(LUẬN văn THẠC sĩ) một số dạng bài toán tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VIỆT HÙNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VIỆT HÙNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN TỔ HỢP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VŨ LƯƠNG Hà Nội - 2013 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục LỜI MỞ ĐẦU Các toán tập hợp iii 1.1 Một số ví dụ 1.2 Bài tập đề nghị 10 Các tốn phép đếm 12 2.1 Tóm tắt lý thuyết 12 2.2 Một số ví dụ 14 2.3 Sử dụng phép đếm để chứng minh đẳng thức tổ hợp 19 2.4 Bài tập đề nghị 24 Các toán số tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị 28 3.1 Chứng minh hệ thức số tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị 28 3.2 Nhị thức Newton toán tổng tổ hợp 35 3.3 Nhị thức Newton số phức 41 3.4 Sử dụng đạo hàm, tích phân nhị thức Newton để xây dựng đẳng thức tổ hợp 44 3.5 Bài tập đề nghị 50 Một số toán tổ hợp nâng cao 56 4.1 Các toán sử dụng quan hệ truy hồi 56 4.2 Các toán sử dụng song ánh 60 4.3 Phương pháp quỹ đạo 62 4.4 Một số dạng toán khác 67 i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Các toán sử dụng nguyên lý Dirichlet 77 5.1 Nguyên lý Dirichlet 77 5.2 Các ví dụ 78 5.3 Bài tập đề nghị 84 KẾT LUẬN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com iii Lời mở đầu LỜI MỞ ĐẦU Các toán tổ hợp xuất cách thường xuyên đề thi học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế chúng ln xem dạng tốn khó phần lớn học sinh Hẳn phải đau đầu trước toán tổ hợp Đặc điểm toán tổ hợp không cần đến nhiều công thức cồng kềnh hay phức tạp mà để giải chúng chủ yếu dựa vào tư nhạy bén Thêm vào tính trừu tượng dễ gây nhầm lẫn cho Chính lẽ mà nhiều nước giới họ đưa nội dung tốn tổ hợp vào chương trình mơn tốn từ sớm cho lớp Trung học sở Cịn nước ta chưa đưa vào sách giáo khoa thống cho học sinh Trung học sở, loại toán thường sử dụng (như thách thức đáng kể nhất) cho kì thi học sinh giỏi thi vào trường chuyên, lớp chọn Chọn đề tài "Một số dạng toán tổ hợp" lường trước khó khăn phải đối mặt Luận văn khơng có tham vọng trình bày cách đầy đủ hệ thống tất dạng toán tổ hợp (vì chúng vốn đa dạng phong phú) mà trình bày số kĩ mang tính kinh nghiệm để giải loại toán Những lý thuyết trình bày sách giáo khoa, chúng tơi khơng nêu lại mà trình bày số công thức chưa thực phổ biến, sau sâu vào ví dụ để minh họa cho dạng tốn phương pháp mà chúng tơi muốn nói đến Các ví dụ tốn chọn lọc cách cẩn thận từ nhiều nguồn tham khảo khác nhau, có số chúng tơi tự đưa Luận văn gồm chương Tuy nhiên cần phải nói thêm phân chia mang tính tương đối ý thức chủ quan tác giả mà thơi tốn học khơng có thực rõ ràng danh giới phần, phân môn khác Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Nguyễn Vũ Lương, người thầy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giúp đỡ to lớn Những sai xót, khiếm TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com iv Lời mở đầu khuyết điều khó tránh khỏi lỗi thuộc cá nhân tác giả Chúng mong nhận thông cảm lời nhận xét, góp ý từ phía thầy, bạn bè đồng nghiệp Hà Nội, tháng năm 2013 Nguyễn Việt Hùng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop Chương Các tốn tập hợp 1.1 Một số ví dụ Ví dụ (Cơng thức tính lực lượng hợp tập hợp) Với n tập hợp hữu hạn tùy ý A1 , A2 , , An ta có đẳng thức |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An | = n X i=1 |Ai | − X 1≤i m Chứng minh số nghiệm nguyên dương hệ  x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · · + ym + x + x + · · · + x ≤ nk n n(k−1) X n−1 m−1 Cn−1+i Cn−2+i i=0 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop 2.4 Bài tập đề nghị 26 Bài 17 Có số nguyên dương nhỏ 1000.000 mà tổng chữ số 19 Bài 18 a) Có xâu nhị phân chứa tám số mười số sau số thiết phải số b) Có xâu nhị phân chứa năm số mười bốn số sau số thiết phải hai số liên tiếp c) Có xâu nhị phân độ dài 10 chứa ba số ba số Bài 19 Cho tam giác ABC Xét tập hợp gồm đường thẳng song song với AB, đường thẳng song song với BC đường thẳng song song CA Hỏi đường thẳng tạo hình bình hành, hình thang? ĐS: 675 hình bình hành, 1575 hình thang Bài 20 Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Tìm số số gồm chữ số A cho có chữ số Bài 21 Có cách đảo chữ MATHEMATICAL cho ngun âm khơng đứng cạnh Bài 22 (Tốn học tuổi trẻ) Co số tự nhiên gồm chữ số khác hai chữ số kề không số lẻ ĐS: 37800 Bài 23 Cho a = 102011333557799 Thay đổi vị trí chữ số a nhận số mà chữ số chẵn không đứng cạnh Bài 24 Cho A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Có số gồm chữ số a, chữ số b với a, b ∈ A a 6= b Bài 25 Cho a = 11223334444 Thay đổi vị trí chữ số a nhận số mà chữ số hai chữ số không đứng cạnh Bài 26 a) Cho đa giác 16 đỉnh Hỏi có ngũ giác mà cạnh đường chéo? (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop 2.4 Bài tập đề nghị 27 b) Cho đa giác n (n ≥ 6) đỉnh Hỏi có tam giác mà đỉnh đỉnh đa giác khơng kề nhau? Bài 27 (Tốn học tuổi trẻ) Có số tự nhiên có chữ số, có chữ số lẻ khác chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt hai lần ĐS: 3931200 Bài 28 Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có n ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho n học sinh trường A n học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách trường hợp sau a) Hai học sinh ngồi cạnh ngồi đối diện phải khác trường b) Hai học sinh ngồi đối diện với phải khác trường ĐS: a) 2(n!)2 , b) [(2n).n][(2n−2)(n−1)][(2n−4)(n−2)] · · · [2.1] = (2n)!!.n! (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop Chương Các toán số tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị 3.1 Chứng minh hệ thức số tổ hợp, chỉnh hợp hốn vị Ví dụ 32 a) Chứng minh k−1 k−1 k−1 Cnk = Cn−1 + Cn−2 + · · · + Ck−1 b) Áp dụng kết tính tổng quen thuộc sau S1 = + + · · · + n S2 = 1.2 + 2.3 + · · · + n(n + 1) S3 = 1.2.3 + 2.3.4 + · · · + n(n + 1)(n + 2) LỜI GIẢI k−1 k a) Chỉ cần áp dụng liên tiếp công thức Cnk = Cn−1 + Cn−1 b) Ta có S1 = n X Ck1 = Cn+1 = k=1 S2 = n X k(k + 1) = k=1 n X =2 n X (k + 1)! k=1 (k − 1)! Ck+1 = 2Cn+2 = k=1 n(n + 1) =2 n X (k + 1)! 2!(k − 1)! k=1 n(n + 1)(n + 2) 28 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop 3.1 Chứng minh hệ thức số tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị S3 = n X k(k + 1)(k + 2) = k=1 n X =6 k=1 Ck+2 = 6Cn+3 = k=1 n X (k + 2)! =6 (k − 1)! 3!(k − 1)! n X (k + 2)! k=1 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Nhận xét Bằng phương pháp tương tự ta thu đẳng thức sau S4 (n) = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + · · · + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) S5 (n) = 1.2.3.4.5 + 2.3.4.5.6 + · · · + n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) = = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5) Ví dụ 33 Tìm giá trị lớn giá trị Cn0 , Cn1 , Cn2 , , Cnn LỜI GIẢI Đặt ak = Cnk , k = 0, n Xét bất phương trình (ẩn số k) sau ak ≤ ak+1 ⇔ Cnk ≤ Cnk+1 ⇔ k ≤ Từ suy ak ≥ ak+1 ⇔ k ≥ Nếu n số chẵn ta có   a0 < a1 < · · · < a n−1 < a n−1 [ ] [ ]+1  a n−1 [ ]+1 > a[ n−1 ]+2 > · · · > an−1 > an n−1 n−1 (do đẳng thức không xảy ra) Suy  [ n−1 ]+1 max Cnk = Cn 0≤k≤n Nếu n số lẻ ta có ( ≤ a n+1 a0 < a1 < · · · < a n−1 2 a n−1 ≥ a n+1 > · · · > an−1 > an 2 Vậy trường hợp n+1 n−1  max Cnk = Cn = Cn 0≤k≤n (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 29 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop 3.1 Chứng minh hệ thức số tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị n P Ví dụ 34 Chứng minh k=0 Cnk k+1 Cn+k+2 30 = LỜI GIẢI Bằng tính tốn trực tiếp ta có Cnk k+1 Cn+k+2 1 n−k n−k−1 − C2n+1 ) = n (C2n+1 C2n+1 Do n X k=0 n Cnk k+1 Cn+k+2 1 X n−k 1 n n−k−1 = (C2n+1 − C2n+1 ) = n C2n+1 = n C2n+1 C2n+1 k=0 Ví dụ 35 Chứng minh với n1 , n2 , , nk n số nguyên không âm thỏa mãn n1 + n2 + · · · + nk ≤ n n! n1 !n2 ! nk ! số nguyên dương LỜI GIẢI Ta biến đổi sau n! n! (n − n1 )! (n − n1 − n2 − · · · − nk−1 )! = ··· × n1 !n2 ! nk ! n1 !(n − n1 )! n2 !(n − n1 − n2 )! nk !(n − n1 − n2 − · · · − nk )! × (n − n1 − n2 − · · · − nk )! nk n2 (n − n1 − n2 − · · · − nk )! =Cnn1 Cn−n · · · Cn−n −n2 −···−nk−1 ∈N∗ Ví dụ 36 Tìm giới hạn n X k lim n (Cn ) n→∞ k=0 LỜI GIẢI Chú ý n X n (Cnk )2 = C2n (đồng thức Vandermonde) k=0 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop 3.1 Chứng minh hệ thức số tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị Do n [1.3.5 · · · (2n − 1)][2.4.6 · · · (2n)] (2n)! X k = (Cn ) = n un = n 4 (n!) [2.4.6 · · · (2n)]2 k=0 = Ta có 1.3.5 · · · (2n − 1) 2.4.6 · · · (2n) (2k − 1)2 − (2k − 1)2 (2k − 1)2 < < (2k)2 (2k)2 (2k)2 − (2k − 1)2 2k − k−1 < < , với k = 2, 3, , n k (2k) 2k + Từ suy < u2n < 4n 4(2n + 1) Sử dụng nguyên lý "kẹp" ta có lim un = n→∞ Ví dụ 37 Cho dãy số (un ) xác định sau: u4 = 1, un+1 = un + 1.(n − 2) + 2(n − 3) + · · · + (n − 2).1 ∀n ≥ Chứng minh un = Cn4 LỜI GIẢI Khơng khó để thấy 1.(n − 2) + 2(n − 3) + · · · + (n − 2).1 = Cn3 Do dãy số cho viết lại thành un+1 = un + Cn3 un = un−1 + Cn−1 u5 = u4 + C43 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.dang.bai.toan.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 31