Skkn phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 12 thông qua các bài toán về cực trị của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Người thực hiện: Lê Thị Thanh Thủy Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán skkn MỤC LỤC Mục 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.2.1 2.3.2.2 Nội dung MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài Phương pháp nghiên cứu đề tài NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề nghiên cứu Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề Kiến thức cực trị Hướng dẫn học sinh phương pháp nhận dạng tập vận dụng giải tập liên quan Dạng tập cho tất đối tượng học sinh để học sinh nhận biết, làm quen tăng kĩ làm 2.4 3 Giới thiệu số toán với mục đích đối tượng học sinh tiếp cận Từ nâng khả tư khơng bị lạ làm Dạng 6: Bài tốn có tham số Dạng 7: Cho đồ thị BBT hàm số 6 Xác định số điểm cực trị hàm số 10 Dạng 8: Cho biểu thức 2.3.3 Trang 1 2 3 3 3 Xác đinh số điểm cực trị hàm số Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh theo mức độ nhận thức từ biết, hiểu đến vận dụng Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ skkn 13 18 19 20 Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Mỗi nội dung chương trình Tốn phổ thơng có vai trị quan trọng việc hình thành phát triển tư học sinh Trong trình giảng dạy, giáo viên phải đặt đích giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp giải tốn, phát triển tư logic, từ tạo thái độ động học tập đắn Vì việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với nội dung kiến thức nhất định là đặc biệt quan trọng Nó vừa giúp người thầy có được sự định hướng việc giảng dạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh, vừa giúp người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức, từ đó biết vận dụng vào làm thi đạt kết cao Trong dạy học mơn Tốn, phương pháp tư học sinh phần lớn hình thành rèn luyện q trình giải tốn, thơng qua hoạt động học sinh hoạt động tích cực để tìm tịi, khám phá chiếm lĩnh tri thức Là giáo viên dạy Toán, việc hướng dẫn rèn luyện cho học sinh biết cách chuyển từ toán tốn quen thuộc, tốn “khó” trở tốn “dễ”, biết cách “xử lí” tình có vấn đề tình đơn giản điều cần thiết thiết thực Hơn nữa, toán cực trị hàm số đề thi kỳ thi TN THPT Bộ giáo dục Đào tạo đề cập, khai thác mức độ khác nhau, dạng tiếp cận khác gây khơng khó khăn cho học sinh q trình giải tốn Đặc biệt từ Bộ GD ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn Tốn, địi hỏi học sinh khơng phải có kiến thức sâu, rộng mà cịn phải có cách tiếp cận, phương pháp phù hợp để giải toán cách nhanh Với lý với kinh nghiệm giảng dạy định chọn đề tài: “Phát triển lực tư cho học sinh lớp 12 thông qua lớp toán cực trị hàm số’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2021– 2022 Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài phát triển lực tư duy, quy lạ quen thơng qua số tốn cực trị hàm số nhằm rèn luyện kỹ toán học định hướng phát triển cho học sinh lực sau: - Năng lực tư duy, lực tính tốn, lực tự học lực giải tình thực tiễn - Năng lực sử dụng máy tính cầm tay casio - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học - Kỹ vận dụng kiến thức hàm số 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài toán cực trị hàm số chương trình học lớp 12 để rèn luyện kỹ phát triển lực Toán học học sinh Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm: - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao Cơ bản, sách tập giải tích- Nâng cao Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh, đề minh họa đề thi TN THPT năm - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê xử lý số liệu lớp thực nghiệm lớp đối chứng để qua thấy hiệu đề tài Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện thao tác tư cho học sinh dạy học giải Tốn có vai trò quan trọng việc phát triển khả tư học sinh, để từ có khả thích ứng đứng trước vấn đề cần giải Giúp học sinh có nhìn phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng vào thực tế giải tốn, giúp em có tự tin gặp dạng toán đồng thời giúp học sinh phát triển tư đam mê học toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Đối tượng học sinh hướng tới học sinh học lớp đại trà, lớp chọn Vì tư học sinh chậm, điều kiện kinh tế cịn khó khăn, nên ảnh hưởng đến kết học tập em Kỹ giải tốn cịn chậm; Khả phát vấn đề nảy sinh sở có, khả quy lạ quen cịn nhiều hạn chế Do học sinh gặp nhiều lúng túng, sai lầm gặp tốn có thay đổi dạng 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Kiến thức cực trị hàm số: Định lý: Giả sử hàm số liên tục khoảng chứa điểm có đạo hàm khoảng Khi : Nếu hàm số đạt cực tiểu điểm Nếu hàm số đạt cực đại điểm Điểm cực đại , cực tiểu hàm số gọi chung điểm cực trị hàm số Như : Điểm cực trị hàm số phải điểm tập hợp điểm cực trị hàm số qua đạo hàm đổi dấu Chú ý : Nếu điểm cực trị hàm số thì: Điểm gọi điểm cực trị đồ thị hàm số gọi giá trị cực trị hàm số ( gọi cực trị hàm số) 2.3.2 Hướng dẫn học sinh phương pháp nhận dạng tập vận dụng giải tập liên quan 2.3.2.1 Dạng tập để học sinh nhận biết làm quen: Dạng 1: Cho biết đồ thị (hoặc BBT) hàm số Xác định số điểm cực trị hàm số Ở học sinh cần nắm vững tìm điểm cực đại cực tiểu hàm số tìm giá trị x mà đạo hàm đổi dấu Ví dụ 1: (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số sau: Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn có bảng biến thiên Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so Hàm số cho đạt cực đại tại: A B C D Phân tích hướng giải: Hàm số đạt cực đại điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm Từ bảng biến thiên hàm số đạt cực đại Chọn D Ví dụ 2: (Mã 105 - 2017) Cho hàm số có bảng biến thiên sau Mệnh đề đúng? A Hàm số đạt cực tiểu B Hàm số có bốn điểm cực trị C Hàm số đạt cực tiểu D Hàm số khơng có cực đại Phân tích hướng giải: Dựa vào bảng biến thiên Hàm số có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua nên hàm số đạt cực tiểu Chọn.C Ví dụ 3: (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số có bảng biến thiên sau: Điểm cực tiểu hàm số cho A B C D Phân tích hướng giải: Hàm số đạt cực tiểu điểm x mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương Từ bảng biến thiên hàm số đạt cực tiểu Chọn B Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so Dạng 2: Cho biết đồ thị (hoặc BBT) hàm số Xác định giá trị cực đại, giá trị cực tiểu hàm số Ở học sinh cần nắm vững khái niệm giá trị cực đại, giá trị cực tiểu tìm dịng Ví dụ 4: (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số thiên sau: Giá trị cực tiểu hàm số cho A B C có bảng biến D Phân tích hướng dẫn: Nhìn vào dịng bảng biến thiên, học sinh tìm giá trị ứng với mũi tên xuống qua giá trị mũi tên lên, tính từ trái qua phải Vậy ta thấy giá trị cực tiểu hàm số cho Chọn D Ví dụ 5: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau Giá trị cực đại hàm số cho A B C 2 D 3 Phân tích hướng giải: Nhìn vào dịng bảng biến thiên, học sinh tìm giá trị ứng với mũi tên lên qua giá trị mũi tên xuống ,tính từ trái qua phải Vậy ta thấy giá trị cực đại hàm số cho Chọn B Ví dụ 6: (Mã 110 - 2017) Cho hàm số Tìm giá trị cực đại A C và giá trị cực tiểu B D có bảng biến thiên sau hàm số cho và Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so Phân tích hướng giải: Dựa vào bảng biến thiên hàm số ta có Chọn B Dạng 3: Cho biết đồ thị (hoặc BBT) hàm số trị hàm số Ví dụ 7: (Đề thi THPTQG năm 2018-Mã đề 101) Cho hàm số Xác định số điểm cực có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số cho A B C D Ví dụ 8: (Đề minh họa THPTQG năm 2019) Cho hàm số có đồ thị hình vẽ bên Hàm số cho có điểm cực trị? A B C D Ở ví dụ 7, ví dụ hướng dẫn học sinh biết đọc đồ thị để tìm cực đại, cực tiểu Tính từ trái qua phải, cực đại đạt điểm đồ thị lên qua điểm đồ thị xuống Cực tiểu đạt điểm đồ thị xuống qua điểm đồ thị lên Ví dụ 9: (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số sau: có bảng xét dấu Số điểm cực trị hàm số cho A B C D Phân tích hướng giải: Nhìn vào bảng biến thiên đổi dấu từ sang qua điểm , đổi dấu từ sang qua điểm Vậy đổi dấu lần nên hàm số có cực trị Chọn C Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so Ví dụ 10: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số xét dấu sau: liên tục có bảng Số điểm cực đại hàm số cho A B C D Phân tích hướng giải: Do hàm số liên tục , , không xác định hàm số liên tục nên tồn đổi dấu từ sang qua điểm , nên hàm số cho đạt cực đại điểm Vậy số điểm cực đại hàm số cho Chọn C Dạng 4: Cho đồ thị Xác định số điểm cực trị hàm số Ví dụ 11: (Đề thi thử THPTQG trường THPT Phan Đình Phùng – Hà Tĩnh) Cho hàm số liên tục Biết đồ thị của hàm số hình vẽ y O 1 x Số điểm cực trị của hàm số là: A B C D Ví dụ 12: Cho hàm số có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số cho hình vẽ bên Sớ điểm cực trị của hàm số là A B C D Nhận xét: Ở dạng học sinh thường mắc số sai lầm: - Lấy số điểm cực trị hàm số số điểm cực trị hàm số - Số điểm chung đồ thị với trục Ox số điểm cực trị hàm số Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so Để tránh sai lầm, GV nhấn mạnh dạng ta cần tìm số giao điểm đồ thị trục , không kể điểm mà đồ thị tiếp xúc với trục Nếu yêu cầu toán hỏi cụ thể điểm cực đại, cực tiểu GV hướng dẫn học sinh lập bảng xét dấu hàm số , từ đưa kết luận Bảng xét dấu đạo hàm lập từ đồ thị dựa theo nguyên tắc: Trên khoảng đồ thị nằm phía trục khoảng đạo hàm nhận giá trị dương khoảng đồ thị nằm phía trục khoảng đạo hàm nhận giá trị âm Tại “điểm nối” hai khoảng đạo hàm nhận giá trị khơng Dạng 5: Cho biểu thức Ví dụ 13: Cho hàm số điểm cực trị hàm số A B Xác định số điểm cực trị hàm số có đạo hàm Số là: C D Phân tích hướng giải: Học sinh cần nắm vững phương trình đổi dấu qua nghiệm nên hàm số Chọn A có nghiệm phân biệt có điểm cực trị Ví dụ 14: (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số có đạo hàm , Số điểm cực trị hàm số cho A B C D Phân tích hướng giải: Phương trình Do có ba nghiệm phân biệt đổi dấu qua ba nghiệm nên hàm số có ba điểm cực trị Chú ý rằng, nghiệm nghiệm bội lẻ Ví dụ 15: (Mã 101 - 2019) Cho hàm số có đạo hàm Số điểm cực trị hàm số cho A B C D Phân tích hướng giải: Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số cho có điểm cực trị điểm cực tiểu Chú ý rằng, nghiệm bội chẵn Ở ví dụ 14, ví dụ 15 giáo viên nhấn mạnh cho học sinh, nghiệm bội chẵn không điểm cực trị hàm số, nghiệm bội lẻ cực trị hàm số 2.3.2.2 Giới thiệu số tốn với mục đích đối tượng học sinh tiếp cận Từ nâng cao khả tư không thấy lạ làm Bài toán đưa cần làm cho học sinh thấy rõ chưa có lời giải có số kiến thức, kỹ liên quan đến vấn đề đặt em học sinh tin tích cực suy nghĩ, vận động tích cực sáng tạo, tư giải Dạng 6: Bài tốn có tham số: Ví dụ 16: (Mã 110 - 2017) Tìm giá trị thực tham số đạt cực đại A để hàm số B C D Phân tích hướng giải: Đối với hàm đa thức dùng quy tắc tìm cực trị qua đạo hàm cấp thuận lợi Bước 1: Tính Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Thay m vào Ta có Hàm số ; Nếu giá trị đạt cực đại khi: Vậy giá trị cần tìm Chọn C Ví dụ 17: (Chun ĐHSPHN - Lần - 2019) Tập hợp số thực số đạt cực tiểu Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn để hàm Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so A B C D Tương tự ví dụ 16: ; Hàm số đạt cực tiểu điểm khơng có giá trị Chọn C Ví dụ 18: (Mã 103 - 2018) Có giá trị nguyên của tham số số đạt cực tiểu tại A B Vô số C để hàm D Lời giải Ta có Hàm số đạt cực tiểu điểm Do mãn Chọn A Vậy có Dạng 7: Cho đồ thị giá trị nguyên của tham số BBT hàm số thỏa Xác định số điểm cực trị hàm hợp Từ dạng tập cho đồ thị Xác định số điểm cực trị hàm số , GV mở rộng vấn đề cho đồ thị BBT hàm số Xác định số điểm cực trị hàm số Ví dụ 19: (Đề thi thử THPTQG năm 2018-Trường THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa) Cho hàm số xác định có đạo hàm Biết đồ thị hàm số hình vẽ Số điểm cực trị hàm số A B C D Phân tích lựa chọn đáp án: Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn 10 Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so - Đối với phép suy luận tìm bảng xét dấu ta thực sau:  Sử dụng công thức:   Xét dấu khoảng Ví dụ khoảng cho - Từ ta có bảng xét dấu ta có: sau 3/2 - Vậy hàm số có điểm cực trị (cực đại) ( số điểm cực trị hàm số Ví dụ 20: Cho hàm số vẽ Khi hàm số A B C D Chọn D số điểm cực trị có đồ thị khoảng hình có điểm cực trị? y O ( Số điểm cực trị hàm số ) x số điểm cực trị ) Nhận xét: Với , số cực trị hàm số , hàm số đạt cực trị giá trị khác mà Tuy nhiên, với cách suy luận em chưa thấy rõ mấu chốt vấn đề Ví dụ ta cần thay đổi yêu cầu xác định số điểm cực tiểu, cực đại hàm số , ; không hiểu rõ chất em chọn sai đáp án Qua ví dụ trên, GV định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho dạng toán 7: Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn 11 Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so + Từ đồ thị hàm số tìm hồnh độ giao điểm đồ thị hồnh + Tính đạo hàm hàm số với trục + Dựa vào đồ thị biểu thức để xét dấu Dạng 8: Cho biểu thức Xác đinh số điểm cực trị hàm số Ví dụ 21: Cho hàm số với Hàm số A B Phân tích lựa chọn đáp án: Ta có có đạo hàm có điểm cực trị ? C D Ta thấy nghiệm đơn nghiệm kép Vậy hàm số có điểm cực trị Chọn B Chú ý: Nếu toán hỏi điểm cực đại ( cực tiểu) hàm số ta phải lập bảng xét dấu để kết luận Ví dụ 22: Cho hàm số Hàm số A B có đạo hàm có điểm cực đại ? C D với Phân tích lựa chọn đáp án: Ta có Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại Chọn B Ví dụ 23: Cho hàm số có đạo hàm Hàm số có điểm cực trị ? A B C D với Phân tíchvà lựa chọn đáp án: Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn 12 Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so Ta có Ta thấy nghiệm bội lẻ hàm số có điểm cực trị Chọn B Qua định hướng tìm lời giải tập trên, GV cho học sinh chốt phương pháp cho dạng tốn 8: + Tính đạo hàm hàm số +Từ biểu thức xét dấu suy số điểm cực trị 2.3.3 Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh theo mức độ nhận thức từ biết, hiểu đến vận dụng Khi giao tập cho học sinh, GV cần với mức độ kiến thức tăng dần để kích thích học sinh phát huy tính sáng tạo tư để tìm lời giải tập cách tối ưu Ví dụ dạng tốn cho biết đồ thị hàm số , cho học sinh tiếp cận kiến thức theo mức độ tăng dần: Bài tập 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số cho hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số là A B C D Bài tập 2: Cho hàm số xác định có đạo hàm Biết đồ thị hàm số a Số điểm cực trị hàm số A B C b Số điểm cực đại hàm số A B hình vẽ D C D Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn 13 Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so Bài tập 3: Cho hàm số hình bên a Tìm số điểm cực trị hàm số A B C Đồ thị hàm số D b Tìm số điểm cực tiểu hàm số A B C D Bài tập 4: Cho hàm số có đạo hàm hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số A B C D Đồ thị hàm số 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Qua thực tế giảng dạy học sinh lớp 12 trường THPT Quảng Xương II năm học 2021-2022, áp dụng đề tài giúp em cảm thấy tự tin say mê việc học tốn, có tinh thần tìm tịi học hỏi dạng tốn khó liên quan đến cực trị hàm số Kết kỳ thi thử TN THPT mà em tham gia thi, em giải nhanh gọn xác đáp ứng nhu cầu thi trắc nghiệm kỳ thi TN THPT Cụ thể thực nghiệm kiểm tra kết sau: - Bài kiểm tra trước tác động kiểm tra số - Bài kiểm tra sau tác động kiểm tra số - Dùng phép kiểm chứng T-test để kiểm chứng chênh lệch điểm số trung bình lớp trước sau tác động, lớp thực nghiệm, lớp đối chứng Bảng 1: Bảng thiết kế nghiên cứu: Tác động Lớp 1- Thực nghiệm (41 hs) Khai thác giải pháp phát triển lực giải toán cực trị 2- Đối chứng (39 hs) Không khai thác giải pháp phát triển lực giải toán cực trị Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn 14 Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so Bảng 2: Tổng hợp kết chấm Lớp Lớp 1- thực nghiệm Điểm trung bình 4.13 5.98 Lớp 2- đối chứng 4.16 5.23 Từ kết nghiên cứu ta thấy hai nhóm đối tượng nghiên cứu (cột 3) trước tác động hoàn toàn tương đương Sau có tác động cho kết hoàn toàn khả quan (cột cột 4) Điều minh chứng điểm trung bình lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng ngẫu nhiên mà kết tác động Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn 15 Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so Bảng Tổng hợp phần trăm kết theo thang bậc: Kém, yếu, trung bình, khá, giỏi kết lớp 1- thực nghiệm Tổng cộng Thang điểm Lớp 1-TN Trước TĐ Sau TĐ Kém Yếu T bình Khá Giỏi 22 16 41 0% 4,8% 58,6% 34,2% 2,40% 100% 0 15 22 41 0% 0% 36,6% 53,7% 9,7% 100% Triển khai trước tổ môn: Chúng đưa đề tài tổ để trao đổi, thảo luận rút kinh nghiệm Đa số đồng nghiệp tổ đánh giá cao vận dụng có hiệu quả, tạo hứng thú cho học sinh giúp em hiểu sâu, nắm vững chất hình học tạo thói quen sáng tạo nghiên cứu học tập Và nay, kinh nghiệm tơi tổ thừa nhận có tính thực tiễn tính khả thi Hiện nay, chúng tơi tiếp tục xây dựng thêm nhiều ý tưởng để giúp học sinh trường THPT Quảng Xương II học tập nội dung cách tốt để đạt kết cao kỳ thi KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so skkn 16 Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so Skkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.soSkkn.phat.trien.nang.luc.tu.duy.va.lap.luan.toan.hoc.cho.hoc.sinh.lop.12.thong.qua.cac.bai.toan.ve.cuc.tri.cua.ham.so