luận văn thạc sĩ ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HẠNH ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI TÍCH THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HẠNH ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI TÍCH THỰC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI THÁI NGUYÊN - 2016 c LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài công bố Tôi xin cam đoan tài liệu trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái nguyên, tháng 04 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Hạnh i c luan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thuc M C C Trang Trang bìa phụ L i cam đoan i Mục lục ii LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ chỉnh hình 1.2 Đa tạp phức 1.3 Hàm đa điều hòa 10 1.4 Miền giả lồi 11 1.5 Miền chỉnh hình miền lồi chỉnh hình 12 1.6 Thác triển giải tích 16 Chương ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI TÍCH THỰC 19 2.1 Sự thác triển dây chuyền ánh xạ chỉnh hình 19 2.1.1 Một số khái niệm liên quan 19 2.1.2 Sự tham số hóa dây chuyền 20 2.2 Sự thác triển liên tục 25 2.3 Sự liên tục giải tích 31 2.4 Một vài ứng dụng 40 KẾT UẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 ii luan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thuc c luan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thuc LỜI MỞ ĐẦU Thác triển chỉnh hình tốn trung tâm Giải tích phức Trên giới có nhiều nhà toán học quan tâm tới vấn đề khoảng thập kỷ qua có nhiều kết nghiên cứu quan trọng Cho đến việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng ý: Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay cịn gọi thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Dạng 2: Thác triển ánh xạ qua tập mỏng (tức tập có độ đo Lebegue 0) Thác triển kiểu gọi thác triển chỉnh hình kiểu Riemann Một hướng nghiên cứu thác triển chỉnh hình kiểu Riemann thác triển ánh xạ chỉnh hình siêu mặt Thác triển giải tích mầm ánh xạ siêu mặt thực thu hút nhiều ý nhà toán Poincaé ngư i khởi xướng trư ng hợp siêu mặt nguồn siêu mặt đích có số chiều Vào năm 1974, Fefferman [6] chứng tỏ miền giả lồi mạnh có biên lớp thác triển thành ánh xạ song chỉnh hình đồng cấu vi phân bao đóng ̅ ̅ Với kết định lý tác giả Fefferman chứng minh [12] liên tục giải tích lân cận bao đóng ̅ biên giải tích thực Do vậy, vấn đề tương đương song chỉnh hình miền dẫn đến tương đương song chỉnh hình biên chúng Trong trư ng hợp biên siêu mặt giải tích thực giả lồi mạnh , tốn tương đương song chỉnh hình địa phương siêu mặt nghiên cứu cơng trình nghiên cứu Poincaré [10] Cartan [8] Chern Moser [11] gần hoàn chỉnh toán Pinčuk [12], luan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thuc c luan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thuc chứng minh tương đương song chỉnh hình đoạn nhỏ tùy ý kéo theo tương đương toàn cục đương miền và kéo theo tương Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại kết nghiên cứu Pinčuk [12] liên tục giải tích ánh xạ chỉnh hình tương đương song chỉnh hình siêu mặt giải tích thực ( ) dẫn tới liên hệ với song chỉnh hình miền giả lồi mạnh Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Trình bày kiến thức sở ánh xạ chỉnh hình, hàm chỉnh hình, đa tạp phức, tập giải tích, hàm đa điều hịa dưới, ngun lí thác triển chỉnh hình Chương 2: Trình bày lại cách chi tiết rõ ràng kết nghiên cứu thác triển ánh xạ chỉnh hình siêu mặt giải tích thực Pinčuk [12] Để hồn thành luận văn cách hồn chỉnh, em ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình TS Nguyễn Thị Tuyết Mai (Đại học sư phạm - ĐH Thái Nguyên) Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô xin gửi l i tri ân em điều cô dành cho em Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Phòng Đào Tạo sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K22B (2014 – 2016) Trư ng Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tận tình truyền đạt kiến thức quý báu cho em hoàn thành khóa học Em xin gửi l i cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngư i động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho em suốt trình học tập thực luận văn luan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thuc c luan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thuc Mặc dù cố gắng nhiều luận tránh khỏi thiếu sót Em mong có ý kiến đóng góp thầy bạn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hạnh luan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thuc c luan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thuc Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ chỉnh hình 1.1.1 Hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.1: Giả sử M tập mở gọi khả vi phức hàm hàm số, tồn ánh xạ tuyến tính cho | ( ) ( ) | | | | ( Hàm ) | | (∑ ⁄ | | ) gọi chỉnh hình cận ( )| khả vi phức lân gọi chỉnh hình chỉnh hình điểm thuộc lập nên hai hình cầu đóng ̅ Ví dụ: Giả sử tập ̅ {| | | ( )| {| } nối với đoạn } Xác định ( )| } { hàm ̅ ( ) Rõ ràng liên tục cận { ̅ , với điểm thác triển vào hàm chỉnh hình Thật vậy, với điểm ̅ kể giao điểm / ̅ , lấy lân cận hình cầu khơng giao với ̅ thác triển ( ) xây dựng lân vào cách đặt Với điểm ̅ , làm tương tự, khác đặt ( ) Cuối cùng, điểm , ta lấy hình cầu khơng chứa đầu mút đoạn đó, đặt luan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thuc c luan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thuc 1.1.2 Ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 1.1.2: Một ánh xạ ( viết dạng ) Khi hàm tọa độ gọi chỉnh hình ( ) Định nghĩa 1.1.3: Ánh xạ chỉnh hình với gọi song chỉnh hình ánh xạ chỉnh hình song ánh, chỉnh hình Định lí 1.1.4: Cho ( miền ánh xạ ánh xạ chỉnh hình hàm chỉnh hình hàm chỉnh hình ) Khi , 1.1.3 Siêu mặt thực M gọi siêu mặt thực với Cho M tập tồn lân cận trị thực trong Nếu nhận giá cho * Hàm hàm khả vi liên tục ( ̅) + với ( ) gọi hàm xác định địa phương hàm giải tích thực trơn gọi siêu mặt giải tích thực trơn 1.2 Đa tạp phức 1.2.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.2.1: Cho M khơng gian tôpô Hausdorff  Cặp ( ) gọi đồ địa phương M, V tập mở M ánh xạ, điều kiện sau thỏa mãn: i) ( ) tập mở ii) ( ) đồng phôi luan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thuc c luan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thuc  Họ   (Vi , i )iI M gọi tập đồ giải tích (atlas) M điều kiện sau thỏa mãn i) Vi iI phủ mở M, ii) Với Vi ,V j mà Vi V j  , ánh xạ  j i 1 : i (Vi V j )   j (Vi V j ) ánh xạ chỉnh hình gọi tương đương hợp Xét họ atlas X Hai atlas chúng atlas X Dễ thấy tương đương atlas lập thành quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương quan hệ tương đương gọi cấu trúc khả vi phức X X với cấu trúc khả vi phức gọi đa tạp phức n chiều Ta biết rằng, lớp tương đương hoàn toàn xác định đại diện Do atlat khả vi hoàn toàn xác định cấu trúc khả vi miền Khi đó, D đa tạp phức n chiều với Ví dụ 1: Cho đồ địa phương *( )+ ( ) Ví dụ 2: Đa tạp xạ ảnh * + xác định Xét quan hệ tương đương để ( { Đặt ( ) Ta gọi * + ) Rõ ràng * + * + }với ( ) phủ mở cửa Xét đồng phôi với tôpô thương cho ( ) ̂ ( ) Ở đó, kí hiệu ^ có nghĩa số hạng mũ bỏ Khi ánh xạ ngược cho Giả sử ( ) ( ( ( ) [( ) hai đồ địa phương ) ( )] ( ) i < j ) cho công thức luan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thucluan.van.thac.si.anh.xa.chinh.hinh.giua.cac.sieu.mat.giai.tich.thuc c