(Luận văn) một số bất đẳng thức holder tổng quát và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHN Lấ NHT DUY lu an ă MT S BT ĐẲNG THỨC HOLDER TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG n va p ie gh tn to d oa nl w a lu oi m ll fu an nv LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z gm @ m co l an Lu Bình Định - 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ NHẤT DUY lu an ă MT S BT NG THC HOLDER TNG QUT VÀ ỨNG DỤNG n va p ie gh tn to oa nl w Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 d oi m ll fu an nv a lu z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS ĐINH THANH ĐỨC z gm @ m co l an Lu Bình Định - 2019 n va ac th si Mục lục Mục lục MỞ ĐẦU lu an Một số bt ng thc Hă older tng quỏt n va 1.1 Giới thiệu 1.2 Một số bt ng thc Hăolder tng quỏt dng ri rc to tn 1.2.1 M rng bt ng thc Hăolder tng quỏt thụng qua p ie gh bất đẳng thức loại Hu tổng quát 1.2.2 Mở rộng bất đẳng thc Hăolder tng quỏt thụng qua tớnh cht n iu oa nl w 1.2.3 19 34 1.3 Mt s bt ng thc Hăolder tng quỏt dng liên tục 50 1.4 Bt ng thc Hăolder ngc 59 d Một số dạng mở rộng khác fu an nv a lu Một vài ứng dụng 62 62 2.2 Một số ứng dụng bất ng thc Hăolder ngc 67 oi m ll 2.1 Ứng dụng mt s bt ng thc Hăolder tng quỏt 71 72 z TÀI LIỆU THAM KHẢO z at nh KẾT LUẬN @ gm QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) m co l an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Bất đẳng thức đề tài hay, có ứng dụng rộng rãi đóng vai trị quan trọng toán học Trong danh sách bất đẳng thc, bt ng thc Hăolder c ngi ta xem nh bất đẳng thức lu nhất, có tính ứng dụng cao việc giải vấn đề tốn học an Để tìm hiểu chi tiết có nhìn khái qt bất đẳng thc Hăolder cng va nh nhng ng dng ca chỳng tốn học, tơi chọn đề tài “ Một số bt n Bt ng thc Hăolder c t theo tờn nhà toán học người Đức Ot- gh tn to ng thc Hăolder tng quỏt v ng dng p ie ter Hăolder Trong sut chiu di phỏt trin ca toán học, vấn đề bất đẳng thức Hăolder ó c nhiu nh toỏn hc tỡm hiu v mở rộng để oa nl w cho kết hay, với khả ứng dụng ngày rộng rãi bất đẳng thức toán học Cụ thể, R Bellman E F Beck- d enbach [2] vào năm 1961 đưa dạng tổng quát liên tục bất đẳng a lu thc Hăolder, tip sau ú P M Vasic v J E Peˇcari´c [17] vào năm 1979 fu an nv trình bày dạng tổng quát rời rạc bất ng thc Hăolder Tip ni cỏc kt qu c trỡnh bày [2] [17], kết nghiên cứu công m ll bố sau cung cấp nhiều dng m rng v ci tin bt ng thc Hăolder oi Năm 2002, Xiao-Jing Yang [13] cách xây dựng hàm đơn điệu đưa z at nh c mt dng m rng ca bt ng thc Hăolder XiaoJing Yang(2012) [19], với mục đích mở rng bt ng thc Hăolder ó a z @ kết với ý tưởng tương tự Trong khoảng năm trở lại đây, hàng gm loạt báo khác công bố với nội dung trọng tâm tiếp tục l mở rộng, cải tin bt ng thc Hăolder bng nhiu phng phỏp khỏc nhau, m co phương pháp thông qua bất đẳng thức loại Hu tổng quát [11] vào Lu năm 2017, thơng qua tính chất đơn điệu [8, 10] vào năm 2015, 2016 an Jing-Feng Tian, hay báo gần [7] vào năm 2018 nhóm tác giả n va ac th si Jing-Feng Tian, Ming-Hu Ha Chao Wang Qua số lượng báo kết kèm bất đẳng thc Hăolder, chỳng ta th thy c tớnh a dng phong phú vấn đề liên quan đến bất đẳng thức tiếng Mục tiêu luận văn trình bày cách hệ thống chi tiết dạng tổng quát rời rạc liên tc ca bt ng thc Hăolder c trỡnh by tài liệu [4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19], trọng vào việc mở rộng cải tiến nó, từ có nhìn tổng quan v quỏ trỡnh phỏt trin ca bt ng thc Hăolder Việc đánh giá chặt chẽ bất đẳng thức đem lại nhiều kết kèm theo cho cách đánh giá rõ ràng đại lượng Cụ thể hơn, luận văn này, chúng tơi lu trình bày s ng dng ca cỏc bt ng thc Hăolder tng quát việc an va cải tiến mở rộng bất đẳng thức Chung, Beckenbach, Minkowski n Hao Z-C Đồng thời, trình bày số dạng ngược bất đẳng thức Radon, Bố cục luận văn bao gồm chương: gh tn to bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức trung bình tích phân với trọng số p ie Chương 1: Trong chương này, hệ thống lại dạng tổng quát bt ng thc Hăolder hai dng ri rc v liên tục Đưa đánh oa nl w giá so sánh phương pháp mở rộng bất ng thc Hăolder Chng 2: p dng nhng kt qu thu chương 1, d a lu trình bày số dạng mở rộng cải tiến bất đẳng thức Chung, bất fu an nv đẳng thức Beckenbach, bất đẳng thức Minkowski bất đẳng thức Hao Z-C Cùng với số dạng ngược bất đẳng thức Radon, bất đẳng m ll thức Jensen bất đẳng thức trung bình tích phân với trọng số Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình PGS TS oi z at nh Thầy Đinh Thanh Đức Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến tồn thể q thầy z giáo Khoa Toán, Trường Đại Học Quy Nhơn, lớp Cao học Toán học tập, nghiên cứu thực đề tài gm @ K20 quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình l Mặc dù cố gắng trình thực luận văn, m co điều kiện thời gian có hạn, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Lu nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi nhiều thiếu sót Rất mong an nhận góp ý tận tình quý thầy cô bạn bè để luận văn n va ac th si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an hoàn thiện lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Mt s bt ng thc Hă older tng quỏt lu an va Trong chương này, đề cập mt s dng tng quỏt ca bt n ng Hăolder hai dạng rời rạc liên tục, việc mở rộng cải tiến tn to Các kết có áp dụng để đưa số dạng tổng quát p ie gh cải tiến bất đẳng thức tiếng khác Nội dung phần chúng tơi trình bày dựa tài liệu [4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19] oa nl w 1.1 Giới thiệu d a lu Như biết, bất ng thc Hăolder c in núi rng nu fu an nv ak ≥ 0, bk ≥ (k = 1, 2, · · · , n), p ≥ q > 1, p1 + n X m ll k=1 ak b k ≤ X n apk q =  1q  p1  X n bqk k=1 (1.1) k=1 oi z at nh Dấu bất đẳng thức (1.1) ngược lại với p < Đối vi dng liờn tc, bt ng thc Hăolder c phỏt biểu sau: z Cho p, q > 0, p1 + 1q = f (x) ∈ Lp [a; b], g(x) ∈ Lq [a; b] Khi Z b Z b  1q  p1  Z b C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 43 = n Y m n X X Aij  Y m j=1 i=1 s=1 n n m XX Y + i=1 s=1 X m n Y s − Ast i=1 s=1 t=1 Aij  Y m i Aij  Y m  Ast t=1 j=1  Ast t=1 j=1 2 (1.85) Aij =  m n n X X Y  i=1 j=1 Trường hợp 1: Nếu m số chẵn Áp dụng Bổ đề 1.2.2, ta có m n Y X lu s=1 j=1 i=1 an va = Aij X n Y m n X n Y m X n i=1 s=1 Aij to gh tn Aij p ie oa nl w i=1 s=1 = d Aij Ast Aij j Ast Pm j=1 β j Ast Ast 1 1− + i s   β1 (1.86) j t  β1  t an Lu 1
1− + i s m co n va s=1 1 1− + i s Aβstt Pm j=1 β l Ast  Y m X n t=1 Aij gm t=1 X n Y m 2 j=1 @ j=1 Aij i=1  s=1 t=1 j=1 n Y m X i=1 Aij = X n Y m z i=1 Ast X n Y m s=1 j=1 n Y m X j 1−Pm j=1 β t=1 ≥ 1, ta có βj Aij Pm j=1 β z at nh j=1 1 1− + i s oi Pm i=1 ≤   Y m Aij n Y m X = j t=1 i=1 s=1 j=1   n n m m XX Y Y  j=1 j t=1 m ll Hơn nữa, từ  Y m j=1 X n X n Y m i=1 s=1 Pm j=1 β Ast t=1 Aij fu an nv = j t=1 a lu × Pm j=1 β 1−Pm j=1 β  Y m j=1 i=1 s=1 1 1− + i s Ast  Y m j=1 n X n Y m X X m n X n Y 1 + i s  t=1 ≥ × 1− Ast t=1  Y m j=1 X m n X n Y i=1 s=1  ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 44 m =  n Y X n X i=1 s=1 β2j−1 Ai(2j−1) j=1  β2j−1 Ai(2j−1) ×  × β2j Ai(2j) n X 1
1− + i s β2j−1 As(2j−1) β2j As(2j) 1
1− + i s β2j−1 As(2j−1) 1
1− + i s s=1 n X s=1 β − β1 2j−1 2j  β2j   β2j (1.87) , − β1m ) + β1m + β1m ≥ 1, đó, từ ( β11 − β12 ) + β12 + β12 + ( β13 − β14 ) + β14 + β14 + · · · + ( βm−1 áp dụng (1.5) cho vế phải (1.87), ta có X  n Y m m n Y P X 1 1
m j=1 β lu Aij an s=1 j=1 i=1 n va m j=1 × β2j−1 Ai(2j−1) oa nl w β2j Ai(2j) i=1 m n Y  X i=1 1
1− + i s β2j−1 As(2j−1) 1
1− + i s s=1 n X s=1 1
1− + i s − β2 2j−1 2j  X n n X + s=1 n X  β1  2j β2j−1 Ai(2j−1) β 2j−1 As(2j−1) − β2j−1 A s s(2j−1) β2j−1 Ai(2j−1) i=1 n X i=1 β2j A i i(2j) 2j n X β 2j As(2j) s=1 n X s=1  β1   β A 2j s s(2j)  n X s=1 β 2j−1 As(2j−1) m co s=1 n X an Lu s=1 β2j As(2j) n X 1
1− + i s l 2j Ai(2j) i=1 β2j−1 β2j Ai(2j−1) As(2j) gm β 2j Ai(2j) β 2j @ + i=1 n X  β1  z × 2j i=1 β A 2j−1 i i(2j−1) X n  β1 i=1 s=1 i=1 n X i=1 β − β1 2j−1 2j β z at nh − β2j−1 Ai(2j−1) j s  X n X n oi j=1 − β2 2j−1 2j m ll i=1 s=1 = β β2j β2j−1 Ai(2j) As(2j−1) m n Y  X + β2j As(2j) β2j−1 Ai(2j−1) X n X n i 1
1− + i s fu an nv × β2j−1 As(2j−1) a lu j=1 n X d = n X s=1 i=1 X n × β2j−1 Ai(2j−1) t=1 i=1 X n p ie gh tn to ≤ n Y  X 1− Ast n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 45 m =  X n Y  X n − β2 2j−1 2j × i=1 β2j−1 A i i(2j−1) m = β  X n i=1 j=1 − β2j−1 Ai(2j−1) n Y  X j=1   X n 2j−1 Ai(2j−1) i=1 Pn β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) lu = an β Aijj i=1 i=1 X n  X n β2j−1 Ai(2j−1) 2 β2 j A i i(2j) i=1 2  β1  2j  β2 2j Ai(2j) 2j β2j 2  β1  2j i=1 i Ai(2j) Pn β2j i=1 Ai(2j) − m  β2  Y  j β β2j
Ai(2j) i=1 i=1 X n i=1 Y n m X j=1 2j−1  Pn × 1− − i=1 β β 2j Aβi(2j)  n X β2j−1
Ai(2j−1)  Pn β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) 1− j=1 Pn − β2j 2  β1  2j i=1 i Ai(2j) Pn β2j A i=1 i(2j) va n (1.88) gh tn to Kết hợp (1.88) (1.86), ta có  β1  Y n Y m m X n X j β Aijj p ie Aij ≤ j=1 i=1 m oa nl w i=1 j=1 × Y Pn  Pn β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) 1− j=1 β2j 2  β1  2j i=1 i Ai(2j) Pn β2j i=1 Ai(2j) − (1.89) d a lu Từ Pn fu an nv β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) , Pn β2j−1 A i=1 i(2j−1) 0< β2j i=1 i Ai(2j) Pn β2j i=1 Ai(2j) (1.90) ≤ 1, m ll ta có Pn oi Pn β2j Pn β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) i=1 i Ai(2j) P < − P n n β2j−1 β2j (1.91) i=1 Ai(2j) z at nh i=1 Ai(2j−1) z Từ (1.89) (1.91), Định lý chứng minh trường hợp m chẵn P Trường hợp 2: Nếu m lẻ m j=1 βj ≥ Tiến hành tương tự trường hợp Aij ≤ j=1 β Aijj j i=1 Y 1− Pn − β2j 2  β1  2j i=1 i Ai(2j) Pn β2j i=1 Ai(2j) (1.92) n va β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) an j=1  Pn Lu m−1 ×  β1  m co i=1 j=1 Y m X n l n Y m X gm @ 1, ta có ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 46 Định lý 1.2.11 chứng minh Nếu < < 1, từ Định lý 1.2.11 Bổ đề 1.2.1 có dạng 2β2j làm cht khỏc ca bt ng thc Hăolder tng quỏt (1.5) Hệ 1.2.12 ([9]) Cho Aij ≥ 0(i = 1, 2, · · · , n, j = 1, 2, · · · , m), β1 ≥ β2 ≥ · · · ≥    m m chẵn Pm ≥ 1, cho α(m) = βm > 0, j=1 Khi m−1 βj   m lẻ m n Y X Y m X n Aij ≤ i=1 j=1 j i=1 j=1 lu an va ×  β1  β Aijj  α(m) Y n j=1 1− 2β2j Pn  Pn β2j−1 i=1 i Ai(2j−1) Pn β2j−1 i=1 Ai(2j−1) − β2j 2  i=1 i Ai(2j) Pn β2j A i=1 i(2j) (1.93) tn to Tiếp theo, đề cập đến số dạng mở rộng khác chặt chẽ hn gh ca cỏc bt ng thc Hăolder tng quỏt (1.6) (1.7) trình bày Định p ie lý sau oa nl w Định lý 1.2.12 ([9]) Cho Aij > 0(i = 1, 2, · · · , n, j = 1, 2, · · · , m) P (a) Nếu β1 > 0, βj < 0(j = 2, 3, · · · , m), < m j=1 βj ≤ Aij ≥ a lu j=1 × β  β1  j Aijj i=1 fu an nv i=1 j=1 Y m X n d n Y m X Y m  1− 2βj β1 i=1 i Ai1 Pn β1 i=1 Ai1 m ll j=2 oi (b) Nếu β1 > 0, βj < 0(j = 2, 3, · · · , m), Y m X n Aij ≥ j=1  β1  j i=1 ∗ β1 i=1 i Ai1 Pn β1∗ i=1 Ai1 Pn j i=1 n va j=1 (1.95) an i=1 j=1 − Lu β Aijj Aij ≥ βj 2  i=1 i Aij Pn βj A i=1 ij m co (c) Nếu βj < 0(j = 1, 2, · · · , m) Y  β1  n Y m m X n X Pn l 1− 2βj gm Y m  j=2 (1.94) < βj @ × j=1 − βj 2  i=1 i Aij Pn βj i=1 Aij z i=1 j=1 β Aijj Pm z at nh n Y m X Pn Pn ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 47 × Pn − s=1 t=1 m n n XXY Ast  Y m lu an n va s=1 i=1 Ast to Ast  Y m oa nl w Ast a lu  − Aij Ast Ast t=1 s=1 i=1 Pm i Ast  Y m t=1  Aij j=1 j=1 βj Aij 1−Pm j=1 β j Aij j=1  Y m Pm j=1 β j oi Aij z at nh Ast Aij = X n Y m z Ast j=1 i=1 j=1 X n Y m 1
+ i s Pm j=1 βj 1
β1j + i s n va i=1 j=1 Aij − 1− an Ast Aij Lu t=1 i=1  m co s=1 t=1  n m X Y (1.97) l Ast Aij j=1 gm Từ bất đẳng thức (1.6), ta có X n Y m n Y m X 2 @ t=1 s=1  m n n X X Y j=1  Y m s=1 i=1 t=1 j=1   n n m m XX Y Y  = j j t=1 X n X n Y m s=1 i=1 + i s Pm j=1 β Aij m ll = 1
1−Pm j=1 β  Y m fu an nv × 1− Aij j=1 d s=1 i=1  j=1  m n X n X Y = j=1 βj j  Y m t=1 X n Y m n X Pm Aij j=1 Ast × s j=1 βj j=1 t=1 s=1 i=1 X n Y m n X s=1 i=1 1
+ i s Pm 1−Pm j=1 β  Y m t=1 = p ie gh tn s=1 i=1 X n Y m n X s=1 i=1 1− Aij  Y m t=1 X n X n Y m +  j=1 X n X n Y m × j=1 i=1 t=1 s=1 i=1 1
1− + i s Aij Ast ≤ (1.96) Pm 1 = − j=2 β β1∗ j Chứng minh (a) Theo Bổ đề 1.2.2, ta có  X m n Y m n Y X = βj 2  i=1 i Aij , Pn βj i=1 Aij Pn 1− 2βj j=2 ∗ β1 i=1 i Ai1 Pn β1∗ i=1 Ai1 Y m  ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 48 ≥ n Y m X s=1 = Ast t=1 j=1 n  X n X Aβs11 s=1 × Y m  j=2 ×  Y m X n Y m  lu β1 m P − an j=2 βj + β2 + β3 1 1
1− + i s Aβi11 + ··· + βm  β1  j  β1 −Pm j=2 β 1
1− + i s i=1
+ i s 1
Aβi11 − n X j=2 Do đó, từ i=1 i=1 n X β β1 Aijj As1 i=1 β Asjj 1
1− + i s β Aijj  β1  j  β1  j (1.98) β2 + j + β3 + ··· + βm ≤ 1, áp dụng n va Ast tn to (1.5) cho vế phải bất đẳng thức (1.98), ta X  n Y m n Y m P X 1 1
m j=1 β s=1 t=1 p ie gh ≥ i=1 X n X n j=1 Aβs11 Aβi11 − s=1 i=1 Y m X n X n oa nl w × 1
+ i s i a lu  β2 −Pm j=2 β × i=1 j × − i=1 β Aijj n n β1 X βj X β1 A + A Ai1 i i1 s sj s=1 i=1  β1  j an s=1 β Asjj i=1 n X i=1  Lu i=1 Aβi11 s=1 n X β Aijj m co β Asjj n X s=1 n X n X l s=1 i=1 β1 A s s1  gm X n βj A + i ij n X Aβs11 @ Aβs11 n X 1
1− + i s j Y m  X n j=2 s=1 × β Aβs11 Aijj z − i=1 n X  β2 −Pm j=2 β 1
+ i s z at nh = Aβi11 j  β1  oi β Asjj Aβi11 − s=1 i=1 X n  β1  s=1 i=1 j=2 X n X n j Y m  X n X n j m ll = Aβi11  β1  fu an nv s=1 i=1 j=2 X n × 1
1− + i s β Asjj Aβi11 j s j d × Y m X n X n +  β1 −Pm j=2 β 1
1− + i s β Aβs11 Aijj s=1 i=1 j=2 1− Aij n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 49 X n = Aβi11  β2 −Pm j=2 β j × Y n m  X i=1 − Aβi11  X n i=1 i=1 Y n m X = j=1 β Aijj X n  βj A i ij − i=1  β2  Y m  j β1 A i i1 2 β Aijj 2  β1  j i=1 βj 2  β1  j i=1 i Aij Pn βj i=1 Aij Pn β1 i=1 i Ai1 Pn β1 i=1 Ai1 j=2 β Aijj i=1  X n Pn 1− i=1  X n i=1 j=2  X n Aβi11 − (1.99) Kết hợp (1.99) (1.97), ta  β1  Y n m X n Y m X j β Aijj Aij ≥ i=1 j=1 i=1 j=1 lu an × Y m  va 1− β1 i=1 i Ai1 Pn β1 i=1 Ai1 Pn Pn j=2 n tn to Hơn nữa, ta có p ie gh 0< − βj i=1 i Aij Pn βj i=1 Aij (1.100) (1.101) ≤ 1,