[TOÁN 12] VẬN DỤNG MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A. MỞ ĐẦU I – BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI Trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia và đề thi thử của một số trường phổ thông trong cả nước xuất hiện một số bài toán về Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng có sử dụng đến các quy tắc tính đạo hàm. Đề tài ra đời trong bối cảnh học sinh có nhu cầu nắm vững phương pháp giải các bài toán nói trên. Đồng thời, đề tài cũng là một bộ tài liệu quan trọng trong công tác giảng dạy của giáo viên. II – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tôi chọn đề tài “Vận dụng một số quy tắc tính đạo hàm trong các bài toán về Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng” vì những lý do sau đây: +) Đây là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán THPT. +) Học sinh nắm vững phương pháp và kỹ năng giải các bài toán . +) Phương pháp của đề tài nêu ra tạo được sự hứng thú cho học sinh trong giải toán. III – PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 1. Phạm vi nghiên cứu Các bài toán thuộc chương trình lớp 12 dùng để ôn thi THPT Quốc gia. 2. Đối tượng nghiên cứu Hệ thống các dạng toán vận dụng vận dụng cao có ứng dụng các quy tắc tính đạo hàm trong chương trình toán phổ thông. IV – MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU +) Nhằm cung cấp cho học sinh có một lượng kiến thức nhất định để giải quyết một số bài toán trong các đề thi, tạo ra niềm đam mê, hứng khởi và sáng tạo trong học tập. +) Nhằm mang lại hiệu quả cao hơn trong giảng dạy, đặc biệt là công tác ôn thi THPT Quốc gia. V – ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Mặc dù các bài tập trong đề tài này đã xuất hiện trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia và đề thi thử của một số trường THPT trên toàn quốc, cũng có nhiều tác giả nghiên cứu về mảng này, nhưng còn thiếu tính hệ thống. Những điểm mới khác biệt của đề tài là xây dựng được hệ thống các dạng bài tập tương ứng với từng quy tắc tính đạo hàm. B. NỘI DUNG I – CƠ SỞ LÝ LUẬN Đề tài nêu ra các dạng toán gắn liền với từng quy tắc tính đạo hàm. Các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao nhưng đều thuộc phạm vi chương trình trung học phổ thông. Các đối tượng học sinh có thể tiếp thu được phương pháp và kỹ năng giải toán qua các ví dụ đã nêu trong đề tài để giải các bài toán tương tự một cách có hiệu quả nhất. II – THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ +) Đối với học sinh: Khi chưa học tập phương pháp và rèn luyện kĩ năng, chỉ có số ít các em học sinh suy nghĩ, tập trung làm bài tập dạng này. +) Đối với giáo viên : Tài liệu viết về các dạng bài tập này tuy đã có nhưng chưa được phân dạng cụ thể, chưa có tính hệ thống.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TỐN VỀ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A MỞ ĐẦU I – BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI Trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia đề thi thử số trường phổ thông nước xuất số tốn Ngun hàm – Tích phân ứng dụng có sử dụng đến quy tắc tính đạo hàm Đề tài đời bối cảnh học sinh có nhu cầu nắm vững phương pháp giải tốn nói Đồng thời, đề tài tài liệu quan trọng công tác giảng dạy giáo viên II – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tôi chọn đề tài “Vận dụng số quy tắc tính đạo hàm tốn Ngun hàm – Tích phân ứng dụng” lý sau đây: +) Đây nội dung quan trọng chương trình tốn THPT +) Học sinh nắm vững phương pháp kỹ giải toán +) Phương pháp đề tài nêu tạo hứng thú cho học sinh giải toán III – PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Phạm vi nghiên cứu Các toán thuộc chương trình lớp 12 dùng để ơn thi THPT Quốc gia Đối tượng nghiên cứu Hệ thống dạng toán vận dụng - vận dụng cao có ứng dụng quy tắc tính đạo hàm chương trình tốn phổ thơng IV – MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU +) Nhằm cung cấp cho học sinh có lượng kiến thức định để giải số toán đề thi, tạo niềm đam mê, hứng khởi sáng tạo học tập +) Nhằm mang lại hiệu cao giảng dạy, đặc biệt công tác ôn thi THPT Quốc gia V – ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Mặc dù tập đề tài xuất đề thi Trung học phổ thông Quốc gia đề thi thử số trường THPT tồn quốc, có nhiều tác giả nghiên cứu mảng này, cịn thiếu tính hệ thống Những điểm khác biệt đề tài xây dựng hệ thống dạng tập tương ứng với quy tắc tính đạo hàm B NỘI DUNG I – CƠ SỞ LÝ LUẬN Đề tài nêu dạng toán gắn liền với quy tắc tính đạo hàm Các tốn mức độ vận dụng vận dụng cao thuộc phạm vi chương trình trung học phổ thơng Các đối tượng học sinh tiếp thu phương pháp kỹ giải tốn qua ví dụ nêu đề tài để giải tốn tương tự cách có hiệu II – THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ +) Đối với học sinh: Khi chưa học tập phương pháp rèn luyện kĩ năng, có số em học sinh suy nghĩ, tập trung làm tập dạng +) Đối với giáo viên : Tài liệu viết dạng tập có chưa phân dạng cụ thể, chưa có tính hệ thống III – CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Để giúp học sinh nắm phương pháp kỹ thực đề tài, ta cho học sinh luyện tập qua hệ thống toán phân loại theo chủ đề sau: CHỦ ĐỀ I VẬN DỤNG QUY TẮC  ln u    u u Cơ sở lý thuyết - Nếu u u  x  nhận giá trị dương K  ln u    u u K  ln  f  x      g  x  ln  f  x   g  x  dx - Nếu Bài tập vận dụng Bài tập Cho hàm số f  x f  x 3 x f  x  nhận giá trị dương  thỏa mãn   f 1 f 2 với x     Giá trị   2 e A e C B e D e9 Bài giải tham khảo Chọn C f  x  3x   ln  f  x     3x f  x f  x  3x f  x   +) Từ giải thiết, ta có  ln  f  x   3x dx  x  C  f  x  e x C +) Lại có f  1 1  C   f  x  e x   f     Bài tập Cho hàm số thỏa mãn điều kiện f  x f  1 1 e9 nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục f  x   f  x  3x  1, x 0  0; Mệnh đề ? A  f    B  f    C  f    D  f    Bài giải tham khảo Chọn D f  x   f  x  3x   +) Từ giải thiết, ta có  ln f  x   +) Lại có f  x  1    ln f  x     f  x 3x  3x  1 dx  ln f  x   3x   C 3x  f  1 1  C  Bài tập Cho hàm số 4 3x    ln f  x    f   e 3,79 3 f  x đồng biến có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 mãn f   0 f  x  2 x   f  x   , x   Giá trị A e  B e  C e  Bài giải tham khảo 2xf  x  dx D e thỏa Chọn A +) Từ giải thiết, ta có   f  x    f  x   2 x  2 x   ln   f  x    2 x 1 f  x 1 f  x  ln   f  x   2 xdx  ln   f  x    x  C 2 f   0  C 0  ln   f  x    x   f  x  e x  f  x  e x  +) Lại có +) Vậy 2 xf  x  dx 2 x  e x2 Bài tập Cho hàm số mãn điều kiện f  1 1 f  x   dx e x 1  x e  0 đồng biến có đạo hàm liên tục đoạn  1;2 thỏa f  x   f  x  , x   1; 2 x Tính thể tích khối trịn xoay y  f  x cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng x 1, x 2 quay quanh trục hoành 7 B A 7 5 C 5 D Bài giải tham khảo Chọn B +) Từ giả thiết, ta có f  x  1 f  x   f  x      ln f  x     x f  x x x  ln f  x   dx  ln f  x  ln x  C x +) Lại có f  1 1  C 0  f  x   x  V  f Bài tập Cho hàm số  0;2 f  x 2  x  dx  x 2dx   x3 7  3 nhận giá trị dương có đạo hàm đến cấp đoạn 2  f  x    f  x  f  x    f  x   0, x   0;2 f   1 f   e4 thỏa mãn ,  y  x  1 f  x  Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng x 0, x 2 A e  C e  B e D e  Bài giải tham khảo Chọn D 2  f  x    f  x  f  x    f  x   0 +)Từ giả thiết ta có  f  x  f  x    f  x    f  x  f  x    f  x    f  x    1  f  x   2  f  x    f  x     x  C   ln f  x     x  C  ln f  x   x  C dx  1  f  x  f  x   ln f  x   x  Cx  D  f   1   f  e    +) Lại có  2 2 x x x x x x C 2 2  f  x  e  S  x  1 e dx e e    D 0 Bài tập tương tự (phụ lục) CHỦ ĐỀ II VẬN DỤNG QUY TẮC  uv   uv  uv Cơ sở lý thuyết - Nếu u u  x  v v  x   uv   uv  uv f  x  g  x  h  x  dx  f  x  g  x    h  x  - Nếu  Bài tập áp dụng Bài tập Cho hàm số trị f  2 A f  x thỏa mãn f   1 2 f  x   xf  x  3x , x 0 B C D Giá Bài giải tham khảo Chọn D f  x   xf  x  3x   xf  x    3x  xf  x  3x 2dx +)Từ giả thiết, ta có x3  C  xf  x   x  C  f  x   x +) Lại có f   1 2  C   f  x  x   f  2  x Bài tập (HSG cấp tỉnh – Phú Thọ 2018 – 2019): Cho hàm số f   4 A f  x   f  x  x3 , x    4 10 e Giá trị B  10 f  1 f  x thỏa mãn C  D  2 10 e Bài giải tham khảo Chọn D e x f  x   e x f  x  x3e x   e x f  x    x 3e x  e x f  x  x 3e x dx +) Từ giả thiết, ta có  e x f  x  x 3e x  3x 2e xdx x 3e x  3x 2e x  6xe xdx x 3e x  3x 2e x   x  1 e x  C +) Lại có f   4  C 10  f  x  x3  3x  x   10 10  f  1   x e e Bài tập (Trường Lệ Thủy – Quảng Bình – Lần năm 2018 – 2019): Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục khoảng x   f  x    f  x   1, x  A Giá trị B  0; f  2 thỏa mãn điều kiện C D Bài giải tham khảo Chọn B +)Từ giả thiết, ta có x   f  x    f  x    xf  x   f  x  4 x    xf  x    4 x   xf  x   x  1 dx  xf  x  2 x  x  C +) Lại có f  1 3  C 0  f  x  2 x   f   5 f  1 3 Bài tập (Toán học tuổi trẻ tháng – 2019): Cho hàm số khoảng   1;  thỏa mãn đẳng thức x    1;  Giá trị f  0 f  x có đạo hàm liên tục f  x    x  1 f  x   x3  x  x x2  với A f   2  B f   e  C f    D Chưa đủ điều kiện để tính f  0 Bài giải tham khảo Chọn A +) Từ giả thiết, ta có x  x 1 x3  x  x  x   f  x    x  1 f  x    f x  x  x  f       x2  x2   f  x x  x x x  x     f x   f  x       f  x  2 x 1  x 1 x 1 x   x 1  x 3 x x x x  x   f  x    f  x   dx  f  x   x2   C x  x  x    x 3 x 3 +) Lại có  * thỏa mãn với x    1;    * * nên thay x 1 vào   ta có C  x f  x   x   f 2  Suy x  Do   Bài tập (Chuyên ĐH Vinh lần năm 2018): f    f   1 A Cho hàm số f  x  f  x    f  x  f  x  15 x  12 x, x   f  1  Giá trị B C D Bài giải tham khảo Chọn C +) Ta có thỏa mãn ( f  x  )2  f  x  f  x  15 x  12 x   f  x  f  x    15 x  12 x  f  x  f  x   15 x  12 x  dx  f  x  f  x  3x  x  C  f  x  f  x  6 x5  12 x  2C   f  x    6 x  12 x  2C  f  x   x5  12 x  2C  dx  f  x  x  x  2Cx  D +) Lại có C 1 f    f   1    f  x  x  x  x   f  1 8  D 1 Bài tập tương tự (phụ lục) CHỦ ĐỀ III  u  uv  uv    v2 VẬN DỤNG QUY TẮC  v  Cơ sở lý thuyết - Nếu u u  x   u  uv  uv    v2  v  với v 0  f  x   f  x  h  x  dx   h  x  g  x  g  x   - Nếu Bài tập áp dụng Bài tập Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục đoạn  1; 2 thỏa mãn f  1  xf  x   f  x   x , x   1;2 A Giá trị tích phân 17 B 15 C Bài giải tham khảo Chọn C f  x dx 15 D xf  x   f  x   x  +) Từ giả thiết, ta có  xf  x   f  x   f  x    x    x x2 x   f  x f  x xdx   x C x x f  x 1 f  1   C 0   x  f  x   x3  x 2 +) Lại có f  x Bài tập Cho hàm số 2 15 f  x  dx  x 3dx   21 có đạo hàm liên tục đoạn  1; 2 thỏa mãn f  1 2 f  x    x  1 f  x  2 xf  x  , x   1;2 A.1  ln Giá trị B.1  ln f  x  dx 1  ln C  ln D Bài giải tham khảo Chọn D f  x    x  1 f  x  2 xf  x   +) Từ giả thiết, ta có f  x    x  1 f  x  2 x f  x  x 1   x 1 x 1   2 xdx   x  C  2 x  f  x f  x  f  x  1 f  1 2  C 0  f  x     x x +) Lại có 2 1  dx   f  x  dx  x  x 1 12 ln x    ln x1 Bài tập Cho hàm số thỏa mãn f  1 2 A e  e f  x xác định có đạo hàm liên tục khoảng x  f  x   x   f  x   1, x  f e Giá trị   B e  C e  e Bài giải tham khảo Chọn B D e   0; +) Từ giả thiết, ta có x  f  x   x   f  x    xf  x   f  x  x  xf  x   f  x  x  xf  x    x   f  x  x   f  x           1  2 x x x x x  x   f  x x   C x x f  1 2  C 0  +) Lại có Bài tập Cho hàm số f  x f  x  x   f  x   x   f  e  e  x x 0;1 có đạo hàm liên tục đoạn   f  0  thỏa mãn f  x   f  x   f  x   , x   0;1 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x , trục hoành hai đường thẳng x 0; x 1 ln B A ln ln D C ln12 Bài giải tham khảo Chọn B f  x   f  x   f  x    +) Ta có  e   f  x   e f  x  e x  x  f  x   x f  x   f  x   f  x   1  e x f  x   e x f  x   f  x   e x  ex   ex x   e x dx e x  C  e  f x f x       ex ex f     C 2  e x   f  x   f  x  ex +) Lại có ln +) Do ex x ln S  dx  ln  e ln  ln ln   x 2e Bài tập (Trường Ngơ Quyền – Hải Phịng năm 2019): Cho hàm số f  x có đạo f 4 f x  xf  x   x3  x , x   hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện     Giá trị 10 f  2  f  x   4 x   f  x   16 x f  x    4f x +) Từ giả thiết, ta có    f  x   2 x      f  x  f  x 2 x f  x   x  C f  x  2 xdx  1 2 28 f   1  C 1  f  x   x  1  I f  x  dx  x  1 dx  15 0 +) Lại có Bài tập (Trường Anh Sơn – Nghệ An – Lần năm 2018 – 2019): Cho hàm số f  x đồng biến , có đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện ln 2 2x  f  x   4 f  x  e , x   f  2   Giá t rị tích phân 2ln 2  ln  A x f  x  dx 2ln 2  ln  B ln 2  2ln  C  ln 2  ln   D Bài giải tham khảo Chọn D  f  x   4 f  x  e x  +) Từ giả thiết, ta có  f  x  e x dx  +) Lại có  f  x   e x  f  x  e x  C ln 2 x ln 0 x f  x  dx  0 x e dx  x e  2 2x ln 2ln 2  2ln  e x 2  ln 2  ln   4 16 e x    f  x f   2  f   1  C 0  f  x  e x ln +) Vậy f  x  ln ln 2 x ln 2 x 0 xe dx 2ln  xe  0 e dx 2x f  x Bài tập Cho hàm số mãn f  1 1 đồng biến có đạo hàm lên tục đoạn  1; 4 thỏa  f  x   xf  x   4 f  x  , x   1; 4  Tính diện tích S hình phẳng y  f  x giới hạn đồ thị hàm số A  2ln , trục hoành hai đường thẳng x 1, x 4 B  2ln C  ln D  ln Bài giải tham khảo Chọn B  f  x   xf  x   +) Ta có   f  x   xf  x  xf  x  xf  x   +) Lại có 4 f  x   dx  x 2 S  f  x 1   f  x   xf  x    x xf  x  xf  x  2 x   2 f  x   x1 x tục  thỏa mãn điều kiện Giá trị A    x  xf  x   x  4 4 1  dx     dx 4 x  x  ln x 4  ln 1 x x 1 Bài tập (Chu Văn An – Hà Nội 2018 – 2019): Cho hàm số f  1 0 xf  x  2 x  C x1  f  x   xf  x    x   f  x   xf  x     xf  x       x x x xf  x  xf  x  f  1 1  C   +) Do  f  2 f  x có đạo hàm liên x  f  x    27  f  x   1 0, x   C B D  Bài giải tham khảo Chọn D  f  x    27  x  f  x    27  f  x   1 0     f x  f x          x x  f  x   1 +)Ta có 17        f  x   1    x    dx  x f  x  f  1 0  C 0  +) Lại có  f  x  1 f  x    C x  f  x   x   f    x Bài tập tương tự (phụ lục) CHỦ ĐỀ VI e   u.e  VẬN DỤNG QUY TẮC u u Cơ sở lý thuyết - Nếu u u  x  e   u .e  u u  e    g  x  e   g  x  dx  - Nếu f x f x Bài tập áp dụng Bài tập Cho hàm số trị f   2 f  x thỏa mãn f  1 ln f  x  e f  x 2 x, x   Giá A ln B 2ln C ln D ln Bài giải tham khảo Chọn D +) Ta có +) Lại có 18 f  x  e f  x  2 x  e f  x   2 x  e   2xdx  e   x f  1 ln  C 1  e f x f  x f x C  x   f  x  ln  x  1  f    ln Bài tập Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 f   1 thỏa mãn f  x  e f  x  x  2 x, x   0;1 A f  x  dx Giá trị tích phân B C  D  Bài giải tham khảo Chọn A +) Ta có f  x  e f  x   x  e f  x  e x 2 1 1   2 2 x  f  x  e f  x  2 xe x 1  e f  x  2 xe x 1  e f  x  2 xe x 1dx  C f   1  C 0  e f  x e x 1  f  x   x  +) Lại có 1 1 1 f x dx  x  dx  x  x       0   3   0 +) Do Bài tập 3.(Chuyên Nguyễn Du – Đắk Lắk năm 2018 – 2019): Cho hàm số f  x  e f  x   x2  đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện  2x 0, x   f  x f   1 Giá trị tích phân 11 A 15 B I  xf  x  dx 45 C D Bài giải tham khảo Chọn C f  x  e f  x   x2  +) Ta có f  e   x   19  2 xe x 1  e  2x f 3 x x 1    f x f x e  xe     f  x f 3 x 2 xe x 1dx  e f 3 x e x 1  C f  x có f   1  C 0  e f  x e x 1 +) Lại có f  x Bài tập Cho hàm số f  x    e f  x   1  e x , x   y  f  x  f  x   x   I  x x  1dx  45 f 0 có đạo hàm liên tục  thỏa mãn   Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng x 1, x 3 A B C D Bài giải tham khảo Chọn A +) Ta có  f  x   e  f  x  e +) Lại có f  x f  x  1  e x  f  x   f  x  e f x  1  e x   f  x   e    1  e x  x  e x  C f   0  C 0  f  x   e Xét hàm số f  x g  t  t  et f  x x  e x g  t 1  et  0, t   g t với t     nên   đồng biến  Suy f  x  e f  x S xdx  x 4 x  e  f  x  x 1 Do Bài tập Cho hàm số  f  x   1 e f  x x f  x e x , x   giới hạn đồ thị hàm số f 2 có đạo hàm liên tục  thỏa mãn   Tính thể tích V khối trịn xoay cho hình phẳng y  f  x , trục hoành hai đường thẳng x 0, x ln quay quanh trục hoành A 8 B C D 4 Bài giải tham khảo Chọn B +) Ta  f  x   1 e 20 f  x e x   f  x   1 e f  x  x f x x  f x x e x   e    e x  e   e x  C   có