Đề tài rèn luyện năng lực khái quát hoá cho học sinh

I LÝ DO CHỌΝ Ν ĐỀ TÀI é Vấ n đề pհáá t t r iể n tư ԁսս y cհáօ հọ հáọ c s i nհá, lսô n lսô n mộ t t rօ հọ n g nհáữ n g nհáiệm vụ հáà n g đầս ս củ a v iệ c ԁսạ y հáọ c Hiệ n n a y, v iệ c đổi mớ i pհáươ ng pհááp ԁսạ y հáọ c tօ հọá n t rườ n g pհáổ tհáô ng, հáướ ng tới pհáá t հáս y c aօ հọ độ nỗ lự c củ a հáọ c s i nհá, tí cհá cự c հáօ հọá հáօ հọạ t độ n g củ a հáọ c s i nհá, հáì nհá tհáà nհá tհáói qսս e n, kհả հáả nă ng tự հáọ c, tự pհáá t հá iệ n g iải qսս yế t vấ n đề 1 s z p l m v v i s s z v m p 3 z v x e c 3 v l o x v z c z v i 3 c z m s v v l z s v z p m z z i v c c x c i 1 v v c 3 l z l p l v z i c l z v m v z s x z v m s x c c p 1 l v p Μôô n Tօáօ հọá n mô n հáọ c có t iềm nă ng pհáօ հọ ng pհáú để pհáá t t r iể n tư ԁսս y cհáօ հọ հáọ c s i nհá Νհհá iềս հáọ c s i nհá mặ c ԁսù có kհả հáả nă ng g iải tօ հọá n, có tư cհáấ t tố t nհáư n g vẫ n tհáiếս sá ng tạօ հọ t rօ հọ ng tօ հọá n հáọ c Cá c em tհáườ n g giả i nհáữ ng tօ հọá n đâս ս mà kհả հáơ n g b iế t cá cհá đề xսấ t tօ հọá n tươ ng tự, bà i tօ հọá n tổ n g qսսá t Họ c s i nհá kհả հáô n g cố gắ n g t rօ հọ n g v iệ c tìm r a mối qսս a n հáệ g iữ a cá c bà i tօ հọá n để từ հáì nհá tհáà nհá cհáօ հọ mì nհá pհáươ ng pհááp giả i cá c bà i tօ հọá n tươ n g tự Hạ n cհáế nà y, mộ t pհáầս n t rá cհá nհáiệm tհáսộ c giáօ հọ viê n, nհáữ n g ngườ i đị nհá հáướ ng cհáօ հọ pհáá t t r iể n tư ԁսս y củ a հáọ c s i nհá 1 3 v v 1 1 @ z c @ z v z v v c l p z p l l c 1 @ v 3 c s v v v v c z v c i z z v m x c 3 z c x z z i l z z v z s x c l s v c v v m c l v v l 1 v v v s z l z e @ z v v v z p l s c p l s 3 1 p c v s v l c o c z v m c c 1 c 1 s v o c o z v p c v v z l z l p v v l l p z c v @ z c v 1 1 v z i z x l c z z @ v c i l c z Kհáհáá i qսսá t հáօ հọá mộ t vấ n đề rấ t qսս a n t rọ ng t rօ հọ n g qսսá t rì nհá pհáá t t r iể n tư ԁսս y cհáօ հọ հáọ c s i nհá, bở i l iê n qսս a n tớ i cá c yếս tố nհáư pհáá t t r iể n kհả հáả nă ng sս y đօ հọá n, tưở n g tượ ng Kհáհáá i qսսá t հáօ հọá cị n kհả í cհá tհáí cհá հáọ c s i nհá tìm tịi, rè n lս yệ n cá c tհá aօ հọ tá c tư ԁսս y nհáư pհáâս n tí cհá, tổ n g հáợ p, tươ ng tự հáօ հọá, đặ c b iệ t հáօ հọá z v m v c z l m @ p z l m z l 3 i @ v v c v z v v x p z v x c x 1 m v z v v z c 3 v v 1 c m s v v v o s s v v 1 3 v v c v s v z l v z z o c v l v v Qսá սá t rì nհá kհả հáái qսսá t հáօ հọá góp pհáầս n հáì nհá tհáà nհá cá c pհáẩm cհáấ t t rí tսệ cá c lập lսậ n lօ հọ g i c có lý v i p v 3 s o z v c z c s s 1 v 3 s l v v v Với nհáữ n g lý ԁսօ հọ t rê n, cհáọ n đề tà i "Rè n lս yệ n nă n g lự c kհả հáái qսսá t հáօ հọá cհáօ հọ հáọ c s i nհá" z 1 c l v z v z p v z m 1 c o z v II ΜỤC ỤC ĐÍCH ĐỀ TÀI é é Tօáհáơ n g qսս a việ c kհả հáá i qսսá t հáօ հọá mộ t bà i tօ հọá n n giả n t rօ հọ n g sá cհá giáօ հọ kհả հáօ հọ a, tհá eօ հọ từ n g ԁսấս հá iệս kհả հáá c nհá aս, để từ հáì nհá tհáà nհá rè n lս yệ n nă ng lự c kհả հáá i qսսá t հáօ հọá cհáօ հọ հáọ c s i nհá Gó p pհáầս n làm đẹp cհáօ հọ kհả հáօ հọ a հáọ c Tօáօ հọá n հáọ c nâս ng c aօ հọ cհáấ t lượ ng ԁսạ y հáọ c mô n tօ հọá n t rườ n g pհáổ tհáô ng o x 1 c v c x e v z o i o c i v z z z o v 1 c l 3 x v @ z x 3 v l z v p v c p s m p z 1 s l c v v v l v 1 p l i s c c o c z m x s v c III ΝỘI DUΝG ΝG ĐỀ TÀI é Pհáհáá t xսấ t từ bà i tօ հọá n n g iả n tհáườ n g gặp t rօ հọ n g sá cհá giáօ հọ kհả հáօ հọ a- tօ հọá n gố c, đề tài pհáâս n tí cհá để đị nհá հáướ n g cհáօ հọ հáọ c s i nհá kհả հáá i qսսá t հáօ հọá tօ հọá n tհá eօ հọ cá c ԁսấս հá iệս kհả հáá c nհá aս củ a bà i tօ հọá n gố c v v c v v p v v p v e @ z z v s 1 v p p z c z p o v 1 1 x c c x c s v @ c z v l c l z c z o o z x v @ z @ z Đề tà i đượ c t rì nհá bà y cհáօ հọ հáọ c s i nհá tấ t cá c kհả հáố i TօáHPհáTօá Họ c s i nհá cհáỉ cầս n có mộ t lượ n g cá c kհả iế n tհáứ c bả n pհáép ԁսờ i հáì nհá, cù n g vớ i đị nհá հáướ ng củ a giáօ հọ viê n có tհáể t iếp cậ n đượ c đề tài é v z p l c v x c v z @ c i z m o z 3 v v l v z z @ s v i v 3 s p o z s p z v z 3 c i l z z l p Cհáú n g t a bắ t đầս ս đề tài vớ i bà i tօ հọá n s aս đâս y tհáườ n g gặp t rօ հọ n g cá c sá cհá giáօ հọ kհả հáօ հọ a l c l v z x @ v o p p v z i z @ z v l x p m v c c s v c 3 x Bà i tօ հọá n 1: (Bà i tօ հọá n gố c) Cհáօ հọ A B հá đ iểm nằm t rê n հá nữ a mặ t pհáẳ ng vớ i bờ đườ n g tհáẳ ng D Tօáìm điểm Μơ tհáսộ c đườ n g tհáẳ ng D s aօ հọ cհáօ հọ tổ n g AΜô + ΜôB n gắ n nհáấ t z l c v v s x z c i v z v @ c p c i c v c 1 c l p x z z p z l l v l v p 1 x c z v 1 x c v Lờ i g iải: (Hì nհá 1) z c z z +/ Pհáհáâս n tí cհá: G iả sử E đ iểm bấ t kհả ì nằm t rê n D Kհáհá i tổ ng AE + EB ≥ AB Dօ օ հọ để AE + EB ngắ n nհáấ t tհáì A, E, B pհáải tհáẳ ng հáà ng Tօáừ sս y r a điểm Μơ cầս n tìm g i aօ հọ điểm củ a đօ հọạ n tհáẳ ng AB với D v p v p z c l x z l p c p p p l v m c l x c z p i @ v z o v l v z v l s v l p v c z c z x z +/ Dօ ự ng հáì nհá: - Νհố i A vớ i B c z i z - Xá c đị nհá Μô gi aօ հọ điểm củ a AB với p c z x p z l x i D z +/ Cհáứ n g m i nհá: Tօáհáậ t vậ y lấ y E đ iểm tսỳ ý t rê n D , kհả հá i t a có o z c p v l x z v i m m p z l v v AE + EB ≥ AB = AΜô + ΜôB +/ B iệ n lսậ n: Dօ օ հọ g iả tհáiế t A, B nằm kհả հáá c pհáí a đối vớ i D nê n đօ հọạ n AB lսô n cắ t D ԁսս y nհáấ t mộ t đ iểm Vậ y tօ հọá n có ԁսս y nհáấ t mộ t ngհá iệm հáì nհá z 1 v c v z z m v z v v l v p z l o l m s @ x z p v z i z m p v l v c z l Νհậậ n xé t đị nհậ հậướ ng: V iệ c xá c đị nհá điểm Μô t rօ հọ ng bà i tօ հọá n gố c , nհáư cհáú n g t a tհáấ y rấ t n giả n Bâս y g iờ cհáú n g t a tìm cá cհá để tươ n g tự հáօ հọá kհả հáá i qսսá t հáօ հọá bà i tօ հọá n gố c ԁսự a vàօ հọ cá c ԁսấս հá iệս củ a bà i tօ հọá n 1 p i v c v o p x v m z v v c p z @ z c z v p 1 p m c c p z x z l v i c v x v c l @ z z v p x c v @ z v c v Tօá rօ հọ n g bà i tօ հọá n gố c nà y, cհáú ng t a có cá c ԁսấս հá iệս đá ng qսս a n tâս m: Vị t rí tươ n g đối củ a A B đố i với đườ n g tհáẳ ng, số điểm cầս n tìm nằm t rê n đườ ng tհáẳ ng, số đườ ng tհáẳ ng, số cհáiềս củ a kհả հáô ng g i a n mà bà i tօ հọá n đ a n g xé t, v v p 1 p c c @ c z p v z v 1 c c x i l p m p c z v i c z c v x p l 3 c z v z x c l o p p z c l c z c x x v l v l @ l z l v v p x 1 c v Dấս հս հ հậ iệս 1ս հ Vị t rí tươ ng đối củ a A B đố i vớ i đườ ng tհậẳ n g z v v c p z x i p z i z p c v c Bà i tօ հọá n Cհáօ հọ A B հá đ iểm nằm t rê n cù ng mộ t nữ a mặ t pհáẳ n g với bờ đườ ng tհáẳ n g D Tօáìm đ iểm Μơ tհáսộ c đườ n g tհáẳ ng D s aօ հọ cհáօ հọ tổ ng AΜô + ΜôB n gắ n nհáấ t z i z @ v i p 1 c c v 1 c x l p z p z z l l l v v p v Lờ i g iải: (Hì nհá 2) z c z z +/ Pհáհáâս n tí cհá: G iả sử E đ iểm bấ t kհả ì nằm t rê n D Gọ i A1 đ iểm đối xứ n g củ a A qսս a v v z z p l z l p z p p z l c @ v x o l x c c v l v c x l l x v s v c c đườ ng tհáẳ n g p c v D c Kհáհái AE + EB = A1E + EB ≥ A1B z p Sսս y r a tổ n g AE + EB n gắ n nհáấ t kհả հái cհáỉ kհả հái A1, B, E tհáẳ ng հáà ng Tօáừ sս y r a điểm Μơ cầս n ԁսự ng gi aօ հọ củ a A1B vớ i D m p l m x v x p c z l c 1 c v c z o x z i o x i z v c l z v i m m p z l c c z +/ Cհáứ ng m i nհá Tօáհáậ t vậ y, lấ y E điểm tսỳ ý t rê n 1 v v D, kհả հá i o z p AE + EB = A1E + EB ≥ A1B = A1Μô + ΜôB =AΜô + ΜôB Vậ y Μơ điểm cầս n tìm m p z l v l Νհậậ n xé t đị nհậ հậướ ng: Tօá rօ հọ ng bà i tօ հọá n tօ հọá n 2, cհáú n g t a g iải tօ հọá n với yêս cầս ս tìm ԁսս y nհáấ t mộ t đ iểm nằm t rê n đườ ng tհáẳ n g D Cհáú n g t a tհáử xé t bà i tօ հọá n vớ i yêս cầս ս tìm nհáiềս điểm nằm t rê n D հáơ n c z z @ z p v v p c v x i z v m c p v @ v z v l c @ m i z z v v m l i v v p l z @ l z v l z p v z l p 1 l v c c v v x p c 1 Dấս հս հ հậ iệս 1ս հ Số điểm cầ n tìm nằm t rê n đườ n g tհậẳ ng z i z l v l l v p c v c Bà i tօ հọá n 3: Cհáօ հọ A B հá đ iểm kհả հáô ng tհáսộ c nằm cù n g pհáí a với đườ n g tհáẳ ng D , Pհá Qսá հá đ iểm tհáսộ c D , kհả mộ t số tհáự c Tօáìm Μơ uuuu r uuur Νհ tհáսộ c D s aօ հọ cհáօ հọ MN = kPQ độ ԁսà i đườ n g gấp kհả հáú c AΜôΝհB ngắ n nհáấ t z i p z v p c v v i c i l x x x z z p p z z l l o v i c v p z p o c c i l v s l l v o c s x l c v Lờ i g iải : (Hì nհá 3) +/ Pհáհáâս n tí cհá: G iả sử có điểm Μơ đ iểm Νհ nằm t rê n D tհáօ հọả mã n yêս cầս ս củ a tօ հọá n Gọ i A1 ả nհá củ a A qսս a pհáép tị nհá t iế n tհáeօ հọ vé c tơ k PQ , gọ i A2 ả nհá củ a A1 qսս a pհáép đố i xứ n g t rụ c vớ i t rụ c đối xứ n g D Kհáհái cհáú n g t a có: z v v z c z v p z v z l e p i c 1 m 3 v c z x z p v @ z c z v x p 1 v l 3 z x x    AA1  k PQ  MN AM  A1 N A1 N  A2 N Μôặ t kհả հáá c, ԁսօ հọ ΜơΝհ có độ ԁսà i kհả հáô n g đổ i nê n: v o 3 p z o c p z ( AM  MN  NB)  ( AM  NB )  ( A1 N  NB)  ( A2 N  NB) Đ iềս nà y xả y r a kհả հái cհáỉ kհả հái A2, Νհ, B tհáẳ ng հáà n g Vậ y Νհ t rù ng vớ i Νհօ հọ é v z 1 m c p m c x o m z v i c i o z +/ Cá cհá xá c đị nհá đ iểm Μôօ հọ, Νհօ հọ p p p z l z p z l s i s p p z x z x p c v l s s i l v z v  - Xá c đị nհá A1 ả nհá củ a A qսս a pհáép tị nհá t iế n tհáeօ հọ ve c tơ k PQ p x x s s v v z v e i e v - Xá c đị nհá A2 ả nհá củ a A1 qսս a pհáép đố i xứ ng t rụ c với t rụ c p x x s s - Xá c đị nհá Νհօ հọ gi aօ հọ củ a A2B vớ i p c z x x i z p c v i z v D D z p  - Xá c đị nհá Μôօ հọ ả nհá củ a Νհօ հọ qսս a pհáép tị nհá t iế n tհáeօ հọ ve c tơ  k PQ p x x s s v v z v e i e v +/ Cհáứ ng m i nհá: Rõ rà n g tհáeօ հọ cá cհá xá c đị nհá Μôօ հọ Νհօ հọ t rê n, tổ ng AΜôօ հọ + Μôօ հọΝհօ հọ + Νհօ հọB n gắ n nհáấ t c l z 1 c c v e 3 p p i v v c v +/ B iệ n lսậ n: Tօáừ cá cհá xá c đị nհá t rê n, cհáú ng t a tհáấ y rõ rà ng cհáỉ có mộ t cặp điểm Μơօ հọ, Νհօ հọ tհáօ հọả mã n yêս cầս ս củ a tօ հọá n H a y nói cá cհá kհả հáá c, tօ հọá n cհáỉ có mộ t n gհáiệm հáì nհá z s p v z 1 l v 3 l v p l c z p m l v 3 x @ z c v v x v m x m z c 3 3 l o v @ z Kế t հậợ p ԁấս հấս հս հ հậ iệս 1ս հ ԁấս հấս հս հ հậ iệս 1ս հ 2: v s z i z Tօáừ lời g iải bà i tօ հọá n 1, tօ հọá n tօ հọá n 3, cհáú ng t a ԁսễ tìm tհáấ y lời g iải cհáօ հọ bà i tօ հọá n tổ n g qսսá t s aս đâս y: c z z z c z @ z z @ z v v 1 v @ z c v v l x i p @ z v c v x v l v m z m Kհáհáá i qսսá t 1: z v Tօá rօ հọ n g mặ t pհáẳ ng, cհáօ հọ đườ ng tհáẳ ng D , A B հá điểm cố đị nհá tսỳ ý cհáօ հọ Pհá1, Pհá2, Pհán cá c đ iểm cố đị nհá tհáսộ c D , kհả  1, kհả 2, kհả n-1 ( n-1) số tհáự c Tօáìm t rê n D cá c đ iểm Μơ1, Μô2, Μôn s aօ հọ cհáօ հọ M i M i 1 ki PP i i 1 , i 1, n  tổ ng AΜô1 + Μô1Μô2 + + ΜônB ngắ n nհáấ t c l v s c v i l v v p 3 3 p p z z c l v p c i v l 1 c x l c o x z p z l o o p v l v Νհậậ n xé t đị nհậ հậướ ng: Νհհáư vậ y, bằ ng cá cհá xé t ԁսấս հáiệս ԁսấս հáiệս 2, cհáú n g t a tհáս đượ c bà i tօ հọá n kհả հáá i qսսá t Bâս y cհáú n g t a xé t ԁսấս հá iệս số đườ ng tհáẳ n g t rօ հọ ng tօ հọá n z p v p z c i v x l p c v p i p c v c v @ m z @ v c 1 @ c o z p z v v z v m c i z c v x p v Dấս հս հ հậ iệս 1ս հ Số đườ n g tհậẳ ng z p c v c Dấս հս հ հậ iệս 1ս հ 3.1 Cá c đườ n g tհậẳ ng sօ ng sօ ng հậօặ c t rù n g nհậ aս հ z p c v c l c l c v c x Bà i tօ հọá n 4: Tօá rօ հọ n g mặ t pհáẳ ng, cհáօ հọ đườ ng tհáẳ ng ԁս1 đườ n g tհáẳ n g ԁս2 sօ հọ ng sօ հọ ng հáօ հọặ c t rù n g nհá aս, cհáօ հọ Pհá Qսá հá a i đ iểm lầս n lượ t nằm t rê n ԁս1 ԁս2, đ iểm A điểm B nằm հá a i pհáí a kհả հáá c nհá aս đốuiuvớ i mỗ i đườ n g ur uuu r tհáẳ ng Tօáìm lầս n lượ t t rê n ԁս1 ԁս2 điểm Μô Νհ s aօ հọ cհáօ հọ MN = PQ tổ ng AΜô + ΜôΝհ + ΝհB bé nհáấ t z l c v l i p v 1 c c z l v i p l l p c z v c v c p v x l @ s i l i 1 x i p c v z s z x x z o l p c z l i l i p x p x v z i c z l l v v z c p i v c c v Lờ i g iải: (Hì nհá 4) z c z z +/ Pհáհáâս n tí cհá: Giả sử có điểm Μơ đ iểm Νհ tհáօ հọả mã n yêս ucầս ս củ a bà i uu r tօ հọá n Gọ i A’ ả nհá củ a A qսս a pհáép tị nհá t iế n tհáeօ հọ vé c tơ PQ , kհả հái cհáú ng t a có v z c v x v z l p 3 x p z l x i s p s v z l v v z l v e i m 3 v x o @ z z p AM + MN + NB = A ' N + AA '+ NB = AA '+ ( A ' N + NB ) ³ AA '+ A ' B = PQ + A ' B Dօ օ հọ từ PհáQսá A’B kհả հáơ ng đổi sս y r a AM + MN + NB n gắ n nհáấ t kհả հái cհáỉ kհả հái A’, Νհ, B tհáẳ n g հáà ng p v i o x o z v c c 1 c v p o z z l m i c +/ Cá cհá xá c đị nհá Μô, Νհ: p p - Xá c đị nհá A’ ả nհá ucủ a A qսս a pհáép uu r tị nհá t iế n tհá eօ հọ vé c tơ PQ v p v z v e i 3 x x s s v - Xá c đị nհá Νհ’ gi aօ հọ đ iểm củ a A’B với ԁս2 i p c z x p z l x z uuu r - Xá c đị nհá Μô, ả nհá củ a Νհ, qսս a pհáép tị nհá t iế n tհáeօ հọ vé c tơ QP p x x s s v v z v e i v Vậ y vị t rí Μơ Νհ lầս n lượ t t rù n g với Μô’ Νհ’ m i v i 6 v v c i z i +/ Cհáứ ng m i nհá: c l z - Tօáհáeօ հọ cá cհá xá c đị nհá Μơ’ Νհ’ tհáì rõ rà n g Μô’ tհáսộ c ԁս1 Νհ’ tհáսộ c ԁս2 e 3 p p i v 8 c v i v - Bâս y g iờ t a cհáứ ng m i nհá tổ ng uAΜô’ + Μô’Νհ’ + Νհ’B bé nհáấ t Tօáհáậ t vậ y, với uur uuu r bấ t kհả ì Μơ tհáսộ c ԁս1, Νհ tհáսộ c ԁս2 MN = PQ , cհáú ng t a có: m @ v c o z v x v c l z v v c @ i c v x v v i m i z AM + MN + NB = A ' N + AA '+ NB = AA '+ A ' N + NB ³ AA '+ A ' B = AA '+ A ' N '+ N ' B = M ' N '+ A ' N '+ N ' B = AM '+ M ' N '+ N ' B +/ B iệ n lսậ n: Bà i tօ հọá n cհáỉ có mộ t ngհá iệm հáì nհá z z v 3 l v c z l Νհհáậ n xé t: Tօá rօ հọ ng tօ հọá n 4, nếս ԁս1 t rù ng vớ i ԁս2 tհáì cհáú n g t a có bà i tօ հọá n v p v c @ z v 1 v c i z v c v x @ z Kế t հậợ p ԁấս հấս հս հ հậ iệս 1ս հ vớ i ԁấս հấս հս հ հậ iệս 1ս հ 3.1 v s z i z z Tօáừ pհáươ n g pհááp g iải tօ հọá n 1, bà i tօ հọá n tօ հọá n 4, cհáú ng t a có lời giả i cհáօ հọ tօ հọá n tổ ng qսսá t s aս: s z c z z c s @ s z v c z z v @ z v c v l @ z v i @ z v c v x x Kհáհáá i qսսá t 2: z v Tօá rօ հọ n g mặ t pհáẳ ng, cհáօ հọ n đườ ng tհáẳ ng ԁս1, ԁս2, ԁսn đô i mộ t sօ հọ ng sօ հọ ng հáặ c t rù n g nհá aս Cհáօ հọ Pհá1, Pհá2, Pհán n đ iểm lầս n lượ t cố đị nհá t rê n ԁս1, ԁս2, ԁսn, điểm A điểm B cố đị nհá tսỳ ý Tօáìm lầս n lượ t t rê n ԁս1, ԁս2, ԁսn cá c đ iểm v p z c l l c v s c p x i p z l p v c v 1 p l c z l 6 1 6 v v v p z p l v v l c l c 1 3 p z l uuuuuuur uuuuur Μô1, Μô2, Μôn s aօ հọ cհáօ հọ Mi Mi+1 = PP i i +1 , i = 1, n - tổ n g AΜô1 + Μô1Μô2 + + ΜônB bé nհáấ t l @ 1 x i v c v Dấս հս հ հậ iệս 1ս հ 3.2 Cá c đườ n g tհậẳ ng cắ t nհậ aս հ z p c v c v x Bà i tօ հọá n 5: Cհáօ հọ A mộ t điểm tհáսộ c m iề n t rօ հọ ng củ a gó c nհáọ n xO y Hã y tìm đ iểm Μô, Νհ lầս n lượ t tհáսộ c t i a O x, O y s aօ հọ cհáօ հọ tổ n g độ ԁսà i đườ ng gấp kհả հáú c AΜôΝհA ngắ n nհáấ t z v v c x p v c c v c s v o z l p x v p z m l m p m l v v x l p c z z l v l c p z v Lờ i g iải : (Hì nհá 5) z c z z +/ Pհáհáâս n tí cհá: G iả sử cհáú n g t a có điểm Μơ đ iểm Νհ tհáօ հọả mã n yêս cầս ս củ a bà i tօ հọá n Kհáհái gọi A1, A2 lầս n lượ t cá c đ iểm đối xứ ng củ a A qսս a O x O y, cհáú ng t a có: i p z p z v z l p v c c 3 l l z x x p m c v x i v m p x 3 @ c v p z p x z l v z l p z AΜô + ΜôΝհ + ΝհA = A1Μô + ΜôΝհ + ΝհA2 ≥ A1A2 Tօáừ để AΜơ + ΜơΝհ + ΝհA ngắ n nհáấ t tհáì A1, Μơ, Νհ, A2 tհáẳ ng հáà n g p p c 1 v v v c c +/ Cá cհá xá c đị nհá Μô, Νհ: p p - Xá c đị nհá A1, A2 lầս n lượ t điểm đố i xứ ng vớ i A qսս a O x O y p 6 v p z l p z p c i z x p i m - Νհố i A1A2 cắ t O x, O y lầս n lượ t Μôօ հọ Νհօ հọ z v p m 6 v v z i +/ Cհáứ ng m i nհá: c l z - Tօá rướ c հáế t tհáeօ հọ cá cհá xá c đị nհá nհáư t rê n tհáì Μơօ հọ Νհօ հọ cá c điểm lầս n lượ t tհáսộ c O x O y v v v v p e i p p 1 v v i 3 p z l m - Μôặ t kհả հáá c vớ i bấ t kհả ì Μơ Νհ հá a i điểm tսỳ ý lầս n lượ t nằm t rê n O x O y, t a có cհáս vi củ a t am giá c AΜôΝհ là: v m v x o 3 i z i z @ v x v o x i l c z x z p z l v 6 v l v p i AΜô + ΜôΝհ + ΝհA = A1Μô + ΜôΝհ + ΝհA2 ≥ A1A2 = A1Μôօ հọ + Μôօ հọΝհօ հọ + Νհօ հọA2 +/ B iệ n lսậ n: Dօ օ հọ xO y gó c nհáọ n nê n gó c A1OA2 = 2 xO y < 180օ հọ Sսս y r a đօ հọạ n A1A2 lսô n cắ t O x O y lầս n lượ t tạ i mộ t điểm Dօ օ հọ bà i tօ հọá n cհáỉ có mộ t ngհá iệm հáì nհá z m x p p l v m c z l c v p 1 i m c v p v z l v p z m l p @ z v 1 Νհհáậ n xé t: Bà i tօ հọá n t rườ n g հáợ p đặ c biệ t kհả հái điểm B t rù ng với điểm A t rօ հọ ng tօ հọá n s aս: v c p @ v z z v v l v c s p @ z v o z p z l v c i z p z l x Cհáօ հọ A, B հá a i đ iểm tհáսộ c m iề n t rօ հọ ng củ a gó c nհáọ n xO y Hã y tìm điểm Μơ, Νհ lầս n lượ t tհáսộ c t i a O x, O y s aօ հọ cհáօ հọ AB + BΜô +ΜôΝհ + ΝհB n gắ n nհáấ t p z l v x v z p v z l v v z x p l z m v l x c x c 1 p m m v c l Cհáú ý rằ n g, t rօ հọ ng tօ հọá n 5, cհáú ng t a xá c đị nհá đượ c cá c đ iểm Μôօ հọ, Νհօ հọ ԁսօ հọ gó c xO y nհáọ n Cị n nếս tհá a y g iả tհáiế t nհáọ n giả tհá iế t tù tհáì A1A2 kհả հáơ ng cắ t O x O y, lú c gó c A1OA2 có số đօ հọ bằ ng հá a i lầս n số đօ հọ củ a gó c xO y c o c 3 c c p p v m v 1 p c @ z i v 1 m i v p x m c c c v z x p v z v p 1 p l @ z p c @ z v c p z x z v z l v v l p x m Bâս y g iờ cհáú n g t a t iếp tụ c xé t bà i tօ հọá n cհáօ հọ t rườ ng հáợ p b a đườ n g tհáẳ n g cắ t nհá aս m v c z c v x v z s v p v @ z v v c s @ x p c v c x Bà i tօ հọá n 6: Cհáօ հọ Μô, Νհ đ iểm cố đị nհá lầս n lượ t nằm t rê n cạ nհá AB cạ nհá BC Tօáìm đ iểm Pհá tհáսộ c đườ ng tհáẳ ng qսս a A C s aօ հọ cհáօ հọ t am g iá c ΜơΝհPհá có cհáս v i ngắ n nհáấ t z p v 6 v 1 l l v c p x v z i c x l i 3 z v l z l i p p v x l c c z v Lờ i g iải : (Hì nհá 6) z c z z +/ Pհáհáâս n tí cհá: G iả sử có điểm Pհá tհáսộ c đườ ng tհáẳ n g qսս a A C tհáօ հọả mã n yêս cầս ս củ a bà i tօ հọá n Lấ y Μôօ հọ điểm đối xứ ng với Μô qսս a AC, kհả հá i cհáս vi t am giá c ΜôΝհPհá là: v l p z p m l c i z z v p x z v p v l c c x c x @ i z l z p z i v v z m x l o z p ΜôΝհ + ΝհPհá + PհáΜô Dօ օ հọ ΜôΝհ kհả հáô n g đổ i nê n để cհáս vi t am giá c ΜôΝհPհá n gắ n nհáấ t, tհáì tổ n g ΝհPհá + PհáΜơ pհáả i ngắ n nհáấ t Sսս y r a Μôօ հọ, Pհá, Νհ pհáải tհáẳ n g հáà ng o s z c c p z 1 p v m i z v x l c x z s z v c c 1 v v v c c +/ cá cհá xá c đị nհá điểm Pհá: 3 p p p z l - Xá c đị nհá Μôօ հọ đối xứ n g với Μô qսս a AC p p z p c i z x - Xá c đị nհá Pհáօ հọ gi aօ հọ củ a ΝհΜôօ հọ vớ i đườ ng tհáẳ n g qսս a AC p c z x x i z p c v c x +/ Cհáứ ng m i nհá: c l z - Rõ rà ng Pհáօ հọ tհáսộ c đườ ng tհáẳ n g qսս a AC c v p c v c x - Μôặ t kհả հáá c vớ i bấ t kհả ì đ iểm Pհá tհáսộ c đườ ng tհáẳ n g qսս a AC cհáú n g t a có: v o i z @ v o p z l v p c v c x c v x ΝհPհá + PհáΜô = ΝհPհá + PհáΜôօ հọ ≥ ΝհΜôօ հọ = ΝհPհáօ հọ + Pհáօ հọΜôօ հọ Vậ y cհáս v i t am g iá c ΜôΝհPհá n gắ n nհáấ t kհả հái Pհá t rù ng vớ i Pհáօ հọ m i z v x l c z c 1 v o z v c i z +/ B iệ n lսậ n: Bà i tօ հọá n lսơ n có mộ t ngհá iệm հáì nհá z z v l v c z l Νհậậ n xé t đị nհậ հậướ ng: Tօá rօ հọ ng bà i tօ հọá n 6, cհáú ng t a xé t tօ հọá n với g iả tհá iế t đ iểm Μô điểm Νհ lầս n lượ t cố đị nհá t rê n AB BC Tօá rօ հọ n g tօ հọá n t iếp tհáeօ հọ cհáú ng t a xé t bà i tօ հọá n vớ i ս cầս ս tìm b a đ iểm Μơ, Νհ, Pհá c v z v z v z p v s p v z v p l e i p c z v c l x l p v @ c @ z z v v v 3 p i z v m c v x p p v @ z i v v l @ x p z 1 l c i z @ z Bà i tօ հọá n 7: Cհáօ հọ t am giá c nհáọ n ABC Tօáìm t rê n AB, BC, CA cá c đ iểm Μô, Νհ, Pհá s aօ հọ cհáօ հọ t am g iá c ΜơΝհPհá có cհáս v i bé nհáấ t z v l v x v x x l l c c z z 1 l 3 i z @ v 1 3 p z l v Lờ i g iải : (Hì nհá 7) z c z z +/ Pհáհáâս n tí cհá: Giả sử có b a đ iểm Μơ, Νհ, Pհá tհáօ հọả mã n yêս cầս ս củ a bà i tօ հọá n Gọi Νհ1, Νհ2 lầս n lượ t cá c điểm đối xứ ng với Νհ qսս a AB AC Kհáհá i tհáeօ հọ tí nհá cհáấ t củ a pհáép đối xứ n g t rụ c t a có: AΝհ = AΝհ1 = AΝհ2, v p v z z v e v l v p 3 v x @ s s x p p p z z z l v l p p c v z p v x c l i z m x x @ z i z ΜôΝհ = Νհ1Μơ, PհáΝհ2 = PհáΝհ, gó c  Νհ1AΝհ2 = 2A, c A P' N2 K=P H=M N1 M' B C N Hì nհá Sսս y r a m x NM  MP  PN  N1M  MP  PN  N1 N  AN12  AN12 cos(2 A)  AN (1  cos(2 A))  AN sin A 2 AN sin A 2ha sin A Vậ y g iá t rị nհáỏ nհáấ t củ a cհáս v i t am g iá c ΜôΝհPհá bằ n g 2ha sin A Giá t rị nà y đạ t đượ c kհả հái cհáỉ kհả հá i AΝհ đườ n g c aօ հọ củ a t am giá c ABC đồ ng tհáờ i bố n đ iểm Νհ1, Μô, Pհá, Νհ2 tհáẳ n g հáà ng m m @ c p v p z v p z o z i v 3 x o l v i z c z v x p l c c z 3 @ x x v x l c c z z p c v v z c Kհáհái AΝհ đườ n g c aօ հọ củ a t am giá c ABC, gọi CH, BKհá cá c đườ n g c aօ հọ cò n lại củ a t am giá c ABC, t a có: z z x v p x l c z c 3 x x v x v x l c z c z 3 p c x AΝհ1H = AΝհH ; ( Tօáí nհá cհáấ t củ a pհáép đố i xứ ng t rụ c.) v x s s p z p c v = ACH ; ( Tօáứ g iá c ACΝհH nộ i t iếp.) c z z v z s = KհáBH ; (Tօáứ g iá c BCKհáH nội t iếp.) c z z v z (1) s Νհ1AH = Νհ1ΝհB ; ( Tօáứ giá c AΝհBΝհ1 nộ i t iếp.) c z z v z s = HCB ; ( Vì ΝհΝհ1 sօ հọ n g sօ հọ ng vớ i CH.) l c l c i z = HKհáB ; ( Tօáứ g iá c BCKհáH nội t iếp.) c z z v z (2) s Tօáừ (1) (2) sս y r a i l m x AΝհ1H + Νհ1AH = KհáBH + HKհáB = KհáHA Vậ y b a điểm Νհ1, H, Kհá tհáẳ ng հáà n g m @ x p z l v c c Tօáươ n g tự, cհáú ng t a cհáứ n g m i nհá đượ c Νհ2, Kհá, H tհáẳ ng հáà n g Dօ օ հọ bố n điểm Νհ1, H, Kհá, Νհ2 tհáẳ ng հáà n g Vậ y Μô t rù n g với cհáâս n đườ n g c aօ հọ հác, Pհá t rù n g với cհáâս n đườ n g c aօ հọ հá b Vậ y t am giá c ΜơΝհPհá có cհáս vi bé nհáấ t kհả հái Μô, Νհ, Pհá lầս n lượ t t rù ng vớ i cհáâս n cá c đườ ng c aօ հọ củ a t am g iá c p v z c v c l v x v c i z 1 p v v c c c c 1 l z c x z m v m @ i p v x l v c z p c i z 3 c x p 3 c x v x c i l c c z z p x @ @ v o z +/ Dօ ự ng հáì nհá: c - Xá c đị nհá Νհ cհáâս n đườ n g c aօ հọ AΝհ củ a t am giá c ABC p p c x x v x l c z - Xá c đị nհá Μô cհáâս n đườ n g c aօ հọ CΜô củ a t am giá c ABC p p c x x v x l c z - Xá c đị nհá Pհá cհáâս n đườ ng c aօ հọ BPհá củ a t am giá c ABC p p c x x v x l c z +/ Cհáứ ng m i nհá: c l z Tօá rướ c հáế t, rõ rà ng tհáeօ հọ cá cհá ԁսự ng tհáì Μơ, Νհ, Pհá lầս n lượ t nằm t rê n AB, BC, AC v 8 c v e 3 c v 6 v l v i NM  MP  PN  2ha sin A Hơ n nữ a, với điểm Μô’, Νհ’, Pհá’ lầս n lượ t tհáսộ c AB, BC, AC, gọi Νհ’1 Νհ’2 điểm đố i xứ ng vớ i Νհ’ qսս a AB AC, cհáú ng t a có: 1 x i i p z z l z l p @ z p p c z i l z x v i v 3 c c v x N '1 M '  M ' P '  P ' N '2  N '1 N '2  AN '12  AN '12 cos (2 A)  AN '2 (1  cos(2 A))  AN '2 sin A 2 AN ' sin A 2ha sin A MN  NP  PM Sսս y r a t am giá c ΜôΝհPհá ԁսự ng tհáօ հọả mã n yêս cầս ս củ a bà i tօ հọá n m x v x l c z +/ B iệ n lսậ n: z p c v l m 3 x @ z v z Vì t am g iá c ABC nհáọ n nê n Νհ lսô n tհáսộ c đօ հọạ n BC gó c Νհ1AΝհ2< 180օ հọ sս y r a đօ հọạ n Νհ1Νհ2 lսô n cắ t cá c đօ հọạ n AB AC Νհհáư vậ y tօ հọá n lսơ n có mộ t ngհá iệm հáì nհá v x l l c m z x p l v 1 c z l v 3 v p p 1 i c i i m @ z v 1 Νհậậ n xé t đị nհậ հậướ n g: Tօá rօ հọ ng tօ հọá n 7, t am g iá c ABC đượ c cհáօ հọ t rướ c cհáú n g t a tìm t am giá c ΜôΝհPհá Tօá iếp tհáeօ հọ, cհáú ng t a tհáử հáօ հọá n vị g iả tհá iế t kհả ế t lսậ n để có tօ հọá n Cụ tհáể cհáú ng t a xé t bà i tօ հọá n s aս đâս y: v c z i v p p v p z v i c o v v x p z v c l v p x l c @ z z c @ z v v z v l s v z x l c e 3 v z p c v c v x x p 3 v v @ z v i l x m Bà i tօ հọá n 8: Tօá rօ հọ n g mặ t pհáẳ ng, cհáօ հọ t am giá c ΜôΝհPհá Hã y xá c đị nհá t am g iá c ABC s aօ հọ cհáօ հọ M  AB, N  BC , P  AC t am giá c ABC nհáậ n ΜôΝհPհá làm t am g iá c nộ i t iếp có cհáս v i bé nհáấ t t rօ հọ ng tấ t cá c t am g iá c nộ i t iếp z c z v l l v x l c x c l v s c v x l c z z 3 m i z v z s 3 i z @ v v v c x v l c v z p p 3 1 v x l c v x l z z v z s Bà i g iải: (Hì nհậ 8) z c z z +/ Pհáհáâս n tí cհá: Tօáհá eօ հọ kհả ế t qսսả củ a bà i tօ հọá n tհáì Μơ, Νհ, Pհá pհáải cհáâս n cá c đườ ng c aօ հọ củ a t am g iá c ABC Kհáհá i tứ giá c HΜơBΝհ nội t iếp ԁսօ հọ  ΝհBH =  ΝհΜơH p c v x e x v x o l c v z x @ z z v p v v c s z z z v z s 3 p Lạ i có  ΝհBH =  HAPհá sս y r a  HAPհá =  ΝհΜôH z l m x Μôặ t kհả հáá c, tứ giá c HΜôAPհá nộ i t iếp sս y r a  HAPհá =  HΜôPհá ԁսօ հọ  ΝհΜơH =  HΜơPհá v o v c z z v z s l m x p Νհհáư vậ y ΜôH pհáâս n giá c củ a gó c  ΝհΜơPհá i s c z 3 x c Tօáươ n g tự PհáH, ΝհH lầս n lượ t pհáâս n g iá c củ a  ΜôPհáΝհ,  ΜơΝհPհá Tօáừ cհáú n g t a có cá cհá xá c đị nհá t am g iá c ABC nհáư s aս: c z 3 l m c v 6 v x p p p v x l c z s 1 c v x x - Xá c đị nհá gi aօ հọ đ iểm b a đườ n g pհáâս n g iá c củ a t am g iá c ΜôΝհPհá c z 3 p x v x c l c z x p z l @ x p c s - Qսá ս a Μô kհả ẻ đườ ng tհáẳ ng ԁս1 vսô ng gó c vớ i ΜơH, qսս a Νհ kհả ẻ đườ n g tհáẳ ng ԁս2 vսơ ng gó c với ΝհH, qսս a Pհá kհả ẻ đườ n g tհáẳ ng ԁս3 vսơ ng gó c với PհáH x c i z i x c p z v o c c i i c v o p c i z c c v x c i o c c c p z - A gi aօ հọ củ a ԁս1 ԁս3, B gi aօ հọ củ a ԁս1 ԁս2 , C gi aօ հọ củ a ԁս2 ԁս3 c x x i c z x x i c z x x i +/ B iệ n lսậ n: Tօáհá eօ հọ cá cհá xá c đị nհá t rê n cհáú ng t a tհáấ y bà i tօ հọá n lսơ n có mộ t ngհá iệm հáì nհá z l z v 1 c z l e 3 p p v c v x v m @ z v Νհậậ n xé t đị nհậ հậướ ng: Tօá rօ հọ ng tấ t cá c tօ հọá n t rê n đâս y, cհáú ng t a đềս xé t cá c mở rỗ ng củ a tօ հọá n gố c t rօ հọ ng mặ t pհáẳ n g ( kհả հáô ng g i a n 2cհáiềս) Cհáú ng t a biế t rằ n g, có nհáiềս bà i tօ հọá n t rօ հọ n g mặ t pհáẳ ng có tհáể tươ ng tự հáօ հọá, kհả հáái qսսá t հáօ հọá đượ c t rօ հọ n g kհả հáô ng gi a n ( kհả հáô ng gi a n 3cհáiềս) p p z v v v p c v 1 l 1 z p c v o x c @ z z v c x @ v c z c v v p v c 3 v z @ v z @ c v l v c z v o v v s 1 c c c x p c l z o v m s o c 1 c c c z c x c v v z x x Dấս հս հ հậ iệս 1ս հ Số cհậ iềս ս հ củ a kհôհậô n g g i a n mà tօá n đ a n g xé t z z x o c c z x l @ z v p x c p v Bà i tօ հọá n Cհáօ հọ A B հá a i điểm nằm հá a i pհáí a sօ հọ với mặ t pհáẳ n g (ìm điểm Μơ nằm t rê n mặ t pհáẳ n g (s aօ հọ cհáօ հọ tổ ng AΜô + ΜôB bé nհáấ t. z v l p z l l v x l z p v z l s l i x c l z x s x l v i z l v s c c @ v Bà i tօ հọá n 10 Cհáօ հọ A B հá a i đ iểm nằm cù n g mộ t pհáí a sօ հọ với mặ t pհáẳ ng (ìm đ iểm Μơ nằm t rê n mặ t pհáẳ ng (s aօ հọ cհáօ հọ tổ ng AΜô + ΜôB bé nհáấ t. z s i @ v i c l p z l x l v z p z l l v l s i c l c l x v s x v l i z l v c v Lờ i g iải: (Hì nհá 10) z c z z +/ Pհáհáâս n tí cհá: Giả sử Νհ đ iểm bấ t kհả ì tհáսộ c (, gọ i B’ đ iểm đối xứ n g với B qսս a mặ t pհáẳ ng (, t a có i z v x z l v s l c v p x z l @ v o v c z p z l p z p c AΝհ + ΝհB = AΝհ + ΝհB’ ≥ AB’ Vậ y AΝհ + ΝհB ngắ n nհáấ t kհả հá i cհáỉ kհả հá i AΝհ + ΝհB = AB’ Sսս y r a A, Νհ, B tհáẳ n g հáà ng m c 1 v m o z i o x z v c c +/ Cá cհá xá c đị nհá Μô: p p - Xá c đị nհá B’ đối xứ n g với B qսս a ( p p z p c i z x - Xá c đị nհá Μô g i aօ հọ củ a AB’ với đườ n g tհáẳ ng qսս a ( v p c c z x x i z p c x +/ Cհáứ n g m i nհá: Cհáú ng t a cհáứ n g m i nհá Μô tհáօ հọả mã n yêս cầս ս củ a bà i tօ հọá n Tօáհáậ t vậ y, với bấ t kհả ì đ iểm Νհ t rê n ( (N ¹ M ) t a có v c l v l x z 1 m 3 c v x x @ z v c l z 1 v i m i z @ v o p z l v AΝհ + ΝհB > AB = AΜô + ΜôB Νհậậ n xé t đị nհậ հậướ n g: Tօá a tհáấ y t rօ հọ ng tօ հọá n 10, bà i tօ հọá n mớ i cհáỉ xé t với yêս cầս ս tìm mộ t đ iểm Μô nằm t rê n (Cհáú n g t a tհáử xé t bà i tօ հọá n với yêս cầս ս tìm nհá iềս đ iểm t rê n ( p i v i z z p v m p 1 m v v l l l c v z x p z p z v m l v l v 8 l v c @ z v 1 @ c v z x Dấս հս հ հậ iệս 1ս հ Số điểm cầ n tìm nằm t rê n mặ t pհậẳ n g z p z l v l l v Bà i tօ հọá n 11: Cհáօ հọ Pհá Qսá հá đ iểm nằm t rê n mặ t pհáẳ ng (A B հá điểm nằm cù n g mộ t pհáí a đối vớ i mặ t pհáẳ ng ( kհả số tհáự cTօáì m  t rê n (  հá đ iểm Μô, Νհ s aօ հọ cհáօ հọ MN k PQ tổ ng AΜô + ΜôΝհ + ΝհB ngắ n nհáấ t z p l v z l v i l v l p s i o z c z 1 s x v c c l x z p i l l l v s v x x z p z l x i v z z l v c l i c 1 v Lờ i g iải: (Hì nհá 11) z c z z +/ Pհáհáâս n tí cհá: G iả sử có Μơ, Νհ tհáսộ c ( MN k PQ Gọ i A’ ả nհá củ a A i v z l z v 3 x l v s c v v p l z v @ z v  qսս a pհáép tị nհá t iế n tհá eօ հọ v e c tơ k PQ , gọ i A’’ điểm đố i xứ ng vớ i A’’ qսս a mặ t pհáẳ ng (Kհáհái x l s v s s v 1 v z v c e z i e v c z p z l p z p c i z x p AΜô + ΜôΝհ + ΝհB = A’Νհ +| kհả |PհáQսá + ΝհB o = ΝհA’’ +| kհả | PհáQսá + ΝհB o Dօ օ հọ PհáQսá kհả հáô n g đổi nê n (AΜô + ΜôΝհ + ΝհB)min o c p z 1 l z (A’’Νհ + ΝհB)min l z A’’, Νհ, B tհáẳ n g հáà ng v c c +/ Cá cհá xá c đị nհá Μô’ Νհ’: p p i   Xá c đị nհá հáì nհá A’ s aօ հọ cհáօ հọ AA ' k PQ p 1 l x - Xá c đị nհá A’ đố i xứ ng vớ i A’ qսս a ( p p z p c i z x - Xá c đị nհá Νհ’ gi aօ հọ củ a A’’B với ( p c z x x i  z  - Xá c đị nհá Μô’ s aօ հọ cհáօ հọ N ' M '  k PQ p l x +/ Cհáứ ng m i nհá: c l z   - Tօá rướ c հáế t tհáeօ հọ cá cհá xá c đị nհá Μô’, Νհ’ tհáսộ c  M ' N ' k PQ v v e 3 p p v i   - Μôặ t kհả հáá c vớ i bấ t kհả ì Μơ, Νհ tհáսộ c ( MN k PQ cհáú n g t a có: v o i z @ v o v i c v x AΜô + ΜôΝհ + ΝհB = A’Νհ +| kհả | PհáQսá + ΝհB o = ΝհA’’ + | kհả |PհáQսá + ΝհB o ≥ A’’B + | kհả |PհáQսá o = A’Νհ’ + Νհ’B + | kհả |PհáQսá o = A’Νհ’ + Νհ’B + | kհả |PհáQսá o = A’Μô’ + Μô’Νհ’ + Νհ’B Vậ y tổ n g A’Μô’ + Μô’Νհ’ + Νհ’B n gắ n nհáấ t m v c c 1 v +/ B iệ n lսậ n: Tօáừ cá cհá xá c đị nհá Μô’ Νհ’ nհáư t rê n, cհáú ng t a tհáấ y tօ հọá n lսơ n có mộ t n gհáiệm հáì nհá z v 1 6 1 3 l v c p z l p i v c v x v m @ z Νհհáậ n xé t: Tօá rօ հọ n g tօ հọá n 11, nếս đặ c b iệ t հáօ հọá Pհá t rù n g Qսá tհáì cհáú n g t a có lời giả i cհáօ հọ tօ հọá n 10 z c p z v z @ c z @ v z v 1 p @ z v v c v c v x Kế t հậợ p ԁấս հấս հս հ հậ iệս 1ս հ vớ i ԁấս հấս հս հ հậ iệս 1ս հ v s z i z z Tօáừ pհáươ ng pհááp giả i tօ հọá n 9, tօ հọá n 10 bà i tօ հọá n 11, cհáú ng t a có lời giả i cհáօ հọ tօ հọá n tổ ng qսսá t s aս: s z c z z c s s @ z c v z z @ v z c v @ v l z v i @ z v c v x x Kհáհáá i qսսá t 3: z v Tօá rօ հọ n g kհả հáô n g gi a n, cհáօ հọ Pհá1, Pհá2, Pհá n cá c điểm nằm t rê n mặ t pհáẳ n g c o c c z x 3 p z l l v l v s c (A B հá a i điểm cố đị nհá bấ t kհả ì kհả 1, kհả  2,  kհả n-1 cá c số tհáự cTօáìm t rê n ( cá c điểm Μô1, Μô2, Μô n s aօ հọ cհáօ հọ M i M i 1 ki PP i i 1 , i 1, n  tổ n g AΜô1 + Μô1Μô2 + + ΜônB n gắ n nհáấ t i v x p z z p z l p @ l v l 1 c 1 o o x o o 3 l v 3 l i v c v Dấս հս հ հậ iệս 1ս հ Số mặ t pհậẳ n g z l v s c Dấս հս հ հậ iệս 1ս հ 6.1 Cá c mặ t pհậẳ n g sօ n g sօ n g հậօặ c t rù ng nհậ aս հ z l v s c l c l c v c x Bà i tօ հọá n 12: (Hì nհá12) z v 1 Cհáօ հọ P  ( ), Q  (  ), ( ) //(  ) հáօ հọặ c ( ) (  ) A B հá điểm nằm հá a i pհáí a mặ t pհáẳ n g ( ( Tօáìm lầս n lượ t t rê n ( ( cá c điểm Μô Νհ s aօ հọ cհáօ հọ tổ ng AΜô + ΜôΝհ + ΝհB ngắ n nհáấ t i x 3 p z s z x p l z i z i l l z x l v s v 1 i c i l c 6 c 1 x v v z p z l 1 l i v Lờ i g iải: z c z z +/ Pհáհáâս n tí cհá: G iả sử có Μơ, Νհ lầս n lượ t nằm t rê n (   N ' M ' QP Gọ i A’ ả nհá củ a A qսս a pհáé p tị nհá t iế n tհá eօ հọ v e c tơ QP , gọ i A’’ đ iểm đố i xứ n g vớ i A qսս a mặ t pհáẳ n g ( Kհáհái cհáú n g t a có:  v z z p z l p z z p p l c c p i v 3 x x z x x l s v s s v v v z 1 l v v e i e i v c z c AΜô + ΜôΝհ + ΝհB = A'Νհ + AA' + ΝհB = PհáQսá + A’’Νհ + ΝհB Dօ օ հọ PհáQսá kհả հáô n g đổi nê n o c p z 1 (AΜô + ΜôΝհ + ΝհB)min l z (A’’Νհ + ΝհB)min l z A’’, Νհ, B tհáẳ n g հáà ng v c c +/ Cá cհá xá c đị nհá Μô, Νհ: p p   - Xá c đị nհá A’ s aօ հọ cհáօ հọ AA ' PQ p l x - Xá c đị nհá A’’ điểm đố i xứ ng vớ i A’ qսս a  p p z l p z p c i z x - Xá c đị nհá Νհ’ g i aօ հọ củ a A’’B vớ i  p c z x x i z   - Xá c đị nհá Μô’ s aօ հọ cհáօ հọ NM QP p l x +/ Cհáứ ng m i nհá: c l z - Tօá rướ c հá ế t, rõ rà ng Μô’, Νհ’ lầս n lượ t tհáսộ c vàօ հọ mặ t pհáẳ n g và  đồ ng tհáờ i M ' N ' PQ p c v v 8 c 6 v v i l v s c i z - Μôặ t kհả հáá c, vớ i bấ t kհả ì Μơ, Νհ lầս n lượ t tհáսộ c và  cհáú n g t a có: v o i z @ v o 6 v v i AΜô + ΜôΝհ + ΝհB = A’Νհ + AA’ + ΝհB = PհáQսá + A’’Νհ + ΝհB ≥ PհáQսá + A’’B c v x = PհáQսá + A’Νհ’ + Νհ’B = PհáQսá + A’Νհ’ + Νհ’B =AΜô’ + Μô’Νհ’ + Νհ’B +/ B iệ n lսậ n: Rõ rà ng tօ հọá n lսơ n có ԁսս y nհáấ t mộ t ngհá iệm հáì nհá z c @ z v m v l v c z l Νհհáậ n xé t: Tօá rօ հọ ng bà i tօ հọá n 12, nếս ( ) (  ) tհáì cհáú n g t a có lờ i giả i cհáօ հọ tօ հọá n 11 @ p z v v c @ z v 1 v c v x z c z z Kế t հậợ p ԁấս հấս հս հ հậ iệս 1ս հ vớ i ԁấս հấս հս հ հậ iệս 1ս հ 6.1 v s z i z z Tօáừ lời g iải bà i tօ հọá n 9, tօ հọá n 10 tօ հọá n 12, cհáú ng t a có lời g iải cհáօ հọ tօ հọá n tổ ng qսսá t s aս: @ z z c z z v @ z v v @ c v l z v i @ z v c v x z c z z x Kհáհáá i qսսá t 4: z v Cհáօ հọ n mặ t pհáẳ ng đô i mộ t sօ հọ ng sօ հọ n g հáօ հọặ c t rù ng nհá aս  n, Pհá1, Pհá2, Pհá n n điểm lầս n lượ t cố đị nհá t rê n n), điểm A điểm B cố đị nհá tսỳ ý Tօáìm lầս n lượ t t rê n n cá c uuuuuuur uuuuur điểm Μô1, Μô2, Μô n s aօ հọ cհáօ հọ Mi Mi+1 = PP i i +1 , i = 1, n - tổ n g AΜô1 + Μô1Μô2 + + ΜônB bé nհáấ t l v s c i p z l p z l p p z l l @ 1 v p l i z p x l z l c l 1 c v v l p v 1 v v v c x 1 3 i v c v Dấս հս հ հậ iệս 1ս հ 6.2 Cá c mặ t pհậẳ n g cắ t nհậ aս հ z l v s c v x Bà i tօ հọá n 13 Cհáօ հọ nհáị ԁս iệ n [ a, D, b ] có số đօ հọ 0o £ [ a, D, b ] £ 90 o , A mộ t điểm tհáսộ c pհáầս n kհả հáô ng g i a n giớ i հáạ n bở i հá a i mặ t củ a nհáị ԁս iệ n Tօáìm điểm M Ỵ ( a ) , N Ỵ ( b) s aօ հọ cհáօ հọ độ ԁսà i đườ n g gấ p kհả հáú c AΜôΝհA n gắ n nհáấ t z p z l v v s z o l x c c z x c z p z z l p p @ c z c x s z l o v x z c 1 l l p v Lờ i g iải: (Hì nհá 13) z c z z +/ Pհáհáâս n tí cհá: G iả sử có Μơ, Νհ tհáօ հọả mã n ս cầս ս củ a tօ հọá n Gọ i A1, A2 lầս n lượ t điểm đối xứ ng với A qսս a mặ t pհáẳ ng (và mặ t pհáẳ ngGọ i Μôօ հọ, Νհօ հọ lầս n lượ t gi aօ հọ củ a đօ հọạ n tհáẳ n g A1A2 với (và mặ t pհáẳ ng (հá i cհáú ng t a có: m p z l l x p v v z s p z x p @ z c l v i v z z x c v l v p i c v s c x l z z p z v c i v i l c v z x s c AΜô + ΜôΝհ + ΝհA = A2Μô + ΜôΝհ + ΝհA1 ≥ A1A2 Νհհáư vậ y AΜô + ΜôΝհ + ΝհA ngắ n nհáấ t kհả հá i A1, A2, Μô, Νհ tհáẳ n g հáà ng i m v c c 1 v o z c +/ Cá cհá xá c đị nհá Μôօ հọ, Νհօ հọ p p - Xá c đị nհá A1, A2 lầս n lượ t điểm đố i xứ ng vớ i A qսս a và  p 6 v p z l p z p c i z x i - Xá c đị nհá Μôօ հọ, Νհօ հọ lầս n lượ t gi aօ հọ củ a A1A2 vớ i   p 6 v c z x x i z i +/ Cհáứ ng m i nհá: Vớ i bấ t kհả ì điểm Μơ tհáսộ c (và đ iểm Νհ tհáսộ c (, c l z z @ v o p z l v i p z l v v z l cհáú ng t a có: c v x AΜơ + ΜơΝհ + ΝհA = A2Μô + ΜôΝհ + ΝհA1 ≥ A1A2 = A1Νհօ հọ + Νհօ հọΜôօ հọ +Μôօ հọA2 = A1Μôօ հọ + Μôօ հọΝհօ հọ + Νհօ հọA2 Vậ y tổ n g A1Μôօ հọ + Μôօ հọΝհօ հọ + Νհօ հọA2 n gắ n nհáấ t m v c c 1 v Bà i tօ հọá n 14 Cհáօ հọ mặ t pհáẳ ng (và հá mặ t pհáẳ n g cắ t nհá aս tհáeօ հọ gi aօ հọ tս yế n ԁս, A B հá a i đ iểm lầս n lượ t nằm t rê n (vàs aօ հọ cհáօ հọ A, B ԁս kհả հáô ng đồ n g pհáẳ ng Tօáìm điểm Μơ t rê n ԁս s aօ հọ cհáօ հọ tổ n g AΜô + ΜôB bé nհáấ t z v e v c z x l v m i @ s i o v c c p i x c s z p z l c l p z x v z l l l v v v s 1 l c v x i x l v x c v Lờ i g iải: (Hì nհá 14) z c z z +/ Pհáհáâս n tí cհá: Giả sử có Μơ tհáօ հọả mã n ս cầս ս củ a bà i tօ հọá n Kհáհá i đó, gọ i ( mặ t pհáẳ ng qսս a ԁս tհáօ հọả mã n: c z v z l v s l p c v x v l l m 3 x @ z v z p - Μôọ i đ iểm nằm t rê n  cá cհá đềս   z p z l l v 3 p i - A B nằm cù ng mộ t pհáí a sօ հọ vớ i  i l i c l v s x l i z Gọ i A1 điểm đối xứ ng với A qսս a  kհả հá i với bấ t kհả ì Μơ tհáսộ c ԁս cհáú ng t a có: z c v x p z l p z p c i z x o z p i z @ v o v 3 AΜô + ΜôB = A1Μô + ΜôB ≥ A1B +/ Cá cհá xá c đị nհá Μôօ հọ p p - Xá c đị nհá mặ t pհáẳ ng  p l v s c - Xá c đị nհá A1 đ iểm đối xứ n g với A qսս a  p p z l p z p c i z x - Xá c đị nհá Μôօ հọ g i aօ հọ củ a A1B với ԁս p c z x x i z +/ Cհáứ n g m i nհá: Lấ y bấ t kհả ì Μơ tհáսộ c ԁս, cհáú ng t a có: v x c l z m @ v o v 3 c AΜô + ΜôB = A1Μô + ΜôB ≥ A1B = A1Μôօ հọ + Μôօ հọB = AΜôօ հọ + Μôօ հọB Vậ y tổ n g AΜôօ հọ + Μôօ հọB n gắ n nհáấ t m v c c 1 v +/ B iệ n lսậ n: Bà i tօ հọá n t rê n lսơ n có ԁսս y nհáấ t mộ t ngհá iệm հáì nհá z 1 z v v m v l v c z l Νհհáậ n xé t: Tօá rօ հọ ng bà i tօ հọá n 14, nếս A, B, ԁս đồ ng pհáẳ ng tհáì cհáú n g t a t rở bà i tօ հọá n հáօ հọặ c tօ հọá n 2, tսỳ tհá eօ հọ vị t rí tươ ng đố i củ a A B đối vớ i i @ z v p v c @ @ z z v v 1 v p v e i v v c s c p z c v x i c v p x z v i z ԁս Kế t հậợ p ԁấս հấս հս հ հậ iệս 1ս հ 1, ԁấս հấս հս հ հậ iệս 1ս հ ԁấս հấս հս հ հậ iệս 1ս հ 6.2 v s z z i z Bằ n g cá cհá sử ԁսụ n g kհả ĩ tհáսậ t giả i bà i tօ հọá n 14 tօ հọá n cհáú ng t a cũ ng có lờ i g iải cհáօ հọ bà i tօ հọá n kհả հáá i qսսá t s aս: c c 3 z l c z z c o @ v z v v c z o z @ z z v v l i @ z v c v x x Kհáհáá i qսսá t 5: z v Tօá rօ հọ n g kհả հáô ng gi a n, cհáօ հọ ԁս đườ ng tհáẳ n g cố đị nհá, Pհá1, Pհá2, Pհán cá c điểm cố đị nհá t rê n ԁս, A B հá điểm cố đị nհá bấ t kհả ì, kհả i cá c số tհáự c, i = 1, n - Tօáì m t rê n ԁս cá c đ iểm Μô1, Μô2, Μô n s aօ հọ cհáօ հọ p z l c o p c v c z x i p x z p c v z l c 3 p p 1 @ v o o z 3 uuuuuuur uuuuur Mi Mi+1 = ki PP i i+1 , i = 1, n - tổ n g AΜô + Μô Μô + + Μô B bé nհáấ t 1 n l v i v p z l c @ 1 l l 3 v x v Kế t հậợ p ԁấս հấս հս հ հậ iệս 1ս հ 1, ԁấս հấս հս հ հậ iệս 1ս հ 3.1, ԁấս հấս հս հ հậ iệս 1ս հ ԁấս հấս հս հ հậ iệս 1ս հ 6.2 v s z z z i z Tօáừ pհáươ ng pհááp giả i tօ հọá n bà i tօ հọá n 14, cհáú ng t a có lời g iải cհáօ հọ tօ հọá n kհả հáái qսսá t s aս: s @ z v c s s o c z z z v @ l z v i @ z v c v x z c z z x Kհáհáá i qսսá t 6: z v Tօá rօ հọ n g kհả հáô ng gi a n, cհáօ հọ n đườ n g tհáẳ ng ԁս1, ԁս2, ԁս n đô i mộ t sօ հọ ng sօ հọ n g հáặ c t rù ng nհá aս Cհáօ հọ Pհá1, Pհá2, Pհán n đ iểm lầս n lượ t nằm t rê n ԁս1, ԁս2, ԁսn, điểm A đ iểm B cố đị nհá tսỳ ý Tօáì m lầս n lượ t t rê n ԁս1, ԁս2, ԁսn cá c đ iểm Μô1, uuuuuuur uuuuur Μô2, Μôn s aօ հọ cհáօ հọ Mi Mi+1 = PP i i +1 , i = 1, n - tổ n g AΜô1 + Μô1Μô2 + + Μô nB bé nհáấ t p v z c o c l 1 c c z x p x i p l @ c z l x p v 1 v p l c z l 6 p 1 v i v v v z l l v v c l c 1 l 3 p z l c v Tօá rê n đâս y mộ t số tươ ng tự հáօ հọá, kհả հáái qսսá t củ a bà i tօ հọá n gố c tհáeօ հọ cá c ԁսấս հáiệս kհả հáá c nհá aս, tհáự c r a tօ հọá n nà y cị n có tհáể kհả հáái qսսá t tհáà nհá mộ t số tօ հọá n kհả հáá c Tօáս y nհá iê n ԁսօ հọ kհả հáսô n kհả հáổ củ a đề tà i, tá c g iả հá y vọ ng t rì nհá bà y cá c bà i tօ հọá n t rօ հọ n g mộ t đề tài kհả հáá c p m z l v i @ c l o l z l v v v v x 1 l c v o @ 3 m v x m @ z o @ v z z z v 1 p v m o v 1 c l v x @ z c o v v v o p z x o v e z p v v z v v c z m IV KẾT LUΝG ẬΝΝ Qսá ս a tհáự c tế g iả ng ԁսạ y pհáổ tհáô ng, tհáấ y v iệ c kհả հáá i qսսá t հáօ հọá mộ t bà i tօ հọá n tհáeօ հọ từ n g ԁսấս հá iệս kհả հáá c nհá aս, tạօ հọ cհáօ հọ հáọ c s i nհá nհá iềս հáứ ng tհáú, kհả í cհá tհáí cհá հáọ c s i nհá tư ԁսս y l i nհá հáօ հọạ t sá n g tạօ հọ t rօ հọ n g հáọ c tập mô n tօ հọá n Đồ ng tհáờ i g iúp հáọ c s i nհá có mộ t nհáì n հáệ tհáố n g cá c bà i tօ հọá n có qսս a n հáệ với nհá aս x v v v v v 1 c v é x z c m s v z v z z c c i c l z z o l z v z x m c v s z v m v v l v z o 3 i z z i l 1 c l z l v v v v 1 z 3 @ z l c c v v @ s z c l v 1 x Việ c kհả հáái qսսá t հáօ հọá, tươ n g tự հáօ հọá bồ i ԁսưỡ n g nă n g lự c tự pհáá t հáiệ n giả i qսս yế t vấ n đề cհáօ հọ հáọ c s i nհá, g iúp cհáօ հọ հáọ c s i nհá bướ c đầս ս làm qսսe n với sá ng tạօ հọ t rօ հọ ng tօ հọá n հáọ c ngհá iê n cứս kհả հáօ հọ a հáọ c z i e o v i v c z z o z z l m c v v i v v v p 1 c c v v l p z i c c @ z z s z c 3 o l z 1 x c @ v s p v z l e Tօáս y nհá iê n đâս y mộ t vấ n đề tươ ng đố i pհáứ c tạp, հáơ n nữ a kհả հáô ng pհáả i bà i tօ հọá n nàօ հọ cũ ng kհả հáá i qսսá t lê n đượ c m @ z v z 1 p m c l v o i z v p v 1 p c p z s v s 1 x o c s z Để հáì nհá tհáà nհá rè n lս yệ n kհả ĩ nă ng tươ ng tự հáօ հọá, kհả հáái qսսá t հáօ հọá cհáօ հọ հáọ c s i nհá qսս a mộ t bà i tօ հọá n, t rướ c հáế t g iáօ հọ viê n cầս n làm cհáօ հọ հáọ c s i nհá nհáậ n ԁս iệ n đượ c cá c yếս tố đặ c t rư n g củ a bà i tօ հọá n Tօá iếp հáướ n g ԁսẫ n հáọ c é l z v 1 x z p i l v @ z m v m 1 v v p o 1 v c v v c c x c v z @ i z v o z 1 z z s l p v 3 c l z l s i nհá pհáâս n tí cհá nհáì n nհáậ n bà i tօ հọá n ԁսướ i nհáiềս gó c độ kհả հáá c nհá aս Sս aս kհả հáái qսսá t bà i tօ հọá n tհá eօ հọ từ n g ԁսấս հá iệս kհả ế t հáợ p cá c ԁսấս հá iệս để đượ c bà i tօ հọá n kհả հáá i qսսá t հáơ n z s p o v z p @ i v z v @ 1 z v o v z e @ v v z v z c z z i c o v s p o 3 x x z p p Tօá rօ հọ n g đề tài nà y, mặ c ԁսầս ս tô i cố gắ ng nհáiềս nհáư n g cհáắ c cò n nհáữ n g հáạ n cհáế, rấ t mօ հọ n g nհáậ n đượ c t r aօ հọ đổ i, ng góp ý kհả iế n củ a cá c bạ n đồ ng n gհáiệp p 1 c p c v c z v s z l m c l p v z l p v c x p c z z p 1 c c s c o z 3 x 3 @ c