(LUẬN văn THẠC sĩ) sử dụng phương pháp hàm lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THANH TUYẾT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - Năm 2011 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THANH TUYẾT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - Năm 2011 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Không gian Hilbert 1.2 Tốn tử tuyến tính 1.3 Phổ tốn tử tuyến tính 1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach tốn tử sinh 10 1.4.1 Nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach 10 1.4.2 Tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh 13 Sự ổn định phương trình vi phân khơng gian Hilbert 15 2.1 Phương trình vi phân khơng gian Hilbert 15 2.2 Sự ổn định theo Lyapunov phương trình vi phân khơng gian Hilbert 17 2.3 2.2.1 Các khái niệm ổn định 17 2.2.2 Các định lý ổn định theo Lyapunov 18 Sự ổn định theo Lyapunov số phương trình vi phân có dạng đặc biệt khơng gian Hilbert 22 2.3.1 Các khái niệm J-ổn định 22 2.3.2 Các định lý J-ổn định theo Lyapunov 29 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.4 Phương pháp xây dựng hàm Lyapunov 38 2.5 Tốn tử tiến hóa phương trình vi phân 42 2.6 Sự ổn định phương trình vi phân theo phương pháp xấp xỉ thứ 45 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh toán ứng dụng 49 3.1 Phương trình tiến hố đặt chỉnh 49 3.2 Mơ hình chung toán dân số 52 3.3 Mơ hình cụ thể 55 Kết luận 58 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert Lời nói đầu Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân (LTDTCPTVP) Một hướng nghiên cứu quan trọng nhiều người quan tâm LTDTCPTVP lý thuyết ổn định theo Lyapunov (1857-1918) Dù trải qua thời gian dài lý thuyết ổn định lĩnh vực nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thu nhiều thành tựu quan trọng Đồng thời lý thuyết ổn định ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực: Vật lý, Khoa học kỹ thuật công nghệ, Sinh thái học, Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình vi phân khơng gian Hilbert sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, nhiên khuôn khổ luận văn thạc sỹ toán học, luận văn sử dụng hai phương pháp phương pháp Lyapunov phương pháp nửa nhóm Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày số kiến thức giải tích hàm nửa nhóm tốn tử tuyến tính khơng gian Banach sử dụng chương sau Chương 2: Trình bày khái nệm ổn định phương trình vi phân khơng gian Hilbert theo phương pháp hàm Lyapunov xấp xỉ thứ Đồng thời thông qua việc xét lớp hệ phương trình vi phân có dạng đặc biệt (dạng "tựa tam giác") đưa khái niệm ổn định phần (J ổn (LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert định) cho hệ vô hạn phương trình vi phân xác lập mối quan hệ tính ổn định theo Lyapunov J -ổn định Ngồi ra, chương chúng tơi trình bày phương pháp xây dựng hàm Lyapunov cho số hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng đơn giản Chương 3: Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức phương trình tiến hóa đặt chỉnh sử dụng phương pháp nửa nhóm tốn tử tuyến tính liên tục mạnh khơng gian Banach để nghiên cứu tốn ứng dụng mơ hình dân số phụ thuộc tuổi Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn tới PGS TS Đặng Đình Châu, người thầy tận tình hướng dẫn tác giả suốt q trình hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Tác giả mong nhận góp ý quý bạn đọc (LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian Banach không gian Hilbert Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 X không gian định chuẩn trường K, tức x ∈ X có xác định số khơng âm ||x||, gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: • ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X; • ||λx|| = |λ|||x||, ||x|| = ⇔ x = 0; ∀λ ∈ K, x ∈ X; • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Không gian X gọi đầy đủ dãy Cauchy X dãy hội tụ (tức là, {xn }∞ n=1 dãy Cauchy X tồn x0 ∈ X mà xn → x0 (n → ∞)) Định nghĩa 1.1.3 Nếu khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, ||.||) khơng gian đầy đủ (X, ||.||) gọi không gian Banach Định lý 1.1.1 (Định lý Banach-Steinhaus) Một họ bị chặn điểm phép tốn liên tục tuyến tính từ khơng gian Banach X vào khơng gian định chuẩn bị chặn Định lý gọi nguyên lý bị chặn (LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.4 (Không gian tiền Hilbert) Khơng gian tuyến tính X xác định trường số thực gọi không gian tiền Hilbert x, y ∈ X, xác định số (x, y) gọi tích vơ hướng x y thỏa mãn tiên đề • Xác định dương: (x, x) ≥ với ∀x ∈ X Đẳng thức xảy x = • Đối xứng: (x, y) = (y, x) với ∀x, y ∈ X • Song tuyến tính: (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) với ∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈ X Định nghĩa 1.1.5 (Không gian Hilbert) Không gian Hilbert không gian tiền Hilbert đầy đủ 1.2 Tốn tử tuyến tính Định nghĩa 1.2.1 (Tốn tử tuyến tính) Giả sử X, Y khơng gian tuyến tính định chuẩn, tốn tử A tác dụng từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính nếu: ∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ K A(αx + βy) = αAx + βAy (trong K trường số) Một số tính chất tốn tử A0 = A(−x) = −Ax A(tx) = tAx ∀t ∈ R (LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert Định nghĩa 1.2.2 Tốn tử tuyến tính A gọi liên tục x0 ∈ X với dãy xn hội tụ đến x0 , ta có Axn → Ax0 (n → ∞) Định lý 1.2.1 Nếu tốn tử tuyến tính A liên tục điểm x0 ∈ X A liên tục điểm x ∈ X Như để kiểm tra tính liên tục tốn tử tuyến tính A (trong tồn khơng gian) ta cần kiểm tính liên tục x = Định nghĩa 1.2.3 (Toán tử tuyến tính giới nội) Giả sử X, Y khơng gian Banach Toán tử A : X → Y gọi tốn tử tuyến tính giới nội (bị chặn) A tốn tử tuyến tính đưa tập giới nội vào tập giới nội Xuyên suốt khoá luận ta kí hiệu L(X) khơng gian tốn tử tuyến tính giới nội X Định lý 1.2.2 Tốn tử tuyến tính A liên tục giới nội Định lý 1.2.3 Giả sử X, Y không gian Banach A : X → Y tốn tử tuyến tính Điều kiện cần đủ để toán tử A giới nội tồn số c > cho: kAxk c kxk ∀x ∈ X Định nghĩa 1.2.4 Giả sử X, Y không gian Banach Chuẩn kAk tốn tử tuyến tính liên tục A : X → Y đại lượng: kAxk x6=0 kxk kAk = sup kAxk = sup kxk61 1.3 Phổ tốn tử tuyến tính Giả sử X khơng gian Banach (LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert Định nghĩa 1.3.1 Xét tốn tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X với tập xác định D(A), D(A) khơng gian vector X - Điểm λ ∈ C gọi giá trị quy A (λI − A) song ánh D(A) X đồng thời (λI − A)−1 ∈ L(X) - Tập giá trị quy, ký hiệu ρ(A) gọi tập giải toán tử A - Tập hợp điểm giá trị quy A gọi phổ tốn tử A (kí hiệu σ(A)) Ta có σ(A) = C \ ρ(A) - Toán tử R(λ, A) = (λI − A)−1 gọi toán tử giải giải thức toán tử A Nếu A tốn tử đóng (λI − A) tốn tử đóng (do λI liên tục) Do (λI − A)−1 tồn tốn tử đóng Suy (λI − A) song ánh D(A) X , A tốn tử đóng theo định lý đồ thị đóng (λI − A)−1 liên tục Vậy tốn tử đóng định nghĩa phổ phát biểu lại là:  ρ(A) = λ ∈ C : λI − A song ánh D(A) X σ(A) = C\ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) : D(A) → X khơng song ánh} Một số tính chất phổ Định lý 1.3.1 Nếu tốn tử A khơng có phổ tồn mặt phẳng phức C A tốn tử đóng Chứng minh Theo giả thiết, tồn λ ∈ / σ(A) Khi B = (λI − A)−1 ∈ L(X); B : X → D(A) Giả sử {xn }n ⊂ D(A): xn → x, Axn → y Đặt hn = (λI − A)xn Suy lim hn = λx − y n↓∞ Vì B liên tục nên B(λx − y) = lim Bhn = lim xn = x Suy x ∈ D(A) n↓∞ n↓∞ Ta có: (λI − A)x = (λI − A)B(λx − y) = λx − y Suy Ax = y Vậy A tốn tử đóng (LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com a12 a11 + a22 a21 = (a11 + a22 )(a11 a22 − a12 a21 ) a12 a22 (2.27) 38 (LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert(LUAN.van.THAC.si).su.dung.phuong.phap.ham.lyapunov.va.phuong.phap.xap.xi.thu.nhat.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.vi.phan.trong.khong.gian.hilbert Giải hệ (2.26) theo công thức Cramer thay hệ số vik tìm vào (2.24), ta có ( w a11 w11 a 11 21