luận văn thạc sĩ lý thuyết đồ thị và ứng dụng để giải toán sơ cấp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN NGỌC HẢI LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2014 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN NGỌC HẢI LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 40 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS ĐẶNG HUY RUẬN HÀ NỘI, NĂM 2014 z Mục lục Mở đầu Các khái niệm định lý 1.1 Các ví dụ đồ thị 1.2 Định nghĩa đồ thị 11 1.3 Biểu diễn đồ thị hình học 12 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt 13 1.5 Phương pháp đồ thị 14 Đồ thị số toán phổ thơng 2.1 2.2 2.3 2.4 16 Bài tốn liên quan đến bậc đồ thị 16 2.1.1 Bậc đỉnh 16 2.1.2 Nửa bậc 16 2.1.3 Một số tính chất 17 2.1.4 Ứng dụng 21 Bài tốn liên quan đến chu trình 28 2.2.1 Xích, Chu trình 28 2.2.2 Đường, Vòng 29 2.2.3 Một số tính chất 29 2.2.4 Ứng dụng 31 Bài toán liên quan đến tính liên thơng 38 2.3.1 Định nghĩa 38 2.3.2 Một số tính chất 39 2.3.3 Ứng dụng 43 Đồ thị Euler - Đồ thị Hamilton 50 z 2.4.1 Đường Euler đồ thị Euler 50 2.4.2 Đường Hamilton đồ thị Hamilton 55 2.4.3 Ứng dụng 63 Bài toán liên quan đến đồ thị tô màu 70 2.5.1 Định nghĩa 70 2.5.2 Tính chất 71 2.5.3 Thuật tốn tìm sắc số 74 2.5.4 Lớp đồ thị có chu trình tam giác màu 75 2.5.5 Ứng dụng 77 Bài toán 84 2.6.1 Định nghĩa 85 2.6.2 Đặc điểm bụi 85 2.6.3 Ứng dụng 88 Lời kết 91 Tài liệu tham khảo 93 2.5 2.6 z Mở đầu Lý thuyết đồ thị (lý thuyết graph) ngành toán học đại, lĩnh vực trẻ toán học vấn đề lý thuyết đồ thị có từ vài trăm năm trước Những ý tưởng lý thuyết đồ thị đưa vào năm 1736 nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler với toán tiếng cõy cu thnh ph Kăonigsberg Nhng cụng trỡnh nghiên cứu lý thuyết đồ thị gắn liền với tên tuổi nhà toán học lớn Euler, Hamilton, Cuốn sách giáo khoa lý thuyt th c Kăonig vit v xut bn ti Leipzig năm 1936 Mãi 22 năm sau, sách giáo khoa thứ hai đồ thị đời nhà toán học Berge viết in Paris Vả lại, đặc trưng “gần gũi” với thực tế mình, lý thuyết đồ thị ngày khẳng định vị trí quan trọng việc áp dụng để giải tốn sống Nó có nhiều ứng dụng quan trọng nhiều ngành khoa học, kĩ thuật đại: vật lý, hóa học, sinh học, tin học, Ngày nay, lý thuyết đồ thị trở thành công cụ thiếu phải giải vấn đề có tính chất phải xem xét tổng thể Được hướng dẫn tận tâm, bảo tận tình giảng tâm huyết NGND.GS.TS Đặng Huy Ruận Tác giả xin đóng góp phần nhỏ tìm hiểu thân lý thuyết đồ thị qua luận văn: “Lý thuyết đồ thị ứng dụng để giải toán sơ cấp” Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương Các khái niệm định lý Chương trình bày số toán dẫn đến khái niệm đồ thị, số khái niệm định lý hay dùng lý thuyết đồ thị Các lý thuyết GS.TS Đặng Huy Ruận tích lũy sách “Lý thuyết đồ thị ứng dụng” bao gồm: - Khái niệm lý thuyết đồ thị - Các cách biểu diễn đồ thị z - Một số dạng đồ thị đặc biệt Chương Đồ thị số tốn phổ thơng Chương trình bày số ứng dụng lý thuyết đồ thị để giải dạng toán: Các toán liên quan đến bậc đồ thị Các toán liên quan đến chu trình Các tốn liên quan đến đồ thị liên thơng Các tốn ứng dụng đồ thị Euler đồ thị Hamilton Các toán ứng dụng đồ thị tơ màu Các tốn ứng dụng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến NGND.GS.TS Đặng Huy Ruận, người Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Kính chúc thầy mạnh khoẻ, hạnh phúc để hệ học trò chúng học hỏi nhiều từ gương thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học, thầy giáo, cô giáo bạn seminar “Phương pháp Toán sơ cấp” Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN giúp đỡ góp ý cho luận văn hồn chỉnh Do trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận nhiều đóng góp từ bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn Học viên Nguyễn Ngọc Hải z luan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.cap Chương Các khái niệm định lý 1.1 Các ví dụ đồ thị Ví dụ 1.1.1 Một đoàn khách du lịch đến Hà Nội muốn thăm danh lam thắng cảnh Hà Nội Sơ đồ danh lam thắng cảnh hệ thống giao thông Hà Nội cho phép từ địa điểm sang địa điểm khác cho theo sơ đồ hình 1.1 Trong điểm biểu thị nơi khách cần đến, đoạn thẳng biểu thị đường Bạn giao cho Công ty du lịch Hà Nội lập hành trình cho khách tới thăm địa điểm, địa điểm qua không lần theo đường có sơ đồ Thêm vào đường A kết thúc K Hình 1.1 Theo sơ đồ đến C E, điểm có hai đường Vì hành trình thoả mãn yêu cầu toán phải đến đường đường lại Do đoạn hành trình đến C phải I → C → B B → C → I Tương tự hành trình qua E phải B → E → F luan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.cap z luan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.cap F → E → B Nhưng hành trình, địa điểm qua không lần nên đoạn hành trình phải I → C → B → E → F ngược lại F → E → B → C → I (hình 1.2) Do đường A nên đoạn đầu hành trình A → I → C → B → E → F Hình 1.2 Đoạn cịn lại F → M → H → D → K Vậy hành trình phải tìm là: A → I → C → B → E → F → M → H → D → K Từ lời giải suy hành trình thoả mãn Ví dụ 1.1.2 Một mảnh giấy xé làm phần nhỏ Đến lượt thứ hai ta lại xé vài mảnh giấy nhỏ, lần mảnh giấy nhỏ xé làm phần nhỏ Tiếp tục lặp lại q trình Chứng minh rằng, sau k (với k số nguyên dương) lần xé ta thu số mảnh giấy số lẻ Ta biểu thị mảnh giấy dấu chấm chấm tròn Sự kiện mảnh giấy sau lần xé thành ba mảnh, mơ tả hình 1.3, dấu chấm trịn đen biểu thị mảnh giấy ban đầu khơng dấu chấm tròn trắng biểu thị mảnh giấy nhận Hình 1.3 giúp ta thấy sau lần xé thêm hai mảnh giấy (3 mảnh giấy thay cho mảnh giấy cũ) ví dụ cho lần xé • Lượt thứ xé mảnh ban đầu: mảnh giấy nhỏ luan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.cap z luan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.cap Hình 1.3 • Lượt thứ hai xé mảnh: mảnh giấy nhỏ • Lượt thứ ba xé mảnh: 15 mảnh giấy nhỏ • Lượt thứ tư xé mảnh: 17 mảnh giấy nhỏ Có 17 dấu chấm trịn trắng, tương ứng 17 mảnh giấy nhận Khi mảnh giấy bị xé thành mảnh giấy nhỏ hơn, ta thấy mảnh giấy ta thêm mảnh giấy Cứ vậy, sau k lần xé, l mảnh giấy, ta số mảnh giấy là: 2l + Vậy số mảnh giấy số lẻ Ví dụ 1.1.3 Có thể có nhóm người mà người quen với hai người khác nhóm hay khơng ? Hình 1.4 Biểu thị người điểm hai người quen ta nối hai điểm tương ứng lại, khơng quen hai điểm khơng nối luan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.cap z luan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.cap Xét ngũ giác thông thường hình 1.4 Rõ ràng đỉnh ngũ giác nối với hai đỉnh khác Vì có người mà người quen với hai người khác số người lại Trong tốn thay số số tự nhiên n > tuỳ ý Lúc tương ứng thay ngũ giác đa giác n cạnh Tuy nhiên ta thử suy nghĩ xem có hay khơng nhóm người mà người quen với người cịn lại nhóm ? Ví dụ 1.1.4 Hãy phân nhóm học tập cho lớp học cho người nhóm bạn thân với Chọn đỉnh sơ đồ cần lập em học sinh lớp Trong sơ đồ biểu diễn, ta nối cặp hai em học sinh thân đoạn thẳng (hoặc đoạn cong) Bằng cách vậy, ta có sơ đồ gồm đỉnh (các em học sinh) cạnh (các đường nối hai em hai em thân nhau) Những mơ hình quy tập đỉnh cạnh nối đỉnh đồ thị Ví dụ 1.1.5 Bẩy cầu thành ph Kăonigsberg nm 1736 (theo [1]) Thnh ph Kăonigsberg ca nước Đức (bây thành phố Kaliningrad liên bang Nga) có dịng sơng Pregel chảy qua, sơng có cù lao Kneiphof cầu Hình 1.5a Hình 1.5 Từ xuất cầu, người dân đặt vấn đề: “Liệu có cách qua bẩy cầu qua cầu lần không ?” 10 luan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.capluan.van.thac.si.ly.thuyet.do.thi.va.ung.dung.de.giai.toan.so.cap z