Phương Pháp Diện Tích.pdf

��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC NGUY�N THÀ LUY�N PH×ÌNG PH�P DI�N T�CH LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC Th¡i Nguy¶n N«m 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG[.]

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N THÀ LUY˜N PH×ÌNG PHP DI›N TCH LUŠN V‹N TH„C Sž TON HC ThĂi Nguyản - Nôm 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N THÀ LUY˜N PH×ÌNG PHP DIN TCH Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M sè : 60.46.01.13 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Ng÷íi hữợng dăn khoa hồc PGS.TS.NGUYN VIT HI ThĂi Nguyản - Nôm 2014 Mửc lửc Lới nõi Ưu KhĂi niằm diằn tẵch, phữỡng phĂp tẵnh diằn tẵch 1.1 CĂc tiản à và diằn tẵch CĂc hẳnh khÊ diằn 1.1.1 Di»n tẵch a giĂc nh lỵ tỗn tÔi v nhĐt 1.1.2 C¡c a gi¡c ¯ng di»n v  c¡c a gi¡c ¯ng hđp 1.1.3 Lỵp cĂc hẳnh phng o ữủc 11 1.2 1.3 CĂc cổng thực tẵnh diằn tẵch hẳnh håc ph¯ng 14 1.2.1 Di»n t½ch tam gi¡c 14 1.2.2 C¡c cỉng thùc cì b£n cõa di»n t½ch tù gi¡c 17 1.2.3 C¡c cæng thùc di»n tẵch hẳnh trỏn, hẳnh quÔt trỏn 18 Tẵnh diằn tẵch a gi¡c, h¼nh trán 18 19 1.3.1 T½nh di»n t½ch tam gi¡c 1.3.2 T½nh di»n t½ch tù gi¡c 21 1.3.3 Tẵnh diằn tẵch hẳnh trỏn, hẳnh cong 22 1.4 T½nh di»n t½ch m°t ph¯ng tåa ë 24 1.5 Di»n tẵch hẳnh phng v cổng cử tẵch phƠn 25 Ph÷ìng ph¡p di»n tẵch hẳnh hồc phng 30 2.1 30 2.2 M ¦u Sû döng di»n t½ch b i to¡n chùng minh 2.2.1 Chùng minh mët ¯ng thùc v· ë d i ho°c gâc i 32 33 2.3 2.2.2 Chùng minh tẵnh ỗng quy, thng hng, song song 36 2.2.3 Sỷ dửng diằn tẵch  chựng minh cĂc bĐt ng thùc 41 Sû dưng di»n t½ch gi£i c¡c b i to¡n và tẵnh toĂn, và cỹc tr, và dỹng hẳnh 44 2.3.1 Sû dưng di»n t½ch nhúng b i toĂn tẵnh toĂn 44 2.3.2 Sỷ dửng diằn tẵch tẳm cüc trà 46 Sû dưng di»n t½ch c¡c b i to¡n düng h¼nh 53 2.4 Sû dưng di»n tẵch à tẳm têp hủp im 55 2.5 Dịng y¸u tố diằn tẵch bi têp Ôi số 59 T i li»u tham kh£o 65 2.3.3 ii Líi nâi ¦u Di»n t½ch l  mët nhúng nëi dung quan trång Hẳnh hồc phờ thổng, cĂc bi toĂn tẵnh diằn tẵch, chựng minh diằn tẵch cĂc hẳnh luổn l cĂc b i to¡n câ m°t c¡c k¼ thi håc sinh giọi cĂc cĐp NhiÃu bi toĂn Hẳnh hồc bà ngoi khổng chựa yáu tố diằn tẵch náu ngữới lm toĂn biát kho lo dũng yáu tố diằn tẵch thẳ s nhên ữủc mởt lới giÊi hay, bĐt ngớ, cõ nhỳng trữớng hủp náu khổng sỷ dửng diằn tẵch thẳ khổng th giÊi ữủc Ơy l cỡ s khoa hồc º t¡c gi£ lüa chån · t i cho b£n luªn vôn Phữỡng phĂp diằn tẵch Dữợi tiảu à trản tĂc giÊ  tẳm mởt phữỡng phĂp hay  giÊi quyát cĂc bi toĂn Hẳnh hồc phng: Tẵnh diằn tẵch cĂc hẳnh v dũng diằn tẵch nhữ mởt cổng cư trđ º gi£i c¡c b i to¡n h¼nh håc BÊn luên vôn gỗm Lới nõi Ưu, hai chữỡng, Kát luên v danh mửc ti liằu tham khÊo Chữỡng KhĂi niằm diằn tẵch, phữỡng phĂp tẵnh diằn tẵch Chữỡng ny nhơm xƠy dỹng lÔi khĂi niằm diằn tẵch cừa mởt hẳnh Bưt Ưu tứ diằn tẵch a giĂc ữủc xƠy dỹng bơng phữỡng phĂp tiản Ã, Ơy l nhỳng yáu tố cỡ s  cõ khĂi niằm và hẳnh khÊ diằn, ỗng thới cĂc cổng thực ỡn giÊn nhĐt, cỡ bÊn nhĐt  tẵnh diằn tẵch cĂc hẳnh Ngoi cĂch tẵnh diằn tẵch bơng cĂch Ăp dửng trỹc tiáp c¡c cỉng thùc, ta cán ¡p dưng ÷đc ph÷ìng ph¡p tồa ở v tẵch phƠn xĂc nh Mội phữỡng phĂp ữủc lm ró bi cĂc k thuêt v minh hồa bơng cĂc bi toĂn in hẳnh Nởi dung chữỡng gỗm cĂc phƯn: - CĂc tiản à và diằn tẵch - Tẵnh diằn tẵch bơng cĂch Ăp dửng cĂc cổng thực - Tẵnh diằn tẵch bơng cổng cử tẵch phƠn Chữỡng Phữỡng phĂp diằn tẵch hẳnh hồc phng Chữỡng ny tĂc giÊ ữa mởt phữỡng phĂp mợi gồi l k thuêt  dửng diằn tẵch nhữ chĐt xúc tĂc  K thuêt ny ữủc dũng : sỷ - Gi£i c¡c b i to¡n chùng minh h¼nh håc (chùng minh hai oÔn thng bơng nhau, chựng minh hằ thực, chựng minh tẵnh song song, tẵnh ỗng quy cừa cĂc ữớng thng, tẵnh thng hng cừa cĂc im, chựng minh cĂc bĐt ng thực hẳnh hồc ) - GiÊi cĂc b i to¡n v· t¼m cüc trà h¼nh håc, c¡c b i to¡n t½nh to¡n - Gi£i c¡c b i to¡n v· düng hẳnh - GiÊi cĂc bi toĂn tẵnh têp hủp im (qu tẵch) Chẵnh k thuêt  dũng diằn tẵch nhữ chĐt xúc tĂc  l ỵ tững cỡ bÊn cừa phữỡng phĂp diằn tẵch m chúng tổi nghiản cựu à ti ny Ti liằu tham khÊo gỗm danh mửc TĂc giÊ  nhên ữủc sỹ giúp ù tên tẳnh cừa thy hữợng dăn, PGS.TS Nguyạn Viằt HÊi, viằc tẳm hiu cĂc vĐn à cừa bÊn luên vôn v  tr¼nh b y theo mët tr¼nh tü logic T¡c gi£ xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi têp th cĂc thy, cổ cừa Khoa ToĂn- Tin, Ôi hồc Khoa hồcÔi hồc ThĂi Nguyản; cĂc thy, cổ cừa Viằn ToĂn hồc- Viằn Khoa hồc Viằt Nam v thy hữợng dăn; nhỳng ngữới  tên tẳnh giÊng dÔy, giúp ù tĂc giÊ suốt khõa hồc cao hồc tÔi Ôi hồc ThĂi Nguyản v hon thnh bÊn luên vôn ny ThĂi Nguyản, ngy 19 thĂng nôm 2014 TĂc giÊ Nguyạn Th Luyán Chữỡng KhĂi niằm diằn tẵch, phữỡng phĂp tẵnh diằn tẵch 1.1 CĂc tiản à và diằn tẵch CĂc hẳnh khÊ diằn 1.1.1 Diằn tẵch a giĂc nh lỵ tỗn tÔi v nhĐt LĐy trản mt phng Euclide gĐp khúc E2 mởt hẳnh F no õ v giÊ sỷ ữớng L F chia hẳnh F\L th nh ph¦n F1 ,F2 F1 chia th nh c¡c h¼nh têng cõa c¡c h¼nh = F1 , F2 F1 ∪ L; v  vi¸t F2 = F2 Ta nõi hẳnh F ữủc L cỏn hẳnh F ữủc gồi l F = F1 + F2 Hẳnh 1.1: Nhợ lÔi rơng a giĂc l mởt hẳnh phng m cõ th chia ữủc thnh mởt số hỳu hÔn cĂc tam giĂc a giĂc ữủc gồi l a giĂc ỡn náu biản cừa nõ nõ l ữớng gĐp khúc khp kẵn, khổng cõ im ký d Ta kỵ hiằu M l têp hủp cĂc a gi¡c tr¶n m°t ph¯ng Euclide E2 Ta nâi rơng diằn tẵch a giĂc ữủc xĂc nh náu Ănh xÔ S : M R+ thọa mÂn cĂc tiản à sau: (bĐt bián qua php dới hẳnh) ii F = G + H ⇒ S(F) = S(G) + S(H) (Tẵnh chĐt cởng tẵnh cừa S) iii S(F0 ) = vợi F0 l hẳnh vuổng cõ cÔnh bơng Sè d÷ìng S(F) ÷đc gåi l  ë o hay diằn tẵch cừa a giĂc F nh lỵ 1.Náu hm S(F) tỗn tÔi thẳ ối vợi hẳnh chỳ nhêt P cÔnh cõ ở di x, y hm S cõ dÔng S(P)=xy i F ∼ = F' ⇒ S(F) = S(F') Chựng minh GiÊ sỷ hm S(F) tỗn tÔi v ta xt nõ trản têp hủp M0 tĐt cÊ cĂc hẳnh nhªt Khi â S(P) l  h m cõa x v  y x¡c ành vỵi måi x, y ∈ R∗+ v  ch nhên giĂ tr dữỡng: S(P)=f(x,y) Hm ny cõ cĂc tẵnh chĐt sau: (a) f(x,y) = f(y,x) (b) f (x1 +x2 , y) = f (x1 , y) + f (x2 , y) Tẵnh chĐt (a) suy tứ iÃu kiằn i Vợi ỵ rơng hai a giĂc cõ cÔnh x, y v cÔnh l y, x l hai a giĂc bơng Tẵnh chĐt (b) suy tứ iÃu kiằn ii Ta kỵ hiằu Tứ tẵnh chĐt (b) suy ra: f(x, y) |y=const = g(x) g(x1 +x2 ) = g(x1 ) + g(x2 ),∀x1 , x2 ∈ R∗+ Theo kát quÊ cừa giÊi tẵch, hm g(x) cõ tẵnh chĐt ny, xĂc nh trản têp Hẳnh 1.2: hủp R+ v ch nhên giĂ tr dữỡng, ữủc biu diạn bði g(x) = k.x, â k = const Ngh¾a l  f(x, y) |y=const = k.x Vỵi c¡c gi¡ trà y = const kh¡c th¼ gi¡ trà k cơng kh¡c nhau, bði vªy ta ph£i coi k = k(y) Nhữ thá ta nhên ữủc f(x,y) = k(y).x t x = ta ữủc f(1,y) = k(y) Bi vêy ta cõ tẵnh chĐt (c): f(x,y) = f(1,y).x.Tứ (a) v (c) suy ra: f(1,y) = f(y, 1) = f(1,1).y v  (b) cõ dÔng f(x,y) = f(1,1).x.y Những theo tiản à iii f(1,1) = Do â, S(P) = x.y.(pcm) H¼nh vng F0 cho S(F0 ) = ÷đc gåi l  h¼nh vng ìn Rã r ng h¼nh vng n y xĂc nh náu chồn ữủc oÔn thng ỡn v iÃu kiằn tẵch cừa hai oÔn thng ữủc hiu l tẵch hai ở di cừa chúng Náu hm S(F) tỗn tÔi thẳ : i Vợi hẳnh chỳ nhêt P, số S(P) bơng tẵch cừa Ăy v ữớng cao ii Vợi hẳnh thang tũy ỵ T, số S(T) bơng tẵch ữớng trung bẳnh v Ăy iii Vợi tam giĂc tũy ỵ H, số S(H) bơng nỷa ở di mởt cÔnh nhƠn vợi ữớng cao tữỡng ựng iv Vợi hẳnh bẳnh hnh bĐt ký B, số S(B) bơng tẵch mởt cÔnh vợi ữớng cao tữỡng ựng Hằ quÊ Chựng minh Kát quÊ i  cõ trản Kát quÊ ii hin nhiản trản hẳnh v 1.3 Xt iii Hẳnh 1.3: SABC = SAFNB + SFNC = SBNMA = EF.AH = BC.AH Cuèi còng x²t iv SABCD = SABD + SBCD = 12 AB.DH+ 12 CD.BH1 = AB.DH H» qu£ ữủc chựng minh Nhữ vêy vĐn à cỏn lÔi l tỗn tÔi hay khổng hm S(F)? Gồi AB l mởt cÔnh cừa a giĂc F, náu H l im khổng ký d trản cÔnh ny thẳ tỗn tÔi hẳnh trỏn B(H, ε) cho h¼nh F1 = F ∩ B(H, ) l mởt nỷa hẳnh trỏn Tỗn tÔi tia [HN) thäa m¢n i·u ki»n sau: + [HN) vng gâc vợi ữớng thng (AB) + [HN) B(H, )\F1 6= Vc tỡ ỡn v n cõ hữợng hữợng vợi tia [HN) ữủc gồi l phĂp v²c tì ìn ngo i cõa a gi¡c F Nh÷ vêy vợi mội cÔnh cừa a giĂc F ta Ãu x¡c ành ÷đc ph¡p v²c tì ìn ngo i Gi£ sỷ a giĂc F cõ k cÔnh Ta kỵ hiằu li l ở di cÔnh thự i; ựng vợi cÔnh n y; Hi → − ni l  ph¡p v²c tì ìn v ngoi l im no õ trản ữớng thng chựa cÔnh thự i LĐy im O trản mt phng cừa a gi¡c F v  lªp têng k X −−→ → li OHi − ni (1.1) i=1 Têng n y khæng phư thc v o vi»c chån iºm O, khỉng phư thc vo viằc chồn im Hi trản ữớng thng chựa cÔnh thù i cõa a gi¡c H¼nh 1.4: H¼nh 2.6: k AC iºm P n¬m b [ = B cho 3BP = BC Chùng minh BFP π b b = π − 2α sû BC = 3, â BP = °t:B = + 2α, C 3 ữớng trỏn nởi tiáp, F l im trản AB cho IF trản cÔnh BC Lới giÊi: GiÊ Sỷ dửng cổng thực (1.11), (1.15) ta tẵnh ữủc: r = sin A B C a sin sin = 2 2 sin A B C sin 2 = √3(cos2α − ) A cos a sin Gồi M l hẳnh chiáu cừa F tr¶n AC, ta câ FM = r v  theo tr¶n:   r AF = = cos 2α − sin A   π  3.2 Lóc â, BF = c − AF = √ sin − 2α − cos 2α − 3 ! √   π = 22 cos α cos α − sin α = 22 cos α.cos +α 2 Dịng ành l½ cosin cho tam giĂc BFP, ta tẵnh ữủc:FP   = cos FP = 2cos + α p dưng ành l½ sin cho tam gi¡c π  cos +α π  = v  suy i·u ph£i chùng minh: [ sin BFP sin + 2α π  B b [ [ = B sin BFP = sin + α = sin hay BFP 2 â 35 π +α  , BFP, ta câ: 2.2.2 Chùng minh tẵnh ỗng quy, thng hng, song song nh lỵ Xả-va ) Trản cĂc cÔnh BC, CA, AB cừa Bi toĂn 2.5 (xem [3]) ( tam giĂc ABC lƯn lữủt lĐy cĂc im kiằn cƯn v ừ  cĂc ữớng thng A1 ,B1 ,C1 Chùng minh r¬ng i·u AA1 , BB1 , CC1 ỗng quy l AC1 BA1 CB1 = C1 B A1 C B1 A H¼nh 2.7: Líi gi£i: Gi£ sû c¡c ÷íng th¯ng AA1 , BB1 , CC1 ỗng quy tÔi G Khi õ, AC1 SACG BA1 SABG CB1 SBCG ; ; = = = C1 B SBCG A1 C SACG B1 A SABG Do â, Ng÷đc AC1 BA1 CB1 SACG SABG SBCG = = C1 B A1 C B1 A SBCG SACG SABG AC1 BA1 CB1 lÔi, náu câ ¯ng thùc = 1, C1 B A1 C B1 A ta cƯn chựng minh ữớng thng ỗng quy K ữớng thng qua giao im G cừa BB1 , CC1 A0 Lp lÔi chựng minh tr¶n ta câ: AC1 BA1 CB1 AC1 BA CB1 =1= ( A nơm trản cÔnh BC) Tực C1 B A C B1 A C1 B A1 C B1 A BA0 BA1 BC BC 0 = ⇔ = suy ra: CA1 = CA ⇒ A1 ≡ A1 (pcm) 0 A C A1 C A C A1 C c­t BC ð l : B i to¡n 2.6 (xem [3]) Chựng minh rơng náu mởt lửc giĂc lỗi mội mởt ữớng cho chẵnh nối cĂc c°p ¿nh èi di»n chia lưc gi¡c th nh ph¦n tữỡng ữỡng thẳ ữớng cho ny ỗng quy 36 Líi gi£i: + Gåi ABCDEF l  lưc gi¡c ¢ cho v  H l  giao iºm cõa AD v  CF Ta câ SADEF = SCDEF = SABCDEF ⇒ SAFH = SCDH ⇒ AC//BF H¼nh 2.8: HI FI FD ∈ KI v  = = KI CK AC V¼ KA = KC, FI = ID n¶n SKICD = SKICD = SACDF 1 + M  SEID = SEFD ; SEID + SDIKC + SBKC = SABCDEF 2 M°t kh¡c: SEDCB = SABCDEF ⇒ SEDCB = SEDI + SDIKC + SBKC + H = BE ∩ KI ⇒ SBKH0 = SEIH0 ⇒ BI//KE + Gåi K, I l  trung iºm cõa AC v  FD H KE k IB; KC k IF ; CE k BF (theo chùng minh tr¶n) BI IF FD Suy ra: ∆EKC ∼ ∆BIF ⇒ = = EK KC AC BI H0 I H0 I FD + M  BI k BE ⇒ = Vªy = KE H K H K AC H0 I HI Do â = ⇒ H ≡ H0 Vªy AD, BE, CF ỗng quy H K HK Ta cõ: ữớng thng New Tỡn ) Chựng minh rơng Bi toĂn 2.7 (xem [3]) ( mởt tự giĂc ngoÔi tiáp thẳ tƠm ữớng trỏn nởi tiáp v trung im cừa hai uíng ch²o th¯ng h ng Líi gi£i: Gåi P l  giao im DA v CB ko di Trản DA lĐy iºm D' cho 37 H¼nh 2.9: PD' = AD v trản CB lĐy C' cho PC' = BC Gåi M, N l  trung iºm cõa BD v  AC n¶n ta câ: SMAD + SMBC = SMAB + SMCD = SABCD SNAD + SNBC = SNAB + SNCD = SABCD Theo c¡ch düng iºm D' v  C' v  hai ¯ng thùc tr¶n ta câ: SMPD0 + SMPC0 = SNPD0 + SNPC0 ⇒ SMD0 PC0 = SND0 PC0 ⇒ SMD0 C0 = SND0 C0 ⇒ MN k D0 C0 0 Lªp luên nhữ trản ta cụng cõ: OM k D C Do â suy M, O, N th¯ng h ng nh lỵ Pascal ) GiÊ sỷ ABCDEF l lửc giĂc B i to¡n 2.8 (xem [3]) ( nëi ti¸p cho AC cưt BF tÔi K CE cưt FD cưt tÔi L cỏn AD v BE cưt tÔi M Chùng minh r¬ng: iºm K, M, L th¯ng h ng Lới giÊi: Theo nh lỵ hm số sin, sin cừa gõc nởi tiáp t lằ vợi cung b chưn [ AK.AD.sinKAD AK.CD KM SAKD = = = n¶n ta câ: KM SALD DL.AF [ DL.DA.sinADL KM0 BK.FE Tữỡng tỹ náu M' l giao im thẳ = ML LE.BC AK BK CD FE Do ∆AKF ∼ ∆BKC v  ∆CLD ∼ ∆FLE Suy = ; = AF BC DL LE 38 H¼nh 2.10: Suy KM KM0 = ML LM0 Vªy M ≡ M0 hay K, M, L th¯ng h ng B i to¡n 2.9 (xem [6]) Cho tam giĂc ABC nởi tiáp ữớng trỏn tƠm O, bĂn kẵnh r, ữớng cao AH Gồi E, F lƯn lữủt l hẳnh chiáu cừa H xuống AC v  AB Chùng minh r¬ng: Ba iºm E, O, F thng hng biát AH = R Hẳnh 2.11: Líi gi£i: Gi£ sû b < 900 C Tù gi¡c AEHF nëi Suy b [ = C AFE b [ = 900 − C FAO b [ = EAH [ = 900 C tiáp nản: EFH thẳ Do â FO⊥AO p dưng cỉng thùc (1.15) èi vỵi tam gi¡c AEF ta câ: 39  BD S=2 (Dạ thĐy 2 sinA sin E.sinF = R2 sin A.sinB.sinC = SABC b AEF b ) [ = C; [ = B AFE h1 l  ÷íng cao cõa tam gi¡c AEF k´ tø ¿nh A Khi â: 1 1 SAEF = SABC = BC.AH = EF.h1 = AH.sinA.h1 2 √ EF = R = AH ) (Do sin A BC Suy ra: h1 = = R sin A Chùng tä r¬ng: AO⊥EF Suy ba iºm E, D, F th¯ng h ng Gåi B i to¡n 2.10 Cho tam gi¡c ABC, mởt ữớng thng song song vợi BC cưt AB, AC ð D v  E Qua D v  E l¦n lữủt k cĂc ữớng thng song song vợi AC, AB, cưt BE, DC lƯn lữủt tÔi M v N k Chựng minh rơng MN BC Hẳnh 2.12: Lới giÊi: Gồi I l  giao iºm cõa BE v  CD V¼ EN k AB n¶n SBEN =SDEN (chung ¡y EN v  hai ữớng cao thuởc EN bơng nhau) M SBIN =SBEN SIEN ; SDIE =SDEN −SIEN Suy ra: SBIN =SDIE T÷ìng tü: SCIN =SDIE M°t kh¡c, SBMN =SBIN − SMIN ; SCMN =SCIN − SMIN Tø â suy ra: MN Do â: k SBIN =SCIN n¶n SBMN =SCMN BC Ta lữu ỵ rơng: Khi cố nh Ăy BC thẳ têp hủp cĂc im A cho 40 SABC =m2 (khỉng êi) l  c°p ÷íng th¯ng song song vỵi BC B i to¡n 2.11 Tam gi¡c ABC câ AB = 4cm, BC = 5cm, CA = 6cm Gåi I l  giao c¡c ph¥n gi¡c trong, G l  trång t¥m tam giĂc Chựng minh rơng: IG k BC Hẳnh 2.13: 1 SGBM = SABM ; SGCM = SACM ; 3 1 suy ra: SGBM +SGCM = (SABM +SACM ) = SABC , tùc SGBC = SABC 3 T½nh theo r ta câ: SIBC = 5.r = 2, 5r Ti¸p theo, SABC =SIBC +SICA +SIAB = 7, 5r ⇒ SIBC = SABC Tø tr¶n suy ra: SGBC = SABC = SIBC Suy IG k BC Líi gi£i: Ta câ: 2.2.3 Sû dưng di»n t½ch º chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc B i to¡n 2.12 (xem [3]) Cho tam gi¡c ABC, O l  iºm b§t ký nơm tam giĂc, cĂc tia AO,BO,CO cưt cĂc cÔnh BC, CA, AB lƯn lữủt tÔi cĂc im P, Q, R Chùng minh r¬ng: r Líi gi£i: °t: OA + OP r OB + OQ r √ OC ≥ OR S = SABC ; S1 = SBOC = x2 ; S2 = SCOA = y2 ; S3 = SAOB = z2 ; (x, y, z > 0.) Ta ÷đc 41 S = x2 + y2 + z2 Do â: H¼nh 2.14: r s S x2 + y2 + z2 OA y + z2 AP OA y + z2 = = ⇔ +1 = 1+ ⇔ = 2 OP S1 x2 OP x OP x s r r r OP z2 + x2 OC x2 + y2 T÷ìng tü ta câ: = ; = OQ y2 OR z2 p p √ r r r OA OB OC y + z2 z2 + x2 x2 + y2 Do â T = + + = + + OP OQ OR x y z p y + z2 y+z LÔi cõ T÷ìng tü ta ÷đc: x 2x T≥ √  y z x z x y + + + + + x x y y z z  √ ≥ B i to¡n 2.13 (xem [3]) Trong mởt tam giĂc, gồi vợi cÔnh a v hb l ữớng cao ựng vợi cÔnh b Chựng minh rơng: Náu a > b thẳ: a + > b + hb HÂy xĂc nh no thẳ dĐu ng thực xÊy Hẳnh 2.15: 42 l ữớng cao ùng Líi gi£i: (H¼nh 2.15) Ta câ: Do â: < b v  2S = aha = bhb  2S 2S 2S a + − (b + hb ) = a + − (b + ) =(a − b) − > a b ab V¼ a - b > 0, 2S < a.b D§u ¯ng thùc xÊy 2S = ab, tực l hai cÔnh ¢ cho vng gâc hay tam gi¡c ABC vng tÔi C Bi toĂn 2.15 (xem [3]) Cho tự giĂc lỗi ABCD Gồi M, N lƯn lữủt l trung im cừa cĂc cÔnh AD v BC ữớng thng CM v DN c­t ð E, ÷íng th¯ng BM v  AN c­t ð F Chùng minh r¬ng: AF BF CE DE + + + ≥ FN FM EM EN H¼nh 2.16: Líi gi£i:Ta câ: CE SCDN AF SABM BF SABN DE SBMC = ; = ; = ; = EM SMDN FN SNBM FM SNAM EN SNMC 1 M : SMAN = SMDN = SADN ; SNBM = SNMC = SBMC 2 CE DE AF BF SABN + SCND SABM + SDMC Do â: + + + = + 1 EM EN FN FM SDAN SCBM 2   SBMC SDAN =2 + SDAN SBMC   SBMC SDAN Theo b§t ¯ng thùc Cæsi ta câ: + ≥2 SDAN SBMC AF BF CE DE Do â: + + + ≥ (pcm) FN FM EM EN 43 2.3 Sû dưng di»n t½ch gi£i c¡c b i to¡n v· t½nh to¡n, v· cüc trà, v· dỹng hẳnh Kắ thuêt : - Náu cõ sđn yáu tố diằn tẵch thẳ tẳm cĂch ữa và hm bêc hai (hoc a thực) tẳm cỹc tr bơng Ôi số -Náu chữa cõ sđn diằn tẵch thẳ tẳm cĂch ữa yáu tố diằn tẵch vo giÊ thiát v kát luên 2.3.1 Sỷ dửng diằn tẵch nhỳng bi toĂn tẵnh toĂn Bi toĂn 2.16 Tự giĂc lỗi ABCD cõ tẵnh chĐt AB=AD=a; CB=CD=b Họi no tự giĂc ABCD õ cõ bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp lợn nhĐt? Tẵnh bĂn kẵnh õ theo a v b Hẳnh 2.17: Lới giÊi: Tự giĂc lỗi ABCD cõ ữớng trỏn nởi tiáp vẳ tờng cĂc cÔnh ối diằn bơng Gồi O l tƠm ữớng trỏn nởi tiáp thẳ O phÊi nơm trản ữớng phƠn giĂc cừa cĂc gõc BAD v gõc BCD Dạ thĐy, ABC = ADB nản AC l  ph¥n gi¡c cõa gâc BAD v  cõa gâc BCD, nghắa l O nơm trản oÔn thng AC Gồi r l bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp thẳ ta cõ: 2SABC = 2(SAOB +SBOC ) = r(a + b) 44 Mt khĂc, 2SABC ab Nhữ vêy, Vêy r cõ giĂ tr lợn nhĐt bơng Bi toĂn 2.17 Trong r(a + b) ≤ ab ⇒ r ≤ ab a+b ∆ABC, ab a+b 2SABC = ab ⇔ AB⊥BC cho AC = 1, [ = 300 ABC , [ = 600 , BAC gồi D l chƠn ữớng cao hÔ tứ C Tẳm khoÊng cĂch hai tƠm ữớng trỏn nởi tiáp cĂc tam giĂc ACD v BCD Hẳnh 2.18: Lới gi£i: Tø tam gi¡c vuæng ABC ta câ BC = √ , AB = 2AC = K½ hi»u C l  chu vi v  S l  di»n t½ch cõa tam giĂc, dng tẵnh ữủc: 3+ 3 3+3 3 , CBCD = ,SACD = , SBCD = CACD = 2 8 Suy cĂc bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp tữỡng ựng l: SBCD 3 SACD 3−1 = ,LF = = KE = CACD CBCD Sau cũng, bơng nh lẵ Pythagore ta câ: v u √ !2 q p u √ 4−2 KL = EF2 + (LF − KE)2 = t + = − 4 B i to¡n 2.18 (xem [6]) Gåi M l  mët iºm tòy ỵ trản cÔnh AB = cừa tam giĂc Ãu ABC CĂc im P, Q lƯn lữủt l hẳnh chiáu vuổng gõc cừa M lản cĂc cÔnh AC, BC, cỏn P1, Q1 tữỡng ựng l hẳnh chiáu vuổng gõc cừa P v Q lản cÔnh AB Chựng minh rơng P1 Q1 = Líi gi£i: Ta câ SABC = SACM + SBCM = 1 (AC.MP + BC.MQ) = (MP + MQ) 2 45 √ √ MP + MQ = B¥y gií tø c¡c tam √ √ 3 gi¡c vuæng P1 MP v  MQ1 Q ta câ P1 M = MP v  MQ1 = MQ 2 √ 3 (MP + MQ) = Suy P1 Q1 = P1 M + MQ1 = B i to¡n 2.19 (xem [6]) Cho ∆ ABC cõ diằn tẵch bơng Gồi AH l Mt kh¡c, SABC = Do â ÷íng cao, M l  trung iºm BC v  K l  giao iºm cừa phƠn giĂc gõc A vợi oÔn thng BC.GiÊ sỷ SAHM √ 1− = ;SAKM = T½nh c¡c gâc cõa tam gi¡c Líi gi£i: BK AB = 1, nản K nơm giỳa M v C KC AC °t MH = x Khi â, vẳ SAHM = SABC , nản BC = 4x, suy BM = 2x, √  √  n¶n MK = − x HC = x V¼ SAKM = −  √  6−2 √ AB (BM + MK) Suy = = √ = AC (MC − MK) 3−2 2 2 2 2 Ta lÔi cõ AB BH = AH = AC CH , â AB −AC = (3x) −x √ 2 Suy AC = 4x Tø â, AC : AB : BC =1 : : b = 900 , B b = 300 , C b = 600 Vªy A Gi£ sû AB ≥ AC Ta cõ 2.3.2 Sỷ dửng diằn tẵch tẳm cỹc tr Ngoi cĂc bi toĂn tẳm cỹc tr cừa diằn tẵch, ta quan tƠm án cĂc bi toĂn m sỷ dửng diằn tẵch nhữ chĐt xúc tĂc: Dũng yáu tố diằn t½ch tø ph½a ngo i º trđ cho c¡c b i toĂn tẳm cỹc tr cừa cĂc Ôi lữủng hẳnh hồc kh¡c C¡c b i to¡n sau l  nhúng v½ dư minh hồa cho phữỡng phĂp diằn tẵch K thuêt: CĂc bi toĂn cỹc tr thữớng ữủc trẳnh by theo hai cĂch CĂch 1: ữa mởt hẳnh rỗi chựng minh rơng mồi hẳnh khĂc cõ cĂc Ôi lữủng hẳnh hồc (ở di, gõc, diằn tẵch ) lợn hỡn hoc nhọ hỡn Ôi 46 lữủng tữỡng ựng cừa hẳnh ữủc ữa CĂch 2: Thay iÃu kiằn mởt Ôi lỹủng Ôt cỹc tr bơng cĂc iÃu kiằn tữỡng ữỡng, cuối dăn án iÃu kiằn tốt nhĐt xĂc nh ữủc v trẵ cừa im  Ôt cỹc tr CĂc mằnh · th÷íng ÷đc dịng º gi£i to¡n cüc trà: - Trong cĂc ữớng xiản v ữớng vuổng gõc k tứ mởt im nơm ngoi mởt ữớng thng án ữớng thng õ, ữớng vuổng gõc l ữớng ngưn nhĐt - Trong hai ữớng xiản k tứ mởt im nơm ngoi ữớng thng án ữớng thng õ: ã ữớng xiản no cõ hẳnh chiáu lợn hỡn thẳ lợn hỡn ã ữớng xiản no lợn hỡn thẳ cõ hẳnh chiáu lợn hỡn ã Náu hai ữớng xiản bơng thẳ hai hẳnh chiáu bơng v ngữủc lÔi - Trong mởt tam giĂc tờng ở di hai cÔnh bĐt ký bao giớ cụng lợn hỡn ở di cÔnh cỏn lÔi Bi toĂn 2.20 Cho hẳnh chỳ nhêt ABCD cõ cÔnh a, b, M, N, P, Q nơm trản cÔnh cừa hẳnh chỳ nhêt cho MNPQ l hẳnh bẳnh hnh v AM = AN = CP = CQ X¡c ành tr½ cõa M, N, P, Q (tùc l  x) º SNMPQ Ôt giĂ tr lợn nhĐt Hẳnh 2.19: 47 Lới gi£i: Ta câ: SMNPQ = SABCD − 2SAMN − 2SNBP = −2x2 + (a + b) x = f (x) ; f(x) l mởt hm số bêc 2, ữớng biu diạn l mởt ữớng Parabol bêc hai cừa x, quay a+b (a + b)2 b· lãm l¶n tr¶n, n¶n h m f Ôt max x = vợi fmax = a+b Vêy v trẵ cừa M, N, P, Q l  AM = AN = CP = CQ = B i to¡n 2.21 Cho tù gi¡c ABCD câ AB= a; CD= b Gåi M, I, N, J l¦n lữủt l trung im cừa DB, BA, AC, CD HÂy xĂc nh dÔng cừa tự giĂc ABCD  SMINJ Ôt giĂ tr nhọ nhĐt Hẳnh 2.20: MN2 Lới giÊi: Dạ thĐy tự giĂc MINJ l hẳnh vuổng SMINJ = |a − b| Gåi P l  trung iºm cõa AD Khi â: MN ≥ |PN − PM| = 2 MN (a − b) Tø tr¶n suy ra: SMINJ = ≥ D§u ¯ng thùc x£y P, M, N th¯ng h ng ⇔ Tù gi¡c ABCD l hẳnh (a b)2 thang cƠn v cõ gâc ð ¡y b¬ng 45 Suy SMINJ(min) = B i to¡n 2.22 (xem [6]) Trong mët h¼nh thang nởi tiáp ữủc, ta kẵ hiằu a l ở di mởt cÔnh Ăy v d l tờng ở di ba cÔnh cỏn lÔi Cho trữợc a v d, hÂy xĂc nh cĂc cÔnh cừa hẳnh thang cho diằn tẵch cừa nõ lợn nhĐt Lới giÊi: Ta phÊi cõ d > a v hẳnh thang  cho l cƠn Gồi x l ở di cÔnh bản; õ, chiÃu di cÔnh Ăy cỏn lÔi l d - 2x (0 < x < d/2) 48 Hẳnh 2.21: nh lỵ Pythagore cho ta (xem h¼nh 2.21): s m= d−a x2 − x −  2 = √ 1√ d − a 4x d + a Diằn tẵch hẳnh thang l : √ a + (d − 2x) √ T= d − a 4x − d + a 2 √ 1√ = d − a (a + d − 2x) 4x − d + a √ Diằn tẵch T lợn nhĐt f(x) = (a + d − 2x) 4x − d + a lỵn nh§t √ −12x + 4d (a + d − 2x) Ta câ: f'(x) = −2 4x − d + a + √ =√ 4x − d + a 4x − d + a Khi < x < d/3, ta cõ f'(x) > 0, nản f tông Khi d/3 < x < d/2, ta câ f'(x) < 0, õ f(x) giÊm Cỹc Ôi Ôt ữủc x = d/3 Suy cÔnh Ăy cỏn lÔi l d/3 Bi toĂn 2.23 (xem [6]) Cho trữợc mởt nỷa ữớng trỏn, xt cĂc tam giĂc cõ mởt cÔnh chựa ữớng kẵnh cừa nỷa ữớng trỏn cỏn hai cÔnh thẳ tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn õ Trong cĂc tam giĂc nhữ thá, tam giĂc no cõ diằn tẵch b nhĐt? Lới giÊi: Tứ nỷa ữớng trỏn  cho, ta v nguyản ữớng trỏn chựa nõ BƠy giớ, xt tam giĂc nhữ  nõi à bi, tam giĂc ny vợi hẳnh ối xựng cừa nõ qua ữớng thng chựa ữớng kẵnh cừa nỷa ữớng trỏn s tÔo 49