Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ (Phần I) Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC Cho hàm số ( ) xfy = ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau: Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm ( ) ( ) 0 0 ;M x y C∈ . − Tính đạo hàm và giá trị ( ) 0 'f x . − Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) 0 0 0 'y f x x x y= − + . Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm ( ) ( ) 0 0 ;M x y C∈ có hệ số góc ( ) 0 'k f x= . Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k . − Giải phương trình: ( ) 'f x k= , tìm nghiệm 0 0 x y⇒ . − Phương trình tiếp tuyến dạng: ( ) 0 0 y k x x y= − + . Chú ý: Cho đường thẳng : 0Ax By C∆ + + = , khi đó: − Nếu ( ) // :d d y ax b∆ ⇒ = + ⇒ hệ số góc k = a. − Nếu ( ) :d d y ax b⊥ ∆ ⇒ = + ⇒ hệ số góc 1 k a = − . Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm ( ) ( ) ; A A A x y C∉ . − Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó ( ) ( ) : A A d y k x x y= − + − Điều kiện tiếp xúc của ( ) ( ) à d v C là hệ phương trình sau phải có nghiệm: ( ) ( ) ( ) ' A A f x k x x y f x k = − + = Tổng quát: Cho hai đường cong ( ) ( ) :C y f x= và ( ) ( ) ' :C y g x= . Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm. ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f x g x f x g x = = . 1. Cho hàm số 4 2 2y x x= − a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): i. Tại điểm có hoành độ 2x = . ii. Tại điểm có tung độ y = 3. iii. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: 1 : 24 2009 0d x y− + = . iv. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: 2 : 24 2009 0d x y+ + = . 2. Cho hàm số 2 3 1 x x y x − − + = + có đồ thị là (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): i. Tại giao điểm của (C) với trục tung. ii. Tại giao điểm của (C) với trụng hoành. iii. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;−1). iv. Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = −13. 3. Cho hàm số 2 1 1 x x y x − − = + có đồ thị (C). Thái Thanh Tùng 1 Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0. c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0. d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C). 4. Cho hàm số 2 3 3 1 x x y x + + = + có đồ thị (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C). b. Chứng minh rằng qua điểm M(−3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. 5. Cho hàm số: 2 1 x y x = − có đồ thị (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm M ∈ (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua M và tâm đối xứng của (C). 6. Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + 1 có đồ thị (C m ). Tìm m để (C m ) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C m ) tại B và C vuông góc với nhau. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C m ) là: x 3 + mx 2 + 1 = – x + 1 ⇔ x(x 2 + mx + 1) = 0 (*) Đặt g(x) = x 2 + mx + 1 . d cắt (C m ) tại ba điểm phân biệt ⇔ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0. ( ) 2 4 0 2 2 0 1 0 g m m m g ∆ = − > > ⇔ ⇔ < − = ≠ . Vì x B , x C là nghiệm của g(x) = 0 1 B C B C S x x m P x x = + = − ⇒ = = . Tiếp tuyến của (C m ) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: ( ) ( ) 1 C B f x f x ′ ′ = − ( ) ( ) 3 2 3 2 1 B C B C x x x m x m⇔ + + = − ( ) 2 9 6 4 1 B C B C B C x x x x m x x m ⇔ + + + = − ( ) 2 1 9 6 4 1m m m ⇔ + − + = − 2 2 10m⇔ = 5m⇔ = ± (nhận so với điều kiện) 7. Cho hàm số 2 1x y x + = . Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc. Lời giải: Gọi M(x 0 ;y 0 ). Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là y = k(x – x 0 ) + y 0 . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: ( ) ( ) 2 0 0 1 , 0 x k x x y kx x + = − + ≠ ( ) ( ) ( ) 2 0 0 1 1 0 *k x y kx x⇔ − − − + = d tiếp xúc với (C): ( ) ( ) 2 0 0 1 4 1 0 k y kx k ≠ ⇔ ∆ = − − − = ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 2 2 4 0 I k x k x y k y y kx ≠ ⇔ + − + − = ≠ Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với nhau khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: 1 2 1 2 , 1 1 k k k k ≠ = − ( ) 0 2 0 2 0 2 0 0 0 4 1 0 x y x y x ≠ − ⇔ = − − ≠ 0 2 2 0 0 0 0 0 4 x x y y x ≠ ⇔ + = ≠ . Thái Thanh Tùng 2 Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn: 2 2 4x y+ = loại bỏ bốn giao điểm của đường tròn với hai đường tiệm cận. 8. Cho hàm số 2 1 x y x = + . (ĐH Khối−D 2007) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác OAB bằng 1 4 ĐS: 1 ; 2 2 M − − ÷ và ( ) 1;1M . 9. Cho hàm số 2 1 2 x x y x + − = + . (ĐH Khối−B 2006) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên. ĐS: b. 2 2 5y x= − ± − . 10. Gọi (C m ) là đồ thị của hàm số: 3 2 1 1 3 2 3 m y x x= − + (*) (m là tham số). (ĐH Khối−D 2005) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2. b. Gọi M là điểm thuộc (C m ) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại M song song với đường thẳng 5 0x y− = ĐS: m=4. 11. Cho hàm số ( ) 3 2 3 3 m y x mx x m C= − − + . Định m để ( ) m C tiếp xúc với trục hoành. 12. Cho hàm số ( ) ( ) 4 3 2 1 m y x x m x x m C= + + − − − . Định m để ( ) m C tiếp xúc với trục hoành. 13. Cho đồ thị hàm số ( ) 2 4 : 1 x C y x − = + . Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được một tiếp tuyến đến (C). 14. Cho đồ thị hàm số ( ) 3 2 : 3 4C y x x= − + . Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C). 15. Cho đồ thị hàm số ( ) 4 2 : 2 1C y x x= − + . Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C). 16. Cho đồ thị hàm số ( ) 3 : 3 2C y x x= − + . Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C). 17. Cho hàm số y = 4x 3 – 6x 2 + 1 (1) (ĐH Khối−B 2008) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9). Lời giải: a. D=R, y’ = 12x 2 – 12x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = 1. BBT : b. Tiếp tuyến qua M(−1;−9) có dạng y = k(x + 1) – 9. Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng : Thái Thanh Tùng x −∞ 0 1 +∞ y' + 0 − 0 + y 1 +∞ −∞ −1 3 CĐ CT f(x)=4x^3-6x^2+1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -6 -4 -2 2 x y 32 461 yxx =−+ Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số 4x 3 – 6x 2 + 1 = (12x 2 – 12x)(x + 1) – 9. ⇔ 4x 3 – 6x 2 + 10 = (12x 2 – 12x)(x + 1) ⇔ 2x 3 – 3x 2 + 5 = 6(x 2 – x)(x + 1). ⇔ x = –1 hay 2x 2 – 5x + 5 = 6x 2 – 6x ⇔ x = –1 hay 4x 2 – x – 5 = 0. ⇔ x = –1 hay x = 5 4 ; y’(−1) = 24; 5 15 ' 4 4 y = ÷ . Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = 15 4 x 21 4 − . Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm sô ( ) xfy = ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ: − Nghiệm của phương trình ( ) ' 0f x = là hoành độ của điểm cực trị. − Nếu ( ) ( ) 0 0 ' 0 '' 0 f x f x = < thì hàm số đạt cực đại tại 0 x x= . − Nếu ( ) ( ) 0 0 ' 0 '' 0 f x f x = > thì hàm số đạt cực tiểu tại 0 x x= . Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp − Để hàm số ( ) y f x= có 2 cực trị ' 0 0 y a ≠ ⇔ ∆ > . − Để hàm số ( ) y f x= có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành . 0 CĐ CT y y⇔ < . − Để hàm số ( ) y f x= có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung . 0 CĐ CT x x⇔ < . − Để hàm số ( ) y f x= có hai cực trị nằm phía trên trục hoành 0 . 0 CĐ CT CĐ CT y y y y + > ⇔ > . − Để hàm số ( ) y f x= có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành 0 . 0 CĐ CT CĐ CT y y y y + < ⇔ > . − Để hàm số ( ) y f x= có cực trị tiếp xúc với trục hoành . 0 CĐ CT y y⇔ = . Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Dạng 1: hàm số 3 2 y ax bx cx d= + + + Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. Dạng 2: Hàm số 2 ax bx c y dx e + + = + Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng ( ) ( ) 2 ' 2 ' ax bx c a b y x dx e d d + + = = + + 1. Chứng minh rằng hàm số y = ( ) 2 2 4 1 1x m m x m x m + − − + − luôn có có cực trị với mọi m. Tìm m sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x. 2. Cho hàm số ( ) 3 2 1 2 1 3 y x mx m x= − + + − . Định m để: a.Hàm số luôn có cực trị. b.Có cực trị trong khoảng ( ) 0;+∞ . c.Có hai cực trị trong khoảng ( ) 0;+∞ . Thái Thanh Tùng 4 Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số 3. Định m để hàm số ( ) 3 2 2 2 3 1 2 4y x mx m x b ac= − + − + − đạt cực đại tại x = 2. 4. Cho hàm số y = x 3 −3x 2 +3mx+3m+4. a.Khảo sát hàm số khi m = 0. b.Định m để hàm số không có cực trị. c.Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu. 5. Cho hàm số 3 2 3 9 3 5y x mx x m= − + + − . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy. 6. Cho hàm số ( ) 2 1 1x m x m y x m + + − + = − . Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành. 7. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2y x m x m x m= + − + − + + . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. 8. Cho hàm số 2 2 2 1 3x mx m y x m + + − = − . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục tung. 9. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 2 1 2 3 m y x mx m x m C= − + − − + . Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương. 10. Cho hàm số ( ) 2 2 2 1 4 2 x m x m m y x + + + + = + (1). (ĐH Khối−A năm 2007) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=−1. b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O. ĐS: 4 2 6m = − ± . 11. Cho hàm số ( ) 3 2 2 2 3 3 1 3 1y x x m x m= − − + − − − (1), m là tham số. (ĐH Khối−B năm 2007) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1. b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ. ĐS : b 1 2 m = ± . 12. Cho hàm số ( ) 4 2 2 9 10y mx m x= + − + (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1. b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. (ĐH Khối−B năm 2002) a. f(x)=x^4-8x^2+10 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 -20 -15 -10 -5 5 10 x y b. ĐS : 3 0 3 m m < − < < 13. Gọi (C m ) là đồ thị của hàm số ( ) 2 1 1 1 x m x m y x + + + + = + (*) (m là tham số) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1. Thái Thanh Tùng 5 Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (C m ) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . a. f(x)=x+1+1/(x+1) f(x)=x+1 x(t)=-1 , y(t)=t -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 x y b. CĐ(−2;m−3), CT(0;m+1)⇒ 20MN = =L Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN − NGHỊCH BIẾN Cho hàm sô ( ) xfy = có tập xác định là miền D. − f(x) đồng biến trên D ( ) Dxxf ∈∀≥⇔ ,0' . − f(x) nghịch biến trên D ( ) Dxxf ∈∀≤⇔ ,0' . (chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D) Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: ( ) 2 f x ax bx c= + + . 1. Nếu 0∆ < thì f(x) luôn cùng dấu với a. 2. Nếu 0∆ = thì f(x) có nghiệm 2 b x a = − và f(x) luôn cùng dấu với a khi 2 b x a ≠ − . 3. Nếu 0∆ > thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu với a. So sánh nghiệm của tam thức với số 0 * 1 2 0 0 0 0 x x P S ∆ > < < ⇔ > < * 1 2 0 0 0 0 x x P S ∆ > < < ⇔ > > * 1 2 0 0x x P< < ⇔ < 1. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 3 1 3 1 1y x m x m x= − + + + + . Định m để: a. Hàm số luôn đồng biến trên R. b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng ( ) 2;+∞ . 2. Xác định m để hàm số 3 2 2 1 3 2 x mx y x= − − + . a. Đồng biến trên R. b. Đồng biến trên ( ) 1; +∞ . 3. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 3 2 1 12 5 2y x m x m x= − + + + + . a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 2;+∞ . b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) ; 1−∞ − . 4. Cho hàm số 2 6 2 2 mx x y x + − = + . Định m để hàm số nghịch biến trên [ ) +∞;1 . Thái Thanh Tùng 6 Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C 1 ) và y=g(x) có đồ thị (C 2 ). Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 ) tương đương với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1). (1) vô nghiệm ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm chung. (1) có n nghiệm ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) có n điểm chung. (1) có nghiệm đơn x 1 ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại N(x 1 ;y 1 ). (1) có nghiệm kép x 0 ⇔ (C 1 ) tiếp xúc (C 2 ) tại M(x 0 ;y 0 ). 1. Cho hàm số ( ) 2 1 1 x y x − = + có đồ thị là (C). a.Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. b.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( ) 2 2 1 0x m x m− + − + = . 2. Cho hàm số ( ) ( ) 2 2 1 1y x x= + − có đồ thị là (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên. b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( ) 2 2 1 2 1 0x m− − + = . 3. Cho hàm số 3 2 4y x kx= + − . a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3. b. Tìm các giá trị của k để phương trình 3 2 4 0x kx+ − = có nghiệm duy nhất. 4. Cho hàm số 3 3 2y x x= − + . (ĐH Khối−D 2006) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. ĐS: b. 15 , 24 4 m m> ≠ . 5. Cho hàm số ( ) 2 3 3 2 1 x x y x − + − = − (1) (ĐH Khối−A 2004) a. Khảo sát hàm số (1). b. Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1. ĐS: b. 1 5 2 m ± = . 6. Cho hàm số 2 1 mx x m y x + + = − (*) (m là tham số) (ĐH Khối−A 2003) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=−1. b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. ĐS: b. 1 0 2 m− < < . 7. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 2 4 2 x x y x − + = − (1). (ĐH Khối−D 2003) b. Tìm m để đường thẳng : 2 2 m d y mx m= + − cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. ĐS: m>1. 8. Cho hàm số y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 )x + m 3 − m 2 (1) (m là tham số) (ĐH Khối−A 2002) Thái Thanh Tùng 7 Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm k để phương trình − x 3 + 3x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). ĐS: b. 1 3 0 2 k k k − < < ≠ ∧ ≠ , c. 2 2y x m m= − + . Thái Thanh Tùng 8