(LUẬN văn THẠC sĩ) tính chất bóng của phương trình sai phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ THỦY TÍNH CHẤT BĨNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ THỦY TÍNH CHẤT BĨNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cảm ơn ii Lời mở đầu iii Điểm bất động hyperbolic, đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định vi phôi 1.1 Điểm bất động hyperbolic vi phôi 1.2 Đa tạp ổn định đa tạp không ổn định 1.3 Tính chất điểm yên ngựa 1.4 Tính trơn đa tạp ổn định địa phương 10 1.5 Vi phôi phụ thuộc tham số 16 Tập hyperbolic vi phôi 19 2.1 Định nghĩa tập hyperbolic 19 2.2 Tính bị chặn phép chiếu 20 2.3 Tính liên tục phép chiếu 22 2.4 Nhị phân mũ phương trình sai phân 26 2.5 Tính chất tập hyperbolic 30 2.6 Tính vững tập hyperbolic 32 Định lý bóng cho tập hyperbolic vi phơi 35 3.1 Định lý bóng 35 3.2 Nói thêm tính vững tập hyperbolic 41 3.3 Không gian tiệm cận tập hyperbolic 45 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Để hồn thành chương trình đào tạo hồn thiện luận văn này, thời gian vừa qua nhận nhiều giúp đỡ quí báu gia đình, thầy bạn bè Vì vậy, này, muốn gửi lời cảm ơn tới người Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, thầy nhiệt tình hướng dẫn bảo tơi q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy cô Khoa, người trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tơi q trình học cao học Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình tơi, người động viên ủng hộ ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan LỜI MỞ ĐẦU Tính chất bóng có nguồn gốc từ việc giải số phương trình vi phân/sai phân Tính chất bóng có nghĩa tồn quỹ đạo gần giả quỹ đạo cho trước Tính bóng nghiên cứu Anosov, Bowen, Sinai - người nhận liên quan đến tốn ổn định tồn cục hệ động lực Trước đây, Anosov, Bowen, Sinai dùng phương pháp hình học để nghiên cứu tính bóng Sau này, Palmer dùng cách tiếp cận giải tích cho tính bóng thơng qua lý thuyết nhị phân mũ phương trình vi phân Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tính bóng hệ động lực lân cận tập hyperbolic từ sách "Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications" Ken Palmer năm 2000 Luận văn chia làm ba chương: Chương trình bày khái niệm điểm cố định hyperbolic vi phôi; đa tạp ổn định đa tạp không ổn định; tính chất điểm yên ngựa; tính nhẵn đa tạp ổn định địa phương vi phôi phụ thuộc tham số Chương trình bày định nghĩa tập hyperbolic; tính chất tập hyperbolic Ngồi ra, chương trình bày tính liên tục tính bị chặn phép chiếu; nhị phân mũ phương trình sai phân Tính co giãn tập bất biến vi phơi định nghĩa hệ tính hyperbolic Chương nội dung luận văn Trong chương chúng tơi nêu chứng minh định lý bóng Sau áp dụng định lý bóng để chứng minh kết tính vững tập hyperbolic khơng gian tiệm cận tập hyperbolic Do thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 03 tháng 12 năm 2014 Học viên Phạm Thị Thủy iii (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan Chương Điểm bất động hyperbolic, đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định vi phôi 1.1 Điểm bất động hyperbolic vi phôi Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa vi phôi) Cho U tập mở Rn Ánh xạ f : U ⊂ Rn → Rn gọi C r vi phôi tồn f −1 ánh xạ f, f −1 thuộc lớp C r Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa điểm bất động hyperbolic vi phôi, không gian ổn định không gian không ổn định) Cho U tập mở Rn , f : U → Rn C - vi phôi Điểm x0 ∈ U gọi điểm bất động hyperbolic f f (x0 ) = x0 giá trị riêng ma trận Df (x0 ) không nằm đường trịn đơn vị Khi tổng khơng gian riêng suy rộng ứng với giá trị riêng nằm (ngồi) đường trịn đơn vị tương ứng gọi không gian ổn định (không ổn định) ký hiệu E s (E u ) (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan 1.2 Đa tạp ổn định đa tạp không ổn định Cho U tập mở Rn , f : U → Rn C - vi phôi Từ định nghĩa E s , E u mục 1.1.2, ta biết E s , E u bất biến Df (x0 ) Hơn nữa, kết đại số tuyến tính, ta gọi λ1 λ2 số dương cho |λ| < λ1 < với tất giá trị riêng λ Df (x0 ) mà |λ| < < λ−1 < |λ| với tất giá trị riêng λ Df (x0 ) mà |λ| > Khi tồn số dương k1 , k2 cho với ∀k ≥ 0, k ∈ Z k[Df (x0 )]k ξk ≤ k1 λk1 kξk với ∀ξ ∈ E s k[Df (x0 )]−k ηk ≤ k2 λk2 kηk với ∀η ∈ E u Như [Df (x0 )]k ξ → k → ∞ ξ ∈ E s [Df (x0 )]k ξ → k → −∞ ξ ∈ E u Định nghĩa 1.2.1 (Định nghĩa đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định) Cho x0 điểm bất động hyperbolic C - vi phôi f : U → Rn Khi đó, tập hợp W s (x0 ) = {x ∈ U : f k (x) → x0 , k → ∞} gọi đa tạp ổn định x0 Tập hợp W u (x0 ) = {x ∈ U : f k (x) → x0 , k → −∞} gọi đa tạp không ổn định x0 Chúng ta đa tạp ổn định, tên vậy, khơng đa tạp Rn Tuy nhiên mơ tả hệ đa tạp ổn định địa phương mà chúng đa tạp Rn Định nghĩa 1.2.2 (Định nghĩa đa tạp ổn định địa phương) (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan Cho U tập mở Rn , f : U → Rn C - vi phôi với x0 điểm bất động hyperbolic Với ε > cho trước, ta định nghĩa đa tạp ổn định địa phương x0 W s,ε (x0 ) = {x ∈ U : f k (x) → x0 k → ∞ kf k (x) − x0 k < ε, ∀k ≥ 0} Ta dễ dàng thấy với ε > W s (x0 ) = ∪ f −k (W s,ε (x0 )) k≥0 Ngồi ra, ta cịn thấy tính chất bất biến f (W s (x0 )) = W s (x0 ), f (W s,ε (x0 )) ⊂ W s,ε (x0 ) Trong phần tiếp theo, với ε > đủ nhỏ tập W s,ε (x0 ) đa tạp trơn thực Rn chứa x0 cho không gian tiếp xúc với W s,ε (x0 ) x0 không gian ổn định, Tx0 W s,ε (x0 ) = E s 1.3 Tính chất điểm yên ngựa Định nghĩa 1.3.1 (Khái niệm tính chất điểm yên ngựa) Cho x0 điểm bất động hyperbolic vi phôi f , x0 gọi có tính chất điểm n ngựa tồn số dương ∆ mà điểm x thỏa mãn kf k (x) − x0 k ≤ ∆ với k ≥ f k (x) → x0 k → ∞ Đặc biệt nữa, có mệnh đề sau Mệnh đề 1.3.2 Cho U ⊂ Rn tập mở f : U → Rn C - vi phôi với x0 điểm bất động hyperbolic tương ứng với không gian ổn định, không ổn định E s , E u cho bất đẳng thức sau thỏa mãn k[Df (x0 )]k ξk ≤ k1 λk1 kξk với ξ ∈ E s , (1.1) k[Df (x0 )]−k ηk ≤ k2 λk2 kηk với η ∈ E u (1.2) Gọi P ánh xạ chiếu Rn lên E s dọc theo E u đặt M s = kP k, M u = kI − P k Giả sử ∆ số dương đủ nhỏ (ta ln tìm được) thỏa mãn σ = [k1 M s (1 − λ1 )−1 + k2 M u λ2 (1 − λ2 )−1 ]w(∆) < 1, (1.3) (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan ω(∆) = sup{kDf (x) − Df (x0 )k : kx − x0 k ≤ ∆} Khi x ∈ U kf k (x) − x0 k ≤ ∆ với ∀k ≥ bất đẳng thức kf k (x) − x0 k ≤ k1 M s (1 − σ)−1 [λ1 + k1 M s (1 − σ)−1 ω(∆)]k kx − x0 k thỏa mãn với ∀k ≥ Như có thêm điều kiện k1 M s ω(∆) < (1 − σ)(1 − λ1 ) suy f k (x) → x0 k → ∞, tức x0 có tính chất điểm n ngựa Chứng minh Đặt yk = f k (x) − x0 Khi f k (x) = yk + x0 Với k ≥ 0: yk+1 = f k+1 (x) − x0 , yk+1 = f (x0 + yk ) − x0 Như vậy, yk+1 = Ayk + g(yk ), (1.4) A = Df (x0 ), g(yk ) = f (x0 + yk ) − f (x0 ) − Df (x0 )yk Đặt g(y) = f (x0 + y) − f (x0 ) − Df (x0 )y Ta biết f (x0 + y) − f (x0 ) = Df (ξ)y (với ξ mà ξ = λx0 + (1 − λ)(x0 + y), λ ∈ (0, 1)) g(y) = Df (ξ)y − Df (x0 )y Với giả thiết ω(∆) = sup{kDf (x) − Df (x0 )k, với kx − x0 k ≤ ∆} kg(y)k ≤ ω(∆) · kyk kyk < ∆ Tiếp theo, đặt uk = P yk , vk = (I − P )yk Rõ ràng uk + vk = yk (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan Từ A giao hoán với P , tức AP = P A, nhân (1.4) với P , ta P yk+1 = uk+1 = P (Ayk + g(yk )) uk+1 = AP (yk ) + P g(yk ) uk+1 = Auk + P g(yk ) Theo tính chất dãy truy hồi, với k ≥ 0, ta có kết k uk = A u0 + k−1 X Ak−m−1 P g(ym ) (1.5) m=0 Tương tự, nhân (1.4) với (I − P ) ta (I − P )yk+1 = vk+1 = (I − P )(Ayk + g(yk )) vk+1 = A(I − P )(yk ) + (I − P )g(yk ) vk+1 = A(vk ) + (I − P )g(yk ) Nhân hai vế với A−1 , biến đổi, ta thu vk = A−1 vk+1 − A−1 (I − P )g(yk ) Truy hồi vk theo vm , với ≤ k ≤ m ta thu vk = A −(m−k) vm − m−1 X A−(l−k+1) (I − P )g(yl ) (1.6) l=k Ta xét vk m → ∞ Ta có kA−(m−k) vm k = kA−(m−k) (I − P )(ym )k ≤ k2 λm−k M u kym k ≤ k2 λm−k M u ∆ 2 (Theo giả thiết kf k (x) − x0 k ≤ ∆ với k ≥ mà yk = f k (x) − x0 ⇒ kyk k ≤ ∆ với ∀k ≥ 0) ⇒ kA−(m−k) vm k → m → ∞ Ngoài ra, k ∞ X A −(l−k+1) (I − P )g(yl )k ≤ l=k ∞ X k2 λl−k+1 M u ω(∆)∆ l=k (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan Trong mục 2.2 ta biết tồn số M s , M u cho ∀x ∈ S: kP (x)k ≤ M s , kI − P (x)k ≤ M u Vì kφ(k, m)Pm k ≤ k1 λk−m M s với k ≥ m, kφ(k, m)(I − Pm )k ≤ k2 M u λm−k với k ≤ m Như phương trình sai phân (2.18) có nhị phân mũ (−∞; +∞) với số k1 M s , k2 M u , số λ1 , λ2 số chiều E s (x) hạng ánh xạ chiếu tương ứng (⇐) Giả sử ∀x ∈ S, phương trình sai phân (2.18) có nhị phân mũ (−∞; +∞) với số k1 , k2 số mũ λ1 , λ2 hạng ánh xạ chiếu Pk (x) không phụ thuộc vào x Ta cần chứng minh   n k Im P0 (x) = ξ ∈ R : sup kDf (x)ξk < ∞ , (*) k≥0  Ker P0 (x) = n k  η ∈ R : sup kDf (x)ηk < ∞ (**) k≤0 Thật vậy, ξ ∈ Im P0 (x) với k ≥ 0, kDf k (x)ξk = kφ(k, 0)P0 (x)ξk ≤ k1 λk1 kξk P0 (x) bị chặn, ξ ∈ Im P0 (x) ⇒ kξk < ∞ ⇒ kDf k (x)ξk bị chặn Ngược lại ξ ∈ Rn mà kDf k (x)ξk bị chặn với ∀k ≥ ta suy ξ ∈ Im P0 (x) sau: Xét k(I − P0 (x))ξk = k(I − P0 (x))φ(0, k)φ(k, 0)ξk = kφ(0, k)(I − Pk (x))Df k (x)ξk ≤ k2 λk2 kDf k (x)ξk với k ≥ Cho k → ∞, ta có k(I − P0 (x))ξk = ⇒ ξ ∈ Im P0 (x) Đẳng thức tập hợp (*) chứng minh Đẳng thức tập hợp (**) chứng minh tương tự Từ (*) (**) suy Df (x)(Im P0 (x)) = Im P0 (f (x)) Df (x)(Ker P0 (x)) = Ker (P0 (f (x))) 28 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan Ta định nghĩa E s (x) = Im P0 (x), E u (x) = Ker P0 (x) Ta thấy khơng gian có tính chất bất biến định nghĩa 2.1.1 với k ≥ kDf k (x)ξk = kφ(k, 0)P0 (x)ξk ≤ k1 λk1 kξk với ξ ∈ E s (x) kDf k (x)ηk = kφ(0, k)(I − P0 (x))ηk ≤ k2 λk2 kξk với η ∈ E u (x) Như ta chứng minh tất điều kiện định nghĩa 2.1.1 ngoại trừ tính liên tục P0 (x) Nhưng S tập compact bất biến nên điều kiện lại suy tính liên tục P0 (x) suy S tập compact hyperbolic Như Mệnh đề 2.4.2 chứng minh Tiếp theo ta nghiên cứu tính vững nhị phân mũ phương trình sai phân Sau kết quả: Bổ đề 2.4.3 Cho phương trình sai phân uk+1 = Ak uk có nhị phân mũ khoảng J = [a, b] (a, b ∈ Z, −∞ ≤ a < b ≤ ∞) với số k1 , k2 , số mũ λ1 , λ2 ánh xạ chiếu Pk Giả sử β1 , β2 số thỏa mãn λ1 < β1 < 1, λ2 < β2 < Khi tồn số dương δ0 = δ0 (k1 , k2 , λ1 , λ2 , β1 , β2 ) cho kBk k ≤ δ ≤ δ0 Ak + Bk khả nghịch với k ∈ J phương trình sai phân uk+1 = (Ak + Bk )uk (2.20) có nhị phân mũ J với số l1 , l2 , số mũ β1 , β2 phép chiếu Qk thỏa mãn kQk − Pk k ≤ N δ, l1 , l2 , N phụ thuộc vào k1 , k2 , λ1 , λ2 29 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan 2.5 Tính chất tập hyperbolic Cho U ⊂ Rn tập lồi mở f : U → Rn C - vi phôi lên ảnh Cho S tập compact hyperbolic f định nghĩa 2.1.1 P (x) phép chiếu Rn lên E s (x) dọc theo E u (x) Khi P (x) liên tục tồn số M s , M u cho kP (x)k ≤ M s , kI − P (x)k ≤ M u , ∀x ∈ S (2.21) Định nghĩa 2.5.1 Cho f : U → Rn C - vi phôi, S ⊂ U tập bất biến, nghĩa f (S) = S Ta nói f co giãn S với số co giãn d > x, y ∈ S kf k (x) − f k (y)k ≤ d, ∀k ∈ Z x = y Mệnh đề 2.5.2 Nếu S tập compact hyperbolic C - vi phôi f : U → Rn định nghĩa 2.1.1 M u , M s cho (2.21) Chọn β1 , β2 cho λ1 < β1 < 1, λ2 < β2 < Khi d đủ nhỏ phụ thuộc vào k1 , k2 , λ1 , λ2 , M u , M s , β1 , β2 modun liên tục ω(δ) = sup{kDf (y) − Df (x)k : x ∈ S, ky − xk ≤ δ} tồn số dương l1 , l2 phụ thuộc vào k1 , k2 , λ1 , λ2 , M u , M s cho {xk }bk=a {yk }bk=a quỹ đạo f với xk ∈ S, a ≤ k ≤ b thỏa mãn kxk − yk k ≤ d, a≤k≤b (2.22) bất đẳng thức kyk − xk k ≤ l1 β1k−a kxa − ya k + l2 β2b−k kxb − yb k (2.23) với a ≤ k ≤ b Chứng minh Đặt uk − yk − xk Khi với k = a, , b − uk+1 = f (yk ) − f (xk ) = Df (xk )uk + f (yk ) − f (xk ) − Df (xk )uk 30 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan Vì với k = a, , b − 1, uk+1 = [Ak + Bk ]uk , (2.24) Ak = Df (xk ) Z1 [Df (θyk + (1 − θ)xk ) − Df (xk )]dθ Bk = Chú ý kBk k ≤ ω(d) Cũng từ chứng minh Mệnh đề 2.4.2, ta biết phương trình sai phân uk+1 = Ak uk có nhị phân mũ [a, b] với phép chiếu Pk = P (xk ), số K1 , M s , K2 , M u số mũ λ1 , λ2 Vì áp dụng Bổ đề 2.4.3 suy d đủ nhỏ phụ thuộc vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , M s , M u , β1 , β2 ω(·), phương trình sai phân (2.24) có nhị phân mũ [a, b] với số mũ β1 , β2 số l1 , l2 phụ thuộc vào K1 , K2 , M s , M u , λ1 λ2 Khi với a ≤ k ≤ b, kuk k ≤ kQk uk k + k(I − Qk )uk k = kφ(k, a)Qa ua k + kφ(k, b)(I − Qb )ub k, φ(k, m) ma trận chuyển phương trình (2.24) Qk phép chiếu liên kết với nhị phân mũ Vì vậy, với k, kuk k ≤ l1 β1k−a kua k + l2 β2b−k kub k, (2.23) chứng minh Mệnh đề 2.5.3 Cho S tập compact hyperbolic C - vi phôi f : U → Rn f co giãn S Chứng minh Với β1 β2 cho trước, giả sử d số dương Mệnh đề 2.5.2 Giả sử x y thuộc S kf k (x) − f k (y)k ≤ d 31 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan với số nguyên k Với số nguyên dương N cố định, ta áp dụng Mệnh đề k N 2.5.2 cho quỹ đạo đoạn thẳng {f k (x)}N k=−N {f (y)}k=−N , suy kx − yk ≤ l1 β1N kf −N (x) − f −N (y)k + l2 β2N kf N (x) − f N (y)k ≤ [l1 β1N + l2 β2N ]d Cho N → ∞, ta kết luận x = y Vì f co giãn S 2.6 Tính vững tập hyperbolic Định nghĩa 2.6.1 Cho f : U → Rn C - vi phôi Một tập bất biến S ⊂ U gọi lập tập bất biến lớn tập mở chứa Định lý 2.6.2 Cho S tập compact hyperbolic C - vi phôi f : U → Rn định nghĩa 2.1.1 với U tập lồi Chọn số β1 , β2 cho λ1 < β1 < 1, λ2 < β2 < tồn số dương σ0 d0 phụ thuộc vào f, S, β1 , β2 cho O lân cận S d xác định d = max dist (x, S) (2.25) x∈O thỏa mãn d ≤ d0 , g : U → Rn C - vi phôi thỏa mãn sup kg(x) − f (x)k + sup kDg(x) − Df (x)k ≤ σ x∈U (2.26) x∈U với σ < σ0 tập SO xác định sau SO = {x ∈ O : g k (x) ∈ O, ∀k ∈ Z} (2.27) tập compact hyperbolic g với số mũ β1 , β2 Ngồi số chiều khơng gian ổn định giống f S Và số liên kết với tính hyperbolic tính bị chặn chuẩn phép chiếu chọn phụ thuộc vào f, S, β1 , β2 Chứng minh Theo Mệnh đề 2.4.2, để chứng minh tính hyperbolic SO , ta cần với x ∈ SO phương trình sai phân uk+1 = Dg(g k (x))uk (2.28) 32 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan có nhị phân mũ (−∞, ∞) với số mũ, số hạng phép chiếu khơng phụ thuộc x Vì giả sử x ∈ SO viết xk = g k (x) với k ∈ Z Vì dist (xk , S) ≤ d, nên tồn yk ∈ S cho kxk − yk k ≤ d Khi kyk+1 − f (yk )k ≤ kyk+1 − xk+1 k + kg(xk ) − g(yk )k + kg(yk ) − f (yk )k ≤ d + (M1 + σ)d + σ, M1 = sup kDf (x)k x∈U Vì kyk+1 − f (yk )k ≤ δ với k ∈ Z, δ = (1 + M1 + σ)d + σ Ta dùng định nghĩa Định nghĩa 2.6.3 Giả sử f : U → Rn C - vi phôi Cho δ số dương, dãy {yk }∞ k=−∞ gồm điểm thuộc U gọi δ - giả quỹ đạo f kyk+1 − f (yk )k ≤ δ với k ∈ Z Ta xem phương trình sai phân uk+1 = Df (yk )uk (2.29) Trong Bổ đề đây, ta phương trình sai phân có nhị phân mũ (−∞, ∞) với điều kiện δ đủ nhỏ Ta công nhận kết Bổ đề sau 33 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan Bổ đề 2.6.4 Nếu {yk }∞ k=−∞ δ - giả quỹ đạo S (tức kyk+1 − f (yk )k ≤ δ với k ∈ Z), S tập compact hyperbolic vi phôi f : U → Rn định nghĩa 2.1.1 với U lồi Giả sử α1 , α2 số thỏa mãn λ1 < α1 < 1, λ2 < α2 < δ số dủ nhỏ, phụ thuộc vào f, S, α1 , α2 phương trình sai phân uk+1 = Df (yk )uk có nhị phân mũ (−∞, ∞) với số mũ α1 , α2 hạng phép chiếu số chiều E s số phụ thuộc vào f, S, α1 , α2 Để hoàn thành chứng minh Định lý 2.6.2, ta chọn α1 = λ + β1 , α2 = λ + β2 Khi từ Bổ đề 2.6.4 với δ = (1 + M1 + σ)d + σ, với điều kiện d σ đủ nhỏ phụ thuộc vào f, S, β1 , β2 , suy phương trình sai phân (2.29) có nhị phân mũ (−∞, ∞) với số mũ α1 , α2 số phụ thuộc vào f, S, β1 β2 Thêm hạng phép chiếu với số chiều E s Tiếp theo, kDg(xk ) − Df (yk )k ≤ kDg(xk ) − Df (xk )k + kDf (xk ) − Df (yk )k ≤ σ + M1 d Khi từ Bổ đề 2.4.3, với điều kiện d σ đủ nhỏ phụ thuộc vào f, S, β1 , β2 , suy phương trình sai phân (2.28) có nhị phân mũ (−∞, ∞) với số mũ β1 , β2 số phụ thuộc vào f, S, β1 , β2 Hạng phép chiếu với số chiều E s ý số nhị phân mũ đưa cận phép chiếu Do vậy, theo Mệnh đề 2.4.2, Định lý 2.6.2 chứng minh xong 34 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan Chương Định lý bóng cho tập hyperbolic vi phơi 3.1 Định lý bóng Trong phần này, ta coi U tập lồi mở Rn f : U → Rn C - vi phôi lên ảnh Một δ - giả quỹ đạo coi quỹ đạo gần f Câu hỏi đặt liệu có quỹ đạo thật f gần với δ - giả quỹ đạo ? Định nghĩa 3.1.1 Một quỹ đạo {xk }∞ k=−∞ f , tức xk+1 = f (xk ) với k, gọi ε - bóng δ - giả quỹ đạo {yk }∞ k=−∞ kxk − yk k ≤ ε, ∀k ∈ Z Trong phần tiếp theo, ta có chứng minh định lý nói điều kiện cần cho δ - giả quỹ đạo vi phơi bóng quỹ đạo thật vi phơi vi phơi gần Định lý 3.1.2 (Định lý bóng) Cho S tập compact hyperbolic C - vi phôi f : U → Rn Khi tồn số dương δ0 , σ0 , M phụ thuộc vào f S cho g : U → R C - vi phôi thỏa mãn kf (x) − g(x)k + kDf (x) − Dg(x)k < σ, x ∈ U, với σ < σ0 , (3.1) 35 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan δ - giả quỹ đạo f S với δ ≤ δ0 ε - bóng quỹ đạo thật g với ε = M (δ + σ) Chứng minh Gọi {yk }∞ k=−∞ δ - giả quỹ đạo f tập compact hyperbolic S Ta tìm nghiệm {xk }∞ k=−∞ phương trình sai phân xk+1 = g(xk ), ∀k ∈ Z kxk − yk k ≤ ε, ∀k ∈ Z cho Ta xét X không gian Banach l∞ (Z, Rn ) gồm dãy phần tử bị chặn n Rn , x = {xk }∞ k=−∞ (mà xk bị chặn R ) với chuẩn kxk = sup kxk k k∈Z Gọi O tập mở X chứa tất dãy x = {xk }∞ k=−∞ cho kx − yk < dist (S, ∂U ), n y = {yk }∞ k=−∞ dist (S, ∂U ) = ∞ U = R Ta định nghĩa C - ánh xạ G : O → X sau: x = {xk }∞ k=−∞ ∈ O [G(x)]k = xk+1 − g(xk ) với k ∈ Z (3.2) Định lý chứng minh có nghiệm x phương trình G(x) = thỏa mãn kx − yk ≤ ε Để làm điều này, ta sử dụng Bổ đề sau Bổ đề 3.1.3 Cho X, Y không gian Banach, O tập mở X G : O → Y hàm thuộc lớp C Giả sử y phần tử O thỏa mãn kG(y)k ≤ ∆, ∆ số dương Đạo hàm L = DG(y) khả nghịch kL−1 k ≤ M/2 với M số dương Khi hình cầu đóng tâm y, bán kính M ∆ nằm O bất đẳng thức kDG(x) − DG(y)k ≤ M thỏa mãn với kx−yk ≤ M ∆ phương trình G(x) = có nghiệm thỏa mãn kx − yk ≤ M ∆ 36 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan Chứng minh Định nghĩa toán tử F : O → X F (x) = y − L−1 [G(x) − DG(y)(x − y)], F (x) = x + L−1 (G(x)) Rõ ràng G(x) = ⇔ F (x) = Hơn kx − yk ≤ ε = M ∆ kF (x) − yk ≤ kL−1 kkG(x) − G(y) − DG(y)(x − y) + G(y)k ≤ M (M −1 ε + ∆) = ε Ngoài kx − yk ≤ ε kz − yk ≤ ε kF (x) − F (z)k = kL−1 [G(x) − G(z) − DG(y)(x − z)]k ≤ M −1 M kx − zk = kx − zk 2 Như F ánh xạ co hình cầu đóng tâm y, bán kính ε = M ∆ có x thuộc hình cầu B(y, ε) mà F (x) = x, hay có nghiệm x phương trình G(x) = mà kx − yk ≤ M ∆ Bổ đề chứng minh Trở lại chứng minh Định lý 3.1.2 với C - ánh xạ G : O → X định nghĩa (3.2) với y = {yk }∞ k=−∞ δ - giả quỹ đạo f S Ta dễ dàng thấy L = DG(y) ánh xạ tuyến tính mà L : l∞ (Z, Rn ) → l∞ (Z, Rn ) xác định sau: Nếu u = {uk }∞ k=−∞ (Lu)k = uk+1 − Dg(yk )uk với ∀k ∈ Z Để áp dụng Bổ đề 3.1.3 cho ánh xạ G, ta cần phải δ σ đủ nhỏ tốn tử L có nghịch đảo kL−1 k bị chặn Ở S tập compact hyperbolic định nghĩa 2.1.1, P (x) phép chiếu Rn lên E s (x) dọc theo E u (x) Ta biết Df (x)P (x) = P (f (x))Df (x), ∀x ∈ S (3.3) P (x) bị chặn, tồn M s , M u số dương cho kP (x)k ≤ M s , kI − P (x)k ≤ M u , ∀x ∈ S Bây ta điều kiện đủ để tốn tử L có nghịch đảo kL−1 k bị chặn 37 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan Bổ đề 3.1.4 Cho {Ak }∞ k=−∞ dãy bị chặn ma trận khả nghịch cấp n × n cho T : l∞ (Z, Rn ) → l∞ (Z, Rn ) toán tử xác định T (uk ) = uk+1 − Ak uk , ∀k ∈ Z Khi phương trình sai phân uk+1 = Ak uk (3.4) có nhị phân mũ (−∞, ∞) với số mũ λ1 , λ2 số k1 , k2 tốn tử T có nghịch đảo kT −1 k ≤ k1 (1 − λ1 )−1 + k2 λ2 (1 − λ2 )−1 Chứng minh Cho θ ∈ X = l∞ (Z, Rn ) Để chứng minh T −1 tồn ta chứng minh phương trình sai phân T u = θ có nghiệm u ∈ X Thật ∞ u = {uk }∞ k=−∞ θ = {θk }k=−∞ Xét phương trình sai phân uk+1 = Ak uk + θk , k ∈ Z (3.5) Giả sử uk nghiệm bị chặn (3.5) Ta có uk = φ(k, a)ua + k−1 X φ(k, m + 1)θm với k ≥ a, m=a φ(k, m) ma trận (3.4) Nhân hai vế với Pk sử dụng tính chất bất biến ta có Pk uk = φ(k, a)Pa ua + k−1 X φ(k, m + 1)Pm+1 θm (3.6) m=a Đánh giá kφ(k, a)Pa ua k ≤ k1 λk−a kak với k ≥ a, k−1 X kφ(k, m + 1)Pm+1 θm k ≤ m=−∞ k−1 X k1 λk−m−1 kθk = k1 (1 − λ1 )−1 kθk m=−∞ Từ uk bị chặn, ta cho a → −∞ (3.6) để thu Pk uk = k−1 X φ(k, m + 1)Pm+1 θm (3.7) m=a 38 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan Tiếp theo với k ≤ b, uk = φ(k, b)ub − b−1 X φ(k, m + 1)θm m=k Nhân hai vế với (I − Pk ) sử dụng tính chất bất biến ta có (I − Pk )uk = φ(k, b)(I − Pb )ub − b−1 X φ(k, m + 1)(I − Pm+1 )θm (3.8) m=k Đánh giá kφ(k, b)(I − Pb )ub k ≤ k2 λb−k kub k với k ≤ b, ∞ X kφ(k, m + 1)(I − Pm+1 )θm k ≤ ∞ X k2 λ2m+1−k kθk ≤ k2 λ2 (1 − λ2 )−1 kθk m=k m=k Như cho b → ∞ (3.8) ta (I − Pk )uk = − ∞ X φ(k, m + 1)(I − Pm+1 )θm (3.9) m=k Cộng (3.7) với (3.9) ta có uk = k−1 X φ(k, m + 1)Pm+1 θm − m=−∞ ∞ X φ(k, m + 1)(I − Pm+1 )θm (3.10) m=k Ngược lại với uk xác định (3.10) ta dễ dàng kiểm tra uk thỏa mãn (3.5) Ngoài kuk k ≤ [k1 (1 − λ1 )−1 + k2 (1 − λ2 )−1 ]kθk, ∞ n tức u = {uk }∞ k=−∞ ∈ X = l (Z, R ) Như ta chứng minh với θ ∈ X phương trình T u = θ có nghiệm u xác định (3.10) Suy tồn T −1 kT −1 k ≤ k1 (1 − λ1 )−1 + k2 λ2 (1 − λ2 )−1 Bổ đề 3.1.4 chứng minh xong 39 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan Trở lại chứng minh Định lý 3.1.2 Để chứng minh tồn L−1 giới hạn kL−1 k ta cần phương trình uk+1 = Dg(yk )uk (3.11) có nhị phân mũ (−∞, ∞) Ta có giả thiết kDg(yk ) − Df (yk )k ≤ σ (3.12) Bây áp dụng Bổ đề 2.6.4, δ đủ nhỏ phụ thuộc vào f, S phương + λ1 + λ2 , trình (3.11) có nhị phân mũ (−∞, ∞) với số mũ 2 số phụ thuộc vào f S Sử dụng (3.12) áp dụng Bổ đề 2.4.3 σ đủ nhỏ phụ thuộc vào f, S phương trình (3.11) có nhị phân mũ (−∞, ∞) với số mũ α1 = + λ1 + λ2 , α2 = số l1 , l2 phụ thuộc vào f S 4 Như theo Bổ đề 3.1.4 L có L−1 kL−1 k ≤ l1 (1 − α1 )−1 + l2 α2 (1 − α2 )−1 n Cho {yk }∞ k=−∞ δ - giả quỹ đạo f S g : U → R C - vi phôi thỏa mãn (3.1) Giả sử δ σ thỏa mãn điều kiện để có nghịch đảo L Ta xem xét C - ánh xạ G : O → X định nghĩa (3.2) Từ định nghĩa δ - giả quỹ đạo bất đẳng thức kG(y)k ≤ δ + σ thỏa mãn với y = {yk }∞ k=−∞ Ta L = DG(y) có nghịch đảo kL−1 k ≤ M/2 với M = 2l1 (1 − α1 )−1 + 2l2 (1 − α2 )−1 (3.13) Tiếp theo kx − yk ≤ M (δ + σ) với x = {xk }∞ k=−∞ , ta có ước lượng kDG(x) − DG(y)k ≤ sup kDf (xk ) − Df (yk )k + 2σ k∈Z ≤ ω(M (δ + σ)) + 2σ, ω(ε) = sup{kDf (x) − Df (y)k : y ∈ S, kx − yk ≤ ε} 40 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan Vì M (σ + δ) < dist (S, ∂U ), M [ω(σ + δ) + 2σ] < định lý chứng minh xong với M cho (3.13) σ0 , δ0 số dương thỏa mãn M (σ0 + δ0 ) < dist (S, ∂U ), M [ω(M (σ0 + δ0 )) + 2σ0 ] < 1, điều kiện σ, δ đủ đảm bảo có nghịch đảo L 3.2 Nói thêm tính vững tập hyperbolic Cho S tập compact hyperbolic C - vi phôi f : U → Rn Như biết mục 2.6 O lân cận đủ nhỏ S g : U → Rn C - vi phơi đủ đóng C - tơpơ f tập bất biến lớn S0 g O hyperbolic Trong mục ta sử dụng tính chất bóng để chứng minh S tập cô lập bất biến f S0 lập đồng phôi f : S → S g : S0 → S0 liên hợp tôpô Định nghĩa 3.2.1 Cho X, Y không gian metric f : X → X, g : Y → Y ánh xạ Ta nói f g liên hợp tơpơ có đồng phơi h : X → Y cho h ◦ f = g ◦ h Định lý 3.2.2 Cho U tập lồi mở Rn , f : U → Rn C - vi phôi với S tập compact hyperbolic lập Khi O lân cận mở đủ bé S g : U → Rn C - vi phôi thỏa mãn kf (x) − g(x)k + kDf (x) − Dg(x)k ≤ σ, x ∈ U, (3.14) với σ đủ nhỏ, tập bất biến lớn SO g O tập hyperbolic lập Ngồi ra, đồng phơi f : S → S, g : SO → SO liên hợp tôpô với ánh xạ liên hợp h : S → SO thỏa mãn kh(x) − xk ≤ M σ, M số Định lý 3.1.2 41 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan Chứng minh Áp dụng Định lý 2.6.2 có số d0 > 0, σ0 > cho dist (x, S) ≤ d0 với ∀x ∈ O σ ≤ σ0 tập bất biến lớn S0 g O hyperbolic số k1 , k2 chặn M s , M u phép chiếu chọn khơng phụ thuộc vào O g Giả sử δ0 , M, σ0 thỏa mãn điều kiện định lý 3.1.2 cho f S Cho x ∈ S k ∞ {xk }∞ k=−∞ = {f (x)}k=0 δ - giả quỹ đạo f S với J = Theo Định lý 3.1.2 σ ≤ σ0 , tồn quỹ đạo thật {zk }∞ k=−∞ f cho kzk − xk k ≤ M σ, ∀k ∈ Z (3.15) Hơn nữa, quỹ đạo g thỏa mãn kzk − xk k ≤ M σ0 với k ∈ Z Khi ta đặt h(x) = z0 Nếu σ đủ nhỏ cho {x : dist (x, S) ≤ M σ} ⊂ O, suy h ánh xạ từ S vào tập bất biến lớn SO g O Cũng từ (3.15) suy kh(x) − xk ≤ M σ với x ∈ S Hơn nữa, {xk+1 }∞ k=−∞ quỹ đạo f tương ứng với f (x) = x1 kzk+1 − xk+1 k ≤ M σ với k ∈ Z, suy (theo tính nhất) h(f (x)) = h(x1 ) = z1 = g(z0 ) = g(h(x)) Tức h ◦ f = g ◦ h Vì ta cịn phải h đồng phôi từ S lên SO SO cô lập Rõ ràng với điều kiện 2M σ không vượt số co giãn f S h ánh xạ - 42 (LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan(LUAN.van.THAC.si).tinh.chat.bong.cua.phuong.trinh.sai.phan TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com