(Luận văn) một số bất đẳng thức holder tổng quát và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHN Lấ NHT DUY lu an ă MT S BT ĐẲNG THỨC HOLDER TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG n va p ie gh tn to d oa nl w a lu oi lm ul f an nv LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z om l.c gm @ n a Lu Bình Định - 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ NHẤT DUY lu an ă MT S BT NG THC HOLDER TNG QUT VÀ ỨNG DỤNG n va p ie gh tn to d oa nl w Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 a lu oi lm ul f an nv nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: z at PGS TS ĐINH THANH ĐỨC z om l.c gm @ n a Lu Bình Định - 2019 n va ac th si Mục lục Mục lục MỞ ĐẦU lu an Một số bt ng thc Hă older tng quỏt n va 1.1 Giới thiệu 1.2 Một số bt ng thc Hăolder tng quỏt dng ri rc to p ie gh tn 1.2.1 M rng bt ng thc Hăolder tng quát thông qua bất đẳng thức loại Hu tổng quát 1.2.2 Mở rộng bất ng thc Hăolder tng quỏt thụng qua d oa nl w tính chất đơn điệu 19 Một số dạng mở rộng khác 34 1.3 Mt s bt ng thc Hăolder tổng quát dạng liên tục 50 1.4 Bt ng thc Hăolder ngc 59 1.2.3 a lu f an nv Một vài ứng dụng 62 62 2.2 Một số ứng dụng bất ng thc Hăolder ngc 67 oi lm ul 2.1 Ứng dụng mt s bt ng thc Hăolder tng quỏt 71 z at 72 z TÀI LIỆU THAM KHẢO nh KẾT LUẬN @ om l.c gm QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) n a Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Bất đẳng thức đề tài hay, có ứng dụng rộng rãi đóng vai trị quan trọng toán học Trong danh sách bất đẳng thc, bt ng thc Hăolder c ngi ta xem nh bất đẳng thức lu nhất, có tính ứng dụng cao việc giải vấn đề tốn học an Để tìm hiểu chi tiết có nhìn khái qt bất đẳng thc Hăolder cng n va nh nhng ng dng ca chúng tốn học, tơi chọn đề tài “ Một s bt Bt ng thc Hăolder c t theo tờn nhà toán học người Đức Ot- p ie gh tn to ng thc Hăolder tng quỏt v ng dng ter Hăolder Trong sut chiu di phỏt trin ca toán học, vấn đề d oa nl w bt ng thc Hăolder ó c nhiu nh toỏn học tìm hiểu mở rộng kết hay, với khả ứng dụng ngày rộng rãi bất đẳng thức toán học Cụ thể, R Bellman E F Beckenbach [2] vào năm 1961 đưa dạng tổng quát liên tục bất đẳng a lu thức Hăolder, tip sau ú P M Vasic v J E Peˇcari´c [17] vào năm 1979 f an nv trình bày dạng tổng quát rời rạc bất đẳng thc Hăolder Tip ni cỏc oi lm ul kt qu trình bày [2] [17], kết nghiên cứu công bố sau cung cấp nhiều dng m rng v ci tin bt ng thc Hăolder Năm 2002, Xiao-Jing Yang [13] cách xây dựng hàm đơn điệu đưa nh z at mt dng m rng ca bt ng thc Hăolder v XiaoJing Yang(2012) [19], với mục đích mở rộng bt ng thc Hăolder ó a z @ mt kết với ý tưởng tương tự Trong khoảng năm trở lại đây, hàng gm loạt báo khác công bố với nội dung trọng tâm tiếp tục mở rộng, cải tiến bất ng thc Hăolder bng nhiu phng phỏp khỏc nhau, l.c om phương pháp thông qua bất đẳng thức loại Hu tổng quát [11] vào a Lu năm 2017, thơng qua tính chất đơn điệu [8, 10] vào năm 2015, 2016 Jing-Feng Tian, hay báo gần [7] vào năm 2018 nhóm tác giả n n va ac th si Jing-Feng Tian, Ming-Hu Ha Chao Wang Qua số lượng báo kết kèm bất đẳng thức Hăolder, chỳng ta th thy c tớnh a dng v phong phú vấn đề liên quan đến bất đẳng thức tiếng Mục tiêu luận văn trình bày cách hệ thống chi tiết dạng tổng quát rời rạc liên tục ca bt ng thc Hăolder c trỡnh by cỏc tài liệu [4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19], trọng vào việc mở rộng cải tiến nó, từ có nhìn tổng quan quỏ trỡnh phỏt trin ca bt ng thc Hăolder Vic đánh giá chặt chẽ bất đẳng thức đem lại nhiều kết kèm theo cho cách đánh giá rõ ràng đại lượng Cụ thể hơn, luận văn này, chúng tơi lu trình bày số ng dng ca cỏc bt ng thc Hăolder tng quỏt việc an n va cải tiến mở rộng bất đẳng thức Chung, Beckenbach, Minkowski Hao Z-C Đồng thời, trình bày số dạng ngược bất đẳng thức Radon, Bố cục luận văn bao gồm chương: p ie gh tn to bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức trung bình tích phân với trọng số Chương 1: Trong chương này, hệ thống lại dạng tổng quát d oa nl w ca bt ng thc Hăolder hai dng rời rạc liên tục Đưa đánh giá so sánh phương pháp mở rộng bất ng thc Hăolder Chng 2: p dng nhng kt qu thu chương 1, a lu trình bày số dạng mở rộng cải tiến bất đẳng thức Chung, bất f an nv đẳng thức Beckenbach, bất đẳng thức Minkowski bất đẳng thức Hao Z-C Cùng với số dạng ngược bất đẳng thức Radon, bất đẳng oi lm ul thức Jensen bất đẳng thức trung bình tích phân với trọng số Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình PGS TS nh Thầy Đinh Thanh Đức Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến z at Thầy Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến tồn thể q thầy z giáo Khoa Toán, Trường Đại Học Quy Nhơn, lớp Cao học Toán học tập, nghiên cứu thực đề tài gm @ K20 quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình l.c Mặc dù cố gắng trình thực luận văn, om điều kiện thời gian có hạn, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học a Lu nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi nhiều thiếu sót Rất mong n nhận góp ý tận tình q thầy cô bạn bè để luận văn n va ac th si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an hoàn thiện lu an n va p ie gh tn to d oa nl w a lu oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chng Mt s bt ng thc Hă older tổng quát lu an n va Trong chương này, đề cập số dạng tổng quát bt ng Hăolder hai dng ri rc v liờn tục, việc mở rộng cải tiến tn to Các kết có áp dụng để đưa số dạng tổng quát p ie gh cải tiến bất đẳng thức tiếng khác Nội dung phần chúng tơi trình bày dựa tài liệu [4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19] d oa nl w 1.1 Giới thiệu a lu Như ó bit, bt ng thc Hăolder c in núi rng f an nv ak ≥ 0, bk ≥ (k = 1, 2, · · · , n), p ≥ q > 1, p1 + k=1 ak b k ≤ X n oi lm ul n X apk q =  p1  X  1q n bqk (1.1) k=1 k=1 nh Dấu bất đẳng thức (1.1) ngược lại với p < z at Đối với dạng liên tục, bất đẳng thức Hăolder c phỏt biu nh sau: z Cho p, q > 0, p1 + 1q = f (x) ∈ Lp [a; b], g(x) ∈ Lq [a; b] Khi Z b Z b  1q  p1  Z b C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 43 = n Y m n X X Aij  Y m j=1 i=1 s=1 n n m XX Y + i=1 s=1 X m n Y = s  m n n X X Y  − Ast t=1 Aij i=1 s=1  Y m i Aij  Y m  Ast t=1 j=1  Ast t=1 j=1 2 (1.85) Aij i=1 j=1 Trường hợp 1: Nếu m số chẵn Áp dụng Bổ đề 1.2.2, ta có m n Y X lu s=1 j=1 i=1 an n va = Aij X n Y m n X n Y m X i=1 s=1 Aij to p ie gh tn Aij d oa nl w i=1 s=1 = Aij Aij 1−Pm j=1 β j Ast Pm j=1 β j Ast ≥ 1, ta có βj Ast 1 1− + i s   β1 (1.86) j t  β1  t n a Lu 1
1− + i s om n va s=1 1 1− + i s Aβstt Pm j=1 β l.c Ast  Y m X n t=1 Aij gm t=1 X n Y m 2 j=1 @ j=1 Aij i=1  s=1 t=1 j=1 n Y m X i=1 Aij = z i=1 X n Y m s=1 j=1 n Y m X Ast X n Y m t=1 j=1 Aij j z at i=1 ≤ Ast Pm j=1 β nh j=1 1 1− + i s t=1 Aij n Y m X =  t=1 i=1 s=1 j=1   n n m m XX Y Y  Pm j j  Y m oi lm ul Hơn nữa, từ  Y m j=1 X n X n Y m i=1 s=1 Pm j=1 β Ast t=1 Aij f an nv = j t=1 a lu × Pm j=1 β 1−Pm j=1 β  Y m j=1 i=1 s=1 1 1− + i s Ast  Y m j=1 n X n Y m X X m n X n Y 1 1− + i s  t=1 ≥ × Ast t=1  Y m j=1 X m n X n Y i=1 s=1  ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 44 m =  n Y X n X i=1 s=1 β2j−1 Ai(2j−1) j=1  β2j−1 Ai(2j−1) ×  × β2j Ai(2j) n X 1
1− + i s β2j−1 As(2j−1) β2j As(2j) 1
1− + i s β2j−1 As(2j−1) 1
1− + i s s=1 n X s=1 β − β1 2j−1 2j  β2j   β2j (1.87) , − β1m ) + β1m + β1m ≥ 1, đó, từ ( β11 − β12 ) + β12 + β12 + ( β13 − β14 ) + β14 + β14 + · · · + ( βm−1 áp dụng (1.5) cho vế phải (1.87), ta có X  n Y m m n Y P X 1 1
m j=1 β lu Aij an s=1 j=1 i=1 n va m j=1 × n X β2j−1 Ai(2j−1) i=1 X n β2j Ai(2j) β2j−1 As(2j−1) 1
1− + i s s=1 n X i=1 X n X n i=1 s=1 n Y  X β2j−1 A i i(2j−1) β 2j Ai(2j) β2j−1 Ai(2j−1) 2j Ai(2j) s=1 n X β + 2j−1 As(2j−1) − s=1 n X β2j−1 A s s(2j−1) β2j−1 Ai(2j−1) i=1 n X i=1 β2j A i i(2j)  β1  2j β 2j As(2j) s=1 n X β2j A s s(2j)  s=1 n X s=1 β 2j−1 As(2j−1) n a Lu s=1 β2j As(2j) n X n X om β 2j l.c i=1 n X i=1  X n  β1  gm + − β2 2j−1 2j  @ × 1
1− + i s i=1 n X 1
1− + i s β2j−1 β2j Ai(2j−1) As(2j) i=1 s=1 i=1 X n 2j z i=1  β1  z at − n X β 2j nh j=1 β2j−1 Ai(2j−1) − β1 2j−1 2j β  β1  X n X n oi lm ul β2j β2j−1 Ai(2j) As(2j−1) m = − β2 2j−1 2j f an nv × β a lu j=1 β2j−1 Ai(2j−1) j s 1
1− + i s 1
1− + i s s=1 i=1 n Y  X + i β2j As(2j) m = β2j−1 As(2j−1) s=1 n X d oa nl w × β2j−1 Ai(2j−1) t=1 i=1 X n p ie gh tn to ≤ n Y  X 1− Ast n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 45 m =  X n Y  X n i=1 n Y  X j=1   X n  X n 2j−1 Ai(2j−1) 2j−1 i=1 Pn β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) lu = an β Aijj − − m  β2  Y  j i=1 n X β2j−1
Ai(2j−1) β2j
Ai(2j) i=1 i=1 X n  X n β2j−1 Ai(2j−1) i=1 X n i=1 Y n m X  i=1 β β 2j Aβi(2j)  Pn × 1− j=1 − β2 2j−1 2j × β2j−1 A i i(2j−1) m = β i=1 j=1 − β2j−1 Ai(2j−1) 2 β2 j A i i(2j) i=1 2  β1  2j  β2 β 2j Ai(2j) 2j β2j 2  β1  2j i=1 i Ai(2j) Pn β2j i=1 Ai(2j) Pn  Pn β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) 1− j=1 − β2j 2  β1  2j i=1 i Ai(2j) Pn β2j i=1 Ai(2j) n va (1.88) p ie gh tn to Kết hợp (1.88) (1.86), ta có  β1  Y n Y m m X n X β Aijj Aij ≤ j=1 d oa nl w i=1 j=1 × i=1 m Y  β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) 1− Pn β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) , Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) f an nv 0< Pn  Pn j=1 a lu Từ j β2j 2  β1  2j i=1 i Ai(2j) Pn β2j A i=1 i(2j) − (1.89) Pn β2j i=1 i Ai(2j) Pn β2j i=1 Ai(2j) (1.90) ≤ 1, oi lm ul ta có Pn β2j Pn β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) i=1 i Ai(2j) P < − P n n β2j−1 β2j (1.91) i=1 Ai(2j) z at nh i=1 Ai(2j−1) z Từ (1.89) (1.91), Định lý chứng minh trường hợp m chẵn P Trường hợp 2: Nếu m lẻ m j=1 βj ≥ Tiến hành tương tự trường hợp Aij ≤ j=1 β Aijj j i=1 Y 1− Pn − β2j 2  β1  2j i=1 i Ai(2j) Pn β2j A i=1 i(2j) (1.92) n va β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) n j=1  Pn a Lu m−1 ×  β1  om i=1 j=1 Y m X n l.c n Y m X gm @ 1, ta có ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 46 Định lý 1.2.11 chứng minh Nếu < < 1, từ Định lý 1.2.11 Bổ đề 1.2.1 có dạng 2β2j làm cht khỏc ca bt ng thc Hăolder tng quỏt (1.5) Hệ 1.2.12 ([9]) Cho Aij ≥ 0(i = 1, 2, · · · , n, j = 1, 2, · · · , m), β1 ≥ β2 ≥ · · · ≥    m m chẵn Pm ≥ 1, cho α(m) = βm > 0, j=1 Khi m−1 βj   m lẻ m n Y X Y n m X Aij ≤ lu an n va ×   i=1 j=1 i=1 j=1 β Aijj βj  α(m) Y j=1 1− 2β2j Pn  Pn β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) − β2j 2  i=1 i Ai(2j) Pn β2j A i=1 i(2j) (1.93) tn to Tiếp theo, đề cập đến số dạng mở rộng khác chặt chẽ hn p ie gh ca cỏc bt ng thc Hăolder tổng quát (1.6) (1.7) trình bày Định lý sau d oa nl w Định lý 1.2.12 ([9]) Cho Aij > 0(i = 1, 2, · · · , n, j = 1, 2, · · · , m) P (a) Nếu β1 > 0, βj < 0(j = 2, 3, · · · , m), < m j=1 βj ≤ n Y m X Aij ≥ a lu j=1 × β Aijj  β1  j i=1 f an nv i=1 j=1 Y m X n Y m  β1 i=1 i Ai1 Pn β1 i=1 Ai1 (b) Nếu β1 > 0, βj < 0(j = 2, 3, · · · , m), Aij ≥ j=1  β1  j i=1 1− 2βj i=1 n va j=1 (1.95) n i=1 j=1 j − a Lu β Aijj Aij ≥ βj 2  i=1 i Aij Pn βj A i=1 ij om (c) Nếu βj < 0(j = 1, 2, · · · , m) Y  β1  n Y m m X n X Pn l.c ∗ β1 i=1 i Ai1 Pn β1∗ i=1 Ai1 Pn gm Y m  j=2 < βj @ × β Aijj (1.94) z i=1 j=1 j=1 − βj 2  i=1 i Aij Pn βj A i=1 ij z at Y m X n Pm nh n Y m X Pn Pn oi lm ul j=2 1− 2βj ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 47 × =1− β1∗ Pm j=2 lu an ≤ Ast  Y m n va s=1 i=1 Ast to p ie gh tn s=1 i=1 = d oa nl w t=1 a lu Aij  − Aij j Ast s=1 i=1 i Ast  Y m t=1  Aij j=1 j Aij j=1 1−Pm j=1 β j Aij oi lm ul Ast  m n n X X Y Pm j=1 β j=1 t=1 j Aij  = X n Y m z Aij z at Ast j=1  Y m Pm j=1 β nh Ast  Y m i=1  Aij j=1 Aij − 1− 1
+ i s Pm n 1
β1j + i s j=1 βj a Lu n va i=1 j=1 j=1 om Ast (1.97) l.c t=1 i=1 X n Y m Aij gm t=1 n Y m X 2 @ j=1 Ast s=1 Pm j=1 β j Từ bất đẳng thức (1.6), ta có X n Y m n Y m X = 1
1− + i s Aij  Y m  Y m t=1 s=1 j=1 βj 1−Pm j=1 β  Y m f an nv s=1 i=1  j=1 t=1 n X n Y m X Pm j t=1 X n X n Y m s=1 i=1 = Ast Y m s=1 i=1 j=1 βj j=1 n X n X = Pm Aij j=1  Y m s=1 i=1 s=1 i=1 × Ast Ast × X n Y m n X 1
+ i s j=1 t=1 s=1 i=1 X n Y m n X s (1.96) 1−Pm j=1 β  Y m t=1 X n X n Y m − 1
1− + i s Aij  Y m t=1 X n X n Y m +  j=1 X n X n Y m × j=1 i=1 t=1 s=1 i=1 1− Aij Ast = βj 2  i=1 i Aij , Pn βj i=1 Aij βj Chứng minh (a) Theo Bổ đề 1.2.2, ta có  X n Y m n Y m X s=1 t=1 m n n XXY Pn Pn 1− 2βj j=2 ∗ β1 i=1 i Ai1 Pn β1∗ A i=1 i1 Y m  ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 48 ≥ n Y m X s=1 = Ast t=1 j=1 n  X n X Aβs11 s=1 × Y m  j=2 ×  Y m X n Y m  lu β1 − m P an j=2 βj 1
1− + i s Aβi11 n X
+ β2 + β3 1 1
1− + i s Aβi11 + ··· + βm  β1  j  β1 −Pm j=2 β 1
1− + i s i=1 j=2 Do đó, từ i=1 i=1 n X β Aijj Aβs11 i=1 β Asjj 1
1− + i s β Aijj  β1  j  β1  j (1.98) β2 + j + β3 + ··· + βm ≤ 1, áp dụng n va Ast tn to (1.5) cho vế phải bất đẳng thức (1.98), ta X  n Y m n Y m P X 1 1
m j=1 β s=1 t=1 p ie gh ≥ i=1 X n X n s=1 i=1 Y m X n X n a lu × Aβi11  β2 −Pm j=2 β j × i=1 β Asjj Aβi11 − Y m  X n X n × 1
+ i s Y m  X n i=1 Aβi11 n X − s s=1 n X s=1 Aβs11 β Asjj s=1 Aβs11 n X n X β Aijj i=1 β  Aijj i=1 n X i=1 Aβ1 i i1 + n X n X s=1 i=1 β A j s sj Aβi11  β1  j n a Lu β Asjj n X j om s=1 i=1 β Aijj +  l.c X n i s=1 i=1 1
1− + i s gm Aβs11 n X β Aβs11 Aijj  β1  j=2 s=1 × j j @ − i=1 n X  β1  z = Aβi11  β2 −Pm j=2 β j z at s=1 i=1 X n  β1  nh × j 1
1− + i s j=2 X n X n j s oi lm ul = f an nv s=1 i=1 j=2 X n β Asjj Aβi11 +  β1 −Pm j=2 β 1
1− + i s β Aβs11 Aijj s=1 i=1 j=2 Y m X n X n i j=1 1
1− + i s Aβs11 Aβi11 d oa nl w × 1− Aij n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 49 X n = Aβi11  β2 −Pm j=2 β j × Y n m  X i=1 − Aβi11  X n i=1 i=1 Y n m X = β Aijj − i=1  β2  Y m  j β1 A i i1 2 β Aijj 2  β1  j i=1 βj 2  β1  j i=1 i Aij Pn βj A i=1 ij Pn β1 i=1 i Ai1 Pn β1 i=1 Ai1 j=2 β Aijj i=1  X n Pn 1− i=1 j=1 X n  βj A i ij  X n i=1 j=2  X n Aβi11 − (1.99) Kết hợp (1.99) (1.97), ta  β1  Y n m X n Y m X j β Aijj Aij ≥ i=1 j=1 i=1 j=1 lu an × Y m  n va 1− β1 i Ai1 Pi=1 n β1 i=1 Ai1 Pn Pn j=2 tn to Hơn nữa, ta có p ie gh 0< − βj i=1 i Aij Pn βj i=1 Aij (1.100) (1.101) ≤ 1,