luận văn thạc sĩ một số chuyên đề và đa thức dành cho học sinh giỏi toán bậc trung học phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯU MỸ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐA THỨC DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI TỐN BẬC TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯU MỸ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐA THỨC DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN BẬC TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên - 2015 download by : skknchat@gmail.com i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Nhắc lại kiến thức đa thức 1.1 Phép chia với dư ước chung lớn 1.2 Nghiệm đa thức 1.3 Định lí Đại số Công thức Viete 1.4 Đa thức bất khả quy 10 Một số dạng toán thi học sinh giỏi đa thức 14 2.1 Một số toán đơn giản 14 2.2 Sử dụng nghiệm đa thức 18 2.3 Sử dụng đa thức bất khả quy 24 2.4 Sử dụng công thức Viete 27 2.5 Đồng thức Newton 34 Kết luận Đề nghị 39 Tài liệu tham khảo 40 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thong ii Lời cảm ơn Trước hết, xin gửi lời biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Mặc dù bận rộn công việc Cô dành nhiều thời gian tâm huyết công việc hướng dẫn Cho đến hơm nay, luận văn thạc sĩ tốn học tơi hồn thành, xin cảm ơn Cô đôn đốc nhắc nhở giúp đỡ Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Tốn - Tin Phịng Đào tạo Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy, Cô tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, người không ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian học tập thực luận văn luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thong Mở đầu Luận văn trình bày lời giải số dạng toán đa thức dành cho học sinh giỏi bậc trung học phổ thông Luận văn viết chủ yếu dựa theo sách Polynomials G D Carroll (2011) sách Polynomials V V Prasolov (2004) Luận văn tham khảo số kiến thức sở Giáo trình Lý thuyết đa thức Lê Thị Thanh Nhàn (2015) sách Ideals, Varieties and Algorithms D Cox, Little J., D O’Shea (2006) Luận văn viết theo dạng chuyên đề, bao gồm toán hay đa thức, đặc biệt nghiệm đa thức, Đồng thức Newton đa thức bất khả quy Các toán chủ yếu dược chọn lọc từ tài liệu Tiếng Anh nói trên, mà không chép từ tài liệu Tiếng Việt Nội dung luận văn hồn tồn khơng trùng lặp với luận văn thạc sĩ bảo vệ trước đa thức Thực tế, số đề tốn khó có lời giải tóm tắt hướng dẫn, chúng tơi diễn giải tường minh chi tiết lời giải luận văn Có tốn phát biểu sách (mà khơng có lời giải), chúng tơi tự giải chúng Nhiều tốn nằm rải rác sách số tài liệu khác bố cục lại theo chủ đề định để người đọc dễ theo dõi Ngoài phần Mở đầu Kết luận, luận văn chia thành hai chương Trong Chương 1, nhắc lại kiến thức đa thức mà sử dụng luận văn này, bao gồm phép chia với dư ước chung lớn nhất; nghiệm đa thức; Định lí đại số công thức Viete, đa thức bất khả quy Chương trình bày số dạng tốn thi học sinh giỏi đa thức Chúng đề cập đến lời giải số dạng tốn khó đa thức, đặc biệt dạng toán thi học sinh giỏi quốc tế Chương gồm mục: Một số toán đơn giản; sử dụng nghiệm đa thức; sử dụng đa thức luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thong bất khả quy; sử dụng công thức Viete; đồng thức Newton Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Lưu Mỹ Học viên Cao học Lớp B Khóa 06/2013-06/2015 Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: luumy.kienan@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thong Chương Nhắc lại kiến thức đa thức Một tập V C gọi vành ∈ V phép cộng, phép trừ, phép nhân đóng trong V (tức ∈ V a + b, a − b, ab ∈ V với a, b ∈ V ) Trong suốt chương này, giả thiết V vành C Một vành K C gọi trường phần tử khác K khả nghịch (tức a−1 = 1/a ∈ K với 6= a ∈ K) Trong suốt chương này, giả thiết K trường C 1.1 Phép chia với dư ước chung lớn Một đa thức biến với hệ số V biểu thức có dạng f (x) = an xn + + a1 x + a0 , x kí hiệu, gọi biến phần tử V , gọi hệ số P f (x) Ta viết f (x) = xi , = với i > n Nếu an 6= P P i n gọi bậc f (x) ta viết deg f (x) = n Hai đa thức xi bi x = bi với i Tập đa thức biến x với hệ số V kí hiệu V [x] Trong tiết nhắc lại số kết phép chia đa thức với hệ số trường K Trước hết nhắc lại Định lí chia với dư quen biết Định lí 1.1 Cho f (x), g(x) ∈ K[x] với g(x) 6= Khi tồn cặp đa thức q(x), r(x) ∈ K[x] cho f (x) = g(x)q(x) + r(x), với r(x) = deg r(x) < deg g(x) luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thong Trong định lí trên, q(x) gọi thương r(x) gọi dư phép chia f (x) cho g(x) Nếu dư phép chia f (x) cho g(x) tồn q(x) ∈ K[x] cho f (x) = g(x)q(x) Trong trường hợp này, ta nói f (x) chia hết cho g(x) hay g(x) ước f (x) Hệ 1.1 Cho a ∈ K Khi dư phép chia f (x) ∈ K[x] cho x − a f (a) Chứng minh Chia f (x) cho x − a, dư đa thức bậc bậc (x − a) Vì vậy, dư phần tử r ∈ K Ta có f (x) = (x − a)q(x) + r Thay x = a vào đẳng thức ta r = f (a) Định nghĩa 1.1 Một đa thức d(x) ∈ K[x] gọi ước chung lớn đa thức f1 (x), , fs (x) ∈ K[x] d(x) ước chung fi (x) với i = 1, , s t(x) ∈ K[x] ước chung fi (x) d(x) chia hết cho t(x) Chú ý ước d(x) ước chung lớn f1 (x), , fs (x) ước chung f1 (x), , fs (x) có dạng ad(x) với 6= a ∈ K Trong số này, có đa thức d∗ (x) ước chung lớn f1 , , fs có hệ số cao Do ta kí hiệu gcd(f1 , , fs ) = d∗ (x) Ta tìm ước chung lớn nhiều đa thức quy nạp dựa theo công thức gcd(f1 , , fs ) = gcd(gcd(f1 , , fs−1 ), fs ) Vì để tìm ước chung lớn hữu hạn đa thức, ta cần tìm ước chung lớn hai đa thức Bổ đề 1.1 Cho f, g, q, r ∈ K[x] đa thức thỏa mãn g(x) 6= f = gq +r r = deg r < deg g Khi ước chung lớn f g ước chung lớn g r Chứng minh Giả sử d(x) ước chung lớn f g Khi d(x) ước f − gq Do d(x) ước r(x) Vì d(x) ước chung g luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thong r Giả sử t(x) ước chung g r Khi t(x) ước f − gq Suy t(x) ước f (x) Vì t(x) ước chung g f Suy t(x) ước d(x) Vậy d(x) ước chung lớn g r Ngược lại, giả sử d(x) ước chung lớn g r Hồn tồn tương tự ta d(x) ước chung lớn f g Định lí 1.2 (Thuật tốn Euclid tìm ước chung lớn nhất) Giả sử f, g ∈ K[x] g 6= Thực liên tiếp phép chia ta có     f = gq + r, r 6= 0, deg r < deg g        g = rq1 + r1 , r1 6= 0, deg r1 < deg r       r = r1 q2 + r2 , r2 6= 0, deg r2 < deg r1           rk−2 = rk−1 qk + rk , rk 6= 0, deg rk < deg rk−1       rk−1 = rk qk+1 Khi rk ước chung lớn f g Chứng minh Chia f cho g ta phần dư r Nếu r 6= chia g cho r ta phần dư r1 Nếu r1 6= chia r cho r1 ta dư r2 Quá trình phải chấm dứt sau số hữu hạn bước bước dãy giảm số tự nhiên deg g > deg r > deg r1 > phải dừng Theo Bổ đề 1.1, ước chung lớn f g rk Từ thuật tốn Euclid tìm ước chung lớn ta suy f1 , , fs ∈ K[x] đa thức khơng đồng thời tồn ước chung lớn f1 , , fs K[x] Kết sau cho thấy ước chung lớn tổ hợp tuyến tính đa thức Định lí 1.3 Giả sử f (x), g(x) ∈ K[x] d(x) ∈ K[x] ước chung lớn f (x), g(x) Khi tồn u(x), v(x) ∈ K[x] cho d(x) = f (x)u(x) + g(x)v(x) luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thong Chứng minh Ta chứng minh Định lí theo thuật tốn sau đây, gọi thuật toán Euclid mở rộng Trong phép chia liên tiếp thuật tốn Euclid tìm ước chung lớn nhất, d(x) = rk (x) Đặt u1 (x) = 1, v1 (x) = −qk (x), từ đẳng thức giáp cuối ta có d(x) = rk−2 (x)u1 (x) + rk−1 (x)v1 (x) Thay rk−1 (x) từ đẳng thức giáp cuối ta rk−1 (x) = rk−3 (x) − rk−2 (x)qk−1 (x) ta có d(x) = rk−3 (x)u2 (x)+rk−2 (x)v2 (x), u2 (x) = v1 (x) v2 (x) = u1 (x) − v1 (x)qk−1 (x) Cứ tiếp tục từ lên, đến đẳng thức ta có kết 1.2 Nghiệm đa thức Định nghĩa 1.2 Phần tử α ∈ C gọi nghiệm đa thức f (x) = an xn + + a1 x + a0 ∈ K[x] f (α) = an αn + + a1 α + a0 = Từ Hệ 1.1 ta có kết sau: Hệ 1.2 Phần tử a ∈ K nghiệm đa thức f (x) ∈ K[x] với tồn đa thức g(x) ∈ K[x] cho f (x) = (x − a)g(x) Cho k > số nguyên Một phần tử a ∈ C gọi nghiệm bội k đa thức f (x) ∈ K[x] C[x], đa thức f (x) chia hết cho (x − a)k không chia hết cho (x − a)k+1 Nếu k = a gọi nghiệm đơn Nếu k = a gọi nghiệm kép Hệ 1.3 Phần tử a ∈ K nghiệm bội k f (x) ∈ K[x] với f (x) = (x − a)k g(x) với g(x) ∈ K[x] với g(a) 6= luan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thongluan.van.thac.si.mot.so.chuyen.de.va.da.thuc.danh.cho.hoc.sinh.gioi.toan.bac.trung.hoc.pho.thong download by : skknchat@gmail.com = (−1) Cn (−1) i+j=m hay X m i i j (−1) Cn Cn = Cn2