(LUẬN văn THẠC sĩ) phương pháp phiếm hàm lyapunov và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LƯU THỊ THU HUYỀN PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CHẬM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LƯU THỊ THU HUYỀN PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CHẬM Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - Năm 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Sự ổn định nghiệm phương trình vi phân khơng gian Banach 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 1.1.2 1.2 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính Các khái niệm ổn định Phương pháp phiếm hàm Lyapunov phương trình vi phân khơng gian Banach 10 1.3 Phương pháp xấp xỉ thứ 15 1.3.1 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 15 1.3.2 Sự ổn định nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu 19 1.4 Phương pháp phiếm hàm Lyapunov Rn 20 1.4.1 Các hàm xác định dấu 20 1.4.2 Đạo hàm phiếm hàm Lyapunov dọc theo nghiệm hệ phương trình vi phân 22 1.4.3 Định lý thứ Lyapunov ổn định 22 1.4.4 Định lý thứ hai Lyapunov ổn định tiệm cận 23 1.4.5 Định lý thứ ba Lyapunov không ổn định 24 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 1.5 Sự ổn định mũ 25 1.6 Phương pháp chọn hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số 28 Phương pháp phiếm hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân hàm 2.1 2.2 2.3 2.4 Khái niệm phương trình vi phân hàm 35 2.1.1 Định nghĩa ký hiệu 35 2.1.2 Định lý tồn nghiệm 36 Phương pháp tìm nghiệm phương trình vi phân hàm 37 2.2.1 Phương pháp bước 37 2.2.2 Phương pháp toán tử Laplace 38 Lý thuyết ổn định theo Lyapunov 41 2.3.1 Các khái niệm ổn định 41 2.3.2 Phương pháp hàm Lyapunov 42 Định lý Razumikhin 50 Một số mơ hình ứng dụng 3.1 3.2 35 55 Mơ hình ứng dụng quần thể sinh học 55 3.1.1 Mơ hình thú - mồi Lotka - Volterra dạng đơn giản 56 3.1.2 Mơ hình cạnh tranh Lotka - Volterra 61 3.1.3 Mơ hình cộng sinh Lotka-Volterra 66 3.1.4 Mơ hình Lotka-Volterra cho ba loài 69 3.1.5 Một số nhận xét chung mơ hình quần thể đa lồi 71 Mơ hình Lotka-Volterra có chậm 73 3.2.1 Tính ổn định tiệm cận địa phương 74 3.2.2 Tính ổn định tiệm cận tồn cục 79 3.3 Sự ổn định trình chuyển động quay vật thể rắn 83 3.4 Sự ổn định phi chuyển động 84 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu Lý thuyết ổn định phương trình vi phân hướng nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Lý thuyết xuất phát từ đòi hỏi thực tế có nhiều ứng dụng lĩnh vực thực tế khác nhau, như: Vật lý, Sinh thái học, Cơ học, Trong năm gần có nhiều cơng trình nhà khoa học nước sâu nghiên cứu lĩnh vực Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân, thường sử dụng phương pháp nhà toán học người Nga A.E.Lyapunov Ngày nay, yêu cầu ứng dụng thực tế phát triển vượt bậc toán học, việc nghiên cứu toán ổn định mở rộng theo nhiều hướng, số nghiên cứu phương trình vi phân có chậm Trong luận văn đề cập đến số vấn đề sau đây: - Trình bày lại kết tính ổn định nghiệm phương trình vi phân khơng gian Banach, không gian Rn phương pháp hàm Lyapunov phương trình vi phân hàm - Phần cuối luận văn dành cho việc trình bày chi tiết số ứng dụng phương pháp hàm Lyapunov phương pháp xấp xỉ thứ cho mơ hình ứng dụng Bố cục luận văn gồm ba chương: Chương 1: Trình bày số tính chất nghiệm phương trình vi phân không gian Banach không gian Rn Chương 2: Trình bày tính chất nghiệm phương trình vi phân có chậm TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham Chương 3: Trình bày số ứng dụng tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Bản luận văn thực hướng dẫn tận tình PGS TS Đặng Đình Châu Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy người dành nhiều thời gian công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tơi việc hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn phòng Sau đại học điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cuối muốn bày tỏ lịng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Lưu Thị Thu Huyền (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham Chương Sự ổn định nghiệm phương trình vi phân khơng gian Banach 1.1 1.1.1 Một số khái niệm Sự tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính Giả sử B khơng gian Banach Trong khơng gian B ta xét phương trình vi phân dx(t) = f (t, x(t)), dt (1.1) t ∈ R+ , x(.) ∈ B hàm f : R+ × D → D với D miền đơn liên không gian Banach B Ta hiểu nghiệm (1.1) nghiệm cổ điển theo nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1 Hàm x = x(t), (x : I → B; I ⊂ R+ ) xác định I , khả vi liên tục theo t ∈ I gọi nghiệm (1.1) thay vào (1.1) ta thu đồng thức I Tức dx(t) = f (t, x(t)); ∀t ∈ I dt (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × B cho trước Tương ứng với phương trình (1.1) ta thường xét phương trình tích phân sau: Z t x(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ (1.2) t0 Nhận xét: Nếu hàm f liên tục theo chuẩn B ta nghiệm (1.2) nghiệm tốn Cauchy ngược lại Ký hiệu S(ε,µ) = (t, x) ∈ R+ × B : |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ µ , với ε > 0, µ >  lân cận đóng điểm (t0 , x0 ) Khi ta có định lý tồn nghiệm toán Cauchy sau: Định lý 1.1.1 (Tính nghiệm địa phương) Giả sử tồn lân cận đóng (t0 , x0 ) cho lân cận hàm f (t, x) liên tục theo t, ||f (t, x0 )|| ≤ M0 < +∞ thỏa mãn điều kiện Lipschitz: ||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M ||x2 − x1 || (1.3) M số hữu hạn Khi tồn lân cận điểm x0 mà lân cận (1.1) có nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 Chứng minh Từ giả thiết suy tồn ε, η > cho miền |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ η , ta có: ||f (t, x)|| ≤ ||f (t, x0 )|| + ||f (t, x) − f (t, x0 )|| ≤ ||f (t, x0 )|| + M η ≤ M1 < +∞
Lấy δ = ε, Mη1 ký hiệu Cδ (B) không gian Banach hàm liên tục x(t) xác định |t − t0 | ≤ δ với chuẩn |||x||| = sup ||x(t)|| |t−t0 |≤δ (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham Gọi Bη (x0 ) = {x ∈ Cδ (B) : |||x − x0 ||| ≤ η} Xét toán tử t Z (Sx)(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ t0 Ta có: Z t ||(Sx)(t) − x0 || = || f (τ, x(τ ))dτ || ≤ ||t − t0 || sup ||f (τ, x(τ ))|| τ ∈[t0 ,t] t0 ≤ δM1 ≤ η (∀x(t) ∈ Bη ) Ta thấy toán tử S ánh xạ từ Bη vào Bη Hơn nữa, với x1 , x2 ∈ Bη , từ điều kiện Lipschitz ta có đánh giá Z t ||f (τ, x2 (τ )) − f (τ, x1 (τ ))||dτ ||(Sx2 )(t) − (Sx1 )(t)|| ≤ t0 Z t ||x2 (τ ) − x1 (τ )||dτ ≤ M (t − t0 )|||x2 − x1 ||| ≤M t0 Mặt khác ta lại có: Z t ||(Sx2 )(τ ) − (Sx1 )(τ )||dτ ||(S x2 )(t) − (S x1 )(t)|| ≤ M t0 Z t (τ − t0 )dτ ≤ M |||x2 − x1 ||| t0 = [M (t − t0 )]2 |||x2 − x1 ||| 2! Sử dụng phép đánh giá liên tiếp ta được: [M (t − t0 )]n |||x2 − x1 ||| n! [δM ]n |||x2 − x1 ||| ||S n x2 − S n x1 || ≤ n! ||(S n x2 )(t) − (S n x1 )(t)|| ≤ Do [δM ]n n! → n → +∞ nên với n đủ lớn S n tốn tử co Bη Do tồn nghiệm x(t) ∈ Bη phương trình tích phân: Z t x(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ t0 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham Định lý 1.1.2 (Tính nghiệm tồn cục) Giả sử tồn miền [a, b] × B mà hàm f (t, x) liên tục theo biến t thỏa mãn điều kiện Lipschitz (1.3) Khi với (t0 , x0 ) ∈ [a, b]× B, tốn Cauchy có nghiệm x = x(t) xác định [a, b] Chứng minh tương tự định lý (1.1.1) với ý: (i) Từ giả thiết định lý ta suy hàm f (t, x) giới nội [a, b] × D với D tập compact không gian Banach B (ii) Bη định lý trước thay C(B) gồm tất hàm x(t) xác định liên tục [a, b], lấy giá trị khơng gian Banach B có chuẩn xác định |||x||| = sup ||x(t)|| [a,b] Định lý 1.1.3 (Sự kéo dài nghiệm toán Cauchy) Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 , hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||), L(r) hàm liên tục có tính chất Z r dr → ∞ r → +∞ r0 L(r) Khi nghiệm phương trình (1.2) kéo dài khoảng thời gian vô hạn t0 ≤ t < +∞ Chứng minh Vì (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham Chứng minh Với ∀ε > ta chọn δ > cho v(δ) < u(ε) Giả sử |ϕ| < δ , ϕ ∈ B(0, δ) ⊂ C xt (t0 , ϕ) nghiệm phương trình (2.7) qua (t0 , ϕ) Nếu tồn t∗ > t0 , |x(t∗ )| > ε V (t∗ , x(t∗ )) ≥ u(|x(t∗ )|) ≥ u(ε) > v(δ) ≥ V (t0 , ϕ) Từ phải có t¯ ∈ (t0 , t∗ ] cho: V˙ (t¯, x(t¯)) > với V (t¯, x(t¯)) ≥ V (t¯ + θ, x(t¯ + θ)), θ ∈ [−h, 0] Điều mâu thuẫn với điều kiện (ii) Vậy phải có |x(t)| ≤ ε với t ≥ t0 Định lý 2.4.2 (Định lý ổn định tiệm cận đều) Xét hàm số u, v, w : R+ → R+ hàm liên tục không giảm thỏa mãn u(0) = v(0) = w(0) = u(s), v(s) xác định dương với s > 0, w(s) > với s > Giả sử có hàm liên tục V : R × C → R cho: (i) u(|x|) ≤ V (t, x) ≤ v(|x|), t ∈ R, x ∈ C (ii) Tồn hàm liên tục không giảm p(s) > s với s > cho: V (t, x) ≤ −w(|x(t)|), V (t + θ, x(t + θ)) ≤ p(V (t, x(t))), θ ∈ [−h, 0] Khi nghiệm tầm thường x ≡ (2.7) ổn định tiệm cận Nếu u(s) → ∞ s → ∞ nghiệm tầm thường x ≡ (2.7) ổn định tiệm cận toàn cục Chứng minh Cho δ > 0, ρ > thỏa mãn điều kiện v(δ) = u(ρ) Từ định lý 2.4.1 ta có ||ϕ|| ≤ δ ⇒ ||xt (t0 , ϕ)|| ≤ ρ, t ≥ t0 V (t, x(t0 , ϕ(t))) ≤ v(δ), t ≥ t0 − h 51 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham Giả sử ≤ η ≤ ρ Chúng ta cần chứng minh có t¯ = t¯(η, δ) cho với t0 ∈ R, ||φ|| ≤ δ x(t0 , ϕ)(t) ≤ η Để chứng minh điều cần chứng minh rằng: V (t, x(t0 , ϕ)(t)) ≤ u(η), t ≥ t0 ≥ t¯ Từ giả thiết có số a > cho p(s) − s > a với u(η) ≤ s ≤ v(δ) Cho N số nguyên không âm (đầu tiên) cho u(η) + N a ≥ v(δ) Ký hiệu γ = inf w(s) η≤s≤δ Trước tiên chứng minh rằng: V (t, x(t)) ≤ u(η) + (N − 1)a, t ≥ t0 + v(δ) γ Nếu V (t, x(t)) > u(η) + (N − 1)a, t ∈ [t0 , t0 + v(δ) ] γ p(V (t, x(t))) > V (t, x(t)) + a ≥ u(η) + N a ≥ v(δ) ≥ V (t + θ, x(t + θ)), với t ∈ [t0 , t0 + v(δ) ], θ ∈ [−h, 0] γ Do từ V˙ ≤ −w(|x(t)|) ≤ −γ kết V (t, x(t)) ≤ V (t0 , ϕ) − γ(t − t0 ) ≤ v(δ) − γ(t − t0 ) ta có V (t0 + v(δ) v(δ) , x(t0 + )) ≤ v(δ) − γ(t − t0 ) = γ γ Mâu thuẫn với u(s) > với s > Do tồn t∗ ∈ [t0 , t0 + v(δ) ] cho γ V (t∗ , x(t∗ )) = u(η) + (N − 1)a 52 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham Tuy nhiên từ điều kiện (ii) kéo theo: V (t, x(t)) ≤ u(η) + (N − 1)a, t ≥ t∗ Kí hiệu ti = t0 + i v(δ) γ chứng minh rằng: V (ti , x(ti )) ≤ u(η) + (N − i)a từ suy V (t, x(t)) ≤ u(η), t ≥ tN = t0 + N v(δ) γ v(δ) Định lý chứng minh chọn t¯ = N γ Ví dụ 2.4.1 (VD Định lý Razuminkhin) Xét phương trình vi phân x(t) ˙ = −a(t)x(t) − b(t)x(t − r(t)) (2.8) a(t), b(t) r(t) hàm liên tục bị chặn, a(t) > 0, r(t) > 0, r(t) ˙ < Từ giả thiết r(t) hàm bị chặn suy tồn r > cho r(t) ≤ r Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm thường (2.8) ta xét hàm V (x) = x2 Từ có V (x(t + θ)) ≤ V (x(t)), θ ∈ [−r, 0] |x(t + θ)| < |x(t)| 1˙ V (x(t)) = −a(t)x2 (t) − b(t)x(t)x(t − r(t)) ≤ −a(t)x2 (t) + |b(t)|x2 (t) = −((a(t)) − |b(t)|)x2 (t) Do a(t) ≥ |b(t)| V (x) hàm Lyapunov nên nghiệm x = (2.8) ổn định Nếu a(t) ≥ δ > tồn k ∈ (0, 1) cho |b(t)| ≥ kδ theo Định lý 53 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham Razuminkhin nghiệm x = (2.8) ổn định tiệm cận Thật chọn p(s) = q s với q > thỏa mãn qk < 1˙ V (x(t)) ≤ −(1 − qk)δx2 (t) Rõ ràng theo Định lý Razuminkhin cho ta kết thú vị mà ví dụ (2.3.2) khơng làm rõ được: kết không phụ thuộc vào trễ ví dụ (2.3.2) điều kiện để nghiệm tầm thường ổn định là: b2 < 4(a(t) − α)(1 − r(t))α ˙ 54 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham Chương Một số mơ hình ứng dụng 3.1 Mơ hình ứng dụng quần thể sinh học Sự tương tác loài khác làm biến đổi số lượng quần thể lồi Nhìn chung việc xây dựng mạng lưới tương tác nhiều lồi có phụ thuộc vào mạng lưới dinh dưỡng tự nhiên có cấu tạo phức tạp Ở trọng tới mạng lưới hai loài Trong sách xuất năm 2001, Kot đề cập đến mơ hình mạng lưới (bao gồm tương tác cấu trúc tuổi mô hình dân số) đưa nhiều ví dụ thực tiễn Tác giả đưa ba loại tương tác chính: - Nếu tỷ lệ tăng trưởng quần thể giảm mà quần thể lại tăng gọi mơ hình thú - mồi - Nếu tỷ lệ tăng trưởng quần thể giảm gọi mơ hình cạnh tranh - Nếu tỷ lệ tăng trưởng quần thể tăng gọi mơ hình cộng sinh 55 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham Hình 3.1: Mơ hình lưới dinh dưỡng Phần trình bày số ví dụ ứng dụng minh họa cho định lý sử dụng phiếm hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 3.1.1 Mơ hình thú - mồi Lotka - Volterra dạng đơn giản Khi nghiên cứu mơ hình thú - mồi (1926) Volterra nghiên cứu hệ động lực:   dN dt  dP dt = N (a − bP ), (3.1) = P (cN − d) Trong đó: N (t) mật độ loài mồi thời điểm t; P (t) mật độ loài thú thời điểm t a, b, c, d số dương với: • a tốc độ tăng trưởng thực quần thể mồi khơng có mặt lồi thú 56 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham • d tỷ lệ chết thực quần thể loài thú khơng có mặt mồi • b tỷ lệ cơng lồi thú (số lượng mồi mà thú bắt đơn vị thời gian) • c tốc độ diệt vong mồi thú xuất • Mơ hình (3.1) biết đến mơ hình Lotka - Volterra hai nhà khoa học nghiên cứu độc lập tìm phương trình giống Ta dùng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ " N =0 a P = b " P =0 d N= c dN = ⇔ N (a − bP ) = ⇔ dt dP = ⇔ P (cN − d) = ⇔ dt Các trạng thái cân mơ hình là: (N1 , P1 ) = (0, 0); (N2 , P2 ) = d a , c b d a , Xét tính ổn định điểm (N2 , P2 ) = c b a d Đặt x = N − , y = P − Khi ta có hệ phương trình rút gọn: c b   dx dt  dy dt bd = − y − bxy c ac = x + cxy b Xét phiếm hàm Lyapunov: V (x, y) = cx+by−d ln(d+cx)−a ln(a+by)+d ln d+a ln a Trước tiên, ta cần hàm V (x, y) liên tục xác định dương Thật vậy:      ∂V = c − d ∂x d + cx   ∂V a   =b 1− ∂y a + by Giải hệ phương trình  ∂V  ∂x  ∂V ∂y =0 =0 57 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham ta điểm dừng V (x, y) (x, y) = (0, 0) Mặt khác điểm (x, y) = (0, 0) lại có: A= ∂ 2V c2 , (0, 0) = ∂x2 d B= ∂ 2V (0, 0) = 0, ∂x∂y C= ∂ 2V b2 (0, 0) = ∂y a Vì A > 0, AC − B > nên hàm V (x, y) liên tục đạt giá trị cực tiểu (x, y) = (0, 0) Do đó, hàm V (x, y) xác định dương ∂V dx ∂V dy + V˙ (x, y) = ∂x dt ∂y dt       ac d bd a = c 1− − y − bcy + b − x + cxy = d + cx c a + by b Theo định lý Lyapunov ổn định nghiệm  hệphương trình vi phân d a điểm (x, y) = (0, 0) ổn định hay điểm (N2 , P2 ) = , ổn định c b Nhận xét 1: Ta phân tích mơ sau: Đặt u(τ ) = cN (t) , d v(τ ) = bP (t) , a τ = at, α= d a Khi đó, dv = αv(u − 1) dτ du = u(1 − v) dτ (3.2) Trong mặt phẳng (u, v) ta có: dv v(u − 1) =α du u(1 − v) Hệ có điểm kỳ dị u = v = u = v = Phương trình (3.2) tương đương: (1 − v)dv (u − 1)du =α v u Tích phân hai vế ta không gian quỹ đạo pha: αu + v − lnuα v = H (3.3) Quỹ đạo mặt phẳng pha mơ tả hình sau: 58 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham Hình 3.2: Quỹ đạo đóng (u, v) mặt phẳng pha theo công thức (3.3) với giá trị H khác như: H1 = 2, 1; H2 = 2.4; H3 = 3.0; H4 = Các mũi tên biểu thị hướng thay đổi thời gian τ tăng Ta thấy, trạng thái cân bên điểm tâm, tất đường cong nghiệm quỹ đạo đóng xung quanh điểm Tuy nhiên, chu kỳ dao động thực phụ thuộc vào khoảng cách quỹ đạo đến trạng thái cân Nhược điểm mơ hình Lotka - Volterra nghiệm khơng có cấu trúc ổn định Hình 3.3: Nghiệm tuần hồn cho mồi u(τ ) thú v(τ ) hệ Lotka - Volterra với α = điều kiện ban đầu u(0) = 1, 25; v(0) = 0, 66 Nhìn vào hình vẽ (3.3) ta thấy, ban đầu mồi nhiều thú; mồi tăng thú tăng, mồi tăng đến giá trị cực đại thú tăng đến giá trị sau mồi giảm, thú tiếp tục tăng; thú tăng đến giá trị cực đại lại giảm, mồi giảm theo; mồi giảm đến mức thấp mồi lại bắt đầu chu trình tăng cịn thú giảm mồi tăng đến giá trị thú giảm đến mức thấp sau lại bắt đầu chu trình tăng Cứ dáng điệu nghiệm mồi thú 59 (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham(LUAN.van.THAC.si).phuong.phap.phiem.ham.lyapunov.va.ung.dung.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.nghiem.cua.phuong.trinh.vi.phan.co.cham tuân theo quy luật tuần hồn Trở lại phương trình (3.2) xét tính ổn định nghiệm mơ hình: • Xét tính ổn định trạng thái dừng (u, v) = (0, 0) Ta đặt x = u, y = v , giả sử x y nhiễu loạn nhỏ khoảng (0, 0) Nếu giữ giới hạn tuyến tính, phương trình (3.2) trở thành:   dx      x x  dτ  ≈ =A dy dτ −α y Nghiệm phương trình (3.4) có dạng:   x(τ ) y(τ ) y (3.4) = Beλτ B vector riêng ứng với giá trị riêng λ λ nghiệm phương trình đặc trưng 1−λ |A − λE| = −α − λ