I HÅC QC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN T VN NAM MËT SÈ DNG BI TON V PHìèNG TRNH HM Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M số: 60.46.01.13 LUN VN THC Sò KHOA HC NGìI HìẻNG DN KHOA HC: PGS.TS Vễ ẫ LONG H Nëi N«m 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mư lư LÍI NÂI U Mët sè tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa hm số 1.1 nh xÔ 1.2 ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh 1.3 H m sè Phữỡng trẳnh hm mởt bián tỹ 2.1 Hm số h®n, h m sè l´ 2.2 H m sè tun ho n 10 2.3 Phữỡng trẳnh hm vợi Ă php bián ời tnh tián v ỗng dÔng 16 2.4 Phữỡng trẳnh hm vợi Ă php bián ời phƠn tuyán tẵnh 24 2.5 H» ph÷ìng trẳnh hm mởt bián 33 2.6 Mởt số dÔng phữỡng tr¼nh h m a thù 39 2.7 Mởt số dÔng bi toĂn khĂ 58 Ph÷ìng trẳnh hm hai bián tỹ 69 3.1 Bi toĂn phữỡng trẳnh hm Cau hy 3.2 Bi toĂn phữỡng trẳnh hm vợi Ă Ôi lữủng trung bẳnh 3.3 Phữỡng trẳnh hm nhiÃu ân hm 3.4 Bi toĂn phữỡng trẳnh hm lữủng gi¡ 95 3.5 Mởt số dÔng bi toĂn khĂ 105 KT LUN T i li»u tham kh£o 69 78 88 117 118 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LI NI U Phữỡng trẳnh hm l mởt huyản à quan trồng thuở hữỡng trẳnh huyản toĂn Ă trữớng THPT huyản CĂ bi toĂn õ liản quan án phữỡng trẳnh hm ng l nhỳng bi têp khõ, thữớng gp Ă kẳ thi hồ sinh giọi mổn toĂn Đp quố gia, khu vỹ , quố tá v Olympi Sinh viản Hằ thống Ă bi têp và phữỡng trẳnh hm rĐt a dÔng v phong phú, Ă h giÊi húng ng khổng ỡn giÊn, õ th bơng mởt phữỡng phĂp hay phÊi kát hủp nhiÃu phữỡng phĂp mợi giÊi ữủ Vợi mong muốn giúp ho Ă bÔn hồ sinh õ th nhanh hõng tiáp ên v giÊi quyát Ă bi toĂn và phữỡng trẳnh hm nản tổi hồn à ti Mởt số dÔng bi toĂn và Phữỡng trẳnh hm Viằ phƠn hia thnh Ă dÔng toĂn Ãu õ tẵnh ở lêp tữỡng ối Thêt khõ m phƠn hia Ă dÔng toĂn theo mởt biản giợi rÔ h rỏi vẳ Ơu õ vi vĐn à ừa bi ny  xuĐt hiằn bõng dĂng vĐn à ừa bi Mử ẵ h ừa luên vôn ny l ung Đp mởt số kắ thuêt giÊi toĂn và phữỡng trẳnh hm v thổng qua viằ giÊi toĂn nhơm khư sƠu mởt số kián thự và hm số, rn luyằn tữ duy, huân b ho Ă kẳ thi hồ sinh giọi Hi vồng luên vôn ny l t i li»u tham kh£o húu ½ h ho ¡ hå sinh, giĂo viản lợp huyản toĂn trung hồ phờ thổng Bố ừa luên vôn ny gỗm hữỡng : Chữỡng 1: Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa hm số Trong hữỡng ny õ trẳnh by mởt số kián thự nhĐt và hm số v Ănh xÔ nhữ nh nghắa ỡn Ănh, ton Ănh, song Ănh, hm số hđn, h m sè l´, h m sè tun ho n, án nhúng kián thự thổng dửng khĂ ữủ dũng vo giÊi toĂn s ữủ trẳnh by vo phn u ừa Ă bi tữỡng ựng ừa tứng mử , ho trữợ ho sau ¡ b i to¡n thº, ho° ¡ nhªn xt, hú ỵ Chữỡng 2: Phữỡng trẳnh hm mởt bián tỹ Trong hữỡng ny trẳnh by mởt số dÔng bi toĂn phữỡng trẳnh hm m h hựa mởt bián tỹ nhữ Ă bi toĂn và hm số hđn, h m sè l´, h m sè x¡ ành bði ¡ ph²p bián ời tnh tián, ỗng dÔng, vợi Ă php bián ời phƠn tuyán tẵnh, hằ phữỡng trẳnh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LI NI U hm, phữỡng trẳnh hm a thự Chữỡng 3: Phữỡng trẳnh hm hai bián tỹ Trong hữỡng ny trẳnh by mởt số dÔng bi toĂn phữỡng trẳnh hm hựa hai bián tỹ nhữ Ă bi toĂn phữỡng trẳnh hm Cau hy, hm số huyn ời giỳa Ă Ôi lữủng trung bẳnh, phữỡng trẳnh hm a ân, phữỡng trẳnh hm lữủng giĂ Luên vôn ny ữủ hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn, h bÊo tên tẳnh ừa PGS.TS V ộ Long - trữớng Ôi hồ Khoa hồ Tỹ nhiản - Ôi hồ Q gia H Nëi Thy ¢ d nh nhi·u thíi gian gióp ï, gi£i ¡p ¡ th m õa tỉi suốt quĂ trẳnh lm luên vôn Tổi muốn by tọ lỏng biát ỡn sƠu sư án ngữới thy ừa mẳnh Qua ¥y, tỉi xin gûi líi £m ìn s¥u s tỵi ¡ thy ỉ gi¡o Khoa To¡n - Cì - Tin hồ , trữớng Ôi hồ Khoa hồ Tỹ nhiản, Ôi hồ Quố gia H Nởi  trỹ tiáp giÊng dÔy v tÔo iÃu kiằn thuên lủi ho tổi suốt quĂ trẳnh hồ têp Tổi xin Êm ỡn gia ẳnh, bÔn b v tĐt Ê mồi ngữới  quan tƠm, tÔo iÃu kiằn, giúp ù tổi hon thnh luên v«n n y H Nëi, Th¡ng n«m 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chữỡng Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa hm số 1.1 nh xÔ nh nghắa 1.1 mội B, a A tữỡng v B ùng vỵi óng mët phn tû f : A −→ B kẵ hiằu l A Cho hai têp hủp Phn tỷ b Náu õ mởt quy tư bB thẳ ta nâi gåi l £nh õa a f f n o â ho vợi l mởt Ănh xÔ tứ v viát l A án b = f (a) Chú ỵ: Náu ho Ănh xÔ f : A B thẳ ta thữớng quan tƠm án hai têp hủp sau Ơy: Têp hñp f (A) = {f (a)|a ∈ A} (gåi l tªp £nh õa tªp A, hay gåi l tªp gi¡ tr ừa Ănh xÔ f ) v têp hủp f −1(b) = {a ∈ A|f (a) = b} (gåi l nghà h £nh õa b) 1.2 ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh ành ngh¾a 1.2 ho a1 6= a2 ta â f : A B nh xÔ ữủ gồi l ỡn Ănh náu vợi mồi f (a1 ) 6= f (a2 ) Chú ỵ: nh xÔ f : A B l ìn ¡nh n¸u f (a1) = f (a2) thẳ a1 = a2 nh nghắa 1.3 f : A B nh xÔ tỗn tÔi aA ho a1 , a2 A ữủ gồi l ton Ănh náu vỵi måi f (a) = b b∈B ln Chó ỵ: nh xÔ f : A B l ton ¡nh v h¿ f (A) = B ành nghắa 1.4 f : A B f nh xÔ gåi l song ¡nh n¸u vøa l ìn ¡nh, vøa l ton Ănh Chú ỵ: nh xÔ f : A −→ B l song ¡nh v h¿ vỵi mồi b B luổn tỗn tÔi nhĐt a ∈ A ho f (a) = b ành ngh¾a 1.5 méi phn tû k½ hi»u l Gi£ sû y∈B f : A B vợi tÔo Ênh x= l mởt song Ănh Khi õ Ănh xÔ ho tữỡng ựng f (y) ừa nõ ữủ gồi l Ănh xÔ ng÷đ õa f v f −1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa hm số Chữỡng 1.3 Hm số nh nghắa 1.6 hm số tứ têp X Cho XR án têp v Y Y R Khi õ Ănh xÔ f : X Y ữủ gồi l mởt Chú ỵ: Cho h m sè f : X −→ Y Khi â: - Tªp X gåi l tªp x¡ ành õa h m số f - Náu x0 X thẳ f (x0 ) gồi l giĂ tr ừa hm f tÔi x0 - Têp hủp f (X) ữủ gồi l gồi l tªp gi¡ trà õa h m sè f - y0 l mët gi¡ trà õa h m sè f v h¿ phữỡng trẳnh f (x) = y0 õ nghiằm Hay nõi Ă h khĂ l: phữỡng trẳnh f (x) = y0 â nghi»m v h¿ y0 thuë tªp gi¡ trà õa h m sè f - f l to n ¡nh phữỡng trẳnh (ân x) y = f (x) (vợi x ∈ X, y ∈ Y ) â nghi»m - f l song Ănh phữỡng trẳnh (ân x) y = f (x) (vỵi x ∈ X, y ∈ Y ) õ nghiằm nhĐt 1.3.1 Hm số hđn, hm số l nh nghắa 1.7 a) Hm số M) náu f : D R ữủ gồi l hm hđn tr¶n ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M b) H m sè M ⊂D f (−x) = f (x), ∀x ∈ M v f : D −→ R ÷đ gåi l h m l´ tr¶n M ⊂ D ∀x ∈ M ⇒ x M v (gồi tưt l hm hđn trản (gồi tưt l hm l trản M ) náu f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M 1.3.2 H m sè tun ho n v ph£n tun ho n ành ngh¾a 1.8 a) H m sè M n¸u b) Cho M ⊂D f õa h m b² hìn f : D −→ R v ÷đ gåi l h m tun ho n ( ëng t½nh) hu ký M f T f tr¶n ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M l mët h m sè tun ho n trản náu a (a > 0) tun hon vợi hu ký Khi â T (T > 0) ÷đ gåi l hu ký ỡ s m khổng tun hon vợi bĐt ký hu ký n o T ành ngh¾a 1.9 a) H m số trản M f : D R náu M D ữủ gồi l hm phÊn tun hon ( ởng tẵnh) hu ký b (b > 0) v ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa hm số Chữỡng b) Náu f l hm số phÊn tun hon hu ký hon vợi bĐt ký hu ký n o b² hìn tun ho n f tr¶n b0 M trản b0 M trản thẳ b0 m khổng l h m ph£n tun ÷đ gåi l hu ký ì sð õa h m M 1.3.3 H m sè tun ho n v ph£n tun hon nhƠn tẵnh nh nghắa 1.10 f : D −→ R H m sè a (a ∈ / {0, 1, 1}) trản M ữủ gồi l hm tun hon nhƠn tẵnh hu ký náu M D nh nghắa 1.11 hu ký ∀x ∈ M ⇒ a±1 ∈ M f (ax) = f (x), ∀x ∈ M f : D −→ R H m sè a (a ∈ / {0, 1, −1}) tr¶n M 1.3.4 H m sè li¶n tư ành nghắa 1.12 Cho hm số x0 l liản tử tÔi iºm ành ngh¾a 1.13 kho£ng (a; b) H m sè x¡ nh trản nh nghắa 1.17 DR v x0 D Hm số f ữủ gồi f (x) xĂ nh trản khoÊng (a; b) ữủ gồi l liản tử trản x (a; b) f (x) xĂ nh trản oÔn [a; b] ữủ gồi l liản tử trản oÔn Hm số (a; b) f (x) f (x) lim f (x) = f (a), lim − f (x) = f (b) x−→a+ xb ữủ gồi l tông trản khoÊng x1 , x2 ∈ (a, b) H m sè v m m n¸u x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) ữủ gồi l giÊm trản khoÊng x1 , x2 (a, b) (a; b) (a; b) n¸u x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) H m sè tông ho giÊm trản khoÊng (a; b) ữủ gồi l h m ìn (a; b) ành ngh¾a 1.18 H m sè f (x) ữủ gồi l tông thỹ sỹ ( ỗng bián) trản khoÊng náu nh nghắa 1.19 (a; b) f lim f (x) = f (x0 ) H m sè ành ngh¾a 1.16 v ∀x ∈ M ⇒ a±1 ∈ M f (ax) = f (x), x M náu nõ liản tử tr¶n kho£ng i»u tr¶n M ⊂D x−→x0 1.3.5 H m sè ỡn iằu nh nghắa 1.15 (a; b) náu ữủ gồi l hm phÊn tun hon nhƠn tẵnh náu nõ liản tử tÔi mồi im nh nghắa 1.14 [a; b] náu v ∀x1 , x2 ∈ (a, b) H m sè f (x) m x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) ÷đ gåi l gi£m thü sü (nghà h bián) trản khoÊng náu x1 , x2 (a, b) m x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Chữỡng Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa hm số nh nghắa 1.20 iằu thỹ sỹ trản Hm số tông hay giÊm thỹ sỹ trản (a, b) ữủ gồi l hm số ỡn (a; b) Mởt số tẵnh hĐt õa ¡ h m sè ìn i»u - Måi h m ìn i»u thü sü tr¶n kho£ng (a; b) ·u l ìn Ănh trản khoÊng - Náu f (x) v g(x) l hai hm tông (giÊm) thẳ - Náu f (x) v g(x) l hai hm tông v khổng Ơm thẳ - Náu f (x) l hm ỡn iằu trản (a; b) th¼ f (x) + g(x) f (f (x)) (a; b) ng l h m t«ng (gi£m) f (x)g(x) ng l h m t«ng l h m t«ng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Chữỡng Phữỡng trẳnh hm mởt bián tỹ 2.1 Hm số hđn, hm số l Bi toĂn 2.1.1 GiÊi Tẳm tĐt Ê Ă hm số f (x) ho f (x) = f (−x), ∀x R (1) Dạ thĐy (1) tữỡng ữỡng vợi f (x) = 12 [f (x) + f (−x)], ∀x ∈ R (2) f (x) = 21 [g(x) + g(−x)], ∀x ∈ R (3) X²t h m sè â sè f g l hm số tũy ỵ trản R Khi õ thĐy f thọa mÂn (1) thẳ (2) nản f thọa mÂn (1) Ngữủ lÔi náu hm õ dÔng (3) Vêy Ă hm số n tẳm õ dÔng f (x) = [g(x) + g(−x)], ∀x ∈ R õ g l hm số tũy ỵ trản Bi toĂn 2.1.2 GiÊi R Tẳm tĐt Ê Ă hm số f (x) ho f (−x) = −f (x), ∀x R (1) Dạ thĐy (1) tữỡng ữỡng vợi f (x) = 12 [f (x) − f (−x)], ∀x ∈ R (2) f (x) = 12 [g(x) − g(−x)], ∀x ∈ R (3) X²t h m sè â sè f g l hm số tũy ỵ trản R Khi õ thĐy f thọa mÂn (1) thẳ (2) nản f thọa mÂn (1) Ngữủ lÔi náu hm õ dÔng (3) Vêy Ă hm số n tẳm õ dÔng f (x) = [g(x) − g(−x)], ∀x ∈ R TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Ch÷ìng õ g Phữỡng trẳnh hm mởt bián tỹ l hm số tũy ỵ trản Bi toĂn 2.1.3 Gi£i Cho x0 ∈ R R X¡ ành t§t £ ¡ h m sè f ho f (2x0 − x) = f (x), ∀x ∈ R °t x = x0 − t(⇔ t = x0 − x) Khi â (1) 2x0 − x = x0 + t v (1) â dÔng f (x0 + t) = f (x0 t), ∀t ∈ R °t g(t) = f (x0 + t) Khi õ (2) õ dÔng thẳ (2) g(t) = f (x0 − t), f (t) = g(t − x0 ) g(t) = g(−t), ∀t ∈ R Vªy g(t) l h m hđn trản R Kát luên: f (x) = g(x x0 ), ∀x ∈ R, â g(x) l h m hđn tũy ỵ trản R Bi toĂn 2.1.4 GiÊi Cho a, b ∈ R X¡ ành t§t £ ¡ h m sè f (x) ho f (a − x) + f (x) = 2b, ∀x ∈ R °t a − x = t Khi â x= a Khi õ (1) õ dÔng t v ax= a + t f ( a2 + t) + f ( a2 − t) = 2b, ∀t ∈ R °t f ( a2 + t) − b = g(t), ∀t ∈ R (1) (2) Khi õ (2) õ th viát dữợi dÔng g(t) + g(−t) = 0, ∀t ∈ R ⇔ g(t) = −g(−t), ∀t ∈ R Vªy g(t) l h m l´ trản R Kát luên: f (x) = g(x a2 ) + b â g(x) l h m l´ tr¶n R Bi toĂn 2.1.5 GiÊi Tẳm tĐt Ê Ă hm sè f (x) ho f (x) − f (−x) = 2014 sin x, ∀x ∈ R (1) Ta th§y (1) tữỡng ữỡng vợi f (x) f (x) = 1007 sin x − 1007 sin(−x), ∀x ∈ R ⇔ f (x) − 1007 sin x = f (−x) − 1007 sin(−x), ∀x ∈ R °t g(x) = f (x) − 1007 sin x, ∀x ∈ R (2) Thay v o (2) ta ÷đ g(x) = g(−x), ∀x ∈ R TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Ch÷ìng Phữỡng trẳnh hm hai bián tỹ f ( x+y )= 2f (x)f (y) , ∀x, y f (x)+f (y) ∈ R (1) ( Theo t i li»u sè ) Gi£i Theo gi£ thi¸t, ta â (1) ⇔ f ( ⇔ f ( 12 x x+y )= f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R 1 + , ∀x, y ∈ R = 2f (x) 2f (y) + y) hay g( â V¼ g(x) = Theo f (x) g(x) > 0, ∀x ∈ R n¶n x+y g(x) + g(y) )= , ∀x, y ∈ R, 2 B i to¡n 3.2.1 th¼ g(x) = ax + b a=0 v g(x) = b Kát luên: f (x) 1b , b > l hơng số tũy ỵ B i to¡n 3.2.4 T¼m h m f( f (x) (b > 0) v f (x) = 1b , b > ¡ ành v li¶n tư tr¶n x+y )= r R thäa m¢n i·u ki»n [f (x)]2 + [f (y)]2 , ∀x, y ∈ R (1) ( Theo t i li»u sè ) Gi£i Tø gi£ thi¸t suy f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R (1) ⇔ [f ( Vẳ vêy x + y [f (x)]2 + [f (y)]2 )] = , ∀x, y ∈ R, 2 hay g(x) + g(y) x+y )= , ∀x, y ∈ R, vỵi g(x) = [f (x)]2 ≥ 2 Theo kát quÊ bi toĂn 3.2.1 thẳ g(x) = ax + b V¼ g(x) ≥ 0, ∀x ∈ R n¶n a = v b ≥ √ Suy f (x) = b, b ≥ g( K¸t luªn : f (x) ≡ c, c ≥ l hơng số tũy ỵ Bi toĂn 3.2.5 Tẳm hm f (x) xĂ nh v liản tử trản R+ thọa mÂn i·u ki»n p √ f ( xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R+ (1) ( Theo t i li»u sè ) Gi£i Tø i·u ki»n õa b i toĂn suy Náu tỗn tÔi x0 > ho f (x0 ) = f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R+ th¼ tø (1) suy p √ f ( x0 y) = f (x0 )f (y) = 0, ∀y ∈ R+ 80 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Chữỡng Phữỡng trẳnh hm hai bián tỹ Trong trữớng hủp ny Náu f (x) ≡ f (x) > 0, ∀x ∈ R+ th¼ °t x = eu , y = ev , f (eu ) = g(u) Khi â g(u) li¶n tư trản R v (1) õ dÔng : g( p x+y ) = g(u)g(v), ∀u, v ∈ R Theo k¸t quÊ bi toĂn 3.2.2 thẳ g(u) Vêy f (x) ≡ ho° ho° g(u) = eau+b , a, b R l hơng số tũy ỵ f (x) = ea ln x+b = cxa , c > Kát luên : f (x) ho f (x) = ea ln x+b = cxa , c > l hơng số tũy ỵ Bi toĂn 3.2.6 Tẳm hm f (x) x¡ ành v li¶n tư tr¶n R+ thäa m¢n i·u ki»n √ f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R+ f ( xy) = (1) ( Theo t i li»u sè ) Gi£i V¼ tư tr¶n x > 0, y > R v (1) n¶n â thº °t x = eu , y = ev v f (eu ) = g(u) Khi â g(u) liản õ dÔng g( g(u) + g(v) u+v )= , ∀u, v ∈ R 2 Theo k¸t qu£ b i to¡n 3.2.1, th¼ g(u) = au + b B i toĂn 3.2.7 xĂ nh v liản tử trản Kát luên: f (x) = a ln x + b vỵi a, b R l hơng số tũy ỵ Tẳm hm f (x) √ f ( xy) = f (x) + f (y) f (x) + f (y) R+ thäa m¢n i·u ki»n , ∀x, y ∈ R+ (1) ( Theo t i li»u sè ) GiÊi Ta õ (1) tữỡng ữỡng vợi = √ f ( xy) , ∀x, y ∈ R+ hay √ g(x) + g(y) , ∀x, y ∈ R+ g( xy) = 81 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Phữỡng trẳnh hm hai bián tỹ Chữỡng Theo kát quÊ bi toĂn 3.2.6 th¼ g(x) = a ln x + b f (x) + + liản tử R thẳ g(x) 6= 0, x R iÃu õ tữỡng ữỡng vợi õ f (x) g(x) = Kát luên: f (x) ≡ b, b ∈ R\{0} l h¬ng sè tịy þ B i to¡n 3.2.8 f (x) T¼m h m √ f ( xy) = x¡ ành v li¶n tư tr¶n r R+ a = 0, b 6= thäa m¢n i·u ki»n [f (x)]2 + [f (y)]2 , ∀x, y ∈ R+ (1) ( Theo t i li»u sè ) Gi£i Tø gi£ thi¸t suy f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R+ Khi â (1) t÷ìng ÷ìng vỵi √ [f (x)]2 + [f (y)]2 [f ( xy)]2 = , ∀x, y ∈ R+ °t x = eu , y = ev , [f (eu )]2 = g(u) g( v b ≥ Vªy f (x) = g(u) ≥ 0, ∀u ∈ R v (2) â dÔng u+v g(u) + g(v) )= , u, v R 2 Theo kát quÊ bi toĂn 3.2.1 thẳ √ Khi â (2) g(u) = au + b b = c, c tũy ỵ g(u) 0, u R phÊi hồn a=0 Kát luên: f (x) ≡ c, c ≥ l h¬ng sè tịy þ B i to¡n 3.2.9 T¼m h m f( x f (x) x¡ ành v li¶n tư )= + y1 f (x) + f (y) R\{0} thäa m¢n i·u ki»n , ∀x, y, x + y 6= (1) ( Theo t i li»u sè ) Gi£i °t Khi â x = u, y1 = u, f (11 ) = g(u) g(u) 6= u vợi mồi g( u 6= v (1) õ dÔng u+v g(u) + g(v) )= , ∀u, v, u + v 6= 2 Theo k¸t qu£ b i to¡n 3.2.1, suy g(u) = au + b H m g(u) 6= 0, ∀u 6= v h¿ g(u) = au, a 6= 0, g(u) = b, b 6= f (x) = xa , a 6= 0, f (x) = 1b , b 6= Vªy 82 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Ch÷ìng Phữỡng trẳnh hm hai bián tỹ f (x) Thỷ lÔi ta thĐy Ă hm Kát luên: Bi toĂn 3.2.10 thäa m¢n ¡ i·u ki»n õa b i to¡n ¢ ho f (x) = xa , a 6= l hơng số tũy ỵ, f (x) = 1b , b 6= l hơng số tũy ỵ Tẳm Ă h m f (x) x¡ ành, li¶n tư tr¶n ki»n f( x R\{0} v thäa m¢n i·u f (x) + f (y) , ∀x, y, x + y 6= )= +y (1) ( Theo t i li»u sè ) Gi£i °t x = u, y1 = v, f ( u1 ) = g(u) g( Theo bi toĂn 3.2.1, thẳ Kát luên: f (x) = a x B i to¡n 3.2.11 Khi â g(u) li¶n tư tr¶n R\{0} v (1) õ dÔng u+v g(u) + g(v) )= , ∀u, v, u + v 6= 2 g(u) = au + b Do â + b, ∀x ∈ R\{0}; a, b ∈ R T¼m h m f (x) f (x) = a x + b l h¬ng sè tũy ỵ xĂ nh v liản tử trản R\{0} thọa m¢n i·u ki»n p f (x)f (y), ∀x, y, x + y 6= ) = + y1 f( x (1) ( Theo t i li»u sè ) Gi£i Tø i·u ki»n õa b i to¡n, suy N¸u tỗn tÔi x0 6= ho f( Suy N¸u f (x) ≡ f (x) > 0, ∀x 6= x0 f (x0 ) = f (x) ≥ 0, ∀x 6= th¼ p ) = f (x0 )f (y), ∀y, x0 + y 6= + y1 th¼ (1) ⇔ ln f ( x ln f (x) + ln f (y) )= , ∀x, y, x + y 6= +y hay g( x vỵi g(x) = ln f (x) g(x) + g(y) , ∀x, y, x + y 6= 0, )= +y Theo k¸t qu£ b i to¡n 3.2.10 th¼ g(x) = a x + b Do â a f (x) = e x +b K¸t luªn: f (x) ≡ 0, a f (x) = e x +b ; a, b ∈ R l h¬ng số tũy ỵ 83 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Chữỡng Phữỡng trẳnh hm hai bián tỹ B i to¡n 3.2.12 T¼m h m f( x f (x) )= + y1 r x¡ ành v li¶n tử trản R\{0} thọa mÂn iÃu kiằn [f (x)]2 + [f (y)]2 , ∀x, y, x + y 6= (1) ( Theo t i li»u sè ) Gi£i Tø i·u ki»n õa b i to¡n suy (1) ⇔ [f ( x °t u = x1 , v = y thẳ Vêy [f (x)]2 + [f (y)]2 , ∀x, y, x + y 6= )] = + y1 u, v, u + v 6= [f ( f (x) ≥ 0, ∀x 6= (2) Khi õ (2) tữỡng ữỡng vợi [f ( u1 )]2 + [f ( v1 )]2 )]2 = , ∀u, v, u + v 6= u+v Tø â suy g( g(u) + g(v) u+v )= , ∀u, v, u + v 6= 0, 2 â g(u) = [f ( )]2 ≥ 0, ∀u 6= u Theo b i to¡n 3.2.1 th¼ g(u) = au + b v º g(u) ≥ vỵi måi u 6= √ Vªy f (x) ≡ c, vợi c = b thẳ a=0 v b Kát luên: f (x) c, Bi toĂn 3.2.13 Tẳm Ă hm kiằn f( r vợi c0 f (x) ≥ x2 + y )= r l hơng số tũy ỵ xĂ nh, liản tử trản R+ v thäa m¢n i·u [f (x)]2 + [f (y)]2 , ∀x, y ∈ R+ (1) ( Theo t i li»u sè ) Gi£i Theo gi£ thi¸t f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R+ (1) ⇔ [f ( °t r Suy x2 + y 2 [f (x)]2 + [f (y)]2 )] = , ∀x, y ∈ R+ 2 u = x2 , v = y , g(u) = [f (u)]2 ≥ 0, ∀u > (2) ⇔ g( r (2) th¼ √ √ g( u) + g( v) u+v )= , ∀u, v ∈ R+ 2 84 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Chữỡng Phữỡng trẳnh hm hai bi¸n tü ⇔ h( u+v h(u) + h(v) )= , ∀u, v > 2 â √ h(u) = g( u), ∀u > Theo b i to¡n 3.2.1 th¼ ax2 h(u) = au + b, ∀u > 0, a, b l hơng số tũy ỵ g(x) = + b º g(x) ≥ 0, ∀x > n ph£i hån a ≥ √ f (x) = ax2 + b Kát luên: f (x) = ax2 + b vợi a, b l hơng số tũy þ Do â B i to¡n 3.2.14 T¼m ¡ h m f( r f (x) x¡ ành, li¶n tư tr¶n v b ≥ Do â R v thäa m¢n i·u ki»n f (x) + f (y) x2 + y )= , ∀x, y ∈ R 2 (1) ( Theo t i li»u sè ) Gi£i Trong (1) l§y y=x v vỵi måi x∈R ta â f (x) = f (|x|), ∀x ∈ R °t |x| = √ u, |y| = √ v (u, v ≥ 0) (1) ⇔ f ( °t √ f ( u) = g(u), u ≥ r √ √ u+v f ( u) + f ( v) )= , ∀u, v ≥ 2 (2) Khi õ (2) tữỡng ữỡng vợi g( Theo bi to¡n 3.2.1 th¼ Khi â g(u) + g(v) u+v )= , ∀u, v ≥ 2 g(u) = au + b, ∀u, v ≥ 0, a, b l ¡ hơng số thỹ tũy ỵ Do õ f ( u) = au + b v f (u) = au2 + b Suy vỵi måi u ≥ f (x) = f (|x|) = a|x|2 + b = ax2 + b, x R Kát luên: f (x) = ax2 + b, ∀x ∈ R, a, b l ¡ hơng số thỹ tũy ỵ Bi toĂn 3.2.15 XĂ nh ¡ h m sè f (x) li¶n tư tr¶n R thäa m¢n i·u ki»n 3 f ( x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R 4 4 (1) 85 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Chữỡng Phữỡng trẳnh h m hai bi¸n tü Gi£i f (0) = b; f (x) = g(x) + f (0), ∀x ∈ R v °t g(0) = Khi â g(x) l h m liản tử trản Thay vo (1) ta ữủ 3 g( x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R 4 4 Vỵi x=0 R (2) thay v o (2) ta ÷đ 3 g( y) = g(y), ∀y ∈ R 4 Vỵi y=0 thay v o (2) ta ÷đ 1 g( x) = g(x), ∀x ∈ R 4 Do vªy 3 g( x + y) = g( x) + g( y), ∀x, y ∈ R 4 4 hay g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y R Vẳ R nản (3) l phữỡng trẳnh hm Cau hy â g(x) = ax, ∀x ∈ R, a ∈ R tũy ỵ Suy f (x) = ax + b, ∀x ∈ R g(x) Do (3) l h m li¶n tử trản Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn (1) Kát luªn: f (x) = ax + b, ∀x ∈ R, a, b R l Ă hơng số tũy ỵ B i to¡n 3.2.16 Gi£i X¡ ành ¡ h m sè f (x) liản tử trản R thọa mÂn iÃu kiằn 1 f ( x + y) = [f (x)] [f (y)] , ∀x, y ∈ R 4 Tø i·u ki»n (1) suy f (x) 0, x R Náu tỗn tÔi x0 (1) º f (x0 ) = th¼ 3 f ( x0 + y) = [f (x0 )] [f (y)] = 0, ∀y ∈ R 4 tù l X²t f (x) ≡ f (x) > 0, ∀x ∈ R Khi â 3 (1) ⇔ ln f ( x + y) = ln f (x) + ln f (y), ∀x, y ∈ R 4 4 hay â 3 g( x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R 4 4 g(x) = ln f (x), ∀x ∈ R Theo k¸t qu£ b i to¡n 3.2.15 th¼ g(x) = ax + b, ∀x ∈ R, a, b R tũy ỵ Suy nghi»m 86 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Chữỡng Phữỡng trẳnh hm hai bián tỹ f (x) = eax+b ừa bi toĂn 3.2.16 õ dÔng Kát luên: f (x) f (x) = eax+b , ∀x ∈ R, a, b ∈ R B i to¡n 3.2.17 T¼m h m ki»n f : R −→ R+ l Ă hơng số tũy ỵ xĂ nh v liản tử trản R thọa mÂn iÃu 4f (x)f (y) f ( x + y) = , ∀x, y ∈ R 4 3f (x) + f (y) (1) Gi£i Theo gi£ thi¸t, ta â (1) ⇔ f ( x + y) = 4 ⇔ hay â V¼ g(x) = f (x) g(x) > 0, ∀x ∈ R f ( 14 x 4f (x) + 4f (y) 1 + , ∀x, y ∈ R = 4f (x) 4f (y) + y) 3 g( x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R 4 4 > Theo b i to¡n 3.2.15 thẳ g(x) = ax + b nản a=0 v g(x) = b (b > 0), õ Kát luên: f (x) ≡ 1b , b > l h¬ng số thỹ tũy ỵ Bi toĂn 3.2.18 Tẳm hm kiằn f : R −→ R+ f ( x + y) = 4 Gi£i , ∀x, y ∈ R Tø gi£ thi¸t ta suy r f (x) = 1b , b > x¡ ành v li¶n tư tr¶n R [f (x)]4 + 3[f (y)]4 , ∀x, y ∈ R f (x) ≥ 0, ∀x R thọa mÂn iÃu (1) Vẳ vêy 3 (1) ⇔ [f ( x + y)]4 = [f (x)]4 + [f (y)]4 , ∀x, y ∈ R 4 4 3 ⇔ g( x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R 4 4 â g(x) = [f (x)] ≥ Theo b i to¡n 3.2.15 th¼ g(x) = ax + b √ V¼ g(x) ≥ 0, ∀x ∈ R n¶n a = 0, b ≥ Suy f (x) = b, b ≥ K¸t luên: f (x) c, c l hơng số thỹ tũy ỵ 87 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Chữỡng Phữỡng trẳnh hm hai bián tỹ 3.3 Phữỡng trẳnh hm nhiÃu ân hm ối vợi phữỡng trẳnh hm hựa p bián tỹ ta thữớng phƠn li bián số ho ho f hm theo g, (ho° ho x) v hùa nhi·u ©n h m v g, bơng mởt số no õ biu diạn XĂ ành ¡ h m sè f, g li¶n tư tr¶n R v thäa m¢n i·u ki»n f (x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R Thay f sau õ thay vo phữỡng trẳnh hm  ho ữa v· án mët ©n h m B i to¡n 3.3.1 Gi£i y x, y y=0 (1) v o (1) ta ÷đ f (x) = g(x) + a; a = g(0), ∀x ∈ R Thá vo (1) ta ữủ g(x + y) + a = g(x) + g(y), ∀xy ∈ R °t g(x) = a + h(x), ∀x ∈ R (2) Khi â (2) õ dÔng h(x + y) = h(x) + h(y), x, y ∈ R Do g R l h m li¶n tư tr¶n h m Cau hy n¶n n¶n h l h m li¶n tư tr¶n h(x) = bx, ∀x ∈ R Kiºm tra ta th§y °p h m f, g R (3) Do â (3) l phữỡng trẳnh Suy g(x) = bx + a, ∀x ∈ R f (x) = bx + 2a, ∀x ∈ R (4) x¡ ành theo (4) thäa m¢n (1) Kát luên: g(x) = bx+a, x R v f (x) = bx+2a, ∀x ∈ R vỵi a, b l Ă hơng số thỹ tũy ỵ Bi toĂn 3.3.2 X¡ ành ¡ h m sè f, g, h li¶n tư trản R v thọa mÂn iÃu kiằn f (x + y) = g(x) + h(y), ∀x, y ∈ R (1) ( Theo t i li»u sè ) Gi£i Trong (1) lĐy y=0 vo ta ữủ g(x) = f (x) a; x R Trong (1) lĐy x=0 (vợi a = h(0) ) (2) (vỵi b = g(0) ) (3) ta ÷đ h(y) = f (y) − b, ∀y ∈ R Thay (2) v (3) v o (1) ta ÷đ f (x + y) = f (x) + f (y) − (a + b), ∀x, y ∈ R (4) 88 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Ch÷ìng t Phữỡng trẳnh hm hai bián tỹ f (x) − (a + b) = k(x), ∀x ∈ R Thay v o (4) ta ÷đ k(x + y) = k(x) + k(y), ∀x, y ∈ R Do f R l hm liản tử trản Kim tra ta thĐy Ă hm Kát luên: a, b, c l hm liản tử trản R Do õ (5) l phữỡng trẳnh tũy ỵ Suy f (x) = cx + a + b, ∀x ∈ R g(x) = cx + b, ∀x ∈ R h(x) = cx + a, ∀x ∈ R f, g, h (6) x¡ ành theo (6) thäa m¢n (1) f (x) = cx + a + b, ∀x ∈ R g(x) = cx + b, ∀x ∈ R h(x) = cx + a, ∀x R l Ă hơng số thỹ tũy ỵ Bi to¡n 3.3.3 Gi£i k k(x) = cx, ∀x ∈ R, c ∈ R h m Cau hy n¶n â n¶n (5) X¡ ành ¡ h m sè f, g li¶n tư tr¶n R v thäa m¢n i·u ki»n f (x + y) = g(x)g(y), ∀x, y ∈ R Trong (1) l§y y=0 ta ÷đ f (x) = ag(x), ∀x ∈ R +) Náu a=0 thẳ (1) f (x) (vợi a = g(0) ) (2) Khi â (1) t÷ìng ÷ìng vỵi g(x)g(y) = 0, ∀x, y ∈ R ⇔ g(x) = 0, ∀x ∈ R +) N¸u a 6= hay g(x) thá vo (1) ta ữủ ag(x + y) = g(x)g(y), ∀x, y ∈ R °t g(x) = ah(x), ∀x ∈ R Khi â h l h m liản tử trản (3) R, thá vo (3) ta ữủ h(x + y) = h(x)h(y), ∀x, y ∈ R (4) Theo kát quÊ bi toĂn 3.1.2 mử 3.1 thẳ h(x) ≡ +) Vỵi +) Vỵi h(x) ≡ h(x) = th¼ ho° g(x) ≡ 0, f (x) ≡ Ax th¼ g(x) = h(x) = Ax , (A > 0) Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn (1) a.Ax , f (x) = a2 Ax â a 6= 0, A > Thỷ lÔi ta 89 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Phữỡng trẳnh hm hai bián tỹ Chữỡng thĐy thọa mÂn (1) Kát luên: f (x) ≡ 0, g(x) ≡ ho° g(x) = a.Ax , f (x) = a2 Ax B i to¡n 3.3.4 Gi£i X¡ ành ¡ h m sè f, g â a 6= 0, A > li¶n tư tr¶n R+ v thäa m¢n i·u ki»n f (xy) = g(x)g(y), ∀x, y ∈ R+ °t x = eu , y = ev v f (et ) = h(t), g(et ) = k(t) (1) Thá vo (1) ta ữủ h(u + v) = k(u)k(v), ∀u, v ∈ R (2) Theo k¸t qu£ b i to¡n 3.3.3 th¼ h(u) ≡ 0, k(u) ≡ ho° k(u) = a.Au , ∀u ∈ R; h(u) = a2 Au , ∀u ∈ R +) Vỵi +) Vỵi måi h(u) ≡ 0, k(u) ≡ k(u) = x>0 a.Au , ∀u ta â: th¼ f (x) ≡ 0, g(x) ≡ ∈ R; h(u) = a2 Au , ∀u â a 6= 0, A > Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn (1) R õ a 6= 0, A > f (x) = f (eu ) = h(u) = a2 Au = a2 Aln x = a2 xlnA = a2 xα â Khi â vỵi α = ln A g(x) = g(eu ) = k(u) = a.Au = a.Aln x = axlnA = ax Thỷ lÔi ta thĐy Ă hm Kát luªn: f (x) = a2 xα , ∀x ∈ R+ ; g(x) = axα , ∀x ∈ R+ thäa m¢n (1) f (x) ≡ 0, g(x) ≡ ho° f (x) = a2 xα , ∀x ∈ R+ ; g(x) = axα , ∀x ∈ R+ B i to¡n 3.3.5 X¡ ành ¡ h m sè f, g â li¶n tư tr¶n R+ a, α ∈ R, a 6= v thäa m¢n i·u ki»n f (xy) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R+ (1) 90 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Chữỡng Phữỡng trẳnh h m hai bi¸n tü Gi£i x = eu , y = ev °t v f (et ) = h(t), g(et ) = k(t) Thá vo (1) ta ữủ h(u + v) = k(u) + k(v), ∀u, v ∈ R (2) Theo kát quÊ bi toĂn 3.3.1 thẳ h(u) = bu + a, k(u) = bu + 2a, a, b R Khi õ vợi mồi x>0 tũy ỵ ta â: f (x) = f (eu ) = h(u) = bu + a = b ln x + a, g(x) = g(eu) = k(u) = bu + 2a = b ln x + 2a Thỷ lÔi ta thĐy Ă hm m¢n (1) f (x) = b ln x + a, ∀x ∈ R+ ; g(x) = b ln x + 2a, x R+ thọa Kát luên: f (x) = b ln x + a, ∀x ∈ R+ ; g(x) = b ln x + 2a, ∀x ∈ R+ â a, b ∈ R B i to¡n 3.3.6 l Ă hơng số thỹ tũy ỵ XĂ nh Ă hm số f( GiÊi Trong (1) lĐy y=x liản tử trản v thäa m¢n i·u ki»n f (x) = g(x), ∀x R (1) Thá vo (1) ta ữủ g(x) + g(y) x+y )= , ∀x, y ∈ R 2 Theo kát quÊ bi toĂn 3.2.1 thẳ g(x) = ax + b vỵi a, b ∈ R g(x) = ax + b, f (x) = ax + b Thỷ lÔi ta th§y ¡ h m sè R g(x) + g(y) x+y )= , ∀x, y ∈ R 2 ta ÷đ g( f, g Suy f (x) = ax + b thọa mÂn (1) Kát luên: g(x) = ax+b, x ∈ R; f (x) = ax+b, ∀x ∈ R vỵi a, b l Ă hơng số thỹ tũy ỵ Bi to¡n 3.3.7 X¡ ành ¡ h m sè i·u ki»n f( Gi£i f, g : R −→ R+ li¶n tư tr¶n x+y 2g(x)g(y) )= , ∀x, y ∈ R g(x) + g(y) R v thọa mÂn (1) Theo giÊ thiát, ta õ (1) tữỡng ữỡng vợi f ( x+y ) = g(x) + g(y) , ∀x, y ∈ R 91 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Chữỡng Phữỡng trẳnh hm hai bián tü hay k(x) + k(y) x+y )= , ∀x, y ∈ R 2 > 0, k(x) = g(x) > Theo k¸t qu£ b i to¡n h( â h(x) = f (x) h(x) = ax + b, k(x) = ax + b Do vỵi måi Suy ra: x∈R f (x) = h(x) > 0, k(x) > ta â b , ∀x ∈ R; g(x) = Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn (1) b , x nản vợi a, b R 3.3.6 thẳ tũy ỵ h(x) = b, k(x) = b vợi b > R Kát luên: f (x) = 1b , ∀x ∈ R; g(x) = 1b , ∀x ∈ R vợi b > tũy ỵ Bi toĂn 3.3.8 Gi£i X¡ ành ¡ h m sè f, g, h x¡ nh trản R v thọa mÂn iÃu kiằn f (x + y) = [q(x) − q(y)]g(x + y), ∀x, y R Trong (1) lĐy x=y (1) ta ữủ f (x) = 0, ∀x ∈ R hay f (x) ≡ Khi õ (1) tữỡng ữỡng vợi g(x + y)[q(x) − q(y)] = 0, ∀x, y ∈ R Do â g(x) = 0, ∀x ∈ R, q(x) l h m số liản tử tũy ỵ trản R q(x) = q(y), ∀x, y ∈ R, g(x) l h m sè li¶n tư tũy ỵ trản R hay g(x) 0, q(x) l hm số liản tử tũy ỵ trản R q(x) c ( c R tũy ỵ ), g(x) l hm số liản tử tũy ỵ trản R Vêy (1) â nghi»m l ho° B i to¡n 3.3.9 f (x) số liản tử tũy ỵ trản f (x) ỵ trản g(x) ≡ q(x) l h m q(x) ≡ c ( c R tũy ỵ ) g(x) l hm số li¶n tư tịy X¡ ành ¡ h m f, g, h liản tử trản R R R v thọa mÂn iÃu ki»n f (3x + 2y) = 3g(x) + 2h(y), ∀x, y ∈ R (1) 92 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Chữỡng GiÊi Phữỡng trẳnh hm hai bián tỹ Trong (1) lĐy y=0 ta ữủ f (3x) = 3g(x) + a, ∀x ∈ R Trong (1) lĐy x=0 vợi a = 2h(0) (2) vợi b = 3g(0) (3) ta ÷đ f (2y) = 2h(y) + a, ∀x ∈ R Tø (1), (2), (3) ta suy f (3x + 2y) = f (3x) + f (2y) − a − b, ∀x, y ∈ R °t f (x) = k(x) + a + b, ∀x R, thẳ h(x) l hm liản tử trản (4) R Thá vo (4) ta ữủ k(3x + 2y) = k(3x) + k(2y), ∀x, y ∈ R hay k(x + y) = k(x) + k(y), ∀x, y ∈ R ¥y l phữỡng trẳnh hm Cau hy nản Suy f (x) = cx + a + b, h(x) = cx + k(x) = cx, ∀x ∈ R, c ∈ R a , g(x) = cx + (5) tũy ỵ b Thỷ lÔi ta thĐy Ă hm ny thọa mÂn (1) Kát luên: f (x) = cx + a + b, h(x) = cx + a2 , g(x) = cx + 3b â a, b, c l ¡ h¬ng số thỹ tũy ỵ Bi toĂn 3.3.10 GiÊi XĂ ành ¡ h m f, g li¶n tư tr¶n R v thäa m¢n i·u ki»n f (x + y) = g(x) + g(y) + 2xy, ∀x, y ∈ R Trong (1) lĐy y=0 (1) ta ữủ f (x) = g(x) + g(0), ∀x ∈ R ⇔ f (x) = g(x) + a, x R vợi a = g(0) Thá vo (1) ta ÷đ g(x + y) + a = g(x) + g(y) + 2xy, ∀x, y ∈ R °t g(x) = x2 + a + h(x), ∀x ∈ R th¼ h(x) l h m li¶n tư tr¶n (2) R Thay v o (2) ta ÷đ (x + y)2 + 2a + h(x + y) = h(x) + h(y) + x2 + y + 2a + 2xy, ∀x, y ∈ R 93 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Ch÷ìng Phữỡng trẳnh hm hai bián tỹ h(x + y) = h(x) + h(y), ∀x, y ∈ R ¥y l phữỡng trẳnh hm Cau hy nản Suy g(x) = x2 + bx + a, ∀x ∈ R v h(x) = bx, ∀x ∈ R, b ∈ R f (x) = x2 Thỷ lÔi ta thĐy Ă hm ny thọa mÂn (1) tũy ỵ + bx + 2a, x R Kát luên: g(x) = x2 + bx + a, ∀x ∈ R v f (x) = x2 + bx + 2a, ∀x ∈ R, â a, b l Ă hơng số thỹ tũy ỵ Bi toĂn 3.3.11 ( · thi h½nh thù Olympi 30/04/2012) h m sè f, g : R R thọa mÂn iÃu kiằn Tẳm t§t £ ¡ °p f (0) = g(0) = 1, g(1) = v f (x) − f (y) = (x − y)g(x − y), ∀x, y ∈ R (1) ( Theo t i li»u sè ) Gi£i y = −x Tø (1) ho v sû döng g(0) = ta ÷đ f (x) − f (−x) = 2x, ∀x ∈ R Trong (1) thay x bði x+1 v thay y bði x ta ÷đ f (x + 1) − f (x) = g(2x + 1), ∀x ∈ R Thay x bði x+1 v y bði −x (2) (3) v o (1) ta ÷đ f (x + 1) − f (−x) = 2(2x + 1), ∀x ∈ R (4) f (x + 1) + 2x − f (x) = 2(2x + 1), ∀x ∈ R (5) Tø (2) v (4) suy Tø (5) v (3) suy g(2x + 1) = 2(2x + 1) − 2x, ∀x ∈ R ⇔ g(2x + 1) = 2x + 2, ∀x ∈ R ⇔ g(x) = x + 1, ∀x ∈ R Thay y=0 (6) v o (1) v sû dưng (6) ta ÷đ f (x) = xg(x) + = x(x + 1) + = x2 + x + 1, ∀x ∈ R Thỷ lÔi ta thĐy p hm số yảu u · b i g(x) = x + 1, ∀x ∈ R; f (x) = x2 + x + 1, ∀x ∈ R thọa mÂn Kát luên: g(x) = x + 1, ∀x ∈ R; f (x) = x2 + x + 1, ∀x ∈ R 94 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13