luận văn thạc sĩ lý thuyết định tính của phương trình parabolic cấp hai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————— PHAN THỊ QUYÊN LÝ THUYẾT ĐỊNH TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————— PHAN THỊ QUYÊN LÝ THUYẾT ĐỊNH TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI - 2014 z Lời cám ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người tận tình giúp đỡ bảo tơi suốt q trình hồn thành luận văn tốt nghiệp Qua tơi xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, giáo tổ Tốn giải tích trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu trường Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, năm 2014 z luan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hai Mục lục luan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hai z luan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hai Mở đầu Phương trình truyền nhiệt ∆u − ∂u ∂t = phương trình đạo hàm riêng parabolic cấp hai cổ điển, khởi nguồn lý thuyết đạo hàm riêng đại Đã từ lâu, nhiều kết định tính phương trình biết đến như: nguyên lý cực đại, bất đẳng thức Harnack, định lý Liouville Fragmen-Lindelof nghiệm cổ điển Ngày nay, kết phương trình truyền nhiệt cổ điển mở rộng cho phương trình parabolic cấp hai tuyến tính tổng qt xét hai dạng khác nhau: dạng không bảo toàn dạng bảo toàn Dựa chủ yếu vào chương II tài liệu [3], luận văn trình bày tổng quan lý thuyết định tính phương trình parabolic cấp hai dạng tổng quát hai dạng khơng bảo tồn bảo tồn Luận văn gồm hai chương Chương I nghiên cứu phương trình dạng khơng bảo tồn Phương trình loại có loại nghiệm mạnh, nghiệm nghiệm Các nguyên lý cực đại loại nghiệm phát biểu Bất đẳng thức Harnack Định lý Fragmen-Lindelof mở rộng loại phương trình tổng quát Do phương trình truyền nhiệt viết dạng bảo toàn nên chương II luận văn trình bày số tính chất nghiệm suy rộng phương trình parabolic dạng bảo tồn mà xem tương tự tính chất nghiệm phương trình truyền nhiệt cổ điển Các vấn đề chương I lại xét chương II, song với thay đổi định cho phù hợp với lớp phương parabolic trình dạng bảo tồn luan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hai z luan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hai Do tái [3] dạng bách khoa toàn thư, nên chủ yếu dành cho việc phát biểu hệ thống kết lý thuyết mà thiếu chứng minh chi tiết Luận văn tìm cách bổ sung chứng minh chi tiết số định lý luan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hai z luan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hai Chương PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI DẠNG KHƠNG BẢO TỒN 1.1 Dạng phương trình Nghiệm mạnh 1.1.1 Các ký hiệu Cho L= n X i,k=1 n X ∂ ∂2 + + c(x, t) bi (x, t) aik (x, t) ∂xi ∂xk ∂xi (1.1) i=1 toán tử elliptic xác định miền G ⊂ Rn+1 = Rnx × R1t Xét toán tử parabolic L− ∂ ∂t Một nghiệm phương trình: Lu − ∂u =0 ∂t (1.2) hàm u ∈ C 2,1 (G) thỏa mãn (1.2) gọi nghiệm mạnh Trong C 2,1 (G) tập hợp hàm khả vi cấp hai theo biến x khả vi cấp theo biến t tập G Ta gọi hàm u ∈ C 2,1 (G) cho luan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hai z luan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hai Lu(x, t) − ∂u(x, t) ≥ (≤ 0) ∂t nghiệm (nghiệm trên) Kí hiệu Zxt00,t,r1 (x0 ∈ Rn , r > 0, t1 > 0) hình trụ : Zxt00,t,r1 = {(x, t) ∈ Rn+1 : |x − x0 | < r, t0 < t < t1 } Cho G miền Rn+1 Ta gọi tập γ(G) ⊂ ∂G biên tập G điểm (x0 , t0 ) ∈ γ(G) tồn ε > cho: ⊂ G; Zxt00−ε,t ,r ∩ G = ∅ Zxt00+ε,t ,ε Tập Γ(G) = ∂G \ γ(G) gọi biên parabolic tập G Xét trường hợp G = Ω × [0, T ], Ω miền bị chặn Rn với biên ∂Ω Đặt G0 = Ω × {t = 0} , GT = Ω × {t = T }, ST = ∂Ω × [0, T ] Khi γ(G) = GT , Γ(G) = G0 ∪ ST 1.1.2 Bài toán biên ban đầu thứ Xét phương trình Lu − ∂u = f (x, t), (x, t) ∈ G = Ω × (0, T ) ∂t (1.3) Ta cần tìm nghiệm u(x, t) ∈ C 2,1 (G) thỏa mãn điều kiện sau: u(x, 0) = u0 (x), x∈Ω luan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hai z (1.4) luan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hai u(x, t) = ϕ(x, t), (x, t) ∈ ST (1.5) 1.1.3 Bài tốn Cauchy Xét phương trình Lu − ∂u = f (x, t), (x, t) ∈ Rn × R+ ∂t (1.6) u(x, t) ∈ C 2,1 (G) thỏa mãn điều kiện u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Rn 1.2 1.2.1 (1.7) Nguyên lý cực đại yếu Nguyên lý cực đại cho nghiệm nghiệm Định lý 1.1 Cho G miền bị chặn cho toán tử dạng (1.1) xác định G với c(x, t) ≤ 0, cho u(x, t) nghiệm (nghiệm trên) Giả sử sup u > (inf u < 0) G G Khi sup u = sup u, G Γ(G) (inf u = inf u) G Γ(G) Chứng minh Giả sử u nghiệm dưới, tức Lu − ut ≥ Ta chứng minh sup u = sup u ¯ G Γ(G) luan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hai z luan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hai Ta ln có sup u ≥ sup u ¯ G Γ(G) Giả sử khơng xảy dấu Khi M ≡ sup u > sup u ≡ m G Γ(G) Do M > nên tồn a > cho: M − a > max(m, 0) Giả sử miền G nằm t = t0 t = t00 , t0 < t00 Đặt v(x, t) = u(x, t) − ε(t − t0 ), ε = a t00 −t0 Ta có sup v ≥ sup u − sup(ε(t − t0 )) = M − a > max(m, 0) ≥ m G G G = sup u ≥ sup v Γ(G) Γ(G) Do đó: sup v = sup v G Γ(G) Đặt sup v = v(x1 , t1 ), G Trong (x1 , t1 ) ∈ / Γ(G) Xét hàm số: h (x) = v (x, t1 ) 10 luan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hailuan.van.thac.si.ly.thuyet.dinh.tinh.cua.phuong.trinh.parabolic.cap.hai z