(Luận văn) một số bất đẳng thức về hàm lồi và ứng dụng

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o NGUY™N THÀ HÇNG HOA lu an n va p ie gh tn to d oa nl w MËT SÈ B‡T NG THÙC V— H€M LÇI V€ ÙNG DƯNG nf va an lu lm ul z at nh oi LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z m co l gm @ an Lu THI NGUY–N, 10/2018 n va ac th si „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o NGUY™N THÀ HÇNG HOA lu MËT SÈ B‡T NG THÙC V— H€M LÇI V€ ÙNG DƯNG an n va p ie gh tn to d oa nl w Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp M số: 8460113 nf va an lu LUŠN V‹N TH„C Sž TON HC lm ul z at nh oi GIO VIN HìẻNG DˆN z gm @ m co l PGS.TS NGUY™N THÀ THU THÕY an Lu THI NGUY–N, 10/2018 n va ac th si iii Mửc lửc lu an BÊng kỵ hiằu M Ưu Chữỡng Hm lỗi v b§t ¯ng thùc HermiteHadamard n va 1.1 1.1.1 BĐt ng thực HermiteHadamard cho hm lỗi 1.1.2 BĐt ng thực HermiteHadamard cho hm lỗi khÊ vi 1.2 Ùng dưng cõa b§t ¯ng thùc HermiteHadamard 14 p ie gh tn to Hm lỗi mởt bián v bĐt ng thực HermiteHadamard Ùng döng ¡nh gi¡ c¡c gi¡ trà trung b¼nh 14 1.2.2 Ùng dửng chựng minh mởt số bĐt ng thực chữỡng tr¼nh to¡n phê thỉng 17 d oa nl w 1.2.1 lu Hm lỗi trản Rn 21 2.1.2 Hm J -lỗi 23 z at nh oi Hm s-lỗi 26 2.2.1 nh nghắa Vẵ dö 26 2.2.2 Tẵnh chĐt cừa hm s-lỗi 28 z @ B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho hm s-lỗi 33 gm 2.3 2.1.1 lm ul 2.2 Hm J -lỗi 21 nf va 2.1 21 an Chữỡng Hm lỗi suy rởng v  ùng dưng B§t ¯ng thùc HermiteHadamard 33 2.3.2 Mët số bĐt ng thực mợi ữủc thiát lêp tứ bĐt ¯ng m co l 2.3.1 2.3.3 an Lu thùc HermiteHadamard 33 Mët sè ùng dưng cho gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t 40 n va ac th si iv K¸t luªn 41 T i li»u tham kh£o 42 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si BÊng kỵ hiằu lu an tªp sè thüc Lp [a, b] khỉng gian c¡c hm khÊ tẵch bêc p trản oÔn [a, b] Co phƯn cừa têp C A trung bẳnh cởng G trung bẳnh nhƠn H trung bẳnh iÃu hỏa L trung b¼nh lỉgarit Lp trung b¼nh p-lỉgarit n va R p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si M Ưu Hm lỗi v têp lỗi  ữủc nghiản cựu tứ lƠu bi Holder, Jensen, Minkowski c biằt vợi nhỳng cổng trẳnh cừa Fenchel, Moreau, Rockafellar vo cĂc thêp niản 1960 v 1970  ữa giÊi tẵch lỗi tr thnh mởt lu nhỳng lắnh vỹc phĂt trin nhĐt cừa toĂn hồc Bản cÔnh õ, mởt số an va hm khổng lỗi theo nghắa Ưy ừ cụng chia s mởt vi tẵnh chĐt n no õ cừa hm lỗi Chúng ữủc gồi l cĂc hm lỗi suy rởng (generalized gh tn to convex function) ie Mửc tiảu cừa à ti luên vôn l trẳnh by cĂc kián thực cỡ bÊn và têp lỗi, p hm lỗi mởt bián, hm lỗi nhiÃu bián, hm J -lỗi, hm s-lỗi, bĐt ng thực nl w HermiteHadamard cho hm lỗi, hm lỗi khÊ vi, hm s-lỗi v ựng dửng d oa chựng minh mởt sè b§t ¯ng thùc to¡n phê thỉng, ¡nh gi¡ an lu cĂc giĂ tr trung bẳnh Luên vôn cụng trẳnh by mởt số bĐt ng thực suy nf va rëng cõa b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m kh£ vi n-lƯn, hm v 2017 lm ul J -lỗi, hm s-lỗi, h m s-lãm c¡c cỉng tr¼nh [7], [8] cỉng bè nôm 2012 z at nh oi Nởi dung cừa luên vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng Chữỡng trẳnh b y v  chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho hm lỗi mởt z bián, hm lỗi khÊ vi bêc nhĐt, bêc hai, bêc n v ựng dửng Ănh giĂ mởt @ l chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng gm sè gi¡ trà trung b¼nh v  chùng minh mët sè bi têp bĐt ng thực m co Chữỡng trẳnh by khĂi niằm và hm J -lỗi v mởt số tẵnh chĐt cừa lợp an Lu hm J -lỗi, khĂi niằm hm s-lỗi, tẵnh chĐt cừa hm s-lỗi, vẵ dử và hm s-lỗi Trẳnh by cĂc bĐt ng thực HermiteHadamard cho hm s-lỗi, trẳnh by n va ac th si chi tiát cĂc chựng minh cĂc bĐt ng thùc n y, cịng mët sè ùng dưng cho gi¡ trà trung bẳnh c biằt Luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản Trong quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ny, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc  tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt  tĂc giÊ hồc têp, nghiản cựu TĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh án cĂc thƯy, cổ Khoa ToĂn - Tin, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản c biằt, tĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi PGS.TS Nguyạn lu Th Thu Thừy - Ngữới  tên tẳnh hữợng dăn tĂc giÊ hon thnh luên vôn an ny va n Xin cÊm ỡn nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh  hát sực thổng c£m, chia ho n th nh nhúng cỉng vi»c cõa m¼nh ie gh tn to s v tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt cho tổi  tổi cõ th hồc têp, nghiản cựu v  p Tỉi cơng xin gûi nhúng líi c£m ìn c biằt nhĐt tợi tĐt cÊ nhỳng ngữới w bÔn thƠn yảu, nhỳng ngữới  yảu mán, chia s vợi tổi nhỳng khõ khôn d oa nl tổi thỹc hiằn luên vôn an lu ThĂi Nguyản, thĂng 10 nôm 2018 nf va TĂc giÊ luên vôn z at nh oi lm ul Nguyạn Th Hỗng Hoa z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chữỡng Hm lỗi v bĐt ng thực HermiteHadamard lu an n va Chữỡng ny giợi thiằu khĂi niằm và hm lỗi; trẳnh by mởt số bĐt ng Ănh giĂ mởt số giĂ tr trung bẳnh °c bi»t v  chùng minh mët sè b i tªp gh tn to thực dÔng HermiteHadamard cho hm lỗi, hm lỗi kh£ vi v  ùng dưng p ie b§t ¯ng thùc chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng Nởi dung cừa chữỡng d lu BĐt ng thực HermiteHadamard cho hm lỗi nf va an 1.1.1 Hm lỗi mởt bián v bĐt ng thùc HermiteHadamard oa 1.1 nl w ÷đc têng hđp tø c¡c t i li»u [1], [3], [4], [7], [8] v  [10] lm ul ành ngh¾a 1.1.1 H m f : [a, b] R R ữủc gồi l hm lỗi náu vợi mồi x, y [a, b] v ∈ [0, 1] th¼ z at nh oi f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − )f (y) Hm f ữủc gồi l hm lóm náu hm (f ) l lỗi z gm @ Hằ quÊ 1.1.2 ([11, H» qu£ 2.1]) H m f (x) kh£ vi hai lƯn trản khoÊng m m co l l hm lỗi náu v ch náu Ôo hm cĐp hai cừa nõ khổng Ơm trản ton khoÊng (a, b) (a, b) ⊆ R an Lu R§t nhi·u b§t ¯ng thùc quan trồng ữủc thiát lêp tứ lợp cĂc hm lỗi Mởt nhỳng bĐt ng thực nời tiáng nhĐt l b§t ¯ng thùc Hermite n va ac th si Hadamard (cán gåi l  b§t ¯ng thùc Hadamard) B§t ¯ng thực kp ny ữủc phĂt biu nh lỵ sau nh lỵ 1.1.3 ([3, The HermiteHadamard Integral Inequality]) Cho f mởt hm lỗi trản [a, b] R, a 6= b Khi â f ≤ b−a a + b Z b f (a) + f (b) f (x)dx ≤ a l  (1.1) B§t ¯ng thùc (1.1) cõ th viát lÔi dữợi dÔng:  (b a)f a+b Zb  ≤ f (x)dx ≤ (b − a) f (a) + f (b) (1.2) a lu Chựng minh Vẳ hm f lỗi trản oÔn [a, b], nản vợi mồi [0, 1] ta cõ an n va
f λa + (1 − λ)b ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b) Z1 Z1
f λa + (1 − λ)b dλ ≤ f (a) p ie gh tn to LĐy tẵch phƠn hai vá theo trản oÔn [0, 1], ta nhên ữủc 0 (1.3) (1 − λ)dλ λdλ + f (b) nl w V¼ Z1 oa Z1 Z1 (1 − λ)dλ = d λdλ = an lu
f λa + (1 − λ)b dλ = z at nh oi lm ul Z1 nf va v bơng php ời bián x = a + (1 − λ)b, suy b−a Zb f (x)dx a Kát hủp vợi (1.3) ta nhên ữủc bĐt ng thực thự hai cừa (1.1) z Cụng tẵnh lỗi cõa h m f ,  1 f (λa + (1 − λ)b) + f ((1 − λ)a + λb)   λa + (1 − λ)b + (1 − λ)a + λb ≥f   a+b =f m co l gm @ an Lu n va ac th si Tẵch phƠn hai và bĐt ng thực ny theo trản oÔn [0, 1] ta nhên ữủc   Z1 Z a+b ≤  f (λa + (1 − λ)b)dλ + f ((1 − λ)a + λb)dλ f 2 0 = b−a Zb f (x)dx a B§t ¯ng thực thự nhĐt cừa (1.1) ữủc chựng minh  Náu g : [a, b] → R l  h m kh£ vi hai lƯn trản [a, b] R v m g 00 (t) ≤ M vỵi måi x ∈ [a, b], m, M l hơng số xĂc nh, thẳ Hằ qu£ 1.1.4 (xem [3]) lu an m (b − a)2 ≤ 24 b−a Zb  va g(x)dx − g a+b  ≤ M (b − a)2 24 (1.4) n a p ie gh tn to m x vỵi måi x ∈ [a, b] Khi â, f 00 (x) = g 00 (x) − m ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) Chùng minh °t f (x) = g(x) − w chùng tä h m f l  lỗi trản khoÊng m (a, b) p dửng bĐt ng thùc d oa nl HermiteHadamard cho h m f ta nhªn ÷đc    2   a+b m a+b a+b − =f g 2 2 Zb h m 2i = g(x) − x dx b−a nf va an lu = b−a z at nh oi lm ul a g(x)dx − m a2 + ab + b2 2 ≤ b−a Zb g(x)dx − g a   a+b an Lu a+b m  co l gm @ m a2 + ab + b2 m − m b3 − a3 3(b − a) Zb a Do â, g(x)dx − a z = b−a Zb n va ac th si p  p1    1q Z b Z b 1 x − a + b dx × ≤ | f (x) |q dx , b−a a b−a a z at nh oi lm ul m¢n nf va Chựng minh Sỷ dửng bĐt ng thực Holder vợi p > v  q > thäa z an Lu (b − a)p+1 = (a + 1)2p m co a  p Z b  a+b a+b x− f (x)dx = x− dx a+b 2 l Z b gm @ â, n va ac th si Suy ra,  p  p1   1q Z b Z b a + b x − dx × | f (x) |q dx