lời giải bài tập giải tích 1 k58 bách khoa bka

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC - LỜI GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - K58 ( TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ ) Hà Nội, 9/2013 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com LỜI NÓI ĐẦU Sau hai ngày vất vả làm ngồi làm đống tập giải tích I K58 có buồn nhẹ người mệt lừ :-( Trong trình đánh máy khơng tránh khỏi sai sót lời giải chẳng =)) mong bạn góp ý để sửa cho :D ( nói thể thơi sai mặc xác lấy đâu time mà sửa với chả sủa :v) Trong cịn số chưa làm :-( học lâu nên chẳng nhớ :D Hy vọng giúp cho bạn K58 học cải thiện, học lại mơn có điểm "F " =)) Chúc bạn học tốt ! Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com Chương HÀM MỘT BIẾN SỐ 1.1-1.5 Dãy số, hàm số, giới hạn liên tục Tìm tập xác định hàm số p a y = log (tan x)     cos x 6=    cos x 6= x≥  ⇔ ⇔ tan x ≥   x 6=   tan x ≥   log (tan x) ≥ π + kπ π + kπ (k ∈ Z) 2x b y = arcsin 1+x         x 6= −1  + x 6= ⇔ ⇔   −1 − x ≤ 2x ≤ + x  −1 ≤ 2x ≤   1+x  x 6= −1   3x ≥ −1 x≤1 ⇔ − 31 ≤ x ≤ √ c y = x sin πx     x≥0 x≥0 x≥0 x≥0 ⇔ ⇔ ⇔  x 6= k x∈  πx 6= kπ  sin πx 6= /Z c y = arccos (2 sin x) −1 ≤ sin x ≤ ⇔ − 12 ≤ sin x ≤ 12  − π6 + 2kπ ≤ x ≤ π6 + 2kπ  ⇔ (k ∈ Z) 5π 7π + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ 6 Tìm miền giá trị hàm số a y = log (1 − cos x) ĐK: cos x < ⇔ π + 2kπ < x < 5π + 2kπ Mặt khác ta có − cos x ∈ (0, 3] ⇒ y ∈ (−∞, log 3]
x b y = arcsin log 10 loi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bka Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com ĐK  x>0  π π ⇒ y ∈ − ,  log x ≤ 2 10 Tìm f (x) biết
a f x + x1 = x2 + Đặt t = x + x x2 (|t| ≥ 2) ⇒ t2 = x2 + b f x 1+x Đặt t =
1 + ⇒ t2 − = x2 + ⇒ f (x) = x2 − 2 x x = x2 x 1+x (t 6= 1) ⇒x= t t2 x2 ⇒ x2 = ⇒ f (x) = 1−t (1 − t)2 (1 − x)2 Tìm hàm ngược hàm số a y = 2x + D=R x= b y−3 ⇒ hàm ngược hàm y = 2x + y = x−3 1−x 1+x D = R \ {−1} y= 1−x 1−y ⇔ y + yx = − x ⇔ x = 1+x 1+y Suy hàm ngược hàm 1−x 1+x y = 1−x 1+x c y = 21 (ex + e−x ) , (x > 0) D = [0, +∞) loi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bka loi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bka Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com Đặt t = ex (t > 0) y= t+ t
⇔ t2 − 2yt + = ∆0 = y −  p t = y + y2 − ⇒ p t = y − y − 1, p ⇒ ex = y + y − (loại) Suy hàm ngược  y = ln x + p x2  −1 Xét tính chẵn lẻ hàm số a f (x) = ax + a−x , (a > 0) f (x) = a−x + ax = −f (x) Suy hàm f (x) hàm chẵn √
b f (x) = ln x + + x2 f (−x) = ln −x + √ √

+1+x2 √ + x2 = ln −x = − ln x + + x x+ 1+x2 = −f (x) Suy hàm f (x) hàm lẻ c f (x) = sin x + cos x f (−x) = sin(−x) + cos(−x) = − sin x + cos x 6= f (x) −f (x) suy f (x) không hàm chẵn không hàm lẻ Chứng minh hàm số f (x) xác định khoảng đối xứng (−a, a), (a > 0) biểu diễn dạng tổng hàm số chẵn với hàm số lẻ Chứng minh Giả sử f (x) = g(x) + h(x) loi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bka (1) loi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bka Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com g(x) hàm chẵn h(x) hàm lẻ Khi f (−x) = g(−x) + h(−x) = g(x) − h(x) (2) (1) + (2) ta f (x) + f (−x) = 2g(x) ⇒ g(x) = f (x)+f (−x) (1) − (2) ta f (x) − f (−x) = 2h(x) ⇒ h(x) = f (x)−f (−x) Xét tính tuần hồn tìm chu kỳ hàm số sau (nếu có) a f (x) = A cos λx + B sin λx Gọi T chu kỳ Với x ta có f (x + T ) = f (x) ⇔ A cos λ (x + T ) + B sin λ (x + T ) = A cos λx + B sin λx ⇔ A cos λx cos λT − A sin λx sin λT + B sin λx cos λT + B sin λT cos λx = A cos λx + B sin λx nên cos λT = ⇒ λT = 2kπ ⇒ T = 2π λ 2kπ λ chu kỳ nhỏ b f (x) = sin(x2 ) p √ Ta có (k + 1) π − kπ = √ π √ (k+1)π+ kπ → k → +∞ Suy hàm f (x) khơng tuần hồn c f (x) = sin x + 12 sin 2x + 13 sin 3x Ta có sin x tuần hồn chu kỳ 2π sin 2x tuần hoàn chu kỳ π sin 3x tuần hoàn chu kỳ 2π Suy f (x) tuần hoàn chu kỳ BCNN 2π, π, 2π 2π loi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bka x+1+ x x ( ) √ √
Suy lim sin x + − sin x = √ x →0 x→+∞ √ c lim x→0 √ cos x− cos x sin2 x √ √ cos x− cos x lim sin2 x x→0 √ √ cos x−1 x−1 − lim = lim cos 2 x→0 sin x x→0 sin x cos x−1 √ = lim sin2 x(cos√x−1 − lim sin2 x √cos x+ cos x+1 cos x+1) ( ) x→0 x→0 = lim x→0 (−x2 /2) x2 − lim x→0 (−x2 /2) x2 = − 12 x cos 2x cos 3x d lim 1−cos 1−cos x x→0 x cos 2x cos 3x lim 1−cos 1−cos x x→0 x cos 2x−cos x cos 2x cos 3x = lim 1−cos x+cos x−cos x cos 2x+cos 1−cos x x→0 2x) 2x(1−cos 3x) x + lim cos x(1−cos + lim cos x cos1−cos = lim 1−cos 1−cos x x x→0 1−cos x x→0 x→0 2 (4x /2) (9x /2) = − lim x2 − lim x2 = 14 / / x→0 x→0 11 Tìm giới hạn   x−1 −1 x+1 a lim xx2 +1 x→∞      lim x22 −1 =   x−1 x+1 x→∞ x +1 =1 ⇒ lim xx2 −1
+1 x→∞   lim x−1 x+1 = x→∞ loi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bka loi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bka Facebook: Badman b lim+ x→0 hiep giapvan@ gmail com p √ cos x ln(cos p √ lim √ x1 x + lim+ cos x = lim+ (cos x) = ex→0 x→0 ln(1+cos x + x→0 lim √ x→0 x−1) lim cos √ x−1 lim x =e =e = ex→0+ c lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)) x→0+ −x/2 x √ x) = e− x→∞ lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)) x→∞ x x = lim cos ln(x+1)+ln sin ln(x+1)−ln 2 x→∞ ln(1+ x1 ) = lim cos ln x(x+1) sin 2 x→∞ bị chặn lim sin Do cos ln x(x+1) x→∞ ln(1+ x1 ) = nên lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)) = √ √ d lim n2 ( n x − n+1 x) , x > x→∞   √ √ 1/(n2 +n) n 1/(n+1) n+1 lim n ( x − x) = lim n x x −1 x→∞ x→∞   n2 +n) x /( −1 = lim n2n+n x1/n+1 (n2 +n) = ln x / x→∞ Do lim n2n+n = x→∞ x→∞ lim x n+1 = x→∞   n2 +n) x /( −1 lim = ln x 1/(n2 +n) x→∞ 12 Khi x → 0+ cặp VCB sau có tương đương không? p √ α(x) = x + x β(x) = esin x − cos x Ta có p √ √ α(x) = x + x ∼ x x → 0+   esin x − ∼ sin x ∼ x  − cos x ∼ x2 x → 0+ ⇒ β(x) = esin x − + − cos x ∼ esin x − ∼ sin x ∼ x Suy α(x) β(x) không tương đương 1.8 Hàm số liên tục loi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bka loi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bka Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com 13 Tìm a  để hàm số liên tục x = x  1−cos x 6= x2 a f (x) = a x = Hàm f (x) liên tục x = lim f (x) = a hay x→0 x lim 1−cos x x→0  = =a  ax2 + bx + với x ≥ b g(x) =  a cos x + b sin x với x < Ta có g(0) = a.02 + b.0 + = lim g(x) = lim− (a cos x + b sin x) = a x→0
lim+ g(x) = lim− ax2 + bx + = x→0− x→0 x→0 Hàm g(x) liên tục x = lim g(x) = lim− g(x) = g(0) ⇒ a = x→0+ x→0 14 Điểm x = điểm gián đoạn loain hàm số a y = 1−2cot gx • x → 0− ⇒ cot x → −∞ ⇒ 2cot x → ⇒ lim− 1−28cot x = x→0 • x → 0+ ⇒ cot x → +∞ ⇒ 2cot x → +∞ ⇒ lim− 1−28cot x = x→0 Vậy x = điểm gián đoạn loại I b y = sin x1 e x +1 Chọn xn = nπ → 0− Do sin xn = sin(nπ) = ⇒ lim− x→0 Chọn xn = −1 2nπ+ π2 sin x1 e x +1 → 0− Suy sin xn = sin xn = sin −2nπ − Suy không tồn lim− x→0 sin π
x e x +1 Vậy x = điểm gián đoạn loại II c y = eax −ebx , (a x =0 6= b) loi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bka 10 = −1 ⇒ lim− x→0 sin x1 e x +1 = −1 loi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bka Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com lim− y = lim+ y = lim y = lim e x→0 x→0 bx lim e x−1 − lim e x−1 x→0 x→0 x→0 x→0 = ax ax −ebx x =a−b Vậy x = điểm gián đoạn loại I 1.9 Đạo hàm vi phân 15 Tìmđạo hàm hàm số  1−x    f (x) = (1 − x)(2 − x)     x−2   −1    f (x) = 2x +    1 x0⇒n>1 c Có đạo hàm liên tục x = Với x 6= ta có f (x) = nxn−1 sin x1 − xn x2 cos x1 = xn−2 n sin x1 − cos x1
f (x) có đạo hàm x =
lim f (x) = ⇔ lim xn−2 n sin x1 − cos x1 = ⇒ n > x→0 x→0 17 Chứng minh hàm số f (x) = |x − a|ϕ(x), ϕ(x) hàm số liên tục ϕ(a) 6= 0, không khả vi điểm x = a loi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bka 11 loi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bkaloi.giai.bai.tap.giai.tich.1.k58.bach.khoa.bka Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com Chứng minh  Ta có  (x − a) ϕ(x) x ≥ a f (x) =  (a − x) ϕ(x) x < a   ϕ(x) + (x − a) ϕ0 (x) x ≥ a ⇒ f (x) =  −ϕ(x) + (a − x) ϕ0 (x) x < a ⇒ f+ (a) = ϕ(a), f− (a) = −ϕ(a) Do ϕ(a) 6= ⇒ f+ (a) 6= f− (a) Suy hàm f (x) khơng có đạo hàm x = a nên không khả vi x = a 18 Tìm vi phân hàm số a y = a1 arctan xa , (a 6= 0)
0 dy = a1 arctan xa dx = dx x2 +a2 b y = arcsin xa , (a 6= 0)
0 dy = arcsin xa dx = √adx −x2 x−a ln x+a , (a 6= 0) c y = 2a x−a
0