Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 119 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
I HÅC QC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN T VN NAM MËT SÈ DNG BI TON V PHìèNG TRNH HM Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M số: 60.46.01.13 LUN VN THC Sò KHOA HC NGìI HìẻNG DN KHOA HC: PGS.TS Vễ ẫ LONG H Nëi N«m 2015 z Mư lư LÍI NI U Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa hm số 1.1 nh xÔ 1.2 ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh 1.3 H m sè Phữỡng trẳnh hm mởt bián tü 2.1 H m sè h®n, h m sè l´ 2.2 H m sè tun ho n 10 2.3 Phữỡng trẳnh hm vợi Ă php bián ời tnh tián v ỗng dÔng 16 2.4 Phữỡng trẳnh hm vợi Ă php bián ời phƠn tuyán tẵnh 24 2.5 Hằ phữỡng trẳnh hm mởt bián 33 2.6 Mởt số dÔng phữỡng trẳnh hm a thự 39 2.7 Mët số dÔng bi toĂn khĂ 58 Phữỡng trẳnh hm hai bián tỹ 69 3.1 Bi toĂn phữỡng trẳnh hm Cau
hy 3.2 Bi toĂn phữỡng trẳnh hm vợi Ă Ôi lữủng trung bẳnh 3.3 Phữỡng trẳnh hm nhiÃu ân hm 3.4 Bi toĂn phữỡng trẳnh hm lữủng giĂ 95 3.5 Mởt số dÔng bi to¡n kh¡ 105 KT LUN T i li»u tham kh£o 69 78 88 117 118 z LI NI U Phữỡng trẳnh hm l mởt huyản à quan trồng thuở hữỡng trẳnh huyản toĂn Ă trữớng THPT huyản CĂ bi toĂn õ liản quan án phữỡng trẳnh hm ng l nhỳng bi têp khõ, thữớng gp Ă kẳ thi hồ sinh giọi mổn toĂn Đp quố gia, khu vỹ
, quố tá v Olympi Sinh viản Hằ thống Ă bi têp và phữỡng trẳnh hm rĐt a dÔng v phong phú, Ă
h giÊi húng ng khổng ỡn giÊn, õ th bơng mởt phữỡng phĂp hay phÊi kát hủp nhiÃu phữỡng phĂp mợi giÊi ữủ Vợi mong muốn giúp ho Ă bÔn hồ sinh õ th nhanh hõng tiáp ên v giÊi quyát Ă bi toĂn và phữỡng trẳnh hm nản tổi hồn à ti Mởt số dÔng bi toĂn và Phữỡng trẳnh hm Viằ phƠn hia thnh Ă dÔng toĂn Ãu õ tẵnh ở lêp tữỡng ối Thêt khõ m phƠn hia Ă dÔng toĂn theo mởt biản giợi rÔ
h rỏi vẳ Ơu õ vi vĐn à ừa bi ny  xuĐt hiằn bõng dĂng vĐn à ừa bi Mử ẵ
h ừa luên vôn ny l ung Đp mởt số kắ thuêt giÊi toĂn và phữỡng trẳnh hm v thổng qua viằ giÊi toĂn nhơm khư sƠu mởt số kián thự và hm số, rn luyằn tữ duy, huân b ho Ă kẳ thi hồ sinh giọi Hi vồng luên vôn ny l t i li»u tham kh£o húu ½
h ho ¡ hå sinh, giĂo viản lợp huyản toĂn trung hồ phờ thổng Bố ừa luên vôn ny gỗm hữỡng : Chữỡng 1: Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa hm số Trong hữỡng ny õ trẳnh by mởt số kián thự nhĐt và hm số v Ănh xÔ nhữ nh nghắa ỡn Ănh, ton Ănh, song Ănh, hm số hđn, h m sè l´, h m sè tun ho n, án nhúng kián thự thổng dửng khĂ ữủ dũng vo giÊi toĂn s ữủ trẳnh by vo phn u ừa Ă bi tữỡng ựng ừa tứng mử
, ho trữợ ho sau ¡ b i to¡n thº, ho° ¡ nhªn xt, hú ỵ Chữỡng 2: Phữỡng trẳnh hm mởt bián tỹ Trong hữỡng ny trẳnh by mởt số dÔng bi toĂn phữỡng trẳnh hm m h hựa mởt bián tỹ nhữ Ă bi toĂn và hm số hđn, h m sè l´, h m sè x¡ ành bði ¡ ph²p bián ời tnh tián, ỗng dÔng, vợi Ă php bián ời phƠn tuyán tẵnh, hằ phữỡng trẳnh z LI NI U hm, phữỡng trẳnh hm a thự Chữỡng 3: Phữỡng trẳnh hm hai bián tỹ Trong hữỡng ny trẳnh by mởt số dÔng bi toĂn phữỡng trẳnh hm hựa hai bián tỹ nhữ Ă bi toĂn phữỡng trẳnh hm Cau
hy, hm số huyn ời giỳa Ă Ôi lữủng trung bẳnh, phữỡng trẳnh hm a ân, phữỡng trẳnh hm lữủng giĂ Luên vôn ny ữủ hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn, h bÊo tên tẳnh ừa PGS.TS V ộ Long - trữớng Ôi hồ Khoa hồ Tỹ nhiản - Ôi hồ Quố gia H Nởi Thy ¢ d nh nhi·u thíi gian gióp ï, gi£i ¡p ¡ thư mư ừa tổi suốt quĂ trẳnh lm luên vôn Tổi muốn by tọ lỏng biát ỡn sƠu sư án ngữới thy ừa mẳnh Qua Ơy, tổi xin gỷi lới Êm ỡn sƠu sư tợi Ă thy ổ giĂo Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồ
, trữớng Ôi hồ Khoa hồ Tỹ nhiản, Ôi hồ Quố gia H Nởi  trỹ tiáp giÊng dÔy v tÔo iÃu kiằn thuên lủi ho tổi suốt quĂ trẳnh hồ têp Tổi xin Êm ỡn gia ẳnh, bÔn b v tĐt Ê mồi ngữới  quan tƠm, tÔo iÃu kiằn, giúp ù tổi hon thnh luên vôn ny H Nởi, ThĂng nôm 2015 z Chữỡng Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa hm số 1.1 nh xÔ nh nghắa 1.1 mội B, a A tữỡng v B ùng vỵi óng mët phn tû f : A −→ B kẵ hiằu l A Cho hai têp hủp Phn tỷ b Náu õ mởt quy tư bB thẳ ta nâi gåi l £nh õa a f f n o â ho vợi l mởt Ănh xÔ tứ v viát l A án b = f (a) Chú ỵ: Náu ho Ănh xÔ f : A B thẳ ta thữớng quan tƠm án hai têp hủp sau Ơy: Têp hñp f (A) = {f (a)|a ∈ A} (gåi l tªp £nh õa tªp A, hay gåi l tªp gi¡ tr ừa Ănh xÔ f ) v têp hủp f −1(b) = {a ∈ A|f (a) = b} (gåi l nghà
h £nh õa b) 1.2 ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh ành ngh¾a 1.2 ho a1 6= a2 ta â f : A B nh xÔ ữủ gồi l ỡn Ănh náu vợi mồi f (a1 ) 6= f (a2 ) Chú ỵ: nh xÔ f : A B l ìn ¡nh n¸u f (a1) = f (a2) thẳ a1 = a2 nh nghắa 1.3 f : A B nh xÔ tỗn tÔi aA ho a1 , a2 A ữủ gồi l ton Ănh náu vỵi måi f (a) = b b∈B ln Chó ỵ: nh xÔ f : A B l ton ¡nh v h¿ f (A) = B ành nghắa 1.4 f : A B f nh xÔ gåi l song ¡nh n¸u vøa l ìn ¡nh, vøa l ton Ănh Chú ỵ: nh xÔ f : A −→ B l song ¡nh v h¿ vỵi mồi b B luổn tỗn tÔi nhĐt a ∈ A ho f (a) = b ành ngh¾a 1.5 méi phn tû k½ hi»u l Gi£ sû y∈B f : A B vợi tÔo Ênh x= l mởt song Ănh Khi õ Ănh xÔ ho tữỡng ựng f (y) ừa nõ ữủ gồi l Ănh xÔ ng÷đ õa f −1 z f v Mët số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa hm số Chữỡng 1.3 Hm số nh nghắa 1.6 hm số tứ têp X Cho XR án têp v Y Y R Khi õ Ănh xÔ f : X Y ữủ gồi l mởt Chú ỵ: Cho hm số f : X −→ Y Khi â: - Tªp X gåi l têp xĂ nh ừa hm số f - Náu x0 ∈ X th¼ f (x0 ) gåi l gi¡ trà ừa hm f tÔi x0 - Têp hủp f (X) ữủ gồi l gồi l têp giĂ tr ừa hm sè f - y0 l mët gi¡ trà õa h m số f v h phữỡng trẳnh f (x) = y0 â nghi»m Hay nâi ¡
h kh¡ l : ph÷ìng tr¼nh f (x) = y0 â nghi»m v h¿ y0 thuë tªp gi¡ trà õa h m sè f - f l ton Ănh phữỡng trẳnh (ân x) y = f (x) (vỵi x ∈ X, y ∈ Y ) â nghi»m - f l song ¡nh ⇔ phữỡng trẳnh (ân x) y = f (x) (vợi x ∈ X, y ∈ Y ) â nghi»m nh§t 1.3.1 Hm số hđn, hm số l nh nghắa 1.7 a) H m sè M) n¸u f : D −→ R ữủ gồi l hm hđn trản x M −x ∈ M b) H m sè M ⊂D f (−x) = f (x), ∀x ∈ M v f : D R ữủ gồi l hm l trản M D ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M v (gåi tưt l hm hđn trản (gồi tưt l hm l trản M ) náu f (x) = f (x), x ∈ M 1.3.2 H m sè tun ho n v ph£n tun hon nh nghắa 1.8 a) Hm số M náu b) Cho M ⊂D f õa h m b² hìn f : D −→ R v ÷đ gåi l h m tun ho n (
ởng tẵnh) hu ký M f T f trản ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M l mởt hm số tun hon trản náu a (a > 0) tun ho n vỵi hu ký Khi â T (T > 0) ÷đ gåi l hu ký ì sð m khổng tun hon vợi bĐt ký hu ký no T nh nghắa 1.9 a) Hm số trản M f : D R náu M D ữủ gồi l hm ph£n tun ho n (
ëng t½nh) hu ký v ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M z b (b > 0) Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa hm số Chữỡng b) Náu f l hm số phÊn tun hon hu ký hon vợi bĐt ký hu ký n o b² hìn tun ho n f tr¶n b0 M trản b0 M trản thẳ b0 m khổng l h m ph£n tun ÷đ gåi l hu ký ì sð õa h m M 1.3.3 H m sè tun ho n v ph£n tun hon nhƠn tẵnh nh nghắa 1.10 f : D −→ R H m sè a (a ∈ / {0, 1, 1}) trản M ữủ gồi l hm tun hon nhƠn tẵnh hu ký náu M D nh nghắa 1.11 hu ký ∀x ∈ M ⇒ a±1 ∈ M f (ax) = f (x), ∀x ∈ M f : D −→ R H m sè a (a ∈ / {0, 1, −1}) tr¶n M 1.3.4 H m sè li¶n tư ành nghắa 1.12 Cho hm số x0 l liản tử tÔi iºm ành ngh¾a 1.13 kho£ng (a; b) H m sè x¡ nh trản nh nghắa 1.17 DR v x0 D Hm số f ữủ gồi f (x) xĂ nh trản khoÊng (a; b) ữủ gồi l liản tử trản x (a; b) f (x) xĂ nh trản oÔn [a; b] ữủ gồi l liản tử trản oÔn Hm số (a; b) f (x) f (x) lim f (x) = f (a), lim − f (x) = f (b) x−→a+ xb ữủ gồi l tông trản khoÊng x1 , x2 ∈ (a, b) H m sè v m m n¸u x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) ữủ gồi l giÊm trản khoÊng x1 , x2 (a, b) (a; b) (a; b) n¸u x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) H m sè tông ho giÊm trản khoÊng (a; b) ữủ gồi l h m ìn (a; b) ành ngh¾a 1.18 H m sè f (x) ữủ gồi l tông thỹ sỹ ( ỗng bián) trản khoÊng náu nh nghắa 1.19 (a; b) f lim f (x) = f (x0 ) H m sè ành ngh¾a 1.16 v ∀x ∈ M ⇒ a±1 ∈ M f (ax) = f (x), x M náu nõ liản tử tr¶n kho£ng i»u tr¶n M ⊂D x−→x0 1.3.5 H m sè ỡn iằu nh nghắa 1.15 (a; b) náu ữủ gồi l hm phÊn tun hon nhƠn tẵnh náu nõ liản tử tÔi mồi im nh nghắa 1.14 [a; b] náu v ∀x1 , x2 ∈ (a, b) H m sè f (x) m x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) ÷đ gåi l gi£m thü sü (nghà
h bián) trản khoÊng náu x1 , x2 (a, b) m x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) z luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Chữỡng Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa hm số nh nghắa 1.20 iằu thỹ sỹ trản Hm số tông hay giÊm thỹ sỹ trản (a, b) ữủ gồi l hm số ỡn (a; b) Mởt số tẵnh hĐt ừa Ă hm số ỡn i»u - Måi h m ìn i»u thü sü tr¶n kho£ng (a; b) Ãu l ỡn Ănh trản khoÊng - Náu f (x) v g(x) l hai hm tông (giÊm) thẳ - Náu f (x) v g(x) l hai hm tông v khổng Ơm thẳ - Náu f (x) l hm ỡn iằu trản (a; b) thẳ f (x) + g(x) f (f (x)) (a; b) ng l h m t«ng (gi£m) f (x)g(x) ng l h m t«ng l h m t«ng z luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Chữỡng Phữỡng trẳnh hm mởt bián tỹ 2.1 Hm số hđn, hm số l Bi toĂn 2.1.1 GiÊi Tẳm tĐt Ê Ă hm số f (x) ho f (x) = f (−x), ∀x R (1) Dạ thĐy (1) tữỡng ữỡng vợi f (x) = 12 [f (x) + f (−x)], ∀x ∈ R (2) f (x) = 21 [g(x) + g(−x)], ∀x ∈ R (3) X²t h m sè â sè f g l hm số tũy ỵ trản R Khi õ thĐy f thọa mÂn (1) thẳ (2) nản f thọa mÂn (1) Ngữủ lÔi náu hm õ dÔng (3) Vêy Ă hm số n tẳm õ dÔng f (x) = [g(x) + g(−x)], ∀x ∈ R õ g l hm số tũy ỵ trản Bi toĂn 2.1.2 GiÊi R Tẳm tĐt Ê Ă hm số f (x) ho f (−x) = −f (x), ∀x R (1) Dạ thĐy (1) tữỡng ữỡng vợi f (x) = 12 [f (x) − f (−x)], ∀x ∈ R (2) f (x) = 12 [g(x) − g(−x)], ∀x ∈ R (3) X²t h m sè â sè f g l hm số tũy ỵ trản R Khi õ thĐy f thọa mÂn (1) thẳ (2) nản f thọa mÂn (1) Ngữủ lÔi náu hm õ dÔng (3) Vêy Ă hm số n tẳm õ dÔng f (x) = [g(x) − g(−x)], ∀x ∈ R z luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 Ch÷ìng â g Ph÷ìng trẳnh hm mởt bián tỹ l hm số tũy þ tr¶n B i to¡n 2.1.3 Gi£i Cho x0 ∈ R R X¡ ành t§t £ ¡ h m sè f ho f (2x0 − x) = f (x), ∀x ∈ R °t x = x0 − t(⇔ t = x0 − x) Khi â (1) 2x0 − x = x0 + t v (1) õ dÔng f (x0 + t) = f (x0 − t), ∀t ∈ R °t g(t) = f (x0 + t) Khi õ (2) õ dÔng th¼ (2) g(−t) = f (x0 − t), f (t) = g(t − x0 ) g(t) = g(−t), ∀t ∈ R Vêy g(t) l hm hđn trản R Kát luên: f (x) = g(x − x0 ), ∀x ∈ R, õ g(x) l hm hđn tũy ỵ trản R B i to¡n 2.1.4 Gi£i Cho a, b ∈ R X¡ ành t§t £ ¡ h m sè f (x) ho f (a − x) + f (x) = 2b, ∀x ∈ R °t a − x = t Khi õ x= a Khi õ (1) õ dÔng t v a−x= a + t f ( a2 + t) + f ( a2 − t) = 2b, ∀t ∈ R °t f ( a2 + t) − b = g(t), ∀t ∈ R (1) (2) Khi â (2) õ th viát dữợi dÔng g(t) + g(t) = 0, ∀t ∈ R ⇔ g(t) = −g(−t), ∀t ∈ R Vêy g(t) l hm l trản R Kát luên: f (x) = g(x − a2 ) + b â g(x) l h m l´ tr¶n R B i to¡n 2.1.5 Gi£i Tẳm tĐt Ê Ă hm số f (x) ho f (x) − f (−x) = 2014 sin x, ∀x R (1) Ta thĐy (1) tữỡng ữỡng vợi f (x) − f (−x) = 1007 sin x − 1007 sin(−x), ∀x ∈ R ⇔ f (x) − 1007 sin x = f (−x) − 1007 sin(−x), ∀x ∈ R °t g(x) = f (x) − 1007 sin x, ∀x ∈ R Thay v o (2) ta ÷đ g(x) = g(−x), ∀x ∈ R z luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13luan.van.thac.si.mot.so.dang.bai.toan.ve.phuong.trinh.ham.13 (2)