NỘI DUNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH
PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH Để giải các bài toán tính diện tích học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức sau:
I Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác:
1 Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm chung thì diện tíchcủa nó bằng tổng diện tích của các đa giác đó ( tính cộng)
2 Các đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau ( tính bất biến)
3 Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì diện tích của nó là một đơn vị vuông ( tính chuẩn hóa)
4 Hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy tương ứng với hai chiều cao.
5 Hai tam giác có chung cạnh thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai chiều cao ứng với cạnh đó.
6 Tam giác đều cạnh a có diện tích
II Các công thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt:
1 Công thức tính diện tích hình chữ nhật:
Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó
2 Công thức tính diện tích hình vuông:
Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó
3 Công thức tính diện tích tam giác: a) Diện tích tam giác:
Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó b a
S = a.b b) Diện tích tam giác vuông:
Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông
4 Công thức tính diện tích hình thang:
Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao
5 Công thức tính diện tích hình bình hành:
Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó
6 Công thức tính diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau bằng nửa tích của hai đường chéo đó
7 Công thức tính diện tích của hình thoi
Diện tích hình thoi bằng nửa tích của hai đường chéo
III Cách giải bài toán tính diện tích và phương pháp diện tích:
1 Để tính diện tích của một đa giác:
Để tính diện tích của đa giác, chúng ta cần áp dụng công thức cụ thể Tuy nhiên, điều quan trọng là phải có đủ dữ kiện, và nếu thiếu thông tin, chúng ta cần xác định và tính toán các dữ kiện cần thiết trước khi có thể tính diện tích chính xác của đa giác.
Đa giác có công thức tính diện tích, nhưng nếu không thể áp dụng công thức đó, bạn có thể dựa vào diện tích của đa giác khác và các tính chất đã được nêu để thực hiện phép tính.
Để tính diện tích của một đa giác mà không có công thức cụ thể, chúng ta cần chuyển đổi diện tích của đa giác đó sang diện tích của một hình khác mà chúng ta đã biết cách tính.
2 Chứng minh hình bằng phương pháp diện tích:
Biết các công thức tính diện tích của đa giác giúp chúng ta dễ dàng tính diện tích khi có độ dài của một số yếu tố Ngược lại, nếu nắm rõ quan hệ diện tích giữa hai hình, chúng ta có thể sử dụng thông tin đã biết để suy luận và chứng minh các yếu tố liên quan.
+ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau:
- Xác định quan hệ diện tích giữa các hình.
- Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài.
- Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh.
3 Để giải các bài toán về bất đẳng thức và cực trị ta cần nắm được:
Phương pháp giải bài toán này dựa trên việc sử dụng các bất đẳng thức đã biết, kết hợp với các tính chất của chúng để suy luận ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Các bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách;
Một phương pháp để chứng minh tính chất của hình học là chọn một hình mẫu và chỉ ra rằng mọi hình khác đều có các yếu tố như đoạn thẳng, góc, hoặc diện tích lớn hơn hoặc nhỏ hơn các yếu tố tương ứng của hình mẫu đó.
Cách 2: Thay thế điều kiện của một đại lượng đạt cực trị bằng các điều kiện tương đương, cuối cùng giúp xác định vị trí của điểm để đạt được cực trị.
Các bất đẳng thức thường được dùng để giải toán cực trị:
+ Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.
+ Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu.
+ Bất đẳng thức tam giác + Các bất đẳng thức đại số
MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
I Các bài toán tính diện tích đa giác Để tính diện tích của một đa giác:
Để tính diện tích của một đa giác, cần có công thức cụ thể Tuy nhiên, nếu thiếu dữ kiện cần thiết, chúng ta phải xác định các thông tin còn thiếu đó trước khi tiến hành tính toán diện tích.
Đa giác có công thức tính diện tích, tuy nhiên nếu không thể áp dụng công thức đó, bạn có thể tính diện tích bằng cách sử dụng diện tích của một đa giác khác và các tính chất đã được đề cập trước đó.
Để tính diện tích của một đa giác mà không có công thức cụ thể, chúng ta cần chuyển đổi diện tích của nó thành diện tích của một hình khác mà chúng ta đã biết cách tính.
Bài 1 : Cho tam giác ABC cân ở A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm Gọi O là trung điểm của đường cao AH Các tia BO và CO cắt cạnh AC và AB lần lượt ở D và
Gọi N là trung điểm của CD.
AOC AOD (Chung chiều cao hạ từ O xuống AC)
AHC AOC (Chung chiều cao hạ từ C xuống AH)
Để tính diện tích cho bài tập này, học sinh cần nhận biết rằng diện tích S ABC đã được biết Do đó, cần tìm mối quan hệ giữa diện tích S ADOE và S ABC Hơn nữa, H và O là những điểm đặc biệt nằm trên các đoạn.
AC, AH nên ta dễ dàng tìm được mối quan hệ đó bằng cách lấy thêm điểm N là trung điểm của DC.
1 S ABC áp dụng đlí Pitago vào AHC vuông tại H => AH = 4cm
Bài 2 : Cho hbh ABCD có diện tích bằng 1 Gọi M là trung điểm của BC, AM cắt
BD ở Q Tính diện tích MQDC ?
Phân tích đề bài và hướng giải:
Hs cần nhận thấy S ABCD = 1 nên dễ dàng suy ra S BCD =
1 Để tính S MQDC thì phải thông qua S BCD và S BMQ
Để xác định mối quan hệ giữa S BMQ và S BCD, chúng ta cần xem xét vị trí đặc biệt của điểm Q trên đoạn BD Để làm rõ điều này, ta sẽ lấy điểm N là trung điểm của đoạn AD.
Lấy N là trung điểm của AD.
Ddcm AMCN là hình bình hành AM // CN
QB = QE ; ED = QE ( Định lí đường trung bình)
Bài 3 : Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy M: BM =
CD lấy N sao cho CN =
1 CD a) Tính S AMN theo S ABCD
C b) BD cắt AM ở P, BD cắt AN ở Q Tính S MNQP theo S ABCD
Nên để tính diện tích của AMN ta phải làm
S AMN = S ABCD - S ABN - S CMN - S ADN
(b) Tính S MNQP theo S ABCD cần phải tìm mối liên hệ S MNPQ với S AMN vì các đỉnh của tứ giác nằm trên cạnh của AMN.
Muốn tìm mối liên hệ đó rõ ràng phải thông qua APQ
Trong bài toán này, chúng ta nhận thấy rằng hai tam giác APQ và AMN có hai đáy cùng nằm trên một đường thẳng Để giải quyết vấn đề, cần kẻ thêm đường vuông góc PK và MH, từ đó rút ra được lời giải cho bài toán.
Bài giải: a) S AMN = S ABCD - S ABN - S CMN - S ADN
S ABM = 10 1 S ABCD ; S CMN = 15 2 S ABCD; S ADN = 3 1 S ABCD
Do đó ta tính được : S AMN = 60 13 S ABCD
Vậy S MNPQ = 13 60 S ABCD b) Kẻ MH AN ; PK AN
Vì PK// MH ( cùng vuông góc với AN) (Theo định lí Ta let).
Để giải câu (a), học sinh cần áp dụng tính chất 1: Diện tích của một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm chung bằng tổng diện tích của các đa giác đó.
Bài 4: Cho ABC có AB = 3; AC = 4, BC = 5 Vẽ các đường phân giác AD, BE,
CF Tính diện tích tam giác DEF
Bài giải: ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5
Ta có CF là phân giác ACB Tương tự AE
Hạ FH BC ; EK BC.
FH = FA ; EK = AE ( Tính chất tia pg của một góc) Cmtt như trên ta tính được DB = ( Dựa vào định lí đường phân giác trong tam giác) DC =
S DEF = S ABC - ( S AEF + S BFD + S DFC )
Phân tích đề bài và hướng giải:
- Để tính được diện tích của DEF thì ta phải đi tính S ABC , S AEF, S BFD , S DFC
Học sinh dễ dàng tính được S ABC , S AEF vì đó là hai tam giác vuông
Để tính diện tích S BFD và S DFC, cần phải kẻ thêm đường cao Dựa vào giả thiết có phân giác của các góc, ta có thể suy ra cách kẻ đường cao một cách chính xác.
Bài 5: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O Đường trung trực của AB cắt BD, AC tại M, N Biết MB = a,
NA = b Tính diện tích hình thoi theo a và b
Bài giải: Gọi H là trung điểm của AB Dễ dàng nhận thấy:
*) AHN vuông tại H HN 2 + HA 2 = AN 2 ( Theo định lí Pitago)
*) AOB vuông OA 2 + OB 2 = AB 2
Do đó OA 2 = và OB =
Mà S ABCD = 2.OA.OB Vậy S ABCD =
Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 30cm Trên các cạnh AB, BC,
CD, DA thứ tự lấy các điểm E, F, G, H: AE = 10cm;
BF cm, CG = 14 cm, DH = 16cm a) Tính S EFGH b) Trên EF lấy hai điểm M, N : sao cho EM = , FN=
Trên cạnh HG lấy hai điểm P, Q : GP = HQ = Tính S MNPQ
Để tính diện tích S EFGH, chúng ta cần dựa vào các diện tích S ABCD, S AEH, S EBF, S FCG và S HGD, được xác định thông qua các công thức đã học Tứ giác MNPQ có các đỉnh nằm trên cạnh của tứ giác EFGH ở những vị trí đặc biệt, do đó cần tìm mối liên hệ giữa MNPQ và EFGH để tính diện tích của tứ giác MNPQ.
Bài giải: a)Từ gt EB = 20cm, CF = 18cm, DG = 16cm, AH = 14cm.
=> S EFGH = 900 - ( 70 + 120 + 126 + 128) = 456 cm 2 b) Vì EM = (gt) => EM = => S HEM = => S HMF =
Do đó chứng tỏ PQ = HP
Bài 7: Cho hình thang ABCD Biết độ dài hai đường chéo là 3 và 5, độ dài đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy là 2 Tính diện tích hình thang
Bài giải: Gọi M, N lần lượt là trung điểm 2 đáy BC, AD
Dựng hình bình hành BCKD ta có : CK = BD = 5.
Kẻ CP là trung tuyến ACK.
Ta có: NP = ND + DK – PK
MNPC là hình bình hành CP = MN = 2.
Dựng hình bình hành ACKE ta có: CE = 4, EK = 3, CK = 5.
EKC vuông tại E => AC CP.
S CAK = 2.S ACP = AC.CP = 6 đvdt.
Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy M, N, P lần lượt thuộc AB, BC, CD sao cho AM : MB = 1:2 ; BN : NC = 2:3 ; CP : PD = 3:4
Trong bài toán hình học, hai đường thẳng CM và DN cắt nhau tại điểm E Đường thẳng đi qua E và song song với AB cắt đường AP tại điểm F Đường thẳng BF tiếp tục cắt AD tại điểm Q Câu hỏi đặt ra là tính tỉ lệ DQ : QA và diện tích S PEQ theo diện tích S ABCD.
Phân tích đề bài và hướng giải: a) + Để tính DQ : DA ta cần xem tỉ số đó bằng tỉ số nào ?
Để xác định các đoạn thẳng tỉ lệ trong bài toán này, chúng ta nên áp dụng định lý Ta Lét Điều này là khả thi nhờ vào sự hiện diện của các đường song song, tuy nhiên cần kéo dài các đoạn thẳng DN, CD, AB và BQ.
Do đó ta thấy được:
Vì AB = CD Nên ta có thể tìm
KD b) Ta nhận thấy các đỉnh của PEQ đều nằm trên các cạnh của hình thang vuông TEPD
Do đó để tính S PEQ ta cần phải thông qua các S TEPD , S TQE , S DPQ
Bài giải: a)DN AB = {I} ; BQ CD = { K}.
Vậy b) S PQE = S TEPD - S TQE - S DPQ
II Các bài toán chứng minh băng phương pháp diện tích
1 Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích và quan hệ các đoạn thẳng:
Để tính diện tích của các đa giác, ta cần áp dụng các công thức đã biết và sử dụng độ dài của một số yếu tố liên quan Khi nắm vững mối quan hệ diện tích giữa hai hình, kết hợp với các yếu tố đã biết khác, ta có thể tổng hợp kiến thức để chứng minh điều cần thiết.
+ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau:
- Xác định quan hệ diện tích giữa các hình.
- Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài.
- Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh.
Bài 1: Cho hình thang ABCD, BC // AD Các đường chéo cắt nhau tại O Chứng minh rằng: S OAB = S OCD
B Phân tích đề bài và hướng giải:
- Ta nhận thấy OAB và OCD không chung đường cao và cũng không chung cạnh
- BAD và CAD là hai tam giác có chiều cao bằng nhau và chung
- Vì BC // AD ( gt) Chiều cao hạ từ B và C cùng xuống AD bằng nhau.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AB > BC và góc BAD nhọn, đường phân giác của góc BAD cắt CD tại M và cắt đường thẳng BC tại N Gọi O là diểm cách đều ba điểm C, M, N và K là giao điểm của OB và CD
Chứng minh:a) S OBN = S ODC b) S BCK + S NOC = S DOK
Bài giải: a) Vì O cách đều các điểm M, C, N OM = ON = OC.
Vì BN// AD BNA = NAD
Mà NAD = NAB BAN cân tại B => BA = BN => BN = CD.
Cmtt CM = CN => CMN cân
Có OM = ON( cmt) => OMN cân
Có OM = OC( cmt ) OCM cân tại O CMO = MCO (2)
Do đó ddcm : OBN = OCD (c.g.c)
Vậy S OBN = S ODC b) S BCK + S NOC = S OBN - S OCK (3)
Phân tích đề bài và hướng giải: a) Ta nhận thấy OBN và OCD có
Vì vậy để cm S OBN = S ODC ta nghĩ đến tính chất: hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
Do đó ta cần cm: OBN = OCD b) Để cm: S BCK + S NOC = S DOK ta cần tìm mối liên hệ của S BCK và
S NOC với S OBN S DOK với S ODC
Từ (3) (4)(5) S BCK + S NOC = S DOK (đpcm)
Bài 3: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD cắt các cạnh AB, CD ở M và K
Chứng minh rằng: S DMC = S AKB
Để chứng minh S DMC = S AKB, chúng ta cần phân tích đề bài và tìm các tam giác có diện tích bằng nhau Việc xác định mối liên hệ giữa diện tích của các tam giác này và diện tích tam giác cần chứng minh là rất quan trọng trong quá trình giải bài toán.
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC , BD.
Do đó S MAQ = S MCQ ; S KAQ = S KCQ S AMK = S CMK (1) Cmtt S BMK = S DMK (2)
Từ (1) và (2) S BMK - S AMK = S DMK - S CMK