Phương pháp diện tích

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ▲❯❨➌◆ P❍×❒◆● P❍⑩P ❉■➏◆ ❚➑❈❍ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ◆➠♠ ✷✵✶✹ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ▲❯❨➌◆ P❍×❒◆● P❍⑩P ❉■➏◆ ❚➑❈❍ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❖⑩◆ ❙❒ ❈❻P ▼➣ sè ✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶✳✶✸ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ữớ ữợ P ◆❣✉②➯♥ ✲ ◆➠♠ ✷✵✶✹ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉ ✶ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❞✐➺♥ t➼❝❤✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✸ ✶✳✶ ❈→❝ t✐➯♥ ✤➲ ✈➲ ❞✐➺♥ t➼❝❤✳ ❈→❝ ❤➻♥❤ ❦❤↔ ❞✐➺♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ t ỵ tỗ t ❞✉② ♥❤➜t ✳ ✳ ✸ ✶✳✶✳✷ ❈→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➥♥❣ ❞✐➺♥ ✈➔ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➥♥❣ ❤ñ♣ ✳ ✳ ✾ ợ ữủ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✷ ✶✳✸ ✷ ✶ ❈→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✷✳✶ ❉✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✷✳✷ ❈→❝ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❞✐➺♥ t➼❝❤ tù ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✶✳✷✳✸ ❈→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ trá♥✱ ❤➻♥❤ q✉↕t trá♥ ✶✽ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✤❛ ❣✐→❝✱ ❤➻♥❤ trá♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✶✳✸✳✶ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝✳ ✶✳✸✳✷ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ tù ❣✐→❝✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ 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g(x)✳ g(x1 +x2 ) = g(x1 ) + g(x2 ),∀x1 , x2 ∈ R∗+ ✳ ❚❤❡♦ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❤➔♠ ❣✭①✮ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ♥➔②✱ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ ❍➻♥❤ ✶✳✷✿ ❤ñ♣ R∗+ ✈➔ ❝❤➾ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ❞÷ì♥❣✱ ✤÷đ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❜ð✐ ❣✭①✮ ❂ ❦✳①✱ tr♦♥❣ ✤â ❦ ❂ ❝♦♥st✳ ◆❣❤➽❛ ❧➔ f(x, y) |y=const = k.x✳ ✹ ❱ỵ✐ ❝→❝ ❣✐→ trà ② ❂ ❝♦♥st ❦❤→❝ ♥❤❛✉ t❤➻ ❣✐→ trà ❦ ❝ô♥❣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✱ ❜ð✐ ✈➟② t❛ ♣❤↔✐ ❝♦✐ ❦ ❂ ❦✭②✮✳ ◆❤÷ t❤➳ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❢✭①✱②✮ ❂ ❦✭②✮✳①✳ ✣➦t ① ❂ ✶ t❛ ✤÷đ❝ ❢✭✶✱②✮ ❂ ❦✭②✮✳ ❇ð✐ ✈➟② t❛ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ✭❝✮✿ ❢✭①✱②✮ ❂ ❢✭✶✱②✮✳①✳❚ø ✭❛✮ ✈➔ ✭❝✮ s✉② r❛✿ ❢✭✶✱②✮ ❂ ❢✭②✱ ✶✮ ❂ ❢✭✶✱✶✮✳② ✈➔ ✭❜✮ ❝â ❞↕♥❣ ❢✭①✱②✮ ❂ ❢✭✶✱✶✮✳①✳②✳ ◆❤÷♥❣ t❤❡♦ t✐➯♥ ✤➲ ✐✐✐✳ ❢✭✶✱✶✮ ❂ ✶✳ ❉♦ ✤â✱ ❙✭P✮ ❂ ①✳②✳✭✤♣❝♠✮ ❍➻♥❤ ✈✉æ♥❣ F0 s❛♦ ❝❤♦ S(F0 ) = ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ✤ì♥ ✈à✳ ❘ã r➔♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ♥➔② ①→❝ ✤à♥❤ ♥➳✉ ❝❤å♥ ✤÷đ❝ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ✤ì♥ ✈à✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ✤÷đ❝ ❤✐➸✉ ❧➔ t➼❝❤ ❤❛✐ ✤ë ❞➔✐ ❝õ❛ ú tỗ t t ợ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t P✱ sè ❙✭P✮ ❜➡♥❣ t➼❝❤ ❝õ❛ ✤→② ữớ ợ t tũ ỵ sè ❙✭❚✮ ❜➡♥❣ t➼❝❤ ✤÷í♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✈➔ ✤→②✳ ✐✐✐✳ ợ t tũ ỵ số ỷ ởt ợ ữớ tữỡ ự ✐✈✳ ❱ỵ✐ ❤➻♥❤ ❜➻♥❤ ❤➔♥❤ ❜➜t ❦ý ❇✱ sè ❙✭❇✮ t ởt ợ ữớ tữỡ ự q✉↔ ✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❑➳t q✉↔ ✐ ✤➣ ❝â ð tr➯♥✳ ❑➳t q✉↔ ✐✐ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ tr➯♥ ❤➻♥❤ ✈➩ ✶✳✸✳ ❳➨t ✐✐✐✳ ❍➻♥❤ ✶✳✸✿ ✺ SABC = SAFNB + SFNC = SBNMA = EF.AH = BC.AH ❈✉è✐ ❝ò♥❣ ①➨t ✐✈✳ SABCD = SABD + SBCD = 12 AB.DH+ 12 CD.BH1 = AB.DH ❍➺ q✉↔ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆❤÷ ỏ tỗ t ổ ❤➔♠ ❙✭❋✮❄ ●å✐ ❆❇ ❧➔ ♠ët ❝↕♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ ❋✱ ♥➳✉ ❍ ❧➔ ✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ❦ý ❞à tr➯♥ ❝↕♥❤ t tỗ t trỏ s ❤➻♥❤ F1 = F ∩ B(H, ε) ❧➔ ♠ët ♥û❛ trỏ ỗ t t tọ s ổ õ ợ ữớ t ✰ [HN) ∩ B(H, ε)\F1 = ∅ → − ❱➨❝ tỡ ỡ n õ ữợ ũ ữợ ợ t✐❛ ❬❍◆✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤→♣ ✈➨❝ tì ✤ì♥ ✈à ữ ợ ộ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ ❋ t❛ ✤➲✉ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ ♣❤→♣ ✈➨❝ tì ✤ì♥ ✈à ♥❣♦➔✐✳ ●✐↔ sû ✤❛ ❣✐→❝ ❋ õ ỵ li ❝↕♥❤ t❤ù ✐❀ ù♥❣ ✈ỵ✐ ❝↕♥❤ ♥➔②❀ Hi → − ni ❧➔ ♣❤→♣ ✈➨❝ tì ✤ì♥ ✈à ♥❣♦➔✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➔♦ ✤â tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❝❤ù❛ ❝↕♥❤ t❤ù ✐✳ ▲➜② ✤✐➸♠ ❖ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ ❋ ✈➔ ❧➟♣ tê♥❣ k −−→ → li OHi − ni ✭✶✳✶✮ i=1 ❚ê♥❣ ♥➔② ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ❝❤å♥ ✤✐➸♠ ❖✱ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ❝❤å♥ ✤✐➸♠ Hi tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❝❤ù❛ ❝↕♥❤ t❤ù ✐ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝✳ ❍➻♥❤ ✶✳✹✿ ✻ tø ❇ ✈➔ ❈ ✤➳♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❆▼ ❧➔✿ ❛✳ ◆❤ä ♥❤➜t ❜✳ ▲ỵ♥ ♥❤➜t ❍➻♥❤ 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≥ 4SABC ❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✭✯✮ ①↔② r❛ ❦❤✐✿ E≡F≡A ⇔A ≡D⇒M t❤✉ë❝ ✤÷í♥❣ ữỡ tỹ trũ ợ trỹ t t ❣✐→❝ ❆❇❈ t❤➻ ❢ ✤↕t ❣✐→ trà ❝ü❝ t✐➸✉✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✻✳ ❈❤♦ ▼ ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈ ❝â ❇❈ ❂ ❛❀ ❆❈ ❂ ❜❀ ❆❇ ❂ ❝✳ ❚ø ▼ ❦➫ ❈❆✱ ❆❇✳ ❚➻♠ ✈à tr➼ ❝õ❛ ▼ MA1 ; MB1 ; MC1 ❧➛♥ ❧÷đt ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ✈ỵ✐ ❇❈✱ b c a ✤➸ + + ❝â ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ MA1 MB1 MC1 ▲í✐ ❣✐↔✐✿ ✣➦t MA1 = x; MB1 = y; MC1 = z✱ 2SABC = ax + by + cz❀ ♠➔ a b c + + x y z x y y z x z = a2 + b2 + c2 + ab + + bc + + ca + y x z y z x ≥ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 (ax + by + cz) ✈➻ ✈ỵ✐ ♠ ❃ ✵ t❤➻ m+ ≥ 2✱ m ❝❤♦ ♥➯♥✿ ✺✷ ❍➻♥❤ ✷✳✷✺✿ a a+b+c b c (a + b + c)2 = + + ≥ MA1 MB1 MC1 2S r ✈➻ ✷❙ ❂ r✭❛✰❜✰❝✮❀ ✭r ❧➔ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈✮✳ b c a+b+c a + + ✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❜➡♥❣ ✤↕t ✤÷đ❝ MA1 MB1 MC1 r ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ MA1 = MB1 = MC1 r trũ ợ t ữớ trá♥ ❱➟② ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈✳ ✷✳✸✳✸ ❙û ❞ö♥❣ t tr t ỹ ỵ t❤✉②➳t ❞ü♥❣ ❤➻♥❤✱ ❣✐↔✐ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❞ü♥❣ ❤➻♥❤ ❧➔ ❝❤➾ r❛ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❞ü♥❣ ❤➻♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝➛♥ t✐➳♥ ❤➔♥❤ t❤❡♦ ♠ët t❤ù tü 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t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❆ ❝➛♥ ❞ü♥❣ ✭♠➔ ❝❤✐❛ tù ❣✐→❝ t❤➔♥❤ ❜❛ ✤❛ ❣✐→❝ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✮ ♣❤↔✐ ❝➢t ❝↕♥❤ ❉❈ t↕✐ ❋ ✤➸ ❝â✿ ❆❋✳ ❚ø ❇ ❦➫ ❇● SADF = SABCD