Đang tải... (xem toàn văn)
Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM KHÁNH TÙNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ THIẾT DIỆN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM KHÁNH TÙNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ THIẾT DIỆN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM KHÁNH TÙNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ THIẾT DIỆN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Mã số: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm thiết diện 1.2 Thiết diện số hình thường gặp 1.2.1 Thiết diện hình cầu 1.2.2 Thiết diện hình nón 1.2.3 Thiết diện hình trụ trịn xoay 1.2.4 Thiết diện hình đa diện lồi 1.3 Các định lý, tính chất thường dùng 1.4 Một số toán xác định thiết diện 1.4.1 Mặt phẳng cắt qua ba điểm cho trước 1.4.2 Mặt phẳng cắt qua điểm song song với mặt phẳng (hoặc hai đường thẳng cắt nhau) 10 1.4.3 Mặt phẳng cắt qua hai điểm (chứa đường thẳng cho trước) song song với đường thẳng 12 1.4.4 Mặt phẳng cắt qua điểm song song với hai đường thẳng chéo 14 1.4.5 Mặt phẳng cắt qua hai điểm (chứa đường thẳng cho trước) vng góc với mặt phẳng 15 1.4.6 Mặt phẳng cắt qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng 16 ii Chương MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ THIẾT DIỆN 2.1 19 Dạng tập liên quan đến diện tích thiết diện 19 2.1.1 Tính diện tích thiết diện 20 2.1.2 Tìm điều kiện để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất, nhỏ 44 2.2 Dạng tập xác định hình dạng thiết diện 61 2.3 Dạng tập thiết diện phụ thuộc vào điểm di động 78 Kết luận 96 Tài liệu tham khảo 97 MỞ ĐẦU Trong chương trình Tốn phổ thơng nói chung, dạng tập, đề thi học sinh giỏi nói riêng tập thiết diện phong phú, đa dạng Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi tích lũy thêm kinh nghiệm chuyên môn, chọn hướng nghiên cứu luận văn Thạc sĩ với đề tài: "Một số dạng tập thiết diện dành cho học sinh giỏi" với nhiệm vụ: Hệ thống hóa để chọn lọc số dạng tập thiết diện thường xuất đề thi học sinh giỏi Đưa lời giải tường minh cho số tập dành cho học sinh giỏi, số tập khó mà tài liệu tham khảo chưa đưa lời giải chi tiết Cấu trúc phần nội dung luận văn: - Chương Kiến thức chuẩn bị Chương đề cập, trình bày kiến thức sở mặt phẳng, giao tuyến, thiết diện kiến thức tảng áp dụng việc giải tập chương - Chương Một số dạng tập thiết diện Đây nội dung trọng tâm luận văn Các tập dành cho học sinh giỏi thiết diện trình bày có hệ thống với tập khó theo dạng Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình PGS.TS Trịnh Thanh Hải giúp đỡ, tạo điều kiện thầy giáo, giáo khoa TốnTin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy lớp Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp tốn sơ cấp (Khóa 8) Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô Lãnh đạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Sở GDĐT tỉnh Yên Bái, Phòng GDĐT thành phố Yên Bái tập thể lớp Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp động viên, giúp đỡ tác giả khóa học q trình hồn thành luận văn Thực luận văn này, tác giả đầu tư nhiều thời gian, tham khảo nhiều tài liệu, cẩn thận trình bày để thực luận văn tránh khỏi hạn chế Tác giả kính mong góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn ! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Phạm Khánh Tùng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm thiết diện Hình phẳng có cắt hình khối T mặt phẳng (P ) gọi thiết diện hình khối T cắt mặt phẳng (P ) 1.2 1.2.1 Thiết diện số hình thường gặp Thiết diện hình cầu Mặt phẳng (P ) cắt hình cầu T ln cho ta thiết √ diện hình trịn bán kính r = R2 − k Trong R bán kính hình cầu; k khoảng cách từ mặt phẳng tới tâm hình cầu (0 ≤ k < R) (Hình 1.1) 1.2.2 Thiết diện hình nón Hình 1.1 Hình 1.2 - Mặt phẳng qua đỉnh, cắt hình nón theo hai đường sinh ta thiết diện tam giác cân (Hình 1.2) - Cắt hình nón mặt phẳng không qua đỉnh: + Nếu mặt phẳng cắt tất đường sinh hình nón ta thiết diện hình elip (Hình 1.3) Đặc biệt trường hợp này, mặt phẳng vng góc với trục hình nón thiết diện thu hình trịn có tâm nằm trục hình nón (Hình 1.4) + Nếu mặt phẳng song song với hai đường sinh hình nón thiết diện thu hình phẳng giới hạn giao tuyến mặt phẳng với mặt đáy hình nón (là đoạn thẳng) mặt bên hình nón (là đường cong thuộc nhánh hypebol) (Hình 1.5) Hình 1.3 Hình 1.4 Hình 1.5 Hình 1.6 + Nếu mặt phẳng song song với đường sinh hình nón thiết diện thu hình phẳng giới hạn giao tuyến mặt phẳng với mặt đáy hình nón (là đoạn thẳng) mặt bên hình nón (là phần đường cong parabol) (Hình 1.6) 1.2.3 Thiết diện hình trụ trịn xoay - Thiết diện hình trụ trịn xoay (bán kính r) bị cắt mặt phẳng vng góc với trục hình trụ hình trịn có tâm nằm trục hình trụ, có bán kính r (Hình 1.7) - Thiết diện hình trụ trịn xoay (bán kính r) bị cắt mặt phẳng hợp với trục hình trụ góc α < α < 900 cắt tất đường sinh hình trụ hình elip có trục nhỏ 2r trục lớn 2r (Hình 1.8) sin α - Thiết diện hình trụ trịn xoay (bán kính r) bị cắt mặt phẳng song song với trục hình trụ, cách trục hình trụ khoảng k (0 ≤ k < r) hình chữ nhật có hai cạnh có độ dài chiều cao hình trụ, hai cạnh cịn lại có độ √ dài r2 − k (Hình 1.9) Hình 1.7 1.2.4 Hình 1.8 Hình 1.9 Thiết diện hình đa diện lồi Để xác định thiết diện khối đa diện lồi T (gọi tắt hình T ) cắt mặt phẳng (P ) ta thường thực qua bước sau: Bước Xác định giao tuyến mặt phẳng (P ) với mặt hình T gọi giao tuyến gốc (giao tuyến thường dễ dàng xác định dựa vào giả thiết đề bài) Bước Xác định giao điểm giao tuyến gốc với cạnh hình T Bước Từ giao điểm trên, xác định giao tuyến lại mặt phẳng (P ) với mặt hình T Bước Chỉ phần hình phẳng mặt phẳng (P ) giới hạn giao tuyến thiết diện cần xác định Thực chất quy trình tìm giao mặt phẳng (P ) với mặt hình T (Mặt phẳng (P ) khơng cắt hết mặt hình T ) Hình dạng thiết diện đa giác lồi có đỉnh giao điểm mặt phẳng (P ) với cạnh hình T 1.3 Các định lý, tính chất thường dùng * Quan hệ song song, quan hệ vng góc: Định lí 1.1 [9] Trong khơng gian, cho đường thẳng d điểm A ngồi d Lúc tồn đường thẳng a qua A song song với đường thẳng d Mệnh đề 1.1 [9] Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với hai mặt phẳng cắt theo đường thẳng đường thẳng song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng Mệnh đề 1.2 [9] Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với Định lí 1.2 [9] Cho mặt phẳng (α) đường thẳng d khơng thuộc (α) Khi đó, d (α) song song với tồn đường thẳng a thuộc (α) cho d a song song với Mệnh đề 1.3 [9] Nếu hai mặt phẳng song song chứa đường thẳng chúng cắt theo giao tuyến đường thẳng giao tuyến song song trùng với đường thẳng Định lí 1.3 [9] Cho điểm P hai đường thẳng a, b chéo Khi tồn mặt phẳng (α) qua điểm P cho (α) song song chứa a song song chứa b Mệnh đề 1.4 [9] Cho điểm P hai đường thẳng a, b chéo cho P không thuộc a b Giả sử đường thẳng a không song song với mặt phẳng (P ; b) 76 Khi (P ) qua E (P ) //AD nên qua E kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD F , ta có {F } = SD ∩ (P ) Ta thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P ) tứ giác EF GH Vì EF//AD; AD//GH suy EF//GH nên thiết diện EF GH hình thang Vì S.ABCD hình chóp tứ giác cách xác định thiết diện ta có [ = F[ AE = DF, AH = DG, EAH DG suy ∆AEH = ∆DF G (c.g.c) Suy EH = F G Do đó, thiết diện EF GH hình thang cân b) Ta có HG = AD = √ 1p 2; AO = AC = AB + BC = 2 SO⊥ (ABCD) ⇒ SO⊥HG; M E//SO ⇒ M E⊥HG suy M E đường cao hình thang EF GH EM//SO ⇒ EM ⊥AO ⇒ ∆AM E vuông M suy M E = Vì M E//SO nên √ AE − AM √ AE AM = = x ⇒ AE = x AS AO Suy ME = Lại có EF//HG nên p AE − AM = p 2x2 − x2 = x √ √ EF SE = ⇒ EF = SE = SA − AE = − x HG SA Suy diện tích thiết diện EF GH SEF GH √ √ 1 √ = (EF + GH) M E = 2−x 2+ x= 2 √ (2 − x) x Bài tập 2.2.9 [14] Cho hình lập phương nội tiếp hình cầu S(O;R) với R = a Trong hình lập phương lại nội tiếp hình cầu S1 (O; R1 ) Qua trung điểm hai cạnh liên tiếp hình lập phương ta dựng mặt phẳng (α) tiếp xúc với hình cầu S1 (O; R1 ) Mặt phẳng (α) cắt hình lập phương theo thiết diện hình ? Tính diện tích thiết diện theo a Lời giải 77 Nhận xét: Khơng tính tổng qt, ta xét M , N thuộc hai cạnh BC CD Gọi Q tiếp điểm mặt phẳng tiếp tuyến qua M N với mặt cầu M N vng góc với mặt phẳng (OQO1 ), OO1 ∈ (AA′ CC ′ ) , M N ⊥ (AA′ CC ′ ) ⇒ Q ∈ (AA′ CC ′ ) Hình cầu S1 (O; R1 ) nội tiếp hình lập phương ABCD.A′ B ′ C ′ D′ tiếp xúc với mặt hình lập phương tâm mặt Hình 2.42 Ta xác định thiết diện hình lập phương cắt (α) sau: Xác định đường tròn tròn tâm O, bán kính R1 giao mặt phẳng (AA′ C ′ C) với mặt cầu S1 Gọi P giao M N với AC , qua P dựng tiếp tuyến P Q với đường trịn đó, P Q cắt CC ′ S ta thiết diện hình lập phương cắt (α) tam giác SM N (Hình 2.42) [ = SCN [ = 900 , cạnh CS chung nên Vì M C = M N = BC; SCM ∆SCM = ∆SCN (c.g.c) Suy SM = SC thiết diện SM N tam giác cân S Hình lập phương ABCD.A′ B ′ C ′ D′ nội tiếp hình cầu S(O; R), mặt phẳng (AA′ C ′ C) cắt mặt cầu S(O; R) theo đường trịn tâm O, bán kính R (Hình 2.43) O trung điểm O1 O2 Ta có O1 O2 = AA′ Gọi x độ dài cạnh hình lập phương Xét tam giác OAO1 vng O1 , ta có √ x O O2 x O1 A = ; O1 O = = 2 OO1 + O1 A2 = OA2 Suy √ 3x2 2R x2 2x2 + = ⇒x= R = 4 √ 2a Do đó, độ dài cạnh hình lập phương x = Hình 2.43 78 Ta có diện tích thiết diện SM N SSM N = Vì SCM N [ cos S PC 1 DB AC AC SCM N = M N.CP = = 2 16 suy SCM N 2.4.a2 a2 2x2 = = = 16 16.9 \ \ Ta nhận thấy S[ PC = O OQ bù với góc O P Q, suy √ x √ [ [ \ S P C S P C O P O OQ 1 \ = , tan = = x = P OO1 = 2 OO1 2 Suy [ S PC √ √ 2 [ = tan S PC = = 2 [ S PC 1− − tan2 2 tan Suy [ cos2 S PC = [ + tan2 S PC = 1 [ [ ⇒ cos S P C = (vì S P C góc nhọn) Suy diện tích thiết diện SM N SSM N 2.3 a2 SCM N a2 = = = [ cos S PC Dạng tập thiết diện phụ thuộc vào điểm di động Đây dạng tập có tính chất tổng hợp dạng tập trên, đặc biệt phải biện luận theo tình xảy ứng với vị trí điểm di động Bài tập 2.3.1 [13] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′ B ′ C ′ cạnh đáy a, chiều cao h Gọi I trung điểm AB, M điểm cạnh BC a) Xác định dạng thiết diện hình lăng trụ cắt mặt phẳng (A′ IM ) M thay đổi vị trí BC 79 b) Xác định vị trí M để mặt phẳng (A′ IM ) vng góc với mặt phẳng (BCC ′ B ′ ) Tính diện tích thiết diện Lời giải a) Xác định thiết diện: Gọi K giao A′ I với BB ′ , E giao KC ′ với BC Ta có: 1 IB//A′ B ′ , IB = AB = A′ B ′ ⇒ KB = KB ′ hay B trung điểm KB’ 2 KB BE = hay E trung điểm BC BE//B ′ C ′ ⇒ ′ ′ = BC KB ′ Ta xét vị trí M : * Trường hợp M trùng với B Khi (A′ IM ) khơng cắt lăng trụ * Trường hợp M trùng với E Khi đó, thiết diện tứ giác M IA′ C Vì (A′ B ′ C ′ ) song song với (ABCD) nên A′ C ′ //IE M IA′ C ′ hình thang * Trường hợp M trùng với C Khi thiết diện tam giác A′ IC * Trường hợp M thuộc đoạn BE (không trùng với B E ), đường thẳng KM cắt B ′ C ′ D Thiết diện hình thang M IA′ D (Vì (A′ B ′ C ′ ) song song với (ABCD) nên A′ D//IM ) (Hình 2.44) Hình 2.44 Hình 2.45 * Trường hợp M thuộc đoạn EC (Không trùng với E C ), KM cắt C ′ C F Thiết diện tứ giác M IA′ F (Hình 2.45) 80 b) Vì (ABC) ⊥ (BCC ′ B ′ ) , (A′ IM ) ⊥ (BCC ′ B ′ ) nên giao tuyến (A′ IM ) với (ABC) IM vng góc với BC Vì tam giác ABC đều, E trung điểm BC nên AE⊥BC suy IM//AE Trong tam giác ABE có điểm I trung điểm AB IM//AE nên M trung điểm BE M thuộc đoạn BE nên thiết diện tứ giác M IA′ D (Hình 2.44) M trung điểm BE suy D trung điểm B ′ C ′ M I⊥BC, M I⊥BB ′ ⇒ M I⊥ (BCC ′ B ′ ) ⇒ M I⊥M D ∈ (BCC ′ B ′ ), thiết diện M IA′ D hình thang vng M D Suy thiết diện lúc hình thang M IA′ D vuông M D Diện tích thiết diện M IA′ D ′ A D + M I M D √ a ′ ′ ′ ′ , IM đường trung bình tam Trong tam giác A B C ta có A D = giác KA′ D nên √ 1 ′ a IM = AE = A D = , 2 SM IA′ D = Trong tam giác DM E vng E có DM = Suy SM IA′ D p DE + EM = r h2 + a2 16 √ r √ p 3a 3a a = = h2 + 16h2 + a2 16 32 Bài tập 2.3.2 [13] Cho hình hộp đứng ABCD.A′ B ′ C ′ D′ có AB = 2a, góc ADB vng góc ABD 300 Đường cao hình hộp a Gọi (P ) mặt phẳng qua điểm M cạnh AB song song với AD D′ O (O tâm ABCD) a) Tùy theo vị trí M AB , xác định thiết diện (P ) với hình hộp b) Tính diện tích thiết diện theo a x = AM Lời giải (Hình 2.46) a) Xác định thiết diện: Qua M dựng đường thẳng song song với AD, cắt DB H cắt DC N 81 Dựng đường thẳng d qua H song song với D′ O ta mặt phẳng (P ) mặt phẳng chứa M N d Gọi I trung điểm AB Khi M trùng với I H trùng với O (vì M H//AD O trung điểm DB ) * Trường hợp Nếu M đoạn AM (M không trùng với A) H đoạn DO (H khơng trùng với D) Khi d cắt DD′ E Dựng đường thẳng qua E song song với AD, cắt AA′ Hình 2.46 F Nối EM , EN ta thiết diện tứ giác M N EF * Trường hợp Nếu M đoạn BI (M không trùng với B ) H đoạn QB (H khơng trùng với B ) Khi đường thẳng d cắt D′ B ′ K Qua K dựng đường thẳng d′ song song với A′ D′ (vì A′ D′ //AD nên d′ //AD), cắt A′ B ′ L, cắt D′ C ′ G Nối M L, GN ta thiết diện tứ giác M N GL b) Tính diện tích thiết diện: * Trường hợp Khi M đoạn AM (M không trùng với A), (0 < x < a) [ = 900 , M N ⊥DD′ ⇒ AD⊥ (DD′ B ′ B) mà M N//AD suy M N ⊥ (DD′ B ′ B) Vì ADB ⇒ EH⊥M N Suy diện tích thiết diện M N EF SM N EF = M N.EH Trong tam giác ADB vuông D có √ 2a BD a [ = 30 ⇒ DA = AB = = a ⇒ M N = AD = a, DO = = ABD 2 2 Trong tam giác vuông D′ DO có √ 2 3a 7a a D′ O2 = DD + DO2 = a2 + = ⇒ D′ O = 4 ′2 Vì EH//D′ O M N//AD nên EH DH 2DH 2AM x = = = = , ′ DO DO DB AB a suy √ √ √ x x ax x ⇒ SM N EF = a = EH = D O = a 2 ′ * Trường hợp Khi M đoạn BI (M không trùng với B ) (a ≤ x < 2a) 82 Khi KH = OD′ suy SM N EF √ √ a a2 = M N.KH = a = 2 Bài tập 2.3.3 [8] Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M P hai điểm di động AD BC cho AM = CP = x (0 < x < a) Gọi (α) mặt phẳng qua MP song song với CD a) Chứng minh thiết diện tứ diện bị cắt (α) hình thang cân b) Tìm x để diện tích thiết diện nhỏ Lời giải (Hình 2.47) a) Vì (α) //CD suy giao tuyến (α) với (ACD) với (BCD) song song với CD Qua M dựng đường thẳng song song với CD cắt AC N Qua P dựng đường thẳng song song với DC , cắt BD Q Ta thiết diện tứ giác M N P Q Vì M N//P Q (vì song song với CD) nên M N P Q hình thang Vì ABCD tứ diện nên [ = ACB [ = 600 ; M N //DC ⇒ N C = M D = a − x; ADB Hình 2.47 P Q//DC ⇒ QD = P C = x ⇒ ∆N P C = ∆M QD ⇒ N P = M Q Suy M N P Q hình thang cân b) Gọi H K là chân đường vng góc hạ từ N M xuống P Q Suy diện tích thiết diện M N P Q SM N P Q = (M N + P Q) N H Tam giác ACD đều, M N//CD suy tam giác AM N đều, suy M N = AM = x Tam giác BCD đều, P Q//CD suy tam giác BP Q đều, suy P Q = BP = a − x 83 Trong tam giác N P H có N H = N P − P H Ta lại xét: - Trong tam giác P N C có N P = CN +CP −2CN.CP cos 600 = (a − x)2 +x2 −2 (a − x) x = 3x2 −3ax+a2 - Xét ∆N P H = ∆M QK ⇒ P H = KQ ⇒ 2P H = P Q − HK = P Q − M N Do 2P H = P Q − M N = a − 2x ⇔ P H = a − x Suy 2 2 N H = N P − P H = 3x − 3ax + a + a +x 2 Do đó, diện tích thiết diện M N P Q s SM N P Q 3a2 x2 − ax + a = (M N + P Q) N H = 2 Ta có a x− 2 a2 a2 + ≥ ⇔ 8 r a x− 2 = 2x2 − 2ax + a =√ r x− 3a2 a 2 + a2 √ a2 a a2 + ≥ ⇔ SM N P Q ≥ 4 Dấu “=” xảy x− a a =0⇔x= 2 Vậy diện tích thiết diện M N P Q nhỏ điểm BC M trung điểm AD a a2 Khi x = , P trung Bài tập 2.3.4 [13] Cho hình tứ diện S.ABC có ABC tam giác cạnh a SA vng góc với (ABC) SA = a Gọi M điểm tùy ý AC (M 6= A, M 6= C), mặt phẳng (α) qua M vng góc với AC a) Tùy theo vị trí điểm M, xác định thiết diện tạo (α) tứ diện S.ABC b) Đặt CM = x (0 < x < a) Tính diện tích S thiết diện theo a x c) Xác định x để diện tích S lớn Tính diện tích lớn Lời giải a) Xác định thiết diện tạo (α) tứ diện S.ABC 84 Theo ví dụ 1.4.12 (Mục 1.4.6) ta có: Gọi I trung điểm AC , tam giác ABC nên BI⊥AC * Trường hợp M thuộc đoạn AI , (M 6= A, M 6= I) Thiết diện hình thang M N P Q vng M N (Hình 2.48) * Trường hợp M thuộc đoạn IC , M khác C Thiết diện tam giác QM K vuông M , K thuộc cạnh BC (Hình 2.49) Hình 2.48 Hình 2.49 b) Tính diện tích thiết diện theo a x * Trường hợp M thuộc đoạn AI , a < x < a Diện tích thiết diện M N P Q SM N P Q = (N P + M Q) M N Áp dụng định lý Ta-lét, ta có M N//BI nên AM BI.AM MN = ⇒ MN = BI AI AI Trong tam giác ABI vuông I , AB = a, AI = BI = Suy M Q//SA nên p AB − AI a nên √ a = √ a (a − x) √ = (a − x) ; MN = a CM x ax MQ = = ⇒ MQ = = x; SA CA a a 85 N P//SA nên a x− NP BN MI = = = a ⇒ N P = 2x − a SA BA AI Suy diện tích thiết diện SM N P Q √ √ (3x − a) (a − x) = (x + 2x − a) (a − x) = 2 a * Trường hợp M thuộc đoạn IC , < x ≤ Diện tích thiết diện SKM Q = M K.M Q Từ trường hợp 1, có M Q = x; M Q//IB nên √ √ a 2x MK CM x = = a ⇒ MK = = x BI CI a Suy SKM Q √ √ x = x 3.x = 2 Vậy, diện tích thiết diện √ (a − x) (3x − a) , ( a < x < a) S= √2 3.x , 2 a (0 < x ≤ ) c) Xác định x để diện tích S lớn * Nếu a < x < a √ √ 3 (a − x) (3x − a) = (3x − a) (3a − 3x) S= Mặt khác, với a < x < a 3x − a > 0, 3a − 3x > Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có √ 3x − a + 3a − 3x S≤ Hay S≤ √ a = √ a 86 * Nếu < x ≤ a S= x √ ≤ a 2 √ Hay S≤ Vì = √ a √ a √ 3 a ≤ a √ nên giá trị lớn S a , √ a 2a S= a < x < a 3x − a = 3a − 3x Khi đó, x = √ a 2a Vậy diện tích thiết diện S lớn khi x = √ Bài tập 2.3.5 [13] Cho hình chóp S.ABCD, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), ABCD hình thang vng A B, có đáy lớn AD = 2a, đáy nhỏ √ BC = a AB = 2a, SA = a Gọi M điểm nằm đường chéo AC (M khác A C), đặt AM = x Mặt phẳng (P) qua M vng góc với AC a) Tùy theo vị trí M đoạn AC, xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với (P) b) Tính diện tích thiết diện theo a x Xác định x để thiết diện có diện tích lớn Lời giải (Hình 2.50) a) Xác định thiết diện tùy theo vị trí M AC Gọi I trung điểm AD, tứ giácABCI có AB vng góc với AD, AI//BC, AI = BC = BA = a, ABCI hình vng suy BI⊥AC ⇒ BI// (P ) Ta lại có SA⊥AC ⇒ SA// (P ) Gọi O giao điểm AC BI O trung điểm AC BI Hình 2.50 87 * Trường hợp √ M thuộc đoạn OA, a (0 < x < AM = ) Ta có (P ) //BI (P ) //SA suy thiết diện xác định sau: Qua M dựng đường thẳng song song với BI , cắt cạnh AB , AD E F Qua E , M , F dựng đường thẳng song song với SA cắt SB , SC , SD L, K , H Nối KL, KH ta thiết diện ngũ giác EF HKL √ √ a ≤ x < a 2) * Trường hợp M thuộc đoạn OC , ( Qua M dựng đường thẳng song song với BI , cắt BC AD J G Qua M G dựng đường thẳng song song với SA, cắt SC SD Q R Nối JQ, RG ta thiết diện tứ giác JGRQ Vì CD//(P ) nên QR//CD//BI suy QR//JG Mà (P )//SA suy RG//SA SA vng góc với BI nên RG vng góc với QR JG Do thiết diện JGRQ hình thang vng R G b) Tính diện tích thiết diện: √ a * Trường hợp M thuộc đoạn OA, (0 < x < ) Diện tích thiết diện S1 = SM KHF + SM KLE Ta có: (P ) //BI, BI //DC (vì BCDI hình bình hành) suy DC//(P ) (P ) giao với (SCD) HK suy KH//DC//BI ; (P ) giao với (ABCD) EF//BI Suy EF//HK Lại có EL//M K//HF//SA nên EF vng góc với EL, M K HF Suy M F HK hình chữ nhật M KLE hình thang vuông E M AM MF MF = = ⇒ M F = AM = x (AM = OI ABCI AO OI AO hình vng) √ √ √ a a 2−x MK CM SA.CM √ M K//SA ⇒ = a − x; = ⇒ MK = = SA CA CA a √ √ a a −x √ LE BE OM SA.OM √ LE//SA ⇒ = = ⇒ LE = = = a − 2x SA BA OA OA a 2 M F//OI ⇒ √ Suy diện tích hình chữ nhật M F HK là: SM F HK = M F.M K = x a − x 88 Diện tích hình thang vng EM KL SEM KL √ √ a − 3x x 1 √ = (M K + EL) M E = a − x + a − 2x x = 2 Do diện tích thiết diện EF HKL √ √ √ a − 3x x S1 = SM KHF + SM KLE = x a − x + = x 4a − 5x 2 √ √ a ≤ x < a 2) * Trường hợp M thuộc đoạn OC , ( Diện tích thiết diện JGRQ là: S2 = (JG + RQ) RG √ JG = BI = a Vì QR//CD nên √ SQ AM CD.AM a 2.x RQ = = ⇒ RQ = = √ = x CD SC AC AC a Vì RG//SA nên √ DG CM SA.CM RG = = ⇒ RG = = a − x SA DA CA CA Suy S2 = √ √ a 2+x a 2−x = 2a2 − x2 2 Vậy, diện tích thiết diện √ √ a S1 = x 4a − 5x , (0 < x < ) 2 √ S= √ a S2 = 2a2 − x2 , ( ≤ x < a 2) 2 * Xác định x để thiết diện có diện tích lớn nhất: Ta có √ 2 √ √ 4a2 1 4a + 5x + 5x S1 = x 4a − 5x = 5x 4a − 5x ≤ = 10 10 Suy max S1 = 4a2 √ 4a2 S1 = ⇔ 4a + 5x = 5x, x ∈ √ √ a 2a 0; ⇔x= 89 " 1 S2 = 2a2 − 2a2 − x2 ≤ 2 √ 2 # a 2 = 3a2 3a2 4a2 ⇒ max S2 = < 4 4a2 max S2 < max S1 suy max S = max S1 = √ 2a Vậy diện tích thiết diện đạt giá trị lớn x = Bài tập 2.3.6 [13] Cho hình lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ Gọi M , N , P ba điểm AB ′ , AC ′ B ′ C cho AM C ′N CP = = = x ′ ′ AB AC CB ′ Xác định x để (MNP) song song với (A′ BC ′ ) Khi đó, tính diện tích thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (MNP) Biết tam giác BA′ C ′ tam giác cạnh a Lời giải (Hình 2.51) Trong tam giác AB ′ C có CP AM = AB ′ CB ′ suy M P//AC//A′ C ′ Để (M N P ) song song với (A′ BC ′ ) giao tuyến (M N P ) với (ACC ′ A′ ) đường thẳng qua N song song với A′ C ′ Dựng đường thẳng qua N song song với A′ C ′ cắt đường thẳng AA′ R cắt đường thẳng CC ′ S (MNP) song song với (A′ BC ′ ) Hình 2.51 nên RM//A′ B AM AN AR = (vì RS//A’C’, O giao A’B với AB’ ) = ′ AO AA AC ′ Suy AM AN AC ′ − C ′ N C ′N AR = = = − = − x = AO AA′ AC ′ AC ′ AC ′ Suy AM AM AM = = − x ⇔ 2.x = − x ⇔ x = =1−x⇔ ′ AO AB AB ′ 90 Vậy để (MNP) song song với (A′ BC ′ ) x = Khi 1 AM = AB ′ ; C ′ N = AC ′ ; CP = CB ′ 3 Khi M , N , P , R thuộc đoạn AO, AC ′ , CK , AA′ (K giao BC ′ với CB ′ ) Gọi Q, T giao RM với AB SP với BC Khi Q T nằm đoạn AB BC Ta thiết diện tứ giác RST Q Ta có AC //A′ C′ ⇒ AC// (M N P ) ; T Q// (M N P ) , T Q ∈ (ABC) ⇒ T Q//AC//M P Suy TQ BQ TQ = = (vì RS = AC) RS AC BA Mà MO OA − AM AM BQ = = =1− = − (1 − x) = x BA OA OA OA Suy QT =x= RQ Gọi I giao RQ ST suy tam giác IQT đồng dạng với tam giác IRS với tỷ số Do SIQT 1 = ⇒ SIQT = SIRS ⇒ ST QRS = SIRS SIRS 9 Lại có ∆IRS = ∆BA′ C ′ (c.c.c) Tam giác BA′ C ′ cạnh a nên S∆IRS = S∆BA′ C ′ Suy diện tích thiết diện ST QRS √ a2 = √ √ a2 2a2 = = 9 Bài tập 2.3.7 [13] Cho hình lập phương ABCD.A′ B ′ C ′ D′ cạnh a, M điểm di động cạnhAB Đặt AM = x (0 ≤ x ≤ a) Mặt phẳng (A′ M C) cắt cạnh C ′ D′ N Xác định vị trí M để thiết diện có diện tích nhỏ Khi đó, tính góc mặt phẳng (A′ M C) với mặt phẳng chứa đáy hình lập phương