luận văn thạc sĩ một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHIẾU THỊ LAN ANH MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HỖN HỢP TRONG MẶT PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHIẾU THỊ LAN ANH MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HỖN HỢP TRONG MẶT PHẲNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRỊNH THỊ DIỆP LINH THÁI NGUYÊN - 2015 download by : skknchat@gmail.com i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình trình bày theo nhận thức riêng Các kết nêu luận văn trung thực Tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực xác Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Khiếu Thị Lan Anh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Trịnh Thị Diệp Linh Nhân dịp xin cám ơn Cô hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Cao Phong, Huyện Cao Phong, Tỉnh Hoà Bình đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt q trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Khiếu Thị Lan Anh luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang iii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Phơi điểm kì dị 1.3 Các điểm kì dị đơn giản 1.3.1 Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa 1.3.2 Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm 1.3.3 Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không ổn định 1.4 Các tính chất phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp 10 Một số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng 12 2.1 Định lý rút gọn 14 2.2 Một số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng 23 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang Mở đầu Họ đường cong tích phân phương trình đặc trưng đóng vai trị quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng (xem [5], [7], [13]) Xét phương trình vi phân cấp mặt phẳng a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = F (x, y, u, ux , uy ), (1) x, y tọa độ, a, b, c hàm số trơn, F hàm số Phương trình đặc trưng tương ứng định nghĩa a(x, y)dy − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = (2) Như vậy, vấn đề nghiên cứu dạng chuẩn địa phương phương trình đặc trưng dẫn đến thay đổi trơn tọa độ có nghiên cứu tới kỷ XIX Từ xuất phát ban đầu toán cuối kỷ nhận dạng chuẩn bao gồm phương trình Laplace, phương trình sóng, phương trình Cibrario - Tricomi biết Các phương trình đặc trưng tương ứng với ba dạng dy + dx2 = 0, dy − dx2 = dy − xdx2 = 0, (3) (xem [4], [6], [7], [15]) Dạng chuẩn dạng chuẩn thứ lấy gần điểm miền xác định elliptic hyperbolic phương trình ban đầu tương ứng với phương trình (2) có nghiệm hai nghiệm thực dy : dx điểm tương ứng Dạng thứ ba dạng chuẩn Cibrario - Tricomi, lấy vị trí điểm điển hình loại đường suy biến (hay đường cong biệt thức khác) luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang phương trình, biệt thức vi phân khác 0, hướng đặc trưng không tiếp xúc với đường điểm Sự chứng minh dạng hoàn thành Tricomi F (xem [15]) cịn có chỗ thiếu sót sau chứng minh hoàn chỉnh Cibrario M (xem [6]) Đây dạng chìa khóa cơng thức vấn đề nghiên cứu Tricomi thay đổi khác Danh sách hoàn thành dạng chuẩn địa phương mạng đặc trưng cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp tổng qt mặt phẳng tìm cuối kỷ XX, dạng chuẩn trơn tìm gần điểm đường suy biến, điểm mà hướng đặc trưng tiếp tuyến tới đường (xem [8], [9], [10], [11]) Nó chứng minh rằng, phương trình đặc trưng gần điểm tiếp tuyến rút gọn đến dạng dy + (kx2 − y)dx2 = 0, (4) k tham số thực, phép nhân hàm số khơng triệt tiêu trơn lựa chọn thích ứng tọa độ trơn với gốc điểm này, điều kiện tiêu chuẩn đưa vào Chính xác hơn, trường hướng đặc trưng nâng lên tới trường giá trị đơn mặt phương trình xác định không gian hướng mặt phẳng (với tọa độ địa phương x, y, p, p = dx : dy ) phương trình (2) Tại điểm bề mặt giá trị trường hướng nâng lên giao mặt phẳng tiếp tuyến tới bề mặt mặt phẳng tiếp xúc xác định dạng dy − pdx mặt phẳng khác Nội dung chủ yếu luận văn trình bày lại kết báo [3], [2] Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn chia thành hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương đưa số khái niệm, ví dụ minh họa tính chất liên quan đến vấn đề nghiên cứu chương Chương Một số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang hợp mặt phẳng Trong chương trình bày định lý rút gọn sử dụng phương pháp chứng minh định lý rút gọn để nhận kết dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân ẩn cấp mặt phẳng R2x,y hàm số trơn không gian hướng gọi mặt phương trình Phương trình điển hình hay phương trình tổng quát phương trình từ tập mở trù mật hầu khắp nơi tập hợp không gian tôpô lựa chọn Định nghĩa 1.2 Giới hạn mặt phép chiếu tiêu chuẩn dọc theo trục hướng, nghĩa ánh xạ mặt mặt phẳng pha (thường gọi hướng) gọi gấp phương trình ẩn Định nghĩa 1.3 Một ánh xạ gấp phương trình ẩn phép chiếu phương trình mặt mặt phẳng với biến x, y dọc theo trục p Một điểm mặt gọi quy khơng điểm tới hạn gấp phương trình Định nghĩa 1.4 Đường cong tích phân phương trình ẩn đường cong tích phân trường hướng bề mặt phương trình Định nghĩa 1.5 Đối với phương trình đặc trưng (2), ánh xạ đến điểm bề mặt phương trình gấp với ảnh tương ứng gọi phép đối hợp gấp phương trình Định nghĩa 1.6 Họ vi phân trường véctơ v (hoặc trường hướng), phôi trường véc tơ (hoặc trường hướng) với tham số ε ∈ Rm , m ≥ luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang Cvr −tương đương dẫn đến phôi khác họ, phép Cvr − vi đồng phôi với tham số bảo toàn phân lớp tự nhiên không gian tham số tới đường cong pha (hoặc đường cong tương ứng) trường (v, ε˙ = 0) (tương ứng (v, 0)) Định nghĩa 1.7 Cvr −tương đương phôi họ gọi mạnh bảo tồn tham số 1.2 Phơi điểm kì dị Định nghĩa 1.8 Hai đối tượng có tính chất giống (các tập hợp, trường véctơ, họ đường cong, phép ánh xạ, ) gọi tương đương điểm chúng trùng lân cận điểm Lớp tương đương đối tượng điểm gọi phơi điểm x + |x| có phơi chung điểm nửa trục x dương phôi khác điểm khác Ví dụ 1.1 Các hàm số hàm biến g1 (x) = x g2 (x) = Định nghĩa 1.9 Hai biến dạng (của phơi) phương trình ẩn gọi tương đương trơn hai biến dạng tạo thành phép vi đồng phôi trơn khác (tương ứng phôi phép vi đồng phôi trơn) Định nghĩa 1.10 Sự biến dạng phơi phương trình vi phân ẩn gọi quy nạp từ phôi khác phôi thứ nhận ánh xạ trơn phôi thứ hai Định nghĩa 1.11 Với r ≥ hai phôi đối tượng có tính chất (chẳng hạn ánh xạ, hàm số, đường cong, ) gọi C r −tương đương dọc theo C −trường véctơ (hoặc trường hướng) v (= Cvr −tương đương) chúng đưa đến phôi khác phép C r − vi đồng phôi đưa đến đường cong pha (tương ứng đường cong tích phân) trường v Ví dụ 1.2 Trên mặt phẳng R2x,y , cho trường véctơ v = (x, βy) với β 6= phôi O hai đường thẳng qua O tọa độ ban luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com a11 − k a 12 = a21 a22 − k (1.3) (1.4) Ta xét tất trường hợp xảy đưa khái niệm điểm kì dị 1.3.1 Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa Các nghiệm (1.4) thực khác Trong trường hợp xảy trường hợp sau: luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang i k1 < 0; k2 < Điểm kì dị ổn định tiệm cận (điểm nút ổn định, Hình 1.3a) Hình 1.3: ii k1 > 0; k2 > Điểm cân không ổn định (điểm nút khơng ổn định, Hình 1.3b) Hình 1.4: iii k1 > 0; k2 < Điểm cân không ổn định (điểm yên ngựa, Hình 1.4a) Hình 1.5: luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang 1.3.2 Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm Các nghiệm (1.4) phức: k1 = p + qi; k2 = p − qi Ở có trường hợp sau: i p < 0; q 6= Điểm cân ổn định tiệm cận (tiêu điểm ổn định, Hình 1.4b) ii p > 0; q 6= Điểm cân không ổn định (tiêu điểm khơng ổn định, Hình 1.5a) iii p = 0; q 6= Điểm cân ổn định, không ổn định tiệm cận (tâm điểm, Hình 1.5b) 1.3.3 Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) khơng ổn định Phương trình (1.4) có nghiệm kép (k1 = k2 ) Ở có trường hợp: Hình 1.6: i k1 = k2 < Điểm cân ổn định tiệm cận (điểm nút (suy biến) ổn định, Hình 1.6a-b) ii k1 = k2 > Điểm cân không ổn định (điểm nút (suy biến) khơng ổn định, Hình 1.6c) Chú ý Nếu hai nghiệm phương trình đặc trưng (1.4) có phần thực âm điểm cân ổn định tiệm cận Còn cần nghiệm (1.4) có phần thực dương điểm cân không ổn định Các kết luận tương tự với hệ phương trình tuyến tính với hệ số n dxi X = aij xj (i = 1, 2, , n) (1.5) dt j=1 Để ngắn gọn đơi ta viết x˙ (y, ˙ z, ˙ ) thay cho luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com dx dy dz ( , , ) dt dt dt luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang 10 1.4 Các tính chất phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp Xét phương trình đạo hàm riêng cấp mặt phẳng với biến x, y dạng a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0, (1.6) a, b, c hàm số khả vi, F hàm số cho, u hàm số chưa biết Các miền hàm số ∆ = b2 − ac âm dương tương ứng gọi miền elliptic hyperbolic Phương trình vi phân ẩn a(x, y)dy − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = (trong dạng đối xứng với mối quan hệ dx dy ) gọi phương trình đặc trưng phương trình (1.6) Trong lân cận điểm miền hyperbolic, đường cong tích phân đặc trưng hai phương trình cấp mô tả nhánh trơn trường hướng Các đường cong tích phân trường gọi đặc trưng Chúng đóng vai trị quan trọng lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng Trong trường hợp tổng quát, gradient hàm ∆ khác tất điểm mà hàm số tự triệt tiêu Như vậy, đường mức hàm số đường cong trơn (một cách xác hơn, nhúng trơn) mặt phẳng Đây đường cong dạng biến đổi thay cho phương trình (1.6) miền elliptic nằm phía đường, miền hyperbolic phía khác Do đó, (1.6) phương trình hỗn tạp lân cận điểm đường cong Trong trường hợp chung, hàm số a c không triệt tiêu cách đồng thời điểm đường dạng biến đổi khơng gradient hàm số ∆ điểm triệt tiêu Do đó, lân cận điểm phương trình đặc trưng rút gọn phương trình bậc 2, với mối dx dy cách phân chia tương ứng quan hệ đạo hàm dx dy dx2 dy Vì vậy, nhận phương trình ẩn cấp gần giống dạng phương trình đường thay đổi khơng khó tích phân hai luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang 11 phương trình cấp trơn khơng giải với đạo hàm Khi phép xấp xỉ đường hướng đặc trưng tiến đến hướng khác, đường trùng khớp xác định trường trơn đường thẳng Nói chung, trường quay chuyển động dọc theo đường tiếp xúc đường vài điểm cấp tiếp xúc Tại điểm véctơ tiếp xúc (−∆y, ∆x) xác định hướng đặc trưng thỏa mãn đường cong a(x, y)∆2x + 2b(x, y)∆x∆y + c(x, y)∆2y = Trong trường hợp chung, họ đặc trưng phương trình (1.6) có điểm kì dị gấp điểm tiếp xúc Tính kì dị yên ngựa, điểm nút, hay tiêu điểm Chẳng hạn, cho phương trình uxx + (kx2 − y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = số không yên ngựa gấp, nút gấp, hay tiêu điểm gấp tương 1 , < k Mỗi phương trình (1.6) ứng k < 0, < k < 16 16 rút gọn đến dạng (với k đó) lân cận điểm kì dị gấp luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang 12 Chương Một số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng Xét phương trình vi phân cấp mặt phẳng a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = F (x, y, u, ux , uy ), (2.1) x, y tọa độ, a, b, c hàm số trơn, F hàm số Phương trình đặc trưng tương ứng định nghĩa a(x, y)dy − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = (2.2) Các hướng đặc trưng điểm nghiệm phương trình Tại điểm có hai hướng đặc trưng, có hai hướng ảo tương ứng với giá trị biệt thức D := b2 − ac dương, 0, âm Một điểm trùng khớp mặt phẳng điểm kì dị trường hướng nâng lên được, thích hợp xác tới điểm tiếp tuyến trường hướng đặc trưng với dạng đường suy biến Nó biểu diễn gần điểm kì dị trường nâng lên được, tồn trường véctơ trơn xác định trường hướng điểm Khi điểm kì dị trường véctơ Dạng chuẩn (4) nhận tất trường hợp tồn trường véctơ cho dạng chuẩn, điểm không suy biến trường tuyến tính hóa gần điểm Trong trường hợp tham số luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang 13 + α2 α(α + 1)−2 yên ngựa hay điểm nút k = k= 16 tiêu điểm, số mũ α định nghĩa tỉ số giá trị riêng với môđun lớn mở rộng trường véctơ điểm đến trường với môđun nhỏ hai trường hợp đầu, môđun tỉ số phần ảo giá trị riêng tới phần thực trường hợp thứ Trong trường hợp tham số nhỏ 0, lớn nhỏ 16 lớn , tương ứng Ở đây, tham số k phương trình đặc trưng có 16 thể rút gọn khoảng tương ứng, ví dụ tương ứng −1, , 20 (xem [12], [13], [8], [9]) thay đổi liên tiếp tọa độ Định lý rút gọn định lý quan trọng, chìa khóa chứng minh dạng chuẩn (xem [8], [9]) Định lý quy vấn đề dạng chuẩn cho phương trình (2.2) gần điểm tiếp tuyến trường đặc trưng với đường suy biến theo lý thuyết dạng chuẩn cặp đối hợp gấp hốn vị phương trình bề mặt, điểm với tọa độ x, y giống trường véctơ bề mặt xác định trường hướng nâng lên gần điểm kì dị trường Ở kết chứng minh định lý rút gọn cho trường hợp họ phương trình (2.2) hệ số phương trình trơn phụ thuộc tham số ε với số chiều hữu hạn Sau đó, sử dụng định lý kết biết cho dạng chuẩn với biến dạng trơn phôi phương trình đặc trưng điểm tiếp tuyến hướng đặc trưng với đường suy biến, điểm kì dị trường véctơ nâng không suy biến thêm vào số mũ α số vơ tỉ trường hợp yên ngựa không số tự nhiên cho trường hợp điểm nút Khi nhận dạng chuẩn cho họ, gần điểm mà phép nhân hàm số không triệt tiêu lựa chọn tọa độ x, y thích hợp phụ thuộc tham số họ hàm số trơn cho trước đó, giống (4) với k hàm số biết tham số Chú ý rằng, tập hợp cho họ phương trình(2.2) dạng chuẩn phương trình Laplace, phương trình sóng, phương trình Cibrario - Tricomi luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang 14 Đây phân nhánh địa phương nhận họ đường cong tích phân phương trình (2.2) trường hợp tham số chiều hay tham số hai chiều 2.1 Định lý rút gọn Cho họ trơn phương trình (2.1) với tham số ε hữu hạn chiều, phân tích dáng điệu họ tương ứng lưới đặc trưng gần điểm P đường suy biến, khác biệt thức khác hướng đặc trưng tiếp tuyến tới đường, cho vài dạng chuẩn họ đặc trưng gần điểm tọa độ trơn hay đủ trơn Trong chương ln giả thiết phương trình địa phương gần điểm nghiên cứu Mệnh đề 2.1 Một họ trơn phương trình a(x, y, ε)dy − 2b(x, y, ε)dxdy + c(x, y, ε)dx2 = 0, (2.3) với tham số ε hữu hạn chiều gần điểm P đường cong biệt thức, D(P ) = 0, dD(P ) 6= hướng đặc trưng tiếp tuyến tới đường cong Khi nhận dạng dy + c(x, y, ε)dx2 = (2.4) với c hàm số trơn đó, c(O) = = cx (O) 6= cy (O), sau nhân hàm số trơn khơng triệt tiêu với lựa chọn thích hợp tọa độ trơn với gốc O điểm Chứng minh Lựa chọn điểm P với ε = ε0 hệ tọa độ địa phương trơn cho hướng đặc trưng tọa độ ban đầu trùng với hướng trục hoành Các tọa độ địa phương không gian hướng mặt phẳng dy họ phương trình (2.3) gần điểm gốc lấy x, y , p = dx viết dạng a(x, y, ε)p2 − 2b(x, y, ε)p + c(x, y, ε) = 0, có a(O) 6= = b(O) = c(O), cy (O) 6= 0, theo điều kiện D(O) = |Dx (O)| + |Dy (O)| = hướng đặc trưng tiếp xúc đường suy biến Nếu luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang 15 khử hệ số b b = 0, chia phương trình cuối cho a địa phương gần điểm gốc nhận dạng cần tìm họ Triệt tiêu hệ số b, lựa chọn tọa độ tham số y˜ sau y = Y (x, y˜, ε), Y hàm số trơn Khi nhận dy d˜ y = Yx (x, y˜, ε) + Yy˜(x, y˜, ε) dx dx Tiếp theo, đặt tọa độ họ phương trình, nhận phương trình     d˜ y d˜ y Yx + Yy˜ − 2b(x, Y, ε) Yx + Yy˜ + c(x, Y, ε) = 0, dx dx biến đổi phương trình ta nhận  2 d˜ y d˜ y + 2Yy˜[Yx − b(x, Y, ε)] + c(x, Y, ε) + Yx2 − 2b(x, Y, ε)Yx = Yy˜2 dx dx (2.5) d˜ y đủ để biểu thức ngoặc Do đó, triệt tiêu số hạng với đạo hàm dx vuông Yx ≡ b(x, Y, ε) Phương trình với đạo hàm riêng cấp họ trơn phương trình đặc trưng xác định trường véctơ (1, 0, 0) không tiếp xúc mặt phẳng tọa độ x = Vì địa phương gần gốc có nghiệm trơn trơn tùy ý ban đầu mặt phẳng x = Lấy nghiệm phương trình Y (0, y˜, ε) = y˜ bề mặt phương trình Do bổ đề Hadamard [4] nên nghiệm viết dạng Y (x, y˜, ε) = y˜ + xB(x, y˜, ε), B hàm số trơn Thế biểu thức vào phương trình (15) nhận phương trình gần O hàm số trơn Yy˜2 = (1 + xB(x, y˜, ε))2 , nhận dạng cần tìm phương trình với hàm số C với C = C(x, y, ε) Mệnh đề chứng minh luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang 16 Gần gốc cho giá trị tham số, đối hợp gấp σ phương trình có dạng (x, p) 7→ (x, −p) (2.6) dy phương trình mặt Trường hướng phương tọa độ x p = dx trình tọa độ tính tốn vi phân vế trái phương trình p2 + c(x, y, ε) = thay pdx dy Khi trường hướng phương trình có dạng (−2p : cx + pcy ) xác định bề mặt phương trình trường véctơ v := (−2p, cx + pcy ) Gốc điểm kì dị trường véctơ này, thêm vào đường điểm cố định phép đối hợp gấp (đối hợp gấp với p = 0) trường có hướng thẳng đứng, với hướng thẳng đứng hướng trục p Tại điểm (x, p) bề mặt phương trình, ảnh trường v đối hợp gấp σ∗ v(x, p) = (2p, −cx + pcy ) Như vậy, định thức ma trận với cột v σ∗ v có điểm (x, p) giá trị 4p2 cy Do cy (O) 6= định thức cấp đường điểm cố định đối hợp gấp Đặc biệt trường v σ∗ v cộng tuyến đường Sự tính tốn đưa đến giới thiệu số khái niệm tính tương thích Định nghĩa 2.1 Trong mặt phẳng, trường véctơ đối hợp vi phân với đường điểm cố định gọi tương thích điểm đường gần điểm định thức ma trận xác định trường ảnh phép đối hợp có định thức cấp Định nghĩa 2.2 Trong mặt phẳng, trường hướng đối hợp vi phân với đường điểm cố định gọi tương thích điểm đường trường xác định trường véctơ cho tương thích với đối hợp điểm Tương thích phơi xác định tương tự Hai đối tượng (các hàm số hay phôi hàm số, ánh xạ, ) gọi C r −tương đương dọc theo trường véctơ vi phân v (= Cvr −tương luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang 17 đương) chúng biến đổi vào ánh xạ C r −đồng phôi đường cong tích phân trường vào Cho họ đối tượng Cvr −tương đương C r −đồng phơi bảo tồn cấu trúc tự nhiên lên tham số ε họ ánh xạ đường cong trường (v, ε˙ = 0) vào nó; Cvr −tương đương mạnh, bảo tồn tham số Định nghĩa 2.3 Trường véctơ v liên tục phép đối hợp vi phân σ với điểm cố định tuyến tính gọi tương thích điểm tuyến tính gần điểm xác định định thức cấp hai ma trận cột v σ∗ v O Hình 2.1: Định nghĩa 2.4 Trường hướng phép đối hợp tương thích điểm tuyến tính trường cho trường véctơ liên tục thích hợp với phép đối hợp điểm Định nghĩa tương tự họ cặp trường liên tục phép đối hợp vi phân Ví dụ 2.1 Trên mặt phẳng R2x,y trường véctơ (x, αy), α > phép đối hợp   (α + 1)x − 2αy 2x − (α + 1)y (x, y) 7→ , α−1 α−1 tương ứng hầu khắp điểm cố định tuyến tính phép đối hợp Định lý 2.1 (Định lý rút gọn) Nếu với giá trị tham số cố định cho đủ đóng tới O, hai phơi gốc họ trơn (v, σ1 ) (v, σ2 ) cặp tương thích trường hướng phép đối hợp với cặp tham số chiều hữu hạn nhau, bề luan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phangluan.van.thac.si.mot.so.dang.chuan.tac.cua.phuong.trinh.dao.ham.rieng.hon.hop.trong.mat.phang download by : skknchat@gmail.com