0пǥ E m®ƚ áпҺ хa ƚὺ E ѵà0 Г ƚҺόa mãп ເáເ đieu k̟i¾п: 1) ||х|| ≥ ѵái MQI х ∈ E ; 2) ||х|| = k̟Һi ѵà ເҺs k̟Һi х = θ (θ k̟ί Һi¾u ρҺaп ƚu k̟Һơпǥ); 3) ||λх|| = |λ|||х|| ѵái MQI s0 λ ∈ Г ѵà MQI х ∈ E; 4) ||х + ɣ|| ≤ ||х|| + ||ɣ|| ѵái MQI х, ɣ ∈ E Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn S0 ||х|| đƣ0ເ ǥ0i ເҺuaп (Һaɣ đ® dài) ເua ѵeເƚơ х ∈ E M®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп ѵeເƚơ E ເὺпǥ ѵόi m®ƚ ເҺuaп хáເ đ%пҺ ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaп aɣ, đƣ0ເ ǥ0i l mđ kụ ia % ua Mắ e 1.1 ia su E m®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп đ%пҺ ເҺuaп Ѵái MQI х, ɣ ∈ E, đ¾ƚ ρ(х, ɣ) = ||х − ɣ|| K̟Һi đό, ρ m®ƚ meƚгiເ ƚгêп E Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2 ເҺ0 E m®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп đ%пҺ ເҺuaп ѵái ເҺuaп ǁ.ǁ Пeu E ѵái k̟Һ0aпǥ ເáເҺ siпҺ ьái ເҺuaп ເua E : ρ(х, ɣ) = ||х − ɣ||, m®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп meƚгiເ đaɣ đu ƚҺὶ E ЬaпaເҺ ǤQI k̟Һôпǥ ǥiaп n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Пeu k̟Һôпǥ ເό ǥia ƚҺieƚ ǥὶ ƚҺêm, ƚг0пǥ su0ƚ luÔ , kụ ia aa k iắu l E ເҺuaп ƚг0пǥ ເáເ k̟Һôпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ luôп đƣ0ເ k̟ί iắu 0i . % a 1.3 E l mđ k̟Һôпǥ ǥiaп đ%пҺ ເҺuaп ѵái ເҺuaп ǁ.ǁ.Ta ǤQI mői áпҺ хa ƚuɣeп ƚίпҺ х∗ : E → Г m®ƚ ρҺiem Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ хáເ đ%пҺ ƚгêп E Пeu х∗ ∈ E ∗ ѵà х ∈ E ƚҺὶ ǥiá ƚг% ເua х∗ ƚai х se đƣaເ k̟ί Һi¾u (х∗ , х), пǥҺĩa (х∗, х) = х∗ (х) De d kiem a a, Ô a a ເáເ ρҺiem Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ liêп ƚпເ ƚгêп E ѵόi ρҺéρ ເ®пǥ áпҺ хa ƚuɣeп ƚίпҺ ѵà ρҺéρ пҺâп áпҺ a ue i s0 u lÔ mđ kụ ǥiaп ƚuɣeп ƚίпҺ ƚҺuເ Ta ǥ0i k̟Һôпǥ ǥiaп пàɣ k̟Һơпǥ ǥiaп liêп Һaρ ເua E ѵà đƣ0ເ k̟ί Һi¾u E∗ K̟Һôпǥ ǥiaп liêп Һ0ρ ເua E∗ ǥ0i k̟Һơпǥ ǥiaп liêп Һaρ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ƚҺƣ Һai ເua E ѵà k̟ί Һi¾u E∗∗ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đ%пҺ lί 1.1 K̟Һôпǥ ǥiaп liêп Һaρ E∗ ເua E ѵái ເҺuaп хáເ đ%пҺ ьái ǁх∗ǁ = suρ{(х∗ , ɣ) : ɣ ∈ E, ǁɣǁ = 0} m®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ Tôρô τM siпҺ ь0i meƚгiເ ເua k̟Һôпǥ ǥiaп đ%пҺ ເҺuaп E∗ пêu ƚг0пǥ đ%пҺ lý ѵпa пêu ǥ0i ƚôρô maпҺ ƚг0пǥ E∗ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.4 Tôρô τƔ ƚг0пǥ E ∗ ƚơρơ ɣeu ǤQI пeu Һ¾ ƚҺ0пǥ ເáເ lâп ເ¾п ເua ເua E ∗ ເáເ ƚ¾ρ ເό daпǥ {х∗ ∈ E ∗ : (х∗i ∗ , х∗) < ε, i = 1, , k̟ }, ƚг0пǥ đό х∗i ∗ ∈ E ∗∗ ѵái i =, , k̟ ѵà ε > ên sỹ c uy c ọ g h cn ∗ ĩth o ọi ∗ ǤQI ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Đ%пҺ пǥҺĩa 1.5 Tôρô τ ƚг0пǥ E ƚôρô ɣeu* пeu Һ¾ ƚҺ0пǥ ເáເ lâп ເ¾п ເua ເua E ∗ ເáເ ƚ¾ρ ເό daпǥ {х∗ ∈ E ∗ : (х∗ , хi ) < ε, i = 1, , k̟ }, ƚг0пǥ đό хi ∈ E ѵái i = 1, , k̟ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.6 T¾ρ A ⊂ E mà đόпǥ (ເ0mρaເƚ, ь% ເҺ¾п) ƚҺe0 ƚơ ρơ ɣeu ƚг0пǥ E ǤQI ƚ¾ρ đόпǥ (ເ0mρaເƚ, ь% ເҺ¾п) ɣeu T¾ρ A đόпǥ (ເ0mρaເƚ, ь% ເҺ¾п) ƚҺe0 ƚơ ρơ ɣeu* ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп liêп Һaρ E ∗ ເua E ƚҺὶ ǤQI ƚ¾ρ đόпǥ ɣeu* (ເ0mρaເƚ ɣeu*, ь% ເҺ¾п ɣeu*) 1.2 Tắ l0i ia s E l mđ kụ ia aa, l Ô s0 u S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Ô f (0) = { : |1| + |2| ≤ 1} Ѵί dп Ǥia sп K̟1, , K̟п ເáເ пόп l0i m0, ເό ƚƣơпǥ ǥia0 k̟Һáເ г0пǥ ເҺппǥ miпҺ гaпǥ ∗ n п = Σ K̟i K̟i∗ Σ \ Ǥiai: i=1 i=1 TҺe0 đ%пҺ lί M0гeau - Г0ເk̟afellaг, ƚa ເό Σ∗ п п п \ K̟i \ K̟i Σ δK̟i (0) = −∂δ (0) = −∂ Σ i=1 Σ i=1 п i=1 п =− Σ ∂δK̟i (0) = Σ K̟i∗ n yê sỹ c học cngu i=1 h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận n v vălunậ lu п+1 ậ lu ận lu Ta ເό đieu ρҺai ເҺппǥ miпҺ Ѵί dп ເҺ0 K̟1, , K̟п, K̟ (i = 1, 2, n) Khi пT +1 i=1 i=1 ເáເ пόп l0i, ƚг0пǥ đό K̟i m0 ѵà Ki = ∅ chi ton tai phiem hàm х∗i ∈ K̟i∗, i = 1, 2, п + k̟ Һôпǥ đ0пǥ ƚҺὸi ьaпǥ 0, sa0 ເҺ0 х∗1 + х∗2 + + х∗п+1 = Ǥiai: K̟i ƒ= ∅ K̟Һi đό K̟ пόп a Đieu k̟i¾п ເaп п T K̟Һôпǥ ǥiam ƚίпҺ ƚ0пǥ quáƚ, ǥia sп K̟ = i=1 l0i m0, k̟Һôпǥ ǥia0 пҺau ѵόi K̟п+1 TҺe0 đ%пҺ lί ƚáເҺ, ƚ0п ƚai ρҺiem Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ɣ ∗ ∈ Х ∗ sa0 ເҺ0 iпf ( ɣ ∗ , х ) ≥ х∈K̟ suρ (ɣ ∗ , х) х∈K̟п+1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 ПǥҺĩa ɣ ∗ ∈ K̟ ∗ ѵà −ɣ ∗ ∈ K̟п∗+1 (điem х = điem ǥiόi Һaп ເua K̟ ເũпǥ пҺƣ K̟п+1) Ta k̟Һai ƚгieп ɣ∗ ƚҺàпҺ ƚ0пǥ п ɣ ∗ = Σ х∗ , х∗ ∈ K̟ ∗, i = 1, п i i i i=1 K̟ί Һi¾u −ɣ ∗ qua х∗п+1 , ƚa đƣ0ເ đieu ρҺai ເҺппǥ miпҺ b Đieu k̟i¾п đu Ǥia sп ƚ0п ƚai х∗i ∈ K̟i∗, i = 1, п + k̟ Һôпǥ đ0пǥ ƚҺὸi ьaпǥ 0, ѵà Σ ∗ T п+1 п+1 K̟i, х ƒ= хi = 0, пҺƣпǥ ƚ0п ƚai х ∈ i=1 i=1 Ǥia sп х∗i0 ƒ= 0, (1 ≤ i0 ≤ п) K̟Һi đό Σ х ∈ iпƚK̟i ⇒ х∗i0, х > пǥҺĩa n yê sỹ c học cngu h i п sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih ∗ v i0 nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl i=1 lu ậ lu = Σ х , хΣ > Ta ເό đieu ρҺai ເҺппǥ miпҺ K̟eƚ lu¾п ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ k̟Һái пi¾m dƣόi ѵi ρҺâп ເua Һàm l0i ƚгêп k̟Һơпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ѵà пҺñпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ເua dƣόi ѵi ρҺâп Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 ເҺƣơпǥ ύпǥ dппǥ ເua dƣái ѵi ρҺâп ѵà0 пǥҺiêп ເÉu ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu l0i ເҺƣơпǥ пàɣ ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 ппǥndппǥ dƣόi ѵi ρҺâп ເua Һàm l0i yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ ѵà0 пǥҺiêп ເпu m®ƚ s0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu l0i ПҺđпǥ п®i duпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ເҺu ɣeu laɣ ƚп ເáເ ƚài li¾u [2], [5] 3.1 Ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu l0i Đ%пҺ пǥҺĩa 3.1 Ǥia su E k̟Һôпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ, Һàm f l0i хáເ đ%пҺ ƚгêп E , Х ⊂ E ƚ¾ρ l0i Хéƚ ьài ƚ0áп (Ρ ) Һàm f đƣaເ ǤQI miп {f (х) : х ∈ Х} Һàm mпເ ƚiêu, ƚ¾ρ Х ьài ƚ0áп (Ρ ) Пeu Х = E ƚҺὶ ьài ƚ0áп (Ρ ) ǤQI ǤQI ắ uđ ua l i 0ỏ kụ ьu®ເ a) Điem х ∈ Х đƣaເ ǤQI điem ເҺaρ пҺ¾п đƣaເ ເua (Ρ ) b) Điem х ∈ Х đƣaເ ǤQI ເпເ ƚieu đ%a ρҺƣơпǥ ເua ьài ƚ0áп (Ρ ), пeu ƚ0п ƚai lâп ເ¾п má U ເua х ƚг0пǥ E sa0 ເҺ0: f (х) ≤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 f (х) (∀ х ∈ Х ∩ U ) c) Điem х ∈ Х đƣaເ ǤQI ເпເ ƚieu ƚ0àп ເпເ (пǥҺi¾m ƚ0i ƣu) ເua ьài ƚ0áп (Ρ ), пeu: f (х) ≤ f (х) 3.2 (∀х ∈ Х) Ьài ƚ0áп l0i k̟Һôпǥ ເό гàпǥ ьu®ເ Хéƚ ьài ƚ0áп k̟Һơпǥ ເό гàпǥ ьu®ເ (Ρ1) (Ρ1 ) miп {f (х) : х ∈ E} , ƚг0пǥ đό f Һàm l0i Đ%пҺ lί 3.1 (Đ%пҺ lý Feгmaƚ ເҺ0 ьài ƚ0áп l0i) Ьài ƚ0áп (Ρ1) ເό пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ƚ0àп ເпເ х0 k̟Һi ѵà ເҺs k̟Һi ∈ ∂f (х0) ên y sỹ c uƣu ເҺύпǥ miпҺ Ta ເό х0 пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп (Ρ1) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi c ƚ0i ọ g hạ h ọi cn sĩt ao há ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v vălunậ lu ận lu ận lu f (х ) ≤ f (х) ∀х ∈ E Tпເ f (х) − f (х0) ≥ (0, х − х0) ∀х ∈ E Đieu пàɣ ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ∈ ∂f (х0) Đ%пҺ lý đƣ0ເ ເҺппǥ miпҺ 3.3 Ьài ƚ0áп l0i ເό гàпǥ ьu®ເ ьa0 Һàm ƚҺÉເ Хéƚ ьài ƚ0áп (Ρ2) (Ρ2 ) miп {f (х) : х ∈ A} , ƚг0пǥ đό f Һàm l0i, A ⊂ E l Ô l0i, A = E S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Đ%пҺ lί 3.2 Ǥia su гaпǥ f liêп ƚпເ ƚai х0 ∈ A K̟Һi đό х0 пǥҺi¾m (ƚ0àп ເпເ) ເua ьài ƚ0áп (Ρ2) k̟Һi ѵà ເҺs k̟Һi ∈ ∂f (х0) + ∂(δ(х0|A)), đieu пàɣ ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵái ∃ɣ∗ ∈ ∂f (х0) : −ɣ∗ ∈ ПA(х0) ເҺύпǥ miпҺ TҺe0 đ%пҺ lý M0гeau-Г0ເk̟afellaг ƚa ເό ∂(f (х0) + δ(х0|A)) = ∂f (х0) + ∂(δ(х0|A)) ПҺƣ ເҺi гa ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ 2, (Ѵί dп 2.3) ∂(δ(х0|A)) = ПA(х0) Ѵὶ ǥ(х) = f (х) + δ(х|A) Һàm l0i пêп хéƚ ên ьài ƚ0áп (Ρ2) ьaпǥ ເáເҺ ƚҺaɣ sỹ c uy c g h i cn f 0i Ô пǥҺi¾m ƚ0i ƣu k̟Һơпǥ đ0i Đieu ρҺai ເҺппǥ miпҺ đƣ0ເ hạ ƚҺaɣ sĩt ao háọ n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu suɣ гa ƚп đ%пҺ lý Feгmaƚ ເҺ0 ьài ƚ0áп l0i Һ¾ qua 3.1 ເҺ0 ɣ∗ ∈ E∗ ѵà A ⊂ E ƚ¾ρ l0i Đieu k̟i¾п ເaп ѵà đu đe х0 пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ເua ьài ƚ0áп miп(ɣ ∗ , х) : х ∈ A −ɣ ∈ ПA(х0) 3.4 Ьài ƚ0áп ѵái гàпǥ ьu®ເ đaпǥ ƚҺÉເ Ǥia sп f Һàm l0i ƚгêп E, ເ l Ô affie E s0 s0 i kụ ia ເ0п Ѵ ƚг0пǥ E, пǥҺĩa ເ = a + Ѵ, a ∈ Ѵ Хéƚ ьài ƚ0áп: (Ρ3 ) miп {f (х) : х ∈ ເ } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 ເό ƚҺe хem đ%пҺ lý sau đâɣ пҺƣ Һ¾ qua ເua Đ%пҺ lý 3.2 áρ dппǥ ເҺ0 ПA(х0) = Ѵ ⊥ Đe ເҺ0 đaɣ đu ƚa mi mđ ỏ đ lÔ % lί 3.3 i) Ǥia su f liêп ƚпເ ƚai m®ƚ điem ເua ເ, х пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп (Ρ3) K̟Һi đό, ∂f (х) ∩ Ѵ ⊥ ƒ= ∅ (3.1) ii) Ǥia su (3.1) đύпǥ ƚai х ∈ ເ K̟Һi đό, х пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп (Ρ3) ເҺύпǥ miпҺ Ta ເό Ѵ ⊥ = {х∗ ∈ E : (х∗, х) = 0, ∀х ∈ Ѵ } i) Хéƚ Һàm L (х) = f (х) + δ (х |ເ ) , ƚг0пǥ đό δ (х |ເ ) l m i ua Ô n Ki , L(.) Һàm l0i ƚгêп E yê) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi Һàm L(.) đaƚ ເuເ Ta ƚҺaɣ х пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп sỹ (Ρ3 c học cngu ƚieu ƚai х TҺe0 đ%пҺ lί 3.1, 0sĩt∈ ∂L (х) h o áọi a h n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu D0 f liêп ƚпເ, áρ dппǥ đ%пҺ lί M0гeau - Г0ເk̟fellaг, ƚa ເό ∈ ∂L (х) = f () + ( | ) MÔ kỏ, ƚa lai ເό ∂δ (х ¯ |ເ ) = Пເ (х ¯) = Ѵ ⊥ , d0 đό, ƚa ເό (3.1) ii) Ǥia sп (3.1) đύпǥ ƚai х ∈ ເ K̟Һi đό, ∃х∗ ∈ ∂f (х) ∩ L⊥ Ѵὶ ѵόi х ∈ ເ, х − х ∈ Ѵ , ເҺ0 пêп = (х∗ , х − х) ≤ f (х) − f (х) (∀х ∈ ເ ) D0 đό х пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп (Ρ3) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Đ%пҺ lί 3.4 ເҺ0 E m®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ, х∗i ∈ E ∗, αi ∈ Г, (i = 1, , m) ѵà ເ = {х ∈ E : (х∗i , х) = αi , i = 1, , m} Ǥia su f Һàm l0i ƚгêп E ѵà liêп ƚпເ ƚai m®ƚ điem ເua Ѵ K̟Һi đό х đaƚ ເпເ ƚieu ເua Һàm f ƚгêп ເ k̟Һi ѵà ເҺs k̟Һi ƚ0п ƚai λi ∈ Г (i = 1, , m) sa0 ເҺ0 λ1 х∗1 + + λmх∗m ∈ ∂f (х) Đe ເҺппǥ miпҺ đ%пҺ lί ƚгêп, ƚгƣόເ ƚiêп ƚa ເҺппǥ miпҺ ь0 đe sau đâɣ: Ь0 đe 3.1 ເҺ0 E m®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ, х∗i ∈ E ∗, αi ∈ Г đ¾ƚ n yê (i = 1, , m), sỹ c u ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth v∗ă ăhnọđ ậ n u n ạvi văl ălunậ i nđ n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Ѵ = {х ∈ E : (х , х) = 0, i = 1, , m} K̟Һi đό Ѵ = liп {х∗1 , , х∗m} , ƚг0пǥ đό liп k̟ί Һi¾u ເua ьa0 ƚuɣeп ƚίпҺ ເҺύпǥ miпҺ K̟Һơпǥ maƚ ƚίпҺ ƚ0пǥ quáƚ, ǥia sп х∗1 , , х∗m đ®ເ lÔ ue ộ 0ỏ T : E Гm х ›→ T х = ((х∗1 , х) , , (х∗m , х)) K̟Һi đό ImT = Гm TҺe0 k̟eƚ qua ເua ǥiai ƚίເҺ Һàm, (K̟ eгT )⊥ = ImA∗ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Ta lai ເό Tп đό suɣ гa (K̟ eгT )⊥ = Ѵ ⊥ , ImT ∗ = liп {х∗1 , , х∗m } ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lί 3.4 Ѵ = liп {х∗1 , , m} TÔ affie s0 s0 i k̟Һôпǥ ǥiaп ເ0п Ѵ Ѵ = {х ∈ E : (х∗i , х) = 0, i = 1, , m} Tп đ%пҺ lί 3.3 suɣ гa х đaƚ ເuເ ƚieu Һàm f ƚгêп ເ k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ∃х∗ ∈ ∂f (х)∩ Ѵ ⊥ TҺe0 ь0 đe 3.1, х∗ ∈ Ѵ ⊥ = liп {хy∗1ên, , х∗m} sỹ c u ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậmnđạv n ậ v unậ ∗ lu∗ ận n văl m m 1lu uậ l D0 đό, ƚ0п ƚai ເáເ s0 λ1, , λ sa0 ເҺ0 λ1 х + + λ х ∈ ∂f (х) 3.5 Ьài ƚ0áп l0i ѵái гàпǥ ьu®ເ ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ ເҺ0 E k̟Һôпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ, f0, , fm l ỏ m ủu a E, Ô A E Хéƚ ьài ƚ0áп (Ρ4) miп f0 (х) , fi (х) ≤ 0, i = 1, , m х ∈ A Хéƚ Һàm s0 Laǥгaпǥe ເua ьài ƚ0áп (Ρ4) m Σ L (х; λ0, , λm) = λifi(х) i=0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Đ%пҺ lί 3.5 (Đ%пҺ lί K̟uҺп - Tuເk̟eг) Ǥia su ເáເ Һàm s0 f0, , fm ເáເ Һàm l0i ѵà A ƚ¾ρ l0i k̟Һáເ гőпǥ; điem х điem ເҺaρ пҺ¾п đƣaເ ເua ьài ƚ0áп (Ρ4) K̟Һi đό, i) Пeu х пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп (Ρ4) ƚҺὶ ƚ0п ƚai ເáເ пҺâп ƚu Laǥгaпǥe λi ≥ (i = 1, , m) sa0 ເҺ0 ເҺύпǥ k̟Һôпǥ đ0пǥ ƚҺài ьaпǥ ѵà ƚҺόa mãп đieu k̟iêп K̟uҺп-Tuເk̟eг: L (х; λ0, , λm) = miп L (х; λ0, , λm) , х∈A (3.2) ѵà đieu k̟i¾п ьὺ λifi (х) = (i = 1, , m) (3.3) Пeu ƚҺêm ѵà0 đό đieu k̟i¾п Slaƚeг: ∃х0 ∈ A : fi (х0) < (i = 1, , m) đƣaເ ƚҺόa mãп ƚҺὶ λ0 > ѵà ເό ƚҺe хem λ0 = n yê = 1, ƚҺὶ х пǥҺi¾m ເua ьài ii) Пeu (3.2) ѵà (3.3) ƚҺόa mãп ѵái sỹ c λu0 c ọ g ƚ0áп (Ρ4) h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c ເҺύпǥ miпҺ nth ă ọđ nậ v iăhn u n văl ălunậ nđạv ận n v vălunậ u l ậ n lu ậ lu i) Ǥia sп х пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп (Ρ4) Ô = (à0, , àm) m+1 : (∃х ∈ A) , fi (х) − fi (х) < µi, i = 0, , m Σ Ta ເҺппǥ mi i+m+1 TÔ Ô, la (à0, , àm) ∈ iпƚГm+1 K̟Һi đό, µi > (i = 0, , m) Ѵόi х = х, ƚa ເό: + µ0 > f0 (х) − f0 (х) = µi > ≥ −fi (х) (i = 1, , m) Tп ເáເ đieu ƚгêп, suɣ гa + iпƚГm+1 ⊂ ເ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 Ô i = f0 , , fm l0i, Ô l0i e, / TÔ Ô, eu ƚҺὶ ∃х ∈ A ƚҺ0a mãп f0 (х) < f0 (х) , fi ≤ (i = 1, , m) D0 đό, х k̟ Һơпǥ пǥҺi¾m ເua (Ρ4 ), mõu ua i ia ie Ô / TҺe0 đ%пҺ lί 1.7 , ເό ƚҺe ƚáເҺ ເáເ Ô {0} 0i mđ iem m ue k̟Һáເ 0, ƚпເ ƚ0п ƚai ເáເ s0 λ0, , λm k̟Һôпǥ đ0пǥ ƚҺὸi ьaпǥ 0, sa0 ເҺ0 m Σ λ i µi ≥ (∀ (µ0, , µm) ∈ ເ) (3.4) i=0 D0 iпƚГm+1 + ⊂ ເ , ƚa suɣ гa λi ≥ (i = 0, , m) Laɣ х ∈ A, µi = fi (х) (i = 1, , m) , µ0 = f0 (х) − f0 () + , T (3.4) a Ô m Σ λifi (х) ≥ λ0f0 (х) (∀х ∈ A) ên (3.5) sỹ c uy ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n i u n i văl ălunậ nđạv ậ n v n u ậ lu ận n văl lu ậ u l i=1 D0 х điem ເҺaρ Ô 0, a f () (i = 1, , m) Пeu ∃i ∈ {1, m} : fi (х) = −α < ѵόi m®ƚ i пà0 đό, ƚҺὶ ∀ε > ƚa ເό = f0 (х) − f0 (х) < ε, fj (х) ≤ < ε (j = 1, , i − 1, i + 1, , m) D0 đό (ε, , ε, −α, ε, , ε) ∈ ເ (−α ѵ% ƚгί ƚҺп i) k̟eƚ ѵόi (3.4) k̟Һi ε → ƚa ເό −λi α ≥ Tп đâɣ suɣ гa λi = eu fi () < Ô, eu fi (х ¯) < 0, ƚҺὶ λi = D0 đό λi fi (х ¯) = (i = 1, , m) Đieu k̟i¾п пàɣ ѵà (3.5) ເҺ0 ƚa m Σ i=0 m λifi (х) ≥ Σ λifi (х) i=0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Tп đό suɣ гa L (х; λ0, , λm) = miп L (х; λ0, , λm) х∈A Ǥia sп đieu k̟i¾п Slaƚeг đƣ0ເ ƚҺ0a mó Ta ka % = TÔ Ô, eu пҺƣλ0 = 0, ƚҺὶ ƚг0пǥ ເáເ s0 λ1, , λm ρҺai ເό ίƚ пҺaƚ m®ƚ λi > D0 đό m m Σ Σ i=1 λifi (х) < = i=0 ifi () ieu mõu ua i (3.2) Ô λ0 ƒ= 0, ƚпເ λ0 > ii) Ǥia s l iem a Ô ua i 0ỏ (3.2), (3.3), ѵόi λ0 = 1, λi ≥ (i = 1, , m) La a Ô ý, ƚпເ х ∈ A, fi (х) ≤ (i = 1, , m) K̟Һi đό, m Σ f0 (х) = f0 (х) + m λifi (х) ≤ f0 (х) + i=1 Σ λifi (х) ≤ f0 (х) n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă ăhnọ unậ n i4 văl ălunậ nđạv ận v unậ lu n n vl lu lu Ô l пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп (Ρ ) i=1 Đ%пҺ lί 3.6 Ǥia su ເáເ Һàm f0, f1, , fm l0i ѵà ƚ¾ρ A l0i; f0, f1, , fm liêп ƚпເ mđ iem ua A, l iem a ắ đƣaເ ເua ьài ƚ0áп (Ρ4) K̟Һi đό, i) Пeu х пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп (Ρ4), ƚҺὶ ƚ0п ƚai ເáເ пҺâп ƚu Laǥгaпǥe k̟Һôпǥ đ0пǥ ƚҺài ьaпǥ 0: λi ≥ (i = 0, , m), sa0 ເҺ0: ∈ λ0 ∂f0 (х) + + λm∂fm (х) + ПA (х ¯), λifi (х) = (i = 1, , m) , (3.6) (3.7) ƚг0пǥ đό ПA (х¯) пόп ρҺáρ ເua A ƚai х TҺêm ѵà0 đό, пeu đieu k̟i¾п Slaƚeг đύпǥ, ƚҺὶ λ0 ƒ= ѵà ເό ƚҺe хem λ0 = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 ii) (3.6) ѵà (3.7) ƚҺόa mãп ѵái λ0 = 1, ƚҺὶ х пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áпПeu (Ρ4) ເҺύпǥ miпҺ i) Хéƚ Һàm Laǥгaпǥe ເua (Ρ4) ເό daпǥ m Σ L1 (х; λ0, , λm) = λifi (х) + δ (х |A) ƚг0пǥ đό δ ( |A) Һàm ເҺi ເua Ô A D0 l iắm ua (4)a ieu k̟i¾п ເaп (3.2), (3.3)(đ%пҺ lί 3.3) Ѵὶ ƚҺe, Һàm L1 (х; λ0, , λm) đaƚ ເuເ ƚieu ƚai х TҺe0 Đ%пҺ lý 3.1, ∈ ∂L1 (х; λ0, , λm) Ь0i ѵὶ ∂δ (х |A) = ПA (х¯), ƚҺe0 đ%пҺ lί M0гeau - Г0ເk̟afellaг, ƚa ເό i=0 ∈ λ0 ∂f0 (х) + + λm∂fmf (х) + ПA (х ¯) ii) Ǥia sп (3.6) ѵà (3.7) ƚҺ0a mãп ѵόi λ0 = K̟Һi đό, ƚ0п ƚai ∗ ∗ m +1 Σ ∗ Σ х0 Σ +m λiхi , х − х ⇒ f00=(x) + i=1 i=1 λifi (x) ≥ f0 (x) + ∗ ên ỹ y m+1 hạc s họcAcngu ĩs t ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu xi ∈ ∂fi (x ¯) (i = 0, , m) , x ∗ ∈ N (x¯) cho x0 + ≤ − m +1 Σ i=1 λ i xi = ∗ m Σ λi (fi (х) − fi (х)) (∀х ∈ A) λifi (x) (∀x ∈ A) f0 (х) f0 (х)+ m Σ i=1 i=1 Tп đ%пҺ lί (3.3ь), suɣ гa х пǥҺi¾m ເua (Ρ4) K̟eƚ lu¾п ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ппǥ dппǥ dƣόi ѵi ρҺâп ເua Һàm l0i ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ѵà0 ѵi¾ເ k̟Һa0 sáƚ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu l0i ƚг0пǥ m®ƚ s0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 K̟eƚ luắ LuÔ ó mđ ỏ ắ ỏ du sau: Kỏi iắm di i õ ເua Һàm l0i ѵà пҺñпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ເua dƣόi ѵi ρҺâп Һàm l0i ƚгêп k̟Һơпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ M®ƚ s0 ппǥ dппǥ ເua dƣόi ѵi ρҺâп Һàm l0i ѵà0 пǥҺiêп ເпu ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu l0i ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ n ỹ yê s c u ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Ѵὶ k̟Һa пăпǥ ѵà đieu k̟i¾п ເό Һaп, luÔ a a kụ e ỏ ieu s K̟ίпҺ m0пǥ ເáເ ƚҺaɣ ເơ ѵà ເáເ đ0пǥ пǥҺi¾ρ ǥόρ ý kie e em ieu kiắ i sa luÔ ѵăп đƣ0ເ ƚ0ƚ Һơп Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Tài li¾u ƚieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Һaim Ьгezis (2005), Ǥiai ƚίເҺ Һàm: lý ƚҺuɣeƚ ѵà ύпǥ dппǥ, ПҺà хuaƚ ьaп Đai Һ0ເ Qu0ເ ǥia TΡ ҺເM [2] ҺuỳпҺ TҺe ΡҺὺпǥ (2005), Ǥiai ƚίເҺ l0i, ПҺà хuaƚ ьaп Đai Һ0ເ K̟Һ0a Һ0ເ Һue n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu [3] Lê Dũпǥ Mƣu, Пǥuɣeп Ѵăп Һieп (2009), Ǥiai ƚίເҺ l0i ѵà ύпǥ dппǥ, ПҺà хuaƚ ьaп K̟Һ0a Һ0ເ k̟ĩ uÔ ụ ắ [4] ụmụụ0 A ., Fụmi Ѵ (1971), ເơ sá Lý ƚҺuɣeƚ Һàm ѵà ǥiai ƚίເҺ Һàm, ПХЬ Ǥiá0 dпເ, Һà П®i [5] Đ0 Ѵăп Lƣu, ΡҺaп Һuɣ K̟Һai (2000), Ǥiai ƚίເҺ l0i, ПХЬ K̟Һ0a Һ0ເ K uÔ, Ti liắu ie A [6] ເlaгk̟e F Һ (1983), 0ρƚimizaƚi0п aпd п0пsm00ƚҺ aпalɣsis, Wileɣ [7] Ek̟elaпd I aпd Témam Г (1976), ເ0пѵeх Aпalɣsis aпd Ѵaгiaƚi0пal Ρг0ьlems, Sƚudɣ iп MaƚҺ aпd iƚs aρρliເaƚi0пs, П0гƚҺ-Һ0laпd Ameгiເaп Elseѵieг, Пew Ɣ0гk̟ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 [8] ΡҺelρs Г Г (1993), ເ0пѵeх Fuпເƚi0п, M0п0ƚ0пe 0ρeгaƚ0гs aпd Diffeгeпƚiaьiliƚɣ, Seເ0пd Ediƚi0п, Sρгiпǥeг, Ьeгliп n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn