tóm tắt luận án phương pháp giải gần đúng một số lớp bài toán biên của phương trình elliptic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRƯƠNG HÀ HẢI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số : 62.46.30.01 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học GS.TS Đặng Quang Á TS Vũ Vinh Quang HÀ NỘI - 2013 tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic PHẦN MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Nhiều tốn vật lý học mơ hình hóa phương trình đạo hàm riêng Vấn đề giải số hiệu qua phương trình đạo hàm riêng vấn đề quan tâm tốn học tính tốn, đặc biệt hệ số không trơn (gián đoạn mặt phân cách đó) điều kiện biên hỗn hợp mạnh (cả hai điều kiện biên dạng Dirichlet Neumann xuất chuyển đổi hay nhiều điểm biên) Mặc dù có nhiều cơng trình nghiên cứu lời giải gần cho toán hệ số gián đoạn điều kiện biên hỗn hợp mạnh phương pháp khác nhau, vấn đề nhà khoa học quan tâm Các lược đồ sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn, phương pháp xấp xỉ biên, trở nên phức tạp phải ý đến mặt gián đoạn hay chuyển đổi điều kiện biên Mặt khác cấu trúc hệ phương trình đại số tuyến tính khơng cịn đẹp đẽ trường hợp hệ số liên tục hay điều kiện biên đơn giản Khi độ phức tạp thuật toán tăng đáng kể Trong khoảng thập kỷ gần đây, hướng tiếp cận nhà khoa học đặc biệt quan tâm giải tốt vấn đề giải số lớp toán biên hỗn hợp mạnh hay hệ số gián đoạn Đó phương pháp chia miền với ý tưởng đưa toán phức tạp miền lớn toán đơn giản miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh để sau giải tốn phần mềm có sẵn Đây hướng nghiên cứu lựa chọn để giải gần số lớp toán biên phương trình elliptic Mục đích phương pháp nghiên cứu Mục đích luận án: Nghiên cứu lời giải gần tốn biên phương trình elliptic phương trình song điều hịa với hệ số gián đoạn với điều kiện biên hỗn hợp mạnh Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng phương pháp giải tích số cho phương trình đạo hàm riêng như: Phương pháp chia miền, phương pháp đưa toán cấp cao dãy toán cấp hai, kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm, phương pháp sai phân Các phương pháp kết hợp cách linh hoạt để xây dựng phương pháp phù hợp với toán cụ thể Để nghiên cứu hội tụ phương pháp đề xuất, luận án sử dụng kỹ thuật đưa vào tốn tử biên thích hợp dẫn tốn xét phương trình với tốn tử đối xứng xác định dương dương hoàn tồn liên tục khơng gian Hilbert áp dụng lược đồ lặp hai lớp cho chúng Việc thực hóa bước lặp việc giải tốn phương trình cấp hai miền hình học đơn giản Những đóng góp luận án - Phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm giải tốn biên phương trình elliptic với hệ số gián đoạn - Đề xuất phương pháp lặp song song giải tốn biên phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, áp dụng giải toán Motz - Đề xuất phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phương trình lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm giải toán biên phương trình song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh - Giải gần toán vết nứt, tốn độ uốn hình chữ nhật có hai giá đỡ bên Bố cục luận án tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic Luận án bố cục thành chương với nội dung tóm tắt sau: Chương : Trình bày số kiến thức chuẩn bị cho nội dung luận án kết xây dựng thư viện chương trình giải số tốn biên hỗn hợp yếu trường hợp toán tử vi phân toán tử elliptic với hệ số số miền chữ nhật Chương : Trình bày kết nghiên cứu phát triển phương pháp chia miền kết hợp kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải toán elliptic cấp hai với hệ số gián đoạn, phương pháp lặp song song giải toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh cho phép giải toán cỡ lớn hệ thống tính tốn song song Chương : Trình bày kết nghiên cứu phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phương trình kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải tốn song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh Giải gần toán vết nứt tốn độ uốn có giá đỡ bên Trong luận án, kết lý thuyết kiểm tra, thử nghiệm chương trình cài đặt môi trường Matlab 8.0 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Phần giới thiệu số khái niệm kiến thức sở tham khảo từ sách tác giả Aubin, Adams, Cioranescu, Quarteroni Rectorys: • Khơng gian Sobolev : Các khái niệm định nghĩa miền Lipschitz, không gian Sobolev, định lý vết, bất đẳng thức Poincare, cơng thức Green • Bài tốn biên phương trình elliptic cấp hai phương trình song điều hịa: Phát biểu toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp không công thức yếu tương ứng Trình bày tốn tử song điều hịa, phương trình song điều hịa loại điều kiện biên • Các vấn đề phương pháp lặp: Các sơ đồ lặp hai lớp giải phương trình toán tử, định lý hội tụ sơ đồ lặp 1.2 Kết bổ trợ Với mục đích đưa tốn biên hỗn hợp mạnh toán biên hỗn hợp yếu nên nhiệm vụ luận án là: Xây dựng thư viện chương trình giải số tốn biên hỗn hợp yếu trường hợp toán tử vi phân toán tử elliptic với hệ số số Trên sở phương pháp thu gọn khối lượng tính tốn Samarskii-Nikolaev, phần giới thiệu tóm tắt kết xây dựng thư viện chương trình RC2009 Đây công cụ quan trọng để thực việc cài đặt thuật toán đề xuất chương chương Các kết xây dựng thư viện chương trình cơng bố cơng trình [6] Kết luận Chương trình bày số kiến thức không gian Sobolev, khái niệm công thức yếu cho tốn biên phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp khơng nhất, phương trình song điều hòa điều kiện biên thường gặp ứng dụng, lý thuyết sơ đồ lặp Samarskii-Nikolaev hội tụ sơ đồ lặp Đặc biệt, luận án đưa kết xây dựng thư viện chương trình RC2009 giải số tốn biên hỗn hợp yếu phương trình elliptic cấp hai với hệ số miền chữ nhật với loại điều kiện biên khác Đây công cụ quan trọng để cài đặt thử nghiệm tất thuật toán đề xuất để giải toán xét đến chương sau Các kết đưa tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic chương tảng quan trọng cho việc trình bày nội dung nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm chương luận án Chương PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI Chương trình bày kết nghiên cứu phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm ẩn hàm qua mặt phân cách, giải tốn biên phương trình elliptic với hệ số gián đoạn mơ hình tốn học toán mặt phân cách phương pháp lặp song song giải toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh Các kết cơng bố cơng trình [1] [4] 2.1 Phương pháp gần giải toán biên elliptic với hệ số gián đoạn 2.1.1 Mơ hình tốn mặt phân cách Bài toán mặt phân cách (Interface Problem) tốn biên elliptic, hệ số phương trình hàm vế phải bị gián đoạn qua vài mặt phân cách vật liệu xuất phát từ tính chất vật lý tốn Bài tốn thường dẫn tới phương trình elliptic dạng: Lu := −∇(k(x)∇u(x)) = f (x), x ∈ Ω, (2.1.1) với điều kiện biên Dirichlet Neumann đó, x = (x1 , x2 ), Ω miền giới nội R2 với biên ∂Ω, hệ số k(x) = (k1 (x), k2 (x)) hàm số gián đoạn qua mặt phân cách Γ ⊂ Ω Sự tồn nghiệm yếu u ∈ H01 toán Dirichlet (2.1.1) đưa sách Gilbarg Trudinger 2.1.2 Một số hướng tiếp cận Để giải toán mặt phân cách, số phương pháp hiệu nghiên cứu như: Các phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp sử dụng phép nhúng, Phần trình bày phương pháp giải toán mặt phân cách sở phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm ẩn hàm biên phân cách, từ đưa tốn mặt phân cách môi trường phân lớp không đồng dãy toán miền tính chất mơi trường liên tục Sự hội tụ phương pháp chứng minh lý thuyết thử nghiệm qua nhiều ví dụ Kết cơng bố cơng trình [1] 2.1.3 Phương pháp lặp Phát biểu toán Xét toán ∂ Lu := − ∂x1  ∂u k1 (x) ∂x1  ∂ − ∂x2   ∂u k2 (x) + a(x)u = f (x), x ∈ Ω, ∂x2  [u]Γ = ψ1 , ∂u ∂νL  = ψ2 , tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic (2.2.2) Γ x ∈ ∂Ω, u = ϕ, (2.2.1) (2.2.3) tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic x = (x1 , x2 ), Ω miền giới nội R2 với biên ∂Ω, hệ số k1 (x) k2 (x) gián đoạn qua mặt phân cách Γ, kí hiệu [u]Γ bước nhảy u qua mặt phân cách, ∂u/∂νL đạo hàm theo hướng u gắn với tốn tử L xác định cơng thức ∂u ∂u ∂u = k1 cos(n, x1 ) + k2 cos(n, x2 ), ∂νL ∂x1 ∂x2 n véc tơ đơn vị pháp tuyến biên Điều kiện (2.2.2) mô tả bước nhảy nghiệm u đạo hàm u qua mặt phân cách Γ Để giải toán mặt phân cách (2.2.1)(2.2.3) dựa ý tưởng phương pháp chia miền, thay giải tốn lớn phức tạp miền, giải số toán đơn giản miền Chia miền Ω thành hai miền không giao Ω1 Ω2 với biên phân cách Γ Ký hiệu Γ1 = ∂Ω1 \Γ, Γ2 = ∂Ω2 \Γ, ui = u |Ωi , fi = f |Ωi k1i = k1 (x), k2i = k2 (x), x ∈ Ωi , i = 1, ký hiệu ni pháp tuyến Γ so với Ωi Khi đạo hàm pháp tuyến ui Γ ∂ui ∂ui ∂ui cos(ni , x1 ) + k2i cos(ni , x2 ) = k1i ∂νLi ∂x1 ∂x2 với giả thiết < b1 k1 (x), k2 (x) b2 , a(x) > Mô tả phương pháp Xét sơ đồ lặp tìm hàm g = ∂u1 /∂νL1 biên Γ (i) Xuất phát từ giá trị xấp xỉ g (0) Γ, ví dụ, g (0) = Γ (ii) Biết g (k) , (k = 0, 1, 2, ) Γ, giải hai toán (k) Lu1 = f1 Ω1 , (k) u1 = ϕ Γ1 , (k) ∂u1 ∂νL1 (2.2.6) = g (k) Γ, (k) Lu2 = f2 Ω2 , (k) (2.2.7) u2 = ϕ Γ2 , (k) (k) u2 = u1 + ψ1 Γ (iii) Hiệu chỉnh xấp xỉ (k) g (k+1) = (1 − τ )g (k) − τ ∂u2 + τ ψ2 , ∂νL2 (2.2.8) τ tham số lặp tối ưu cần lựa chọn Nghiên cứu hội tụ Giả thiết tính trơn kiện sau: fi ∈ L2 (Ωi ), (i = 1, 2), ϕ ∈ H 1/2 (∂Ω), ψ1 ∈ H 1/2 (Γ), ψ2 ∈ H −1/2 (Γ), H s (G) không gian Sobolev Với giả thiết này, theo Aubin tốn (2.2.6), (2.2.7) có nghiệm uki ∈ H (Ωi , L), H (Ωi , L) = {v ∈ H (Ωi )|Lu ∈ L2 (Ωi )} theo định lý vết, ta có g (k+1) ∈ H −1/2 (Γ) Giả sử tốn mặt phân cách tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic (2.2.1)-(2.2.3) có nghiệm u ui = u|Ωi ∈ H (Ωi , L) Để chứng minh hội tụ phương pháp lặp, ta viết lại công thức (2.2.8) dạng (k) g (k+1) − g (k) ∂u + g (k) + = ψ2 τ ∂νL2 (k) Đặt ei (2.2.9) (k) = ui − ui , (i = 1, 2) ξ (k) = g (k) − g , ta có (k) ξ (k+1) − ξ (k) ∂e + ξ (k) + = τ ∂ν2 (2.2.13) Đưa vào toán tử biên Si tác động lên hàm ξ công thức Si ξ = ∂vi /∂νi , (i = 1, 2) vi nghiệm toán Lvi = Ωi , (2.2.15) vi = Γi , vi = ξ Γ Các toán tử toán tử Steklov-Poincare, vi mở rộng toán tử L ξ từ Γ tới Ωi Ta viết vi = Li ξ , tốn tử nghịch đảo Si−1 Si xác định Si−1 η = wi , wi nghiệm tốn Lwi = Ωi , wi = Γi , ∂wi = η Γ ∂νi (k) (2.2.17) (k) (k) Với cách định nghĩa toán tử ta thu e1 = S1−1 ξ (k) , S2 e1 = ∂e2 /∂νL2 Do đó, có (k) thể viết cơng thức (2.2.13) dạng (ξ (k+1) − ξ (k) )/τ + ξ (k) + S2 e1 = Tác động S1−1 lên hai vế đẳng thức trên, ta có (k+1) e1 (k) − e1 (k) (k) + e1 + S1−1 S2 e1 = τ Do (k+1) e1 (k) = (I − τ B) e1 , (2.2.20) B = I +S1−1 S2 Để thiết lập hội tụ trình lặp (2.2.6)-(2.2.8), sơ đồ lặp tương đương (2.2.20) ta xét toán tử B khơng gian hàm thích hợp Tốn tử Si , (i = 1, 2) tác −1/2 1/2 động không gian H = H00 (Γ) = {v |Γ : v ∈ H01 (Ω)} không gian đối ngẫu H0 = H00 Từ cơng thức nghiệm yếu (2.2.15), ta có định nghĩa tương đương toán tử Si  Z  ∂(Li ξ) ∂(Li η) ∂(Li ξ) ∂(Li η) + k2i dx, ∀ξ, η ∈ H hSi ξ, ηiH,H0 = k1i ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 Ωi (Γ) (2.2.22) Trong trường hợp, Si ξ ∈ L2 (Γ) ta có hSi ξ, ηiH0 ,H = (Si ξ, η)L2 (Γ) Do đó, Si đối xứng xác định dương (trong 2.2.3) Vì vậy, hS1 ξ, ηiH,H0 xác định tích vơ hướng ξ, η ∈ H tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic chuẩn sinh tích vơ hướng tương đương với chuẩn H 1/2 (Γ) Ký hiệu tích vơ hướng chuẩn tương ứng (., )S1 k.kS1 Với (ξ, η)S1 = hS1 ξ, ηiH0 ,H , ta có (Bξ, η)S1 = S1 (I + S1−1 S2 )ξ, η H0 ,H = hS1 ξ, ηiH0 ,H + hS2 ξ, ηiH0 ,H Vì S1 S2 đối xứng, toán tử B đối xứng Hơn nữa, giả sử chia Ω thành hai miền Ω1 Ω2 , tồn số < m M cho m6 hS2 ξ, ξiH0 ,H M, hS1 ξ, ξiH0 ,H ∀ξ ∈ H (2.2.26) Khi (1 + m)I B (1 + M )I không gian lượng S1 Theo lý thuyết tổng quát lược đồ lặp hai lớp, 0 ci > 0, (i = 1, 2) Chia miền Ω thành hai miền Ω1 Ω2 đường thẳng x1 = a biên phân cách miền Γ Ký hiệu biên miền Ωi ∂Ωi , (i = 1, 2) ΓD1 = ∂Ω1 ∩ ΓD , ΓD2 = ∂Ω2 ∩ ΓD , u = (u1 , u2 ), với ui nghiệm miền Ωi , νi pháp tuyến ∂Ωi , (i = 1, 2) Bài tốn (2.3.1) giải tìm ∂u1 /∂ν1 Γ Đặt ∂u1 /∂ν1 = ψ Γ, sơ đồ lặp song song tìm ψ sau: (i) Cho trước ψ (0) ∈ L2 (Γ), chẳng hạn ψ (0) = 0, x ∈ Γ (ii) Với giá trị ψ (k) , k = (0, 1, 2, ) Γ tiến hành giải song song toán hỗn hợp yếu (k) Lu1 = f Ω1 , (k) u1 = g ΓD1 , (k) ∂u1 = ψ (k) Γ, ∂ν1 tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic (2.3.3) tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic (k) Lu2 = f Ω2 , (k) ∂u2 = ϕ ΓN , ∂ν2 (2.3.4) (k) u2 = g ΓD2 , (k) ∂u2 = −ψ (k) Γ, ∂ν2 (iii) Hiệu chỉnh xấp xỉ ψ (k+1) = ψ (k) − τ [u(k) ]Γ Γ (2.3.5)   (k) (k) u(k) Γ = u1 |Γ −u2 |Γ τ tham số lặp tối ưu cần lựa chọn 2.2.2 Nghiên cứu hội tụ Đưa vào toán tử biên B xác định L2 (Γ) cơng thức Bh = [w]Γ , [w]Γ = w1 |Γ − w2 |Γ , w1 w2 nghiệm toán    Lw1    ∂w  ∂ν1    w1    Lw2     ∂w2    ∂ν2   w2     ∂w2    ∂ν2 = Ω1 , = h Γ, = ΓD1 , = Ω2 , = ΓN , = ΓD2 , = −h Γ Mệnh đề 2.2.1 Toán tử B đối xứng dương L2 (Γ) B ánh xạ hoàn toàn liên tục từ L2 (Γ) vào H (Γ) Tiếp theo, ta đưa tốn tìm hàm ψ = ∂u1 /∂ν1 Γ phương trình tốn tử với toán tử B Bψ = F, (2.3.12) Mệnh đề 2.2.2 Hàm ψ = ∂u1 /∂ν1 , u1 nghiệm toán (2.3.1) Ω1 nghiệm phương trình tốn tử (2.3.12) Xét lược đồ lặp giải (2.3.12) ψ (k+1) − ψ (k) + Bψ (k) = F, τ (k = 0, 1, 2, ) (2.3.14) Mệnh đề 2.2.3 Quá trình lặp (2.3.3)-(2.3.5) thực lược đồ lặp (2.3.14) Giả sử f ∈ L2 (Ω), g ∈ H (ΓD ) ϕ ∈ L2 (ΓN ) Với kết chứng minh tính chất tốn tử B , ta có định lý: Định lý 2.2.4 Lược đồ lặp (2.3.14) hội tụ L2 (Γ) < τ < 2/ kBk 2.2.3 Một trường hợp riêng Đánh giá ||B|| toán tử vi phân L toán tử Laplace đặt l1 = l2 = kBk ≤ γ2 (a), với γ2 (a) = tanh(πa) tanh(π(1 − a)/2) + π π/2 Với a γ2 (a) 0.7455 Đánh giá kBk Định lý 2.3.4 bảo đảm rằng, < τ < 2.6826 trình lặp (2.3.3)-(2.3.5) hội tụ tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic 10 tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic 2.2.4 Kết thử nghiệm so sánh với số phương pháp Ngoài phương pháp lặp song song trình bày, để dẫn toán biên hỗn hợp mạnh dãy tốn hỗn hợp yếu áp dụng phương pháp chia miền khác, bước lặp cần giải liên tiếp hai toán hỗn hợp yếu miền con: Phương pháp lặp tìm giá trị hàm biên phân chia Saito-Fujita (2001) phương pháp lặp tìm giá trị đạo hàm biên phân chia ĐQA-VVQ (2006) Cả hai phương pháp tiến hành giải toán hỗn hợp yếu hai miền Tiến hành thử nghiệm phương pháp cho tốn hình chữ nhật với l1 = 2, l2 = 1, a = Xuất phát từ nghiệm cho trước u(x1 , x2 ) tính vế phải điều kiện biên tương ứng tốn (2.3.1) Sau tiến hành xác định nghiệm xấp xỉ u(k) (x1 , x2 ) ba phương pháp Chọn bước lưới h = 1/64, tiêu chuẩn dừng lặp ε = 10−4 Các thuật tốn thực máy tính với vi xử lý, kết thử nghiệm phần 2.3.4 luận án chứng tỏ đắn phương pháp lặp tốc độ hội tụ ba phương pháp tương đương Tuy nhiên phương pháp lặp song song có ưu điểm: cho phép giải toán hỗn hợp mạnh cỡ lớn hệ thống xử lý song song 2.2.5 Áp dụng giải toán Motz Phương pháp lặp song song áp dụng giải toán Motz, toán biên hỗn hợp mạnh thường sử dụng để thử nghiệm phương pháp giải số Kết khảo sát dáng điệu đạo hàm có thay đổi đột ngột loại điều kiện biên qua điểm kỳ dị phù hợp với tính chất toán học thực tế Kết luận chương Chương trình bày kết nghiên cứu việc phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm ẩn hàm, dựa vào tính chất gián đoạn hệ số qua mặt phân cách đưa toán biên với hệ số gián đoạn tốn đơn giản miền có tính chất liên tục Với tốn biên phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh xây dựng sơ đồ lặp song song cho phép giải toán biên hỗn hợp hệ thống tính tốn song song Áp dụng phương pháp giải toán Motz khảo sát kỳ dị xuất điểm phân cách loại điều kiện biên Sự hội tụ phương pháp lặp chứng minh lý thuyết số trường hợp riêng thiết lập cơng thức tính tham số lặp tối ưu xác định khoảng tham số lặp tối ưu Sự hội tụ phương pháp độ xác nghiệm xấp xỉ cịn kiểm tra qua nhiều ví dụ thử nghiệm Các kết áp dụng giải số toán mẫu so sánh với phương pháp khác cho thấy hiệu phương pháp lặp đề xuất chương Trên sở kết đạt được, tiếp tục phát triển phương pháp chia miền kết hợp với phương pháp khác cho tốn song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh trình bày chương Chương PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP MẠNH Chương trình bày kết nghiên cứu phương pháp kết hợp ý tưởng: hạ cấp phương trình, chia miền kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải phương trình song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, từ đưa lời giải hai toán: Bài toán vết nứt (Crack Problem) tốn độ uốn có giá đỡ bên (Problems for Plates with Partial Internal Supports) Các kết công bố cơng trình [2] [3] tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic 11 tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic 3.2 Phương pháp kết hợp giải tốn song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 3.2.1 Phát biểu tốn Xét tốn song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh ∆2 u = f Ω, u = g0 Γ1 , ∂u = g1 ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2 , ∂ν ∂∆u = g2 Γ2 , ∂ν (3.2.1) Ω hình chữ nhật (−L, L)×(0, 1), Γ1 = SA ∪SC , Γ2 = SB ∪SD ∪SE , SA , SB , SC , SD SE phần biên Γ = ∂Ω, ∆ toán tử Laplace, f gi (i = 0, ) hàm cho trước Ω phần biên Γ tương ứng 3.2.2 Mô tả phương pháp Giả thiết tốn (3.2.1) có nghiệm đủ trơn Đặt ∆u = v Ω, v|Γ1 = ϕ Khi đó, tốn (3.2.1) đưa dãy toán cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh sau ∆v = f Ω, v = ϕ Γ1 , ∂v = g2 Γ2 , ∂ν ∆u = v (3.2.2) Ω, u = g0 Γ1 , ∂u = g1 Γ2 , ∂ν (3.2.3) ϕ hàm chưa biết có quan hệ với u qua điều kiện thứ ba (3.2.1) Γ1 Quá trình lặp tìm ϕ thực sau: (i) Cho ϕ(0) ∈ L2 (Γ1 ), ví dụ, ϕ(0) = Γ1 (3.2.5) (ii) Biết ϕ(k) Γ1 (k = 0, 1, ), giải hai toán cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh ∆v (k) = f v (k) Ω, (k) =ϕ Γ1 , (3.2.6) ∂v (k) = g2 Γ2 , ∂ν ∆u(k) = v (k) Ω, u(k) = g0 Γ1 , (k) ∂u = g1 Γ2 ; ∂ν tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic 12 (3.2.7) tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic (iii) Tính xấp xỉ  ∂u(k)  − g1 , ∂ν Γ1 (3.2.8) ϕ(k+1) − ϕ(k) ∂u(k) + − g1 = Γ1 τ ∂ν (3.2.9) ϕ(k+1) = ϕ(k) − τ τ tham số lặp cần lựa chọn 3.2.3 Nghiên cứu hội tụ phương pháp Viết sơ đồ lặp (3.2.8) dạng lược đồ lặp hai lớp: Đưa vào toán tử B tác động lên hàm biên ϕ công thức: Bϕ = ∂u ∂ν Γ1 , (3.2.10) u v nghiệm tìm từ toán sau ∆v = Ω, v = ϕ Γ1 , ∂v = Γ2 , ∂ν ∆u = v (3.2.11) Ω, u = Γ1 , ∂u = Γ2 ∂ν (3.2.12) Biểu diễn nghiệm (3.2.2)-(3.2.3) dạng: u = u1 + u2 ; v = v1 + v2 , u1 , v1 thỏa mãn toán (3.2.11)-(3.2.12) u2 , v2 nghiệm toán Poisson Ω Theo định nghĩa tốn tử B ta có Bϕ = ∂u1 Γ1 ∂ν ∂u2 ∂ν Mệnh đề 3.2.1 Quá trình lặp (3.2.6)-(3.2.8) thực lược đồ lặp hai lớp Bài tốn (3.2.1) đưa phương trình tốn tử Bϕ = F , F = g1 − ϕ(k+1) − ϕ(k) + Bϕ(k) = F, τ (k = 0, 1, ) (3.2.16) Γ1 (3.2.19) phương trình tốn tử (3.2.16) Mệnh đề 3.2.2 Tốn tử B xác định (3.2.10)-(3.2.12) tuyến tính, đối xứng, dương tốn tử compact khơng gian L2 (Γ1 ) Với tính chất đối xứng, dương compact toán tử B , theo lý thuyết lược đồ lặp hai lớp trình lặp (3.2.6)-(3.2.8) hay lược đồ lặp (3.2.19) hội tụ < τ < 2/||B|| Việc xác định hay ước lượng ||B|| phức tạp, phần sau, thử nghiệm số chúng tơi tìm khoảng τ cho trình lặp hội tụ tốt tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic 13 tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic 3.2.4 Sơ đồ lặp kết hợp Để thực phương pháp lặp mức rời rạc, giải hai toán biên hỗn hợp mạnh (3.2.6), (3.2.7) miền Ω Để giải toán cần sử dụng phương pháp chia miền sở lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm ẩn hàm biên phân cách miền Do đó, ta thực vịng lặp: vòng lặp bên DDM với tốn bậc hai vịng lặp ngồi mơ tả trình lặp (3.2.5)-(3.2.8) để tìm ϕ từ tìm u Chia miền Ω thành hai miền Ω1 Ω2 đường thẳng x = 0, ký hiệu biên phân cách hai miền SI , ui = u |Ωi , (i = 1, 2) Để giảm khối lượng tính tốn nhằm tăng tốc độ hội tụ phương pháp lặp, ta sử dụng trình lặp kết hợp: Bước Cho trước ϕ(0) = SA ∪ SC ; ξ (0) = 0, η (0) = SI (3.2.28) Bước Với giá trị ϕ(k) , ξ (k) , η (k) , (k = 0, 1, ), tiến hành giải lần lượt: (k) (k) Các toán với v1 u1  (k)   ∆v1 = f      v1(k) = ϕ(k)   (k) ∂v1  = g2   ∂ν1   (k)   ∂v1   = ξ (k)  ∂ν1 (k) Ω1 , SA , SE , SI ,  (k) (k)   ∆u1 = v1      u(k)   = g0 (k) ∂u1  = g1   ∂ν1   (k)   ∂u1   = η (k)  ∂ν1 Ω2 , SA , SE ∪ SD1 , (3.2.29) SI , (k) Các toán với v2 u2  (k)  ∆v2 = f      (k)  v2 = ϕ(k) (k) ∂v   Ω2 , SC , = g2 SB ∪ SD2 ,   ∂ν2    (k)  (k) v2 = v1 SI ,  (k) (k)  ∆u2 = v2      (k)  u2 = g0 (k) ∂u   = g1   ∂ν2    (k)  (k) u2 = u1 Ω2 , SC , (3.2.30) SB ∪ SD2 , SI , Bước Tính xấp xỉ (k) ∂v2 SI , ∂ν2 (k) ∂u2 (k) = (1 − θ)η − θ SI , ∂ν2 ! (k) ∂ui (k) =ϕ −τ − g1 SA ∪ SC , i = 1, 2, ∂νi ξ (k+1) = (1 − θ)ξ (k) − θ η (k+1) ϕ(k+1) (3.2.31) θ, τ tham số lặp lựa chọn để sơ đồ lặp hội tụ Kiểm tra hội tụ trình lặp (3.2.28)-(3.2.31) cách: Trước hết tiến hành thử nghiệm trường hợp biết trước nghiệm toán (3.2.1) miền Ω = [−1, 1] × [0, 1] Các kết thử nghiệm với hàm nghiệm lựa chọn luận án cho thấy (3.2.28)-(3.2.31) hội tụ tốt với tham số lặp chia miền θ = 0.7 tham số lặp τ ∈ [1.4; 1.6] Sau đó, trường hợp khơng biết trước nghiệm với hàm f, g0 , g1 , g2 tùy ý cho kết tương tom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptictom.tat.luan.an.phuong.phap.giai.gan.dung.mot.so.lop.bai.toan.bien.cua.phuong.trinh.elliptic 14