I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM PHM TH THU TRANG Sĩ TầN TI NGHIM CếA PHìèNG TRNH VI PH N CP BA VỴI IU KIN BIN DNG BA IM V DNG TCH PH N LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2019 download by : skknchat@gmail.com I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM PHM THÀ THU TRANG Sĩ TầN TI NGHIM CếA PHìèNG TRNH VI PH N CP BA VỴI IU KIN BIN DNG BA IM V DNG TCH PH N Ng nh: TON GII TCH M¢ sè: 8.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa håc TS TRN NH HỊNG Th¡i Nguy¶n - 2019 download by : skknchat@gmail.com Líi cam oan Tỉi xin cam oan rơng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thüc v khỉng trịng l°p vỵi · t i kh¡c Tỉi cơng xin cam oan r¬ng måi sü gióp ù cho viằc thỹc hiằn luên vôn ny  ữủc cÊm ỡn v cĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2019 TĂc giÊ luên vôn PhÔm Th Thu Trang XĂc nhên cừa khoa ToĂn XĂc nhên cừa ngữới hữợng dăn khoa hồc TS TrƯn ẳnh Hũng i download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan Lới cÊm ỡn Trữợc trẳnh by nởi dung chẵnh cừa luên vôn, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi TS TrƯn ẳnh Hũng, ngữới thƯy tên tẳnh hữợng dăn tổi suốt quĂ trẳnh nghiản cựu tổi cõ th hon thnh luên vôn ny Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn Ban Gi¡m hi»u, khoa To¡n cịng to n thº c¡c th¦y cỉ giĂo trữớng HSP ThĂi Nguyản  truyÃn thử cho tổi nhỳng kián thực quan trồng, tÔo iÃu kiằn thuên lủi v cho tổi nhỳng ỵ kián õng gõp quỵ bĂu suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn BÊn luên vôn chưc chưn s khổng trĂnh khọi nhỳng khiám khuyát vẳ vêy rĐt mong nhên ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn hồc viản luên vôn ny ữủc hon ch¿nh hìn Ci cịng xin c£m ìn gia ¼nh v bÔn b  ởng viản, khẵch lằ tổi thới gian hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên vôn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2019 TĂc giÊ PhÔm Th Thu Trang ii luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan Mưc lưc Trang b¼a phư Líi cam oan Líi c£m ìn Mưc lưc Mð ¦u Mët sè ki¸n thùc cì sð i ii iii 1.1 Mởt số nh lỵ im bĐt ởng 1.2 To¡n tû Fredholm 1.3 H m Green Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba vợi iÃu kiằn biản dÔng ba im v dÔng tẵch phƠn 12 2.1 Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba vợi iÃu kiằn biản dÔng ba im 2.2 12 Sü tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba vợi iÃu kiằn biản dÔng tẵch phƠn Kát luên Ti liằu tham kh£o 24 35 36 iii luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan Mởt số kỵ hiằu v viát tưt R tªp c¡c sè thüc ∅ tªp réng A⊂B A A∪B hđp cõa hai tªp hđp A v B A∩B giao cừa hai têp hủp A v B AìB tẵch Descartes cừa hai têp hủp ker(f ) hÔt nhƠn cừa Coker(f ) ối hÔt nhƠn cừa kát thúc chựng minh l tªp cõa B A f f iv luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan download by : skknchat@gmail.com v B luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan M Ưu Phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba cõ nhiÃu ựng dửng a dÔng cĂc lắnh vỹc vêt lỵ, k thuêt [1], [9] Chng hÔn nhữ bi toĂn xt ở vóng cừa mởt dƯm ba lợp ữủc tÔo thnh bi cĂc lợp song song c¡c vªt li»u kh¡c [8], b i to¡n nghiản cựu dỏng chÊy cừa mởt mng mọng chĐt lọng nhợt trản bà mt rưn, mởt mng nhữ vêy chÊy xuống mởt vêt liằu theo hữợng thng ựng s chu Ênh hững cừa sực công bà mt, lỹc hĐp dăn cụng nhữ ở nhợt [12] NhiÃu phữỡng trẳnh cừa h» dao ëng cơng ÷đc ÷a v· c¡c h» ph÷ìng trẳnh vi phƠn cĐp ba [11] Trong cĂc bi toĂn õ, cĂc iÃu kiằn biản ữủc dăn án cõ th dÔng ba im, dÔng tẵch phƠn hay cĂc dÔng phi tuyán Nghiản cựu sỹ tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba Ưy ừ vợi cĂc loÔi iÃu kiằn biản khĂc thu hút ữủc nhiÃu sỹ quan tƠm cừa cĂc nh toĂn hồc K thuêt khĂ phờ bián ữủc sỷ dửng nghiản cựu cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba l phữỡng phĂp nghiằm trản v nghiằm dữợi [6], [7] v cĂc phữỡng phĂp liản tửc dỹa trản viằc Ănh giĂ tiản nghi»m cõa mët hå c¡c b i to¡n vỵi mët tham số thảm vo, sau õ sỷ dửng cĂc nh lỵ v· iºm b§t ëng [2], [3], [4], [5] Chóng tỉi  chồn luên vôn Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba vợi iÃu kiằn biản dÔng ba im v dÔng tẵch phƠn Mửc ẵch cừa luên vôn l trẳnh by lÔi mởt số kát quÊ cừa Abdelkader Boucherif [3], [4] và sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba Ưy ừ: y 000 (t) = f (t, y(t), y (t), y 00 (t)), < t < 1, luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan hai trữớng hủp, iÃu kiằn biản Dirichlet ba im v iÃu kiằn biản dÔng tẵch phƠn Luên vôn gỗm phƯn m Ưu, hai chữỡng nởi dung, phƯn kát luên v ti liằu tham khÊo Chữỡng trẳnh by mởt số kián thực cỡ s và mởt số nh lẵ im bĐt ởng, toĂn tỷ Fredholm v hm Green Chữỡng trẳnh by mởt số iÃu kiằn ừ Ôt ữủc Ănh giĂ tiản nghiằm cừa mởt hồ bi toĂn cho phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba Ưy ừ hai trữớng hủp: iÃu kiằn biản dÔng ba im v iÃu kiằn biản dÔng tẵch phƠn Sau õ sỷ dửng cĂc nh lỵ im bĐt ởng chựng minh mởt số kát quÊ và sỹ tỗn tÔi nghi»m luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan Ch÷ìng Mởt số kián thực cỡ s Chữỡng ny trẳnh by mởt số kián thực cỡ s cƯn thiát cho chữỡng sau, ÷đc tham kh£o tø c¡c t i li»u [10], [13] 1.1 Mởt số nh lỵ im bĐt ởng Cho Ănh xÔ T : A A Mội nghiằm gồi l mởt im bĐt ởng cừa Ănh xÔ x cừa phữỡng trẳnh x = Tx ữủc T Mởt số nh lỵ im bĐt ởng sau Ơy l cĂc nh lỵ nÃn tÊng cỡ bÊn ữủc sỷ dửng phờ bián chựng minh sỹ tỗn tÔi nhĐt nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn nh lỵ im bĐt ởng Banach cho c¡c to¡n tû co vỵi h» sè co k nh lỵ im bĐt ởng Brouwer cho cĂc toĂn tỷ liản tửc khổng gian hỳu hÔn chiÃu nh lỵ im bĐt ởng Schauder cho cĂc toĂn tỷ hon ton liản tửc trản mởt têp lỗi, khĂc rộng v compact khổng gian Banach (vổ hÔn chiÃu) Ơy l mởt tờng quĂt hõa cừa nh lỵ bĐt ởng Brouwer nh lỵ im bĐt ởng Scheafer cho c¡c to¡n tû li¶n tưc v compact khỉng gian Banach Ngoi mởt số nh lỵ im bĐt ởng quan trồng khĂc ữủc sỷ dửng nhiÃu nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn phi luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan tuyán, chng hÔn nhữ nh lỵ Leray - Schauder cho cĂc toĂn tỷ compact trản mởt têp lỗi, khĂc rộng, b chn cừa khổng gian Banach Cũng vợi cĂc nh lỵ im bĐt ởng, lẵ thuyát bêc Brouwer v lẵ thuyát ch sè iºm b§t ëng cơng l nhúng cỉng cư quan trồng, ữủc ựng dửng nhiÃu nghiản cựu sỹ tỗn tÔi im bĐt ởng cừa cĂc Ănh xÔ liản tửc cụng nhữ sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán nh lỵ im bĐt ởng Banach Xt phữỡng trẳnh phi tuyán x = T x nh nghắa 1.1.1 metric (X, d) (xem [13]) ToĂn tỷ ữủc gåi l co vỵi h» sè k T :M ⊆X→X (1.1) trản khổng gian náu v ch náu d(T x, T y) ≤ kd(x, y) vỵi måi x, y ∈ M nh lỵ 1.1.2 v k cố nh, (1.2) k < (xem [13]) ( nh lỵ im bĐt ëng Banach (1922)) Gi£ sû r¬ng (i) T : M X M l mởt Ănh xÔ tứ M vo chẵnh nõ; (ii) M l têp õng, khĂc rộng khỉng gian metric ¦y õ (X, d); (iii) T l mởt Ănh xÔ co vợi hằ số k Khi õ phữỡng trẳnh (1.1) cõ nhĐt nghiằm x, tùc l T câ nh§t mët iºm b§t ëng trản M nh lỵ im bĐt ởng Banach cõ ỵ nghắa quan trồng giÊi tẵch, c biằt viằc chựng minh sỹ tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh phi tuyán nh lỵ im bĐt ởng Brouwer KhĂc vợi nh lỵ im bĐt ởng Banach, nh lỵ im bĐt ởng Brouwer khổng ch tẵnh nhĐt cừa im bĐt ởng, nhiản cĂc luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan Tø â ta câ |f1 (t, yn (t), yn0 (t), yn00 )| ≤ Mf , Hìn núa Nf1 (yn ) → Nf1 (y) º chùng minh Nf1 C (I) Suy ∀t ∈ I Nf li¶n tưc ho n to n li¶n tưc, gåi n o BR = y ∈ C0 (I); kyk(3) R Khi õ, tỗn tÔi M1 > thäa m¢n kNf1 (y)k0 ≤ M1 , ∀y ∈ BR v Z t1 kNf1 (y)(t1 ) − Nf1 (y)(t2 )k ≤ |f1 (s, y(s), y (s), y 00 (s)|ds ≤ Mf (R)|t1 −t2 |, t2 â Mf (R) = sup {|f (t, y, p, w)|; t ∈ I, |y| ≤ R, |p| ≤ R, |w| ≤ R} Do õ Nf1 Bữợc hon ton liản tửc Ta chùng minh C (I) L−1 Nf1 câ iºm bĐt ởng, thêt vêy tứ ba bữợc trản, ta cõ têp cĂc im bĐt ởng cừa hồ phữỡng trẳnh y = λL−1 Nf1 (y), bà ch°n 0 0, vợi måi |p| > r1 v måi y ∈ R Khi õ tỗn tÔi R1 [r1 , +) cho nghi»m y cõa b i to¡n thäa m¢n |y (t)| ≤ R1 v |y(t)| ≤ R1 , Chùng minh V¼ c¡c h m h1 v h2 (2.18), (2.19) ∀t ∈ I liản tửc nản tỗn tÔi h0i = max {|hi (u, v)|; u, v ∈ [−r1 ; r1 ]} , i = 1, Gi£ sû R1 = max(r1 + h01 , r1 + h02 ) Khi â R1 > r1 v R1 > max(h01 , h02 ) 26 luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan Gi£ sû R1 y 6= l nghi»m cõa b i to¡n (2.18), (2.19) Ta s³ ch¿ |y (t)| ≤ vỵi måi â ho°c t I GiÊ sỷ ngữủc lÔi, tỗn tÔi t1 ∈ I y (t1 ) > R1 X²t tr÷íng hñp ho°c |y (t)| > R1 Khi y (t1 ) < −R1 y (t1 ) > R1 (trữớng hủp cỏn lÔi chựng minh tữỡng tỹ) max{|y (t)|; t ∈ I} > R1 Ta cõ cho Do y0 liản tửc, nản tỗn tÔi t2 ∈ I cho y (t2 ) = max{|y (t)|; t ∈ I} N¸u t2 ∈ (0, 1) th¼ y (t2 ) > R1 > r1 , y 00 (t2 ) = y (t2 )y 000 (t2 ) ≤ v Tø (H3) ta câ y (t2 )f (t2 , y(t2 ), y (t2 ), y 00 (t2 )) = y (t2 )f (t2 , y(t2 ), y (t2 ), 0) > Do < λ ≤ 1, n¶n tø (2.18) suy ≥ λy (t2 )y 000 (t2 ) > iÃu ny l mƠu thuăn Náu t2 = 0, tực l y0 Ôt giĂ tr cỹc Ôi tÔi t = 0, õ y 00 (0) ≤ v y (0) > R1 > r1 N¸u y 00 (0) = 0, theo (H3) ta câ y (0)y 000 (0) = y (0)f (0, 0, y (0), 0) > suy y 000 (0) > y 00 (t) > y 00 (0) = Vẳ vêy y (0) Do õ, y 00 Tữỡng tỹ y0 gƯn cụng ỡn iằu tông vợi t ỡn iằu tông vợi khổng th l giĂ tr cỹc Ôi cừa t |y (t)| v t > 0, g¦n suy v t > Vẳ vêy dăn tợi mƠu thuăn Náu y 00 (0) < c¡ch x¡c ành th¼ h01 ≥ y (0) − ay 00 (0) > y (0) > R1 , mƠu thuăn vợi R1 Trong tr÷íng hđp t2 = 1, x²t t÷ìng tü chóng ta cụng dăn tợi iÃu mƠu thuăn Nhữ vêy, R1 , y (t) − R1 ≤ 0, ∀t ∈ I T÷ìng tü, cơng ch¿ ÷đc y (t) ≥ ∀t ∈ I Do â |y (t)| ≤ R1 Tø y(t) = Rt y (s)ds v 0≤t≤1 ∀t ∈ I suy |y(t)| ≤ R1 , t I Nhên xt : Trong trữớng hủp iÃu kiằn biản thuƯn nhĐt, tực l 0, vợi måi u, v ∈ R, i = 1, 2., â R1 = r1 27 luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan download by : skknchat@gmail.com hi (u, v) = luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan M»nh · 2.2.4 (H4) GiÊ sỷ tỗn tÔi hơng số dữỡng K1, K2 thọa m¢n |f (t, y, p, w)| ≤ K1 w2 + K2 , vỵi måi w ∈ R, (t, y, p) ∈ I × [−R1 ; R1 ] × [−R1 ; R1 ] Khi õ, tỗn tÔi R2 > 0, khổng phư thc v o λ, cho vỵi nghi»m y cõa b i to¡n (2.19) m |y(t)| ≤ R1 , |y (t)| ≤ R1 , ∀t ∈ I th¼ |y 00 (t)| ≤ R2 , ∀t ∈ I Chùng minh m¢n (2.18), Gi£ sû y 6= l mët nghi»m cõa b i to¡n (2.18), (2.19) thäa |y(t)| ≤ R1 , |y (t)| ≤ R1 vỵi måi t ∈ I |h01 + R1 | |y (0)| ≤ , a |h02 + R1 | |y (1)| ≤ b 00 Gåi Tø (2.25) v Khi â 00 |h0 + R | |h0 + R | 1 r0 = max , a b 00 00 (2.26) ta câ |y (0)| ≤ r0 , v |y (1)| r0 (2.25) (2.26) GiÊ sỷ tỗn tÔi |y 00 (t)| = max{|y 00 (t)|; t ∈ I} > r0 Do y C (I) nản tỗn 00 tÔi mởt nỷa khoÊng , t ⊂ I (ho°c t, α ⊂ I ) cho |y (α)| = r0 v |y 00 (t)| > r0 vỵi måi t ∈ α, t (ho°c vợi mồi t t, ) Khổng mĐt tẵnh 00 têng qu¡t, gi£ sû α ≤ t X²t trữớng hủp y (t) > r0 vợi mồi t α, t Tø t∈I cho (2.18) suy ra: |y 000 (t)| = λ|f (t, y(t), y (t), y 00 (t))| ≤ λ K1 |y 00 (t)|2 + K2 , V¼ < λ ≤ nản vợi t , t ta cõ t ∈ I y 000 (t) ≤ K1 y 00 (t)2 + K2 , suy y 000 (t)y 00 (t) ≤ y 00 (t), K1 (y 00 (t))2 + K2 ∀t ∈ α, t Khi â Z α t 2K1 y 000 (t)y 00 (t) dt ≤ 2K1 K1 y 00 (t)2 + K2 Bði vªy Z t y 00 (t)dt = 2K1 y (t) − y (α) ≤ 4K1 R1 α K1 y 00 (t)2 + K2 K1 y 00 (t)2 + K2 ln = ln ≤ 4K1 R1 K1 y 00 (α)2 + K2 K1 r02 + K2 28 luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan download by : skknchat@gmail.com (2.27) luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan T÷ìng tü, x²t tr÷íng hđp y 00 (t) < −r0 vỵi måi t ∈ α, t , ta câ K1 y 00 (t)2 + K2 ≥ −4K1 R1 ln K1 r02 + K2 Tứ (2.27), (2.28), suy tỗn tÔi (2.28) R2 > 0, ch¿ phö thuëc v o r0 , r1 , h10 , h20 , K1 , K2 cho |y 00 (t)| ≤ R2 Do â |y 00 (t)| R2 t I nh lỵ 2.2.5 GiÊ sỷ iÃu kiằn v  ữủc thọa mÂn (H5) GiÊ sỷ tỗn tÔi số dữỡng i, i = 1, vợi (b + 1)β1 + (a + 1)β2 < (H3) (H4) a + b + v h m σi : (0, ) (0, ) liản tửc, khổng giÊm thọa mÂn σi (u) ≤ βi u vỵi u > v |hi (y1 , y2 ) − hi (z1 , z2 )| ≤ σi (max{|y1 − z1 |, |y2 − z2 |}), ∀y1 , y2 , z1 , z2 ∈ R Khi õ bi toĂn (2.25), (2.26) tỗn tÔi ẵt nhĐt mët nghi»m Chùng minh Gi£ sû y l nghi»m cõa (2.18) v (2.19) Tø i·u ki»n (H3) ta câ |y(t)| ≤ R1 Tø i·u ki»n (H4) ta câ |y 00 (t)| ≤ R2 v |y (t)| ≤ R1 vỵi måi vỵi måi t ∈ I t ∈ I Gåi R3 = max{|f (t, y, p, w)|; t ∈ I, |y| ≤ R1 , |p| ≤ R1 , |w| ≤ R2 } Khi â, °t °t r = max(R1 , R2 , R3 ), ta ÷đc kyk(3) ≤ r Ω = {y ∈ C (I); kyk(3) < r + 1} Tứ tẵnh chĐt cừa hm Green v tẵnh liản töc cõa h m f suy to¡n tû G1 : Ω → C (I) p döng (H5), ta chùng minh ữủc hon ton liản tửc G2 : C (I) l Ănh xÔ co Thêt vêy, ta câ: Z |G2 (y)(t) − G2 (z)(t)| = [ϕ(t, y(s)) − ϕ(t, z(s))] ds Z 10 ≤ |ϕ(t, y(s)) − ϕ(t, z(s))|ds Hìn núa, vỵi i = 1, |Hi (y) − Hi (z)| ≤ σi (ky − zk(3) ) 29 luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phanluan.van.thac.si.su.ton.tai.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.cap.ba.voi.dieu.kien.bien.dang.ba.diem.va.dang.tich.phan Do â |ϕ(t, y(s)) − ϕ(t, z(s))| ≤ g1 (t)|H1 (y(s)) − H1 (z(s))| + g2 (t)|H2 (y(s)) − H2 (z(s))| ≤ g1 (t)σ1 (ky − zk(3) ) + g2 (t)σ2 (ky − zk(3) ) b + 1/2 a + 1/2 β1 + β2 ky − zk(3) ≤ a+b+1 a+b+1 T÷ìng tü ∂ϕ(t, y(s)) ∂ϕ(t, z(s))