Ma Trận Và Định Thức_2018.Pdf

1 2 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN 1 Định nghĩa Ma trận A cấpm n là một bảng số gồmm n số thực, xếp thànhm dòng, n cột có dạng ( ) n n ij m n m m mn a a a a a a A a a a a   [.]

1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN Định nghĩa Ma trận A cấp m  n bảng số gồm m  n số thực, xếp thành m dịng, n cột có dạng  a11 a12  a1n     a 21 a 22  a 2n  A         (aij )mn    a  m am  amn  Cho ma trận A  aij mn , B  bij mn Khi đó: Amn  Bmn  aij  bij , i  1, m j  1, n Các loại ma trận - Ma trận vuông : ma trận mà số dịng số cột Khi đó, đường chéo nối phần tử a11 , a 22 , …, ann gọi đường chéo ma trận vng - Ma trận tam giác : ma trận vuông mà phần tử đường chéo - Ma trận tam giác : ma trận vuông mà phần tử đường chéo - Ma trận chéo : ma trận vuông mà phần tử khơng thuộc đường chéo - Ma trận đơn vị : ma trận chéo mà phần tử thuộc đường chéo - Ma trận Omn ma trận gồm toàn số - Ma trận chuyển vị A  aij mn At  a ji nm Phép cộng hai ma trận: A  aij mn ; B  bij mn A  B  aij  bij mn Phép nhân ma trận với số thực: k.A  k.aij mn (k  ) Tính chất Cho A, B, C ma trận cấp m  n , ,    Khi đó: (i) A  B  B  A (ii) (A  B )  C  A  (B  C ) (iii) A  O  O  A với O  (0)mn (iv) A  (A)  O với A  (aij )mn (v) (A  B)  A  B (vi) (   )A  A  A (vii) ( )A  (A) (viii) 1.A  A t (ix) A  B   At  B t 5 Phép nhân hai ma trận: A  aij mn ; B  bij np n A.B  cij mp với cij   aikbkj , i  1, m, j  1, p k 1 Tính chất Cho Dkm , Amn , Bmn , C np Khi (i) (DB )C  D(BC ) (ii) (A  B)C  AC  BC (iii) D(A  B )  DA  DB (iv) I mAmn  Amn I n  A (v) (DA)t  At Dt II Định thức Cho ma trận vuông cấp n a11 a12  a1n    a 21 a 22  a 2n  A         (aij )nn    a  n an  ann  Định thức ma trận A ký hiệu A hay det(A) xác định sau : (i) n  1, ta định nghĩa: A  a11  a11 (ii) n  2, đặt: Aij  1i  j M ij gọi phần bù đại số aij A M ij định thức bù aij A (M ij định thức cấp n  có từ A cách bỏ dòng thứ i cột thứ j A ) Khi : A  1Ai  2Ai    ainAin (khai triển theo dòng i)  a1 j A1 j  a j A2 j    anj Anj (khai triển theo cột j) Tính chất i A  At ii Định thức đổi dấu đổi chỗ hai dòng với định thức iii Nếu phần tử dịng có thừa số chung  rút  ngồi dấu định thức iv Định thức không đổi biến đổi dòng i thành dòng i cộng với k lần dòng j (với k  , i  j ) v Định thức ma trận tam giác tích phần tử nằm đường chéo vi AB  A B với A, B ma trận vng cấp n Chú ý: Các tính chất ii, iii, iv thay dòng cột Quy tắc tính định thức cấp a 11 A  a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33  (+ ) đường chéo          Hình 1.a (-) đường chéo phụ          Hình 1.b  a11a 22a 33  a12a 23a 31  a13a 21a 32  a 31a 22a13  a11a 23a 32  a 21a12a 33 Giá trị định thức cấp tổng đại số hai nhóm: + Nhóm thứ mang dấu + là: Tích phần tử nằm đường chéo chính, tích phần tử song song với đường chéo với phần tử góc đối diện (hình 1.a) + Nhóm thứ hai mang dấu - là: Tích phần tử nằm đường chéo phụ, tích phần tử song song với đường chéo phụ với phần tử góc đối diện (hình 1.b) III Ma trận nghịch đảo: Cho A  aij nn Ma trận B ma trận nghịch đảo A nếu: AB = BA = In B ký hiệu A1 Khi A gọi ma trận khả nghịch hay ma trận khơng suy biến 1.Mệnh đề A có ma trận nghịch đảo A1  A  Khi đó:  A11 A21  An     A A  A 12 22 n2  *  * 1  A  A với A       A     A1n A2n  Ann  Trong đó: Ai j  1i  j M i j M ij : định thức bù aij A (là định thức A sau bỏ dòng i cột j ) Chú ý: A* ma trận phụ hợp A ký hiệu A 10 Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi theo dòng: (dùng cho ma trận cấp trở lên) Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng: ● Đổi chỗ hai dòng cho ● Lấy dòng nhân với số khác ● Thay dịng dịng cộng với k lần dịng khác Biến đổi lúc hai ma trận A I (ma trận đơn vị ) cấp phép biến đổi sơ cấp dòng , theo sơ đồ: dùng phép 1       I A A I      biến đổi dòng Chú ý: Trong q trình biến đổi, xuất dịng có phần tử ta kết luận khơng có ma trận nghịch đảo A1 Tính chất Cho A, B ma trận vng khả nghịch Khi đó: i A1 t 1 ii At   A1  1 iii.AB   B 1.A1 11 Giải phương trình ma trận: AX  B (1) Cách 1: Dựa vào cấp ma trận A B , ta đặt ma trận: X  x ij mp với: m số cột ma trận A , p số cột ma trận B Dùng phép nhân ma trận cho hai ma trận ta hệ phương trình tuyến tính Giải hệ ta có xij Cách 2: áp dụng A ma trận vuông + Nếu A  , phương trình (1) có nghiệm:X  A1B Tìm A1 sau nhân với ma trận B ta có X + Nếu A  , B ma trận vuông B   X (theo định lý phép nhân định thức) + Nếu A  , B ma trận vng B  dùng cách 12 IV Hạng ma trận: Cho A  aij mn Từ A ta có hệ vectơ: - Hệ gồm m vectơ dòng A1d , A2d , , Amd  m chiều - Hệ gồm n vectơ cột A1c , A2c , , Anc  n chiều Hơn : RankA1d , A2d , , Amd  = RankA1c , A2c , , Anc  Hạng hệ vectơ dòng ma trận A gọi hạng A ký hiệu r(A) Mệnh đề Cho A  aij mn có định thức cấp k khác định thức cấp k  hạng ma trận A k Mệnh đề Nếu dùng phép biến đổi sau vào ma trận hạng ma trận không thay đổi - Đổi chỗ hai dòng cho - Nhân dòng với số khác - Thay dòng i dòng i cộng với k lần dòng j , k  , i  j - Bỏ dịng có tất phần tử 13 Chú ý: i Mệnh đề thay dòng cột ii.Ta dùng phép biến đổi mệnh đề biến đổi ma trận A ban đầu ma trận B có dạng bậc thang B m n với  b11           b12  b1r  b1n   b 22  b 2r  b 2n         b rr  b rn              b11 , b 22 , , b rr  R (A )  R (B)  r tồn b11 b12  b1r b22  b2r     0  brr 0