(LUẬN văn THẠC sĩ) tính chất bóng của phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ BÍCH THỤC TÍNH CHẤT BĨNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ BÍCH THỤC TÍNH CHẤT BĨNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - 2013 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cảm ơn ii Lời nói đầu iii Tập hyperbolic phương trình vi phân thường 1.1 Định nghĩa tập hyperbolic 1.2 Tính bị chặn phép chiếu 1.3 Tính liên tục phép chiếu 1.4 Nhị phân mũ phương trình vi phân 11 1.4.1 Định nghĩa 11 1.4.2 Vài tính chất nhị phân mũ 12 1.4.3 Liên hệ nhị phân mũ tập hyperbolic 18 1.4.4 Tính vững nhị phân mũ 21 1.5 Tính co giãn tập hyperbolic 35 1.6 Tính vững tập hyperbolic 39 Các định lý tính bóng tập hyperbolic 46 2.1 Định lý tính bóng rời rạc 46 2.2 Định lý tính bóng liên tục 60 Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 69 i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Để hồn thành chương trình đào tạo hoàn thiện luận văn này, thời gian vừa qua nhận nhiều giúp đỡ q báu gia đình, thầy bạn bè Vì vậy, này, tơi muốn gửi lời cảm ơn tới người Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, thầy nhiệt tình hướng dẫn bảo tơi q trình hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy cô Khoa, người trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tơi q trình học cao học Tơi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tơi, người ln động viên ủng hộ ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời nói đầu Tính chất bóng có nguồn gốc từ việc giải số phương trình vi phân/sai phân Tính chất bóng có nghĩa tồn quỹ đạo gần giả quỹ đạo cho trước Tính bóng nghiên cứu Anosov, Bowen, Sinai - người nhận liên quan đến tốn ổn định toàn cục hệ động lực Trước đây, Anosov, Bowen, Sinai dùng phương pháp hình học để nghiên cứu tính bóng Sau này, Palmer dùng cách tiếp cận giải tích cho tính bóng thơng qua lý thuyết nhị phân mũ phương trình vi phân Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tính bóng hệ động lực lân cận tập hyperbolic từ sách "Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications" Ken Palmer năm 2000 Chúng tơi đơn giản hóa chứng minh Palmer Luân văn cấu trúc sau: Chương trình bày kết tập bất biến hyperbolic cho phương trình vi phân thường Chương nhắc lại khái niệm nhị phân mũ chứng minh vài tính chất (tính vững, tính co giãn) dùng làm cơng cụ chứng minh định lý Chương kết luận văn, gồm Định lý tính bóng rời rạc Định lý tính bóng liên tục Cuối số bình luận hướng nghiên cứu danh mục tài liệu tham khảo Do thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2013 Trần Thị Bích Thục iii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan Chương Tập hyperbolic phương trình vi phân thường 1.1 Định nghĩa tập hyperbolic Cho U tập mở Rn F : U → Rn trường vectơ lớp C Khi với cặp (τ, ξ) ∈ R × U tốn giá trị ban đầu x˙ = F (x), x(τ ) = ξ (1.1) có nghiệm xác định khoảng mở cực đại I(τ, ξ) ⊂ R Ta đặt O = {(t, τ, ξ) : τ ∈ R, ξ ∈ U, t ∈ I(τ, ξ)} O tập mở ta xác định Φ : O → Rn Φ(t, τ, ξ) = x(t), x(t) nghiệm tốn giá trị ban đầu (1.1) Φ hàm thuộc lớp C (C r F C r ), tính nghiệm ta có tính chất Φ(t, s, Φ(s, τ, ξ)) = Φ(t, τ, ξ) F độc lập với thời gian, tính chất Φ(t, τ, ξ) = Φ(t − τ, 0, ξ), I(τ, ξ) = τ + I(0, ξ) miền xác định tương ứng Ký hiệu φ(t, ξ) = φt (ξ) = Φ(t, 0, ξ)(= Φ(0, −t, ξ)) Ta gọi φ dịng phương trình (1.1) (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan Xét phương trình vi phân thường ơtơnơm sau x˙ = F (x), (1.2) F : U → Rn trường vectơ lớp C , ký hiệu φ dòng tương ứng Ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Một tập compact S ⊂ U gọi hyperbolic phương trình (1.2) (i) F(x) 6= với x ∈ S; (ii) S bất biến, tức là, φt (S) = S với t; (iii) có phân tích liên tục Rn = E (x) ⊕ E s (x) ⊕ E u (x) với x ∈ S (1.3) với E (x) = span{F (x)} dim E s (x), dim E u (x) không đổi, cho với t với x thuộc S Dφt (x)(E s (x)) = E s (φt (x)), Dφt (x)(E u (x)) = E u (φt (x)), có số dương K, α có tính chất với t ≥ x thuộc S kDφt (x)ξk ≤ Ke−αt kξk với ξ ∈ E s (x), (1.4) kDφ−t (x)ξk ≤ Ke−αt kξk với ξ ∈ E u (x) (1.5) Gọi P (x), P s (x) P u (x), với x ∈ S, phép chiếu tương ứng với tập hyperbolic S Phân tích liên tục định nghĩa hiểu theo nghĩa ánh xạ x 7→ P (x), x 7→ P s (x), x 7→ P u (x) liên tục Điều kiện tính liên tục phân tích suy từ điều kiện khác (như bỏ qua gỉả thiết tính liên tục phân tích) Ví dụ 1.1 Hệ vi phân hai chiều ( x0 = x(1 − x2 − y ) − y y = y(1 − x2 − y ) + x biến đổi dạng toạ độ cực (r, ϕ) sau ( r0 = 1r (xx0 + yy ) = r(1 − r2 ) ϕ0 = r12 (xy − yx0 ) = r12 (x2 + y ) = Khi đó, đường trịn r = hay S = {(x, y) : x2 +y = 1} quỹ đạo tuần hoàn hyperbolic (xem [3], trang 144-145) (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan 1.2 Tính bị chặn phép chiếu Xét phép chiếu P (x), P s (x), P u (x) tương ứng khai triển (1.3) Trong phần ta chứng minh phép chiếu bị chặn Mệnh đề 1.1 Gọi P (x), P s (x) P u (x), với x ∈ S, phép chiếu tương ứng với tập hyperbolic S Khi chúng bị chặn đều, tức sup{kP (x)k, kP s (x)k, kP u (x)k} ≤ M < +∞ x∈S Chứng minh Xét vectơ khác không v ∈ E (x), ξ ∈ E s (x), η ∈ E u (x) đặt x0 (t) = Dφt (x)v, xs (t) = Dφt (x)ξ, xu (t) = Dφt (x)η với x ∈ S Chú ý v = αF (x) với α số thực x0 (t) = αF (φt (x)) Do với t M0−1 ∆kvk ≤ kx0 (t)k ≤ M0 ∆−1 kvk với M0 = sup kF (x)k, ∆ = inf kF (x)k x∈S x∈S (1.6) Ta chọn số dương T cho σ= ∆eαT > M0 K Khi w w s s x (T ) xs (T ) w kξk x0 (T ) w kx (T )k x (T ) w w + kvk + kξk = w kξk kxs (T )k kvk kxs (T )k w   kxs (T )k kξk kx0 (T )k kxs (T )k ≥ − s kξk kxs (T )k kvk kx (T )k   s kx (T )k kξk kx (T )k = −1 kξk kxs (T )k kvk  αT  ∆e −M1 T ≥ e − = (σ − 1)e−M1 T M0 K với M1 = sup kDF (x)k x∈S (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan Mặt khác,   x (T ) xs (T ) T ξ v kvk + kξk = Dφ (x) kvk + kξk ξ M1 T v ≤ e kvk + kξk Do v ξ −2M1 T kvk + kξk ≥ (σ − 1)e Từ bất đẳng thức v ξ ≤ k ξ + v k, + kξk kvk kξk ta có kξk(σ − 1)e−2M1 T ≤ 2kξ + vk kξk ≤ 2e2M1 T kξ+v k σ−1 Từ ta suy max {kvk, kξk} nên kvk 2e2M1 T ≤ kξ + vk σ−1 ≤ 2e2M1 T kξ+v k σ−1 kξk 2e2M1 T ≤ kξ + vk σ−1 (1.7) Tương tự xét x (T ) xu (T ) kx0 (T )k kvk x0 uT ) x0 (T ) + kvk + kηk = kvk kx0 (T )k kξk kx (T )k   kx0 (T )k kvk kxu (T )k kx0 (T )k ≥ − kvk kx0 (T )k kξk kx (T )k   u kx (T )k kvk kx (T )k = −1 kvk kx0 (T )k k η k  αT  ∆e −M1 T ≥ e − = (σ − 1)e−M1 T M0 K Mặt khác   x (T ) xu (T ) T v η kvk + kηk = Dφ (x) kvk + kηk η M1 T v ≤ e kvk + kηk kηk ≤ 2e2M1 T kη + vk σ−1 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan Từ suy max{kvk, kηk} ≤ 2e2M1 T kη + vk σ−1 Do tính bất biến, với t ta có nên  max kx0 (t)k, kxu (t) k ≤ kx0 (t)k 2e2M1 T ≤ kx0 (t) + xu (t)k σ−1 2e2M1 T kx (t) + xu (t)k σ−1 kxu (t)k 2e2M1 T ≤ kx0 (t) + xu (t)k σ−1 (1.8) Tiếp theo ta nhận thấy với t ≥ kξk kx0 (t) + xu (t)k eαt kx0 (t) + xu (t)k ≥ kxs (t)k kv + ξk K kvk + kηk αt e kx0 (t) + xu (t)k ≥ K M0 ∆−1 kx0 (t)k + Ke−αt kxu (t)k eαt = (t)k u kx K M0 ∆−1 + Ke−αt 0kx (t)k u u kx (t)+x (t)k kx (t)+x (t)k eαt σ−1 ≥ −1 K (M0 ∆ + Ke−αt )2e2M1 T (1.8) Ta chọn số dương T1 cho σ1 = eαT1 σ−1 > −1 K (M0 ∆ + Ke−αT1 )2e2M1 T (1.9) Sau đó, sử dụng s kx (T1 )k x0 (T1 ) + xu (T1 ) kξk + kv + ηk theo trên, ta suy kξk ≤ 2e2M1 T1 kv + η + ξk σ−1 Do P s (x)(v + η + ξ) = ξ, nên kP s (x)k ≤ 2e2M1 T1 , σ−1 suy P s (x) bị chặn Ta lại nhận thấy với t ≥ kxu (t)k kv + ξk eαt kv + ξk ≥ s kηk kx (t) + x (t)k K kx (t)k + kxs (t)k eαt kv + ξk ≥ −1 K M0 ∆ kvk + Ke−αt kξk eαt = kvk −1 K M0 ∆ + Ke−αt kξk kv+ξk kv+ξk αt ≥ e σ−1 −1 K (M0 ∆ + Ke−αt )2e2M1 T (1.7) (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Z t s s ≤ kx − yk + σ|t| + M1 kφ (x) − ψ (y)k ds , t t M1 = sup kDF (x)k x∈U Do đó, theo Bổ đề Gronwall (xem [7, tr19]), kφt (x) − ψ t (y)k ≤ σ M1 |t| (e − 1) + kx − ykeM1 |t| M1 với t ∈ J (1.64) Để hoàn thiện đánh giá sơ này, ta xét x ∈ SO viết xk = ψ k (x) với k ∈ Z 40 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan Từ d(xk , S) ≤ d, tồn yk ∈ S cho kxk − yk k ≤ d Khi kyk+1 − φ1 (yk )k ≤ kyk+1 − xk+1 k + kψ (xk ) − φ1 (yk )k ≤ d + (σ + kxk − yk k)eM1 (1.64) ≤ (1 + eM1 )d + σeM1 Do kyk+1 − φ1 (yk )k ≤ δ với số nguyên k δ = (1 + eM1 )d + σeM1 (1.65) Điều có nghĩa dãy {yk }+∞ k=−∞ δ−giả quỹ đạo rời rạc theo nghĩa định nghĩa sau Định nghĩa 1.5 Cho δ số dương, dãy điểm {yk }+∞ k=−∞ U gọi δ−giả quỹ đạo rời rạc phương trình (1.2) có dãy thời gian dương {hk }+∞ k=−∞ với sup hk < +∞, inf hk > cho yk+1 − φhk (yk ) ≤ δ với k ∈ Z Bổ đề 1.3 Cho S tập compact hyperbolic phương trình vi phân (1.2) với U tập lồi mở, Định nghĩa 1.1, cho {yk }+∞ k=−∞ δ−giả quỹ đạo rời rạc S với dãy thời gian tương ứng {hk }+∞ k=−∞ thỏa mãn < hmin ≤ hk ≤ hmax Ta xác định dãy số thực {ak }+∞ k=−∞ công thức truy hồi sau ak+1 = ak + hk với a0 = ta đặt hàm khả vi liên tục đoạn y(t) = φt−ak (yk ) với ak ≤ t ≤ ak+1 , k ∈ Z Giả sử β λ số dương thỏa mãn λ < β < α 41 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan Khi δ đủ nhỏ phụ thuộc vào F, S, hmin , hmax , β λ có hàm nhận giá trị thực ω+ (·) ω− (·) phụ thuộc vào F, S, β λ với limδ→0+ ω± (δ) = cho phương trình x˙ = [DF (y(t)) + λ]x (1.66) λ có nhị phân mũ R với số mũ min{β − λ, } với phép chiếu P (t) thỏa mãn rank P (t) = rank P s kP (t) − P s (y(t))k ≤ ω+ (δ), phương trình x˙ = [DF (y(t)) − λ]x (1.67) λ có nhị phân mũ R với số mũ min{β − λ, } với phép chiếu Q(t) thỏa mãn rank Q(t) = n − rank P u kQ(t) − [P (y(t)) + P s (y(t))]k ≤ ω− (δ) Trong hai trường hợp số liên kết phụ thuộc vào F, S, β λ Hơn ta có P (t)Q(t) = Q(t)P (t) = P (t) (1.68) phép chiếu Q(t) − P (t) phép chiếu có hạng Chứng minh Xem [6, tr163-166] Ta áp dụng bổ đề cho dãy {yk }+∞ k=−∞ xác định trước Định nghĩa 1.5 Với dãy hk = ak = k Ta chọn β= α+β λ = β Cho trước δ phương trình (1.65) đủ nhỏ phụ thuộc vào F, S β, ta suy phương trình (1.66) (1.67) có nhị phân mũ Bổ đề 1.3 Chú ý 42 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan k ≤ t ≤ k + k ∈ Z kDG(ψ t (x)) − DF (y(t))k = kDG(ψ t−k (xk )) − DF (φt−k (yk ))k ≤ kDG(ψ t−k (xk )) − DF (ψ t−k (xk ))k +kDF (ψ t−k (xk )) − DF (φt−k (yk ))k ≤ σ + ω(kψ t−k (xk ) − φt−k (yk )k) ≤ σ + ω([σ + kxk − yk k]eM1 ) (1.64) ≤ σ + ω((σ + d)eM1 ), ω(ε) = sup{kDF (x) − DF (y)k : x ∈ S, kx − yk ≤ ε} Tiếp tục áp dụng Bổ đề 1.1, σ d đủ nhỏ phụ thuộc vào F, S β, phương trình y˙ = [DG(ψ t (x)) + λ]y, (1.69) λ có nhị phân mũ R với số mũ min{β − λ, }, số L phụ thuộc vào F, S, β phép chiếu Px (t) có hạng với P s Tương tự điều với phương trình y˙ = [DG(ψ t (x)) − λ]y, (1.70) λ số mũ min{β − λ, }, phép chiếu Qx (t) có hạng với P + P s ta chọn số L Bây ta áp dụng tính chất nhị phân mũ để xác định không gian ổn định bất ổn định Trước hết xét ξ ∈ R(Px (0)) Khi y(t) = eλt Dψ t (x)ξ nghiệm phương trình (1.69) với y(0) ∈ R(Px (0)) ky(t)k ≤ Le−(β−λ)t ky(0)k với t ≥ Do ξ ∈ R(Px (0)) kDψ t (x)ξk ≤ Le−βt kξk với t ≥ (1.71) Tương tự phương trình (1.70), ta có ξ ∈ N (Qx (0)) kDψ −t (x)ξk ≤ Le−βt kξk với t ≥ (1.72) Các mối liên hệ với x ∈ SO Cố định s, ta thay x biểu thức (1.69) ψ s (x) ta biểu thức tương tự với t thay t + s Phương trình 43 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan có nhị phân mũ R với phép chiếu Px (t + s) Do tính phép chiếu (xem Mệnh đề 1.3(ii)), ta có với t s Px (t + s) = Pψs (x) (t) Do Px (t) = Pψt (x) (0) Hơn nữa, tính bất biến phép chiếu nên Dψ t (x)eλt Px (0) = Px (t)Dψ t (x)eλt Ta suy với x ∈ SO t Dψ t (x)Px (0) = Pψt (x) (0)Dψ t (x) (1.73) Dψ t (x)Qx (0) = Qψt (x) (0)Dψ t (x) (1.74) Tương tự Tiếp theo ta ý ξ ∈ R(Px (0)) e−λt Dψ t (x)ξ = e−2λt eλt Dψ t (x)ξ nghiệm phương trình (1.70) bị chặn với t ≥ Do theo Mệnh đề 1.3 ta có R(Px (0)) ⊂ R(Qx (0)) (1.75) N (Qx (0)) ⊂ N (Px (0)) (1.76) Tương tự Tiếp theo từ kG(ψ t (x))k ≤ kF (ψ t (x))k + kG(ψ t (x)) − F (ψ t (x))k ≤ M0 + σ, M0 = sup kF (x)k, x∈U ta suy e −λt t G(ψ (x)) nghiệm phương trình (1.70) bị chặn với t ≥ Do theo Mệnh đề 1.3 ta có G(x) ∈ R(Qx (0)) (1.77) 44 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan Mặt khác, eλt G(ψ t (x)) nghiệm phương trình (1.69) bị chặn với t ≤ Do lại theo Mệnh đề 1.3 ta có G(x) ∈ N (Px (0)) (1.78) Ta giả sử M1 d + σ < ∆ kG(x)k ≥ kF (x)k − kG(x) − F (x)k ≥ ∆ − M1 d − σ > (1.79) Từ (1.75), (1.76), (1.77), (1.78) (1.79) số chiều không gian ta suy Rn = span{G(x)} ⊕ R(Px (0)) ⊕ N (Qx (0)) (1.80) với Qx (0) − Px (0), Px (0) I − Qx (0) phép chiếu tương ứng Do với x ∈ SO ta đặt E s (x) = R(Px (0)), E u (x) = N (Qx (0)) Từ biểu thức (1.80) ta suy Rn = span{G(x)} ⊕ E s (x) ⊕ E u (x) Tính bất biến suy từ biểu thức (1.73) (1.74) biểu thức (1.71) (1.72) có nghĩa với t ≥ kDψ t (x)ξk ≤ Le−βt kξk với ξ ∈ E s (x) kDψ −t (x)ξk ≤ Le−βt kξk với ξ ∈ E u (x) Từ (1.80) suy ra, phép chiếu không gian ổn định bất ổn định Px (0) I − Qx (0) tương ứng Cận phép chiếu L phụ thuộc vào F, S β Do định lý chứng minh 45 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.vi.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com