Chương XI
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Phương trình vị phân
® Dạng tổng quát của phương trình vị phân cấp một là Fo, y,y)=0 hay y'= f(x,y)
Nghiệm tổng quát y = 9(x, C) của phương trình vị phân cấp một phụ thuộc một hằng số tuỳ ý C Bài toán tìm nghiệm của phương trình vị phân cấp một thoả mãn điều kiện yŒạ) = yạ, trong đó xạ, vọ là các giá trị thích hợp cho trước, gọi là bài toán giá trị ban đầu (hay bài tốn Cauchy)
© Dang tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là
y" +p(x)y + qŒ)y = R@x)
Nghiệm tổng quát y = @(x C,, C,) của phương trình ví phân cấp hai phụ thuộc bai hằng số tuỳ ý C¡, C; Bài toán tìm nghiệm của phương trình vi
phan cấp hai thoả mãn điều kiện y(Xo) = yọ V'Œọ) = yụ, trong đồ Xọ, vọ, vị là
Trang 2® Phương trình vi phân thuần nhất
“(2
Cách giải : Đặt y = ux, thế vào phương trình đã cho ta được một phương trình biến số phân ly để tìm u Tìm được u ta sẽ tìm được y
© Phuong trinh vi phân tuyến tính
y + p&)y = q(x) ®)
Cách giải : Đùng phương pháp biến thiên hằng số Trước hết giải phương trình thuần nhất tương ứng y' + p(x)y = 0, đó là một phương trình biến số phân ly Nghiệm tổng quát của nó là y = Cy;(x) Sau đó xem C là hàm số của x, tim ham s6 C(x) sao cho y = C(x)y,(x) la nghiệm của phương trình
y'+p(x)y = q(x)
Nghiệm tổng quát của phương trình (*) bằng nghiệm tổng quát của phương trình
y' + p(x)y =0
cộng với một nghiệm riêng của phương trình (*) © Phuong trinh Bernoulli
y' + py =q(x)y* (a #0, a # 1)
Cách giải : Chia hai vế cho y”, rồi đặt z = y! ` `, ta được một phương
trình vi phân tuyến tính để tìm z Tìm được z ta sẽ tìm được y © Phương trình vì phân toàn phần
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
trong đó
P RQ
dy” ox”
Khi đó P(x, y)dx + Q(x, y)dy là ví phân foàn phần của một hà f(x, y) nào đó Tìm được hàm f(x, y), ta được tích phân tổng quát của phương trình là f(x, y) = C, C là hằng số tuỳ ý
Trang 3Cho ho duéng cong @ c6é phuong trinh F(x, y, C) = 0 phụ thuộc tham s6 C Khir C ti hai phuong trinh F(x, y, C) = 0 va + F(x, y, C) - 0 ta được phương trình f(x, y, y) = 0, đó là phương trình vi phân của họ đường cong đã cho Khi do i[ 4] = 0 là phương trình vi phân của quỹ đạo trực giao
của họ đường cong đã cho
3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
y" + p(xdy’ + q(xdy = F(x) qd) Nếu y¡(x) và y;(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất tương ứng
y" + p@dy' + a@oy = 0 Q)
thì nghiệm tổng quát của nó là
y = Cy (x) + Cyya(x), trong đó C, và C, 1a hai hang số tùy ý
Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1) bằng một nghiệm riêng bất kỳ của nó cộng với nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (2) “Từ nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) là y= Cyi@) + €yz(Œ), thì có thể cho C,, C¿ biến thiên theo x và tìm chúng để y=€ &)y,()+€C¿(X)y;(X) là nghiệm của phương trình không thuần nhất (1) Muốn vậy C¡(x),C;(x) phải thoả mãn hệ C¡@Œ)y,@œ)+C¿(X)y;¿(x) =0 C¡@)y,(Œ)+C;(@)y;(x) = £00
Giải hệ trên ta tìm được C¡(x), C;(x), do đó tính được C,(x),C;(x) (Phương pháp biến thiên hằng số)
Trang 4_ Nếu Y¡ là một nghiệm riêng của phương trình
y" + pOOy' + q@y = £0),
Y; là một nghiệm riêng của phương trình
y" + p@dy' + aQ)y = ;œ),
thì Y¡ + Y; là một nghiệm riêng của phương trình
y” + pGủ3y + qŒ)y = Ñ@) + fz(x) (Nguyên lý chồng nghiệm) 4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số không đổi y" + py’ + qy = f(x), (3) p q là các hằng số ® Phương trình thuần nhất tương ứng y" + py’ + qy =0 (4) Tim nghiém dudéi dang y = e™, trong dé r là một hằng số thoả mãn phương trình đại số bậc hai f?+pr+q=0, (6) gọi là phương trình đặc trưng Có ba trường hợp có thể xảy ra theo bang sau : Nghiệm của phương trình (5) Nghiệm của phương trình (4) rụ, T; thực, Tị # T; y=Cie”h +C¿;e* BA ener y=e™(C, + Gx) rị fy =œ + i, œ, B thực y= e*" (CicosBx + C;sinBx)
® Phương trình khơng thuần nhất (3)
Trang 5ca
Dạng của vế phải fx)
a) e”*Q,(%x), Qui) là đa thực bậc n, nếu œ không là *P (x), P,(x) 1a da thuc | nghiém cila (5)
bậc n, œ là hằng số b) xe™*Q, (x) nếu œ là nghiệm đơn của (5) e) x7e™Q, (x) néu o là nghiệm kép của (5)
1,
144
Pu(x)cosBx + P(x)sinBx, |a) Q/x)cosBx + R/&)sinBx, ? = max(m, n), QÁx), Pạ(%) là đa thức bậc m, R¿œ) là những đa thức bậc ? nếu +iB không là
Pa(x) là đa thức bậc n, nghiệm của (5)
8 là hàng số Tỉ b) x[Qx)cosBx + RAx)sinBx], / = max(m, n), nếu iB là nghiem cila (5) - B ĐỀ BÀI
Giải các phương trình biến số phân ly :
Dx(1+y) 4x +y(1 +x2dy=0; 2) (x? + Dy' = xy;
3) (x? - yxy’ * y +xy =0, 4) (x —y?x)dx + (y - xˆy)dy =0; 5) ydx = (x2 — a2)dy Giải các bài toán giá trị ban đầu : 1) y'= 2G, yay =2; xtl,
2) y' + cos(x + 2y) = cos(x — 2y), y(Ø) = mi
3) x(y® + Ddx + yx + Đđy =0, y(0) = 1; 2x 4) e”X tgydx— dy =O, y= z x-l 2 Trong các phương trình vi phân cấp một sau đây, phương trình nào là thuần nhất ?
1) 2x? - y? + yy' =0; 2) yx? +y’dx + ydy =0;
3) (x2 + yy! = xy - xe"; 4) y’ = Inx — Iny;
5) y=, : 60xy =x ysin(2)
Trang 64 Giải các phương trình vi phân cấp một thuần nhất : py sty, 2) (y — x)dx + (y + xddy = 0: )yn nh 4) G2 + y 2d - xydy = 05 syy'= Lesine, yq)==: 6) xy'sin® sysin2—x; x x 2 X x 7)xy=y+ Kết, 5 Giải các phương trình vi phân cấp một tuyến tính : 1 Ox? + Dy’ + xy = 22; 2 2) y-—— =xInx (x>0), y(e)= °, xinx 2 3) y'+ 2xy =x; a) ye o+ >on yy=2: xX x T T
5)y )y -l=ytgx ytg [-š |-—<x<-|: 3 6) xy’ + 2xy = cosx, y(t) = 0;
7) y'cos’x + y = tgx ti“ <3} y(0) =0; 8d+ x)y’ —2xy=(l+ xy;
Trang 7146 3) © Etec cre =0 (xty>0); X+Yy x+y 3 4) 3x71 + lny)dx — (»-‡}» =0 >0), Ty), 5) xsiny + (ycosx)y' = 0;
6) (cosy + ycosx)dx ~ (sinx — xsiny)dy = 0; Det y)dx + (x — 2y)dy = 0;
8) (y= wy =y:
9) 3xy - 2 + Gy? - xây =0;
10) (3x? + 6xy— 2y?dx + (3x? - 4xy+ 4y dy =0; 11) xlnydx — (x + ylnx)dx=0 (x>0,y>0);
y? —3x?
12) 2 dx+
y yo
13) (e* + y + siny)dx + (e” + x + xcosy)dy = 0,
Giải các phương trình vi phân sau bằng cách tìm thừa số tích phân chỉ phụ thuộc x hoặc chỉ phụ thuộc y :
dy =0;
1) ydx - xdy + Inxdx = 0, a = a(x) (x > 0);
2) (x?cosx — y)dx + xdy = 0, a = a(x);
3) ydx ~ (x + "dy = 0, a = ay);
Trang 87?)y( +y') =y:
8) Gy? —4y)y' = xe"
9 Tìm quỹ đạo trực giao của các họ đường cong sau : 1) x =Cy* DK-1P +ly-1P=C: ] 3) x- 2y? =C: 4 y= x 19 Giải các bài toán giá trị ban đầu sau : J)y"-y ~ 2y =0, y(0) = 0y (0) = l; 2) y"— 10y + 25y = 0, y(0) =0, y(0) = Ï; " : T ,(® a
3) y" — 2y' + 10y = 0, "HÌ =0,y [§)==: 4) y" + 3y' =0, yO) = 1, y'(O) = 2:
5) y" + 9y = 0, y(O) = 0, y'(0) = 3:
6) y" — 2y' + 2y = 0, y(0) = L, y(0) = 2,
11 Giải các phương trình hay bài toán giá trị ban đầu sau : 1)y"+y'~ 2y = cosx — 3sinx, y(0) = 1, y(0) = 2;
2) y" — 2y' + 2y =x" 3) y" + y = sinxsin2x; 4)y" +y =sinx: 5) y"-4y'+4y= e**cos?x: 6) y" + 2y' + 2y = 2x ~ sinx; Ty" +y = 4xsinx;
8)y"—2y'+y=l+x+2(3x2~2)c” 9) y" — y = xcos"x:
10) y" + y' = 2y = e*(cosx — 7sinx); Uy" +y' ty =-13sin2x;
12) y" + y = xcosx, y(0) = 0, y'(0) = *
13) y" +y'- 2y =e™, m 1a hằng số dương; 14) y" + m’y = cosx ~ sinx;
15) y"-(m+ by’ +my=x- 1
12 Giải các phương trình vị phân sau bằng phương pháp biến thiên hằng số :
ly" +4y =x; Hy -y ae
: 1 1 + 1
Trang 913 Dùng phương pháp chuỗi luỹ thừa để giải phương trình và bài toán giá trị ban đầu sau :
Dy"+y=0;
2) y" — 2xy' + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1 14 Giải các phương trình vị phân sau : ~2x Dyy ty= ï 2) (y? + 2y + xy + 2x =O y(1) = 0; ớ , 2 ° : c_— 1 3)y"— 4y + 4y =e*(x - 1); 4)y +5y' + 6y = ae: +e
S)yy'= xVl+x7 yl+y"; 6) 2(x + yy’) #e%(1 + xy’) = 0;
Dy" +y = sin’x; 8) 3y’y' + tax -e * = 0 G BAI GIAI VA HUONG DAN
Trang 10Lấy tích phân hai vế, ta được
Inlyl = 2ind+x?) +InIC1=ladClI+x2) = y = CV I+x”,
€ là hằng số tùy ý Lưu ý rằng nghiệm y = 0 mà ta nhận xét ở trên cũng nằm trong nghiệm tổng quát y= CVI+ x? , nó ứng với C = 0
3) Nếu x z0, y # 0 thì phương trình có thể viết được là : Cevdy , Cemex 9 WH _g, - di y x oy y x x Lấy tích phân hai vế, ta được Am ne ee — — =—~ =C,C là hàng số tùy ý x sy : x) y In
4) Dé thay rang x = + 1, y = + 1 là nghiệm của phương trình Nếu x z 0, x #+I, y #0, y # + | thì phương trình có thể viết là
xdx yd Du * b 1-x l-y =0 Lấy tích phân hai vế, ta được
~ẢInll~x?I~ đinii—y2 I=InFKI,` 2 2
Trang 112 Nếu y + 3 #0, phương trình viết được là dy _ xdx y+3 x74) Lay tich phan hai vé, ta duge
inXt3 lingers invent, Cc 2 ` C là hằng số tùy ý Đo đó y+3=Cvx7 41 Tir diéu kién ban dau y(2) = 2, ta được 5=CV5 =C= v5 Vậy nghiệm của bài toán giá trị ban đầu là y= 50741 - 3 2) Phương trình được viết là dy - x = cos(x ~ 2y) — cos(x+2y) = 2sinxsin2y X dy sin2y > = 2sinxdx Lay tich phan hai vé, ta được
Staley =~2£osx + C, C là hằng số tùy ý
Trang 12Dat X = xỶ, ta có xả = 2 6X, XÍ +1 = X +, Đặt Y = yÌ, tạ có, v ty = Fay y+ T= YP 4 Phuong trinh trén tré thanh 1 dx 1 d¥ 2œ ta 2Xˆ+l 3Y +1 Tích phân hai vế, ta được 1 1 Ll 2,1 3
=arctg X + —arctgY 2 Arotg XÃ + 2 arctg = C => —arctgx” + —arctgy parce 32ret8y +C
Từ điều kiện y(0) = 1, ta được C = S Vay
3arctgx? + 2arctgy” = T 4) Phân ly biến số, ta được `
er (x—Ddx = cosy dy ,
siny
vie!" (x ~1pdx = =3 Lae” ), nen bằng cách tích phân : g cách tích phân hai hai vế ta đ vế ta được
Leow =Inlsinyl+C > ee ~ 2n lsin yÍ +2C,
C 1a hang số tùy ý Vì y(1) = „ ta được 2C = 1 Vậy tích phân riêng của bài toán là
els 2Inlsiny + 1
1) Phương trình đã cho không là phương trình vi phân thuần nhất 2) Nếu y #0, phương trình có thể viết là
" Very? yor
Trang 13152 Nó có dạng 2 - (| +1 nếny >0 1 y —< [3] +1 nếu y <0 y
đó là một phương trình vị phân thuần nhất
Trang 14Dé thay rang u = 0 là một nghiệm của phương trình đó, nên y = 0 là một nghiệm của phương trình đã cho Nếu u z 0, ta được , du dx wx Tích phân hai vế, ta được ~Ở=Inlxl+C=u=-——— u Inlxl+€ Suy ra x ————- C hà hàng số tuỳ ý Inlxl+€ 5 yy y= 2) Phương trình viết được dưới dạng Đặt y = ux, ta được 1 l-u du I-2u-uŸ (+u)du dx xu! + u= —— > x— =————- > + — = 0 l+u dx lu w+2u-l x
Tích phân hai vế, vì (1 + u) du = da + 2u - l), ta được Sinlu? +2u-11+ Inlxl= InICl
= xVlIu?+2u—1l =C = ly? +2xy —x? | = C?, C là hằng số tùy ý
3) Đặt y = ux, phương trình trở thành
Lấy tích phân hai vế, ta được :
Finl2u + 1+ Inixt= inl => xVi2u+i = C
Trang 154) Dat y = ux, phuong trinh dugc dua vé dang du 1 dx X——+uSu+—> udu=— dx u x Lấy tích phân hai vế, ta được 2 2 X= InlCxt => 2 = InlCxl y2 = 2x2 2 2x In FCxI, Cà hằng số tùy ý 5) Đặt y = ux, ta có du du dx xX—— = sinu => ——- =— dx sinu x Tích phân hai vế, ta được x ụ u y In}—| € = Inhg~| si] = x = Ctg— = Ctg-— By ek Từ điều kiện y(1) = 2 tá được C = 1 Vậy y K=tg Box 6) Dat y = ux, ta được „đu : dx xXsinu— = ~—1 => sinudu = -—., dx x Tich phan hai vé, ta duoc y x) > x = Coe <5 x = Cex „ C]à hằng số tùy ý cosu = In 7) Dat y = ux, ta cd du dx x— =e" >e “du = — dx
Tích phân hai vế, ta được
=e”” =lnlxi— InICI=> e"" = InIC!~ InlxI =y=-xln(IlnICI — Inlx II), C là hằng số tùy ý 5 1) Phương trình thuần nhất tương ứng là
dy xdx
ty ay 205 84 dx 2 =0
y xo +)
Trang 16Lấy tích phân hai vế, ta được ICI Ax?+l Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là Cc x41 Inlyl=—Sin(x? +1) + InIC1= In y= Bây giờ cho C biến thiên, tức là tìm hàm số C(%) sao cho y = yea x +1 thỏa mãn phương trình không thuần nhất đã cho Thay vào phương trình đã cho ta được was} c@œ) CŒ)x , xC(X) „ Vx? +1 x Vx? + | Vx? +1 => Vx? +1 C(x) = -2 > C(x) = - 2 Vx? +1
Trang 17x2 C(x)Inx = xlnx => C(x) =x => C(x) = - +K K là hằng số tùy ý , Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là x? =|— + K /Inx y [2 Inx e e e«
Trang 18Tích phân hai vế ta được
Inlyl4Inx =InICt= y=£ x Cứ) _ Cứ) x x? Cho hằng số C biến thiên, ta có y'= Thế vào phương trình đã cho, ta được co =< => C(x) c1» C(x) =Inx + K, x x x K là hàng số tùy ý Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là _Inx+K =—— Từ điều kiện ban đầu y(1) = 2 ta được K = 2 Vậy _inx +2 =— 5) Phương trình viết lại là
y`- ytgx = l với (-$<x<3}
2 2
Giải phương trình thuần nhất
dy — ytgx =0> dy sinxdx = _8(0sx) :
dx y cosx cosx
Tích phân hai vế, ta được
Trang 196) Giải phương tình thuần nhất
, xe SÝ ¿2y =g 4 2 -
dx y x 0
=> Inlyl + 2InIxl=InICl=> yx? =C > y= *|0
Cho C biến thiên, thế vào phương trình đã cho, ta được CC) = cosx => C(x) = sinx + K Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là sinx+K xi Từ điều kiện ban đầu y(œ) = 0, ta được K =0 Vậy nghiệm phải tìm là _ SIHX x? 7) Giải phương trình thuần nhất cox + y0 ẨẾ ox =0 dx y cos” X => nly! ign = Init n|2] = tpn = y = Ge
Trang 208) Giải phương trình thuần nhất " ^ dx x+l y x(x+D x x4l => Ina : +1 x+I lên Tayêc C X Cho € biến thiên, ta được y' = Ca) + Ct) Thay y' vao x‡l (x41) phương trình đã cho, ta được ? xtl 1 Cw =x=C@&)= Š* =1+* => C@) = x+Inx+K, x+1 x x K la hang sé tity ý Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là _(x+lnx+K)x xt] 9) Giải phương tình thuần nhất