luận văn thạc sĩ định lý bolzano cho ánh xạ chỉnh hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRUNG CHÁNH ĐỊNH LÝ BOLZANO CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2021 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRUNG CHÁNH ĐỊNH LÝ BOLZANO CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG Bình Định - 2021 download by : skknchat@gmail.com Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương Một số kiến thức sở Giải tích phức 1.1 1.2 Một số vấn đề hàm chỉnh hình biến 1.1.1 Khái niệm tính chất 1.1.2 Các định lý nguyên lý Một số vấn đề ánh xạ chỉnh hình nhiều biến 1.2.1 Khái niệm tính chất 1.2.2 Các định lý nguyên lý 10 Chương Định lý Bolzano hàm chỉnh hình 2.1 12 Sự tồn khơng điểm hàm chỉnh hình 12 2.1.1 Một điều kiện đơn giản cho tồn không điểm 12 2.1.2 Các điều kiện Hadamard-Shih cho tồn khơng điểm hình tròn 2.1.3 15 Các điều kiện Poincaré-Miranda cho tồn khơng điểm hình chữ nhật i download by : skknchat@gmail.com 18 luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh 2.2 Tính khơng điểm hàm chỉnh hình 23 2.2.1 Cấp không điểm hàm chỉnh hình 23 2.2.2 Điều kiện Hadamard-Shih ngặt biên miền bị chặn 25 2.2.3 Điều kiện Poincaré-Miranda ngặt biên hình chữ nhật Chương Định lý Bolzano ánh xạ chỉnh hình 26 29 3.1 Bậc Brouwer số ứng dụng cho ánh xạ chỉnh hình 29 3.2 Các điều kiện Hadamard-Shih cho ánh xạ chỉnh hình 32 3.3 Các điều kiện Poincaré-Miranda cho ánh xạ chỉnh hình 34 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 ii luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU K : Trường số thực R số phức C C : Mặt phẳng phức R : Trường số thực pq dB rf, Ω, z s Jf z : Ma trận Jacobi f z : Bậc Brouwer f Ω z luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh MỞ ĐẦU r sÑR Định lý Bolzano phát biểu rằng, hàm số liên tục f : a, b r s nhận giá trị trái dấu a b triệt tiêu a, b Khụng mt tớnh p q Ô Ô f pbq tổng quát, ta giả sử f a r s Nếu ta xét a, b hình cầu R với tâm c r  a b bán kính  b
2 a điều kiện Bolzano viết cách tương đương sau px
cqf pxq ¥ |
c|  r với x (1) Một tổng quát n-chiều Định lý Bolzano bao gồm việc xem xét p q Ñ Rn, với B pc, rq hình cầu mở tâm c P Rn, bán ánh xạ liên tục f : B c, r kính r ¡ tổng quát điều kiện (1) dạng xx
c, f pxqy ¥ }
c}  r, với x (2) x, y }  } tương ứng ký hiệu tích (vô hướng) thông thường chuẩn Euclide Rn Trong chứng minh Định lý điểm bất động Brouwer (được giới thiệu vào năm 1910 [5]), cách sử dụng mở rộng cho tích phân Kronecker cho hàm số liên tục, Hadamard chứng tỏ điều kiện (2) kéo theo p q tồn không điểm f B c, r Điều xem mở rộng n-chiều Định lý Bolzano luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh Một mở rộng khác xem xét khối hộp mở P  pa1, b1q  pa2, b2q      pan, bnq  pf1, , fnq : P Ñ Rn mở rộng điều kiện Bolzano cách yêu cầu rằng, với j  1, , n, ta cú fj Ô x P P xj  aj ; fj ¥ x P P xj  bj Về mặt hình học, tập Rn , ánh xạ liên tục f mặt đối diện P Khi f có khơng điểm P điều kiện phát biểu chứng minh Poincaré vào năm 1883 [12] sử dụng học thiên thể Vì lịch sử phức tạp (xem, chẳng hạn [8]), kết thường gọi định lý Poincaré-Miranda, chứng minh gần tìm thấy [6, 10] Một phiên Định lý Bolzano cho hàm biến phức f chỉnh hình lân cận mở, bị chặn phù hợp Ω € C đặt Mau-Hsiang Shih [15] Ông ta chứng minh f có không điểm Ω r p qs ¡ BΩ Chứng minh ông ta dựa Định lý Rouché áp dụng cho hàm số f g với g pz q  αpz q α  inf z PBΩ Rerzf pz qs{ supz PBΩ |z |2 Re zf z Với ý r p qs  Rez  Ref pzq Re zf z  pq Imz Imf z , điều kiện Shih điều kiện Hadamard với c  dấu bất đẳng thức nghiêm ngặt Mục tiêu Luận văn nghiên cứu phiên Định lý Bolzano ánh xạ chỉnh hình từ miền Cn nhận giá trị Cn , n luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com ¥ 1, luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh vài áp dụng Luận văn tập trung giải toán sau: Nghiên cứu tồn không điểm hàm chỉnh hình hình cầu hình chữ nhật mặt phẳng phức điều kiện dấu biên Áp dụng kết tốn nói liên quan đến định lý điểm bất động Brouwer hàm chỉnh hình Mở rộng định lý Bolzano cho trường hợp ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức hữu hạn chiều Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành ba chương Chương 1: Dành cho việc nhắc lại số kiến thức sở giải tích phức, số vấn đề hàm chỉnh hình biến ánh xạ chỉnh hình nhiều biến, nhắc lại khái niệm phép đồng luân, số kết điểm bất động Brouwer ánh xạ liên tục mà chúng phục vụ cho chương Luận văn Chương 2: Bao gồm kết Định lý Bolzano hàm chỉnh hình, tồn khơng điểm hàm chỉnh hình, tính nghiệm hàm chỉnh hình, điều kiện Hadamard-Shih, điều kiện Poincaré-Miranda Chương 3: Trình bày Định lý Bolzano ánh xa chỉnh hình, điều kiện Hadamard-Shih, điều kiện Poincaré-Miranda ánh xạ chỉnh hình luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy PGS TS Thái Thuần Quang, Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê, quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Tốn giải tích khóa 22 giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh Chương Một số kiến thức sở Giải tích phức Nhắc lại số kiến thức sở giải tích phức, số vấn đề hàm chỉnh hình biến ánh xạ chỉnh hình nhiều biến, nhắc lại khái niệm phép đồng luân, số kết điểm bất động Brouwer ánh xạ liên tục mà chúng phục vụ cho chương Luận văn 1.1 1.1.1 Một số vấn đề hàm chỉnh hình biến Khái niệm tính chất Ký hiệu K trường số thực R phức C Chúng sử dụng ký hiệu sau: • Phần thực z • Phần ảo z P C ký hiệu Rez P C ký hiệu Imz • Một miền Ω C tập mở liên thông Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f xác định miền Ω lim ∆z Ñ0 p f z q
f pzq , ∆z ∆z z, z ∆z € C Xét giới hạn P Ω luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.3 Bổ đề 2.2.5 ta có p ¸ j 1 p mj  1,  1, m1   Giống trường hợp điều kiện không ngặt, từ Định lý 2.2.6, ta có phiên sau Định lý điểm bất động Brouwer Hệ 2.2.7 Nếu h : Ω Đ C hàm chỉnh hình hpB∆q € ∆ h có điểm bất động ∆ 2.2.3 Điều kiện Poincaré-Miranda ngặt biên hình chữ nhật Với ký hiệu P, Pa , Pb , P c , P d đinh nghĩa mục 2.1.3, w tâm hình chữ nhật ρ xây dựng (2.9), ta có Bổ đề 2.2.8 Nếu f hàm chỉnh hình Ω  P thỏa mãn p q   0, với z P Pa, Ref pzq ¡ 0, với z P Pb, (i) Ref z p q   0, với z P P c, Imf pzq ¡ 0, với z P P d, » 1 f pz q  2πi ρ f pz q (ii) Imf z Chứng minh Ta định nghĩa F : Ω  r0, 1s Ñ C xác định p q  p1
λqpz
wq F z, λ pq λf z Khi F thỏa mãn điều kiện Mệnh đề 2.2.4 với λ p q  p1
λq
λRef z < 0, pq @z P P a , p q  p1
λq
λRef z > 0, pq @z P P b , • ReF z, λ • ReF z, λ a b b a 26 luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com P r0, 1s ta có luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh p q  p1
λq
λImf z < 0, pq @z P P c , p q  p1
λq
λImf z > 0, pq @z P P d c d • ImF z, λ d c • ImF z, λ p q pq  pq  p qPB r s B p q  p q Khi F z, λ với z, λ P 0, , theo Mệnh đề 2.2.4 ta có » » » 1 f z z F z, z F z, dz dz dz 2πi ρ f z 2πi ρ F z, 2πi ρ F z, (2.14) » dz 2πi ρ z w B p q p q
Ngoài ra, theo Mệnh đề 2.1.4, ta có 2πi »
w  dz ρ z » dz 2πi Bγw,r z w
 Từ (2.14) (2.15) ta có điều cần chứng minh (2.15)  Định lý 2.2.9 ([7]) Nếu p q   0, với z P Pa, Ref pzq ¡ 0, với z P Pb, (i) Ref z p q   0, với z P P c, Imf pzq ¡ 0, với z P P d, (ii) Imf z f có khơng điểm cấp P Chứng minh Việc chứng minh Định lý 2.2.9 tương tự Định lý 2.2.6, thay  Bổ đề 2.2.5 Bổ đề 2.2.8 p q  e
z với z P C Ví dụ 2.2.10 Cho h z P  tz P C : Rez P p0, 1q, Imz P p
1, 1qu p q  e
x cos y, Imhpzq 
e
x sin y, Khi Reh z 27 luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh z P P0 ủ cos Ô Rehpzq Ô 1,
sin Ô Imhpzq Ô sin 1, z P P1 ủ e
1 cos Ô Rehpzq Ô e
1,
e
1 sin Ô Imhpzq Ô e
1 sin 1, z P P
1 ủ e
1 cos Ô Rehpzq Ô cos 1, e
1 sin Ô Imhpzq Ô sin 1, P P ủ e
1 cos Ô Rehpzq Ô cos 1,
sin Ô Imhpzq Ô
e
1 sin 1, Do hpB P q € P tồn z0 P P cho z0  e
z z Cũng giống trường hợp điều kiện khơng ngặt, từ Định lý 2.2.9 ta có hệ Hệ 2.2.11 Nếu h : Ω Ñ C hàm chỉnh hình thỏa mãn hpBP q € P h có điểm bất động P 28 luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh Chương Định lý Bolzano ánh xạ chỉnh hình Chương trình bày số kết Định lý Bolzano ánh xạ chỉnh hình, điều kiện Hadamard-Shih, điều kiện Poincaré-Miranda ánh xạ chỉnh hình 3.1 Bậc Brouwer số ứng dụng cho ánh xạ chỉnh hình Cho Ω tập mở Cn , xét ánh xạ chỉnh hình f : Ω phần f1 , f2 , , fn , từ định nghĩa [4], với a pq tuyến tính L a : Cn Đ Cn với thành P Ω ta tìm ánh xạ Đ Cn cho }f pzq
f paq
Lpaqpz
aq}  lim z Ña }z
a} Điều cho ta tương đương f với ánh xạ khác Ω cho z  pz1, z2, , znq  px1 Bx fk  1i By fk p: Bz fk q, j Khi n j j iy1 , x2 j, k iy2 , , xn q iyn ,  1, 2, , n ¥ 1, khó sử dụng mở rộng n-chiều định lý Cauchy Chương cách tiếp cận Chương mở rộng với việc sử dụng 29 luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh bậc Brouwer cho ánh xạ chỉnh hình từ Cn vào Cn mà coi ánh xạ từ R2n vào R2n Cho D tập mở, bị chặn Rn , f P C 2pD, Rnq cho R f pBDq số ε0 , µ0 thỏa mãn   ε0   µ0   }f } BD (3.1) Định nghĩa 3.1.1 Bậc Brouwer f D định nghĩa r dB f, D c s » } p q} p q c f x Jf x dx, D P C pr0, 8q, Rq cho suppc € rε0, µ0s Mệnh đề 3.1.2 Nếu D1 Rn } }  c x dx € D tập mở, bị chặn R f pDzD1q r dB f, D Đặc biệt, ³ (3.2) s  dB rf, D1s R f pDq dB rf, Ds  € Rn tập mở, bị chặn, f P C 2pD, Rnq z R f pB Dq, bậc Brouwer f D z, ký hiệu dB rf, D, z s định nghĩa Định nghĩa 3.1.3 Nếu D r dB f, D, z r Dễ thấy dB f, D s  dB rf p.q
z, Ds s  dB rf, D, 0s Kết sau chứng minh [13] Ñ Cn chỉnh hình Ω, D tập mở, bị chặn Ω R f pB Dq, bậc Brouwer dB rf, D, 0s số nguyên dương P f pDq Mệnh đề 3.1.4 Nếu Ω tập mở Cn , ánh xạ f : Ω 30 luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh Các thuộc tính hệ định nghĩa bậc Brouwer kiện sau: pq trận Jacobi f z P Ω (xét theo đạo hàm riêng Bz fk pz qq, Jfˆpxq ma trân Jacobi fˆ x  px1 , y1 , x2 , y2 , , xn , yn q (xét theo đạo hàm riêng Bx Refk pxq, Bx Imfk pxq, By Refk pxq, By Imfk pxqq, ta có Nếu ký hiệu fˆ : Ω € R2n Ñ R2n ánh xạ liên kết với f , Jf z ma j j j j j Jfˆpxq  |Jf pzq|2 ¥ 0, pzq  với số ε đủ bé, khác Lưu ý rằng, với n  γ C -chu tuyến trơn khúc, ranh giới Jf εI D, r dB f, D, s 2π » γ pq pq f1 z dz, f z Mệnh đề 2.2.3 nói f có D số hữu hạn khơng điểm cô lập a1 , a2 , , ap r s dB f, D, mj cấp aj , j p ¸ j 1 mj ¥ p, (3.3)  1, 2, , p Mở rộng sau kết cho ánh xạ chỉnh hình từ Cn vào Cn chứng minh [13] Mệnh đề 3.1.5 Với điều kiện cho f : Ω r € Cn Ñ Cn D € Ω tập s mở, bị chặn, dB f, D, lớn số lượng không điểm cô lập f D Mệnh đề 3.1.6 Với điều kiện cho f : Ω € Cn Ñ Cn D € Ω r s  f có khơng điểm ξ D Jf pξ q  tập mở, bị chặn, dB f, D, 31 luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh 3.2 Các điều kiện Hadamard-Shih cho ánh xạ chỉnh hình Các kết phần trước cung cấp chứng minh đơn giản mở rộng định lý Bolzano cho hàm chỉnh hình từ Cn vào Cn đưa Shih [14] Định lý 3.2.1 ([7]) Cho Ω tập mở Cn , f : Ω chỉnh hình Ω, D tập mở, bị chặn D € Ñ C n ánh xạ Ω, giả sử tồn số c1 , c2 , , cn D, cho n ¸ j 1 rp
cj qfj pzqs ¡ 0, @z P BD Re zj (3.4) Khi f có khơng điểm D không điểm không suy biến Chứng minh Xét phép đồng luân H : D  r0, 1s Ñ Cn xác định p q  p1
λqpz
cq H z, λ pq λf z Theo giả thiết (3.4), ta có p q  z
c  0, p q  f pzq  0, @z P BD H z, H z, p q P BD  p0, 1q, Hơn nữa, với z, λ n ¸ j 1 n ¸ rp
cj qHj pz, λqs  tp1
λq|zj
cj |2 Re zj j 1 rp
cj qfj pzqsu ¡ 0, λRe zj p q  Theo tính chất bất biến đồng luân bậc Brouwer ta có H z, λ r s  dB rI, D, 0s  1, dB f, D, theo Mệnh đề 3.1.6 ta có điều cần chứng minh 32 luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com  luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh Chúng ta có kết luận tồn khơng điểm Định lý 2.2.6 với giả thiết bất đẳng thức không ngặt Định lý 3.2.2 ([7]) Cho Ω tập mở Cn , f : Ω Ω, D tập mở, bị chặn D Ñ Cn ánh xạ chỉnh hình € Ω, giả tồn số c1, c2, cn D, cho n ¸ j 1 rp
cj qfj pzqs ¥ 0, @z P BD Re zj Khi f có khơng điểm D Chứng minh Với số nguyên dương k, xét ánh xạ fk : Ω p q  k1 pz
cq fk z Ñ Cn xác định pq f z Ta thấy fk thỏa mãn giả thiết Định lý 3.2.1 Do đó, với k ¥ 1, fk có P D Theo định lý Bolzano-Weierstrass, tồn dãy pzk qnPN hội tụ z  P D Cho n Đ đẳng thức khơng điểm zk n p q  p
cq zk kn n f zkn p q  ta f z   Tương tự n = 1, suy từ Định lý 3.2.1 - 3.2.2, phiên tương ứng Định lý điểm bất động Brouwer Hệ 3.2.3 Cho Ω tập mở Cn , h : Ω Ω, D tập mở, lồi, bị chặn D Ñ C n ánh xạ chỉnh hình € Ω, pB q € D h có điểm bất động D (2) Nếu hpB Dq € D h có điểm bất động D (1) Nếu h D 33 luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh 3.3 Các điều kiện Poincaré-Miranda cho ánh xạ chỉnh hình Tiếp theo xem xét tổng quát Định lý 2.2.9 Cho aj bj , cj p Ô j ¤ nq, ta định nghĩa tập mở dj P  tz P Cn : Rezj P paj , bj q, Imzj P pcj , dj q, j  1, 2, , nu € Cn Định lý 3.3.1 ([7]) Cho Ω P tập mở Cn f : Ω chỉnh hình Ω cho với j (3.5) Ñ Cn ánh xạ  1, 2, , n, p q   0, @z P P , Rezj  aj , p q ¡ 0, @z P P , Rezj  bj , p q   0, @z P P , Imzj  cj , p q ¡ 0, @z P P , Imzj  dj Refj z Refj z Imfj z Imfj z (3.6) Khi f có không điểm P không điểm không suy biến Chứng minh Đặt w  21 ra1 b1 p i c1 q d1 , , an tâm P, xét phép đồng luân H : P p q  p1
λqpz
wq p i cn dn qs  r0, 1s  Cn Ñ Cn xác định pq H z, λ bn λf z , z P P , λ P r0, 1s 34 luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh Từ giả thiết (3.6) cách xây dựng w, với j p q   0, @z P P , Rezj  aj , p q ¡ 0, @z P P , Rezj  bj , p q   0, @z P P , Imzj  cj , p q ¡ 0, @z P P , Imzj  dj p q   0, @z P P , Rezj  aj p q ¡ 0, @z P P , Rezj  bj , p q   0, @z P P , Imzj  cj , p q ¡ 0, @z P P , Imzj  dj p q   0, @z P P , Rezj  aj , p q ¡ 0, @z P P , Rezj  bj , p q   0, @z P P , Imzj  cj , ReHj z, ReHj z, ImHj z, ImHj z, ReHj z, ReHj z, ImHj z, ImHj z, với λ  1, 2, , n, ta có P p0, 1q ta có ReHj z, λ ReHj z, λ ImHj z, λ p q ¡ 0, @z P P , Imzj  dj Từ ta thấyH pz, λq  0, @pz, λq P B P  r0, 1s Sự bất biến đồng luân bậc ImHj z, λ Brouwer cho ta r s  dB rI
w, P, 0s  1, dB f, P, theo Mệnh đề 3.1.6 ta có điều cần chứng minh  Từ Định lý 3.3.1, suy “thuộc tính giá trị trung gian” cho f P 35 luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh Cho j  1, 2, , n, Aj  zPP,Rez max a Refj ,  zPP,Imz max c Imfj , j Cj Bj j j  zPP,Rez b j Bj j Refj , j  zPP,Imz d j Imfj , j đặt Q  tw P Cn : Rewj P pAj , Bj q, Imwj P pCj , Dj q, j  1, 2, , nu (3.7) P Q, phương trình f pz q  w có nghiệm P Hơn nữa, f : f
1 pQq Ñ Q Định lý 3.3.2 Với giả thiết Định lý 3.3.1, với w phép đồng phôi song chỉnh hình Chứng minh Tập mở Q xác định (3.7) rõ ràng tồn theo giả thiết (3.6) ta có Aj     Bj , Cj     Dj @j  1, 2, , n p q  f pzq
w thỏa mãn giả thiết Định lý 3.3.1, tồn khơng điểm ξ g pz q P, suy tồn nghiệm ξ phương trình f pz q  w P Hơn nữa, ta thấy dB rg, P, 0s  1, sử dụng [13, Định lý 3], ta Jg pξ q  Áp dụng định lý hàm ẩn cho ánh xạ chỉnh hình ta có f : f
1 pQq Đ Q phép đồng cấu Khi ánh xạ chỉnh hình g z  song chỉnh hình Tương tự phần chứng minh Định lý 3.2.2 với c thay w, có kết tồn không điểm Định lý 3.3.1 bất đẳng thức không ngặt giả thiết Định lý 3.3.3 ([7]) Cho Ω P tập mở Cn f : Ω 36 luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com Đ Cn luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh ánh xạ chỉnh hình cho với j  1, 2, , n, p q Ô 0, @z P P , Rezj  aj , p q ¥ 0, @z P P , Rezj  bj , p q Ô 0, @z P P , Imzj  cj , p q ¥ 0, @z P P , Imzj  dj Refj z Refj z Imfj z Imfj z Khi f có khơng điểm P Định lý 3.3.3, theo cách tương tự Định lý 3.3.2, cho ta thuộc tính giá trị trung gian Định lý 3.3.4 Với Q xác định (3.7), với giả thiết Định lý 3.3.3, với w P Q, phương trình f pzq  w có nghiệm P Tương tự trường hợp n  1, suy từ Định lý 3.3.1 3.3.3 phiên tương ứng định lý điểm bất động Brouwer Hệ 3.3.5 Cho tập P xác định (3.5), Ω P tập mở Đ Cn ánh xạ chỉnh hình (1) Nếu hpB P q € P h có điểm bất động P (2) Nếu hpB P q € P h có điểm bất động P Cn h : Ω 37 luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu Luận văn nghiên cứu tồn không điểm, điểm bất động hàm chỉnh hình, ánh xạ chỉnh hình Luận văn tìm hiểu, hệ thống chi tiết hóa số kết sau liên quan đến vấn đề nói Cụ thể là: • Hệ thống số kiến thức giải tích phức • Trình bày số kiến thức hàm chỉnh hình, ánh xạ chỉnh hình • Nghiên cứu số toán sự tồn không điểm, điểm bất động hàm chỉnh hình • Vận dụng kết điều kiện Hadamard-Shih, điều kiện Poincaré-Miranda kết hợp với việc sử dụng bậc Brouwer để xét tồn điểm bất động Brouwer ánh xạ chỉnh hình 38 luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, NXB ĐHQG Hà Nội, (In lần năm 2009) [2] Nguyễn Thủy Thanh, Cơ sở Lý thuyết hàm biến phức, NXB ĐH TH chuyên nghiệp, Hà Nội, (1985) Tiếng Anh: [3] B Bolzano, Rein Analytisches Beweis des Lehrsatzes Dass Zwischen je Zwey Werthen, Die ein Entgegenge-setzetes Resultat Gewăahren, Wenigsten Eine Reelle Wurzel der Gleichung Liege, Abhandl K Gesellschaft Wissenschaften, Prag, (1817) [4] B V Chabat, Introduction l’analyse Complexe, Vol 2, Mir, Moscow, (1990); English transl Vol II, Amer Math Soc., Providence, RI, (1992) [5] J Hadamard, Sur quelques applications de l’indice de Kronecker, in J Tannery, Introduction la Théorie des Fonctions Dúne Variable, 2nd edition, Vol 2, Hermann, Paris, (1910), 437-477 [6] W Kulpa, The Poincaré-Miranda theorem, Amer Math Monthly, 104 (1997), 545-550 39 luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh luan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinhluan.van.thac.si.dinh.ly.bolzano.cho.anh.xa.chinh.hinh