Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MƠ SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MƠ SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - Năm 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời nói đầu Lời cảm ơn Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính không gian Banach 1.1 Một số kiến thức lý thuyết toán tử giới nội không gian Banach 1.1.1 Những mệnh đề tổng quát hình học khơng gian Banach ánh xạ tuyến tính chúng 1.1.2 Hàm tốn tử tuyến tính giới nội 1.1.3 Toán tử e-mũ 1.1.4 Ví dụ 1.1.5 Định lý Lyapunov tổng quát tốn tử có phổ nằm nửa mặt phẳng trái 10 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach với tốn tử 12 1.2.1 Nghiệm phương trình vi phân tuyến tính không 12 1.2.2 Dáng điệu nghiệm phương trình khoảng vô hạn 13 1.2.3 Tính giới nội nghiệm phương trình 18 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 1.2.4 Điều kiện tồn nghiệm giới nội phương trình khơng 24 Về phương pháp Lyapunov phương trình vi phân số ứng dụng 2.1 30 Các khái niệm ổn định nghiệm phương trình vi phân 30 2.2 Sự ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số biến thiên( không ôtônôm) 32 2.2.1 Tính ổn định hệ tuyến tính với hệ số biến thiên 32 2.2.2 Tính ổn định phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến 33 2.3 Các hàm xác định dấu 35 2.4 Các định lí Lyapunov 36 2.5 Một số mơ hình ứng dụng 45 2.5.1 Sự ổn định trình chuyển động quay vật thể rắn 45 2.5.2 Sự ổn định phi chuyển động 46 2.5.3 Mơ hình quần thể 47 Về cân tiệm cận tương đương tiệm cận phương trình vi phân khơng gian Hilbert 3.1 49 Sự cân tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Hilbert 49 3.2 Về tương đương tiệm cận phương trình vi phân không gian Hilbert 54 Tài liệu tham khảo 58 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung Lời nói đầu Việc nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân (PTVP) có ý nghĩa quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân, đồng thời có nhiều ứng dụng mơ hình thực tế Vì năm gần có nhiều cơng trình nhà khoa học ngồi nước sâu nghiên cứu lĩnh vực Mục đích luận văn trình bày lại số kết tính chất nghiệm PTVP tuyến tính khơng gian Banach số ứng dụng phương pháp Lyapunov mơ hình cụ thể khoa học kỹ thuật Bố cục luận văn gồm ba chương Chương 1: Trong chương chúng tơi trình bày số tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính không gian Banach Chương 2: Trong chương hai trình bày số kết phương pháp Lyapunov việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Sau trình bày số ví dụ minh họa mơ hình thực tế Chương 3: Trình bày kết tính cân tiệm cận tương đương tiệm cận phương trình vi phân PTVP không gian Hilbert Nội dung chương dựa vào kết nghiên cứu của: GS TS Nguyễn Thế Hoàn TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung Chương Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach Nội dung chương bao gồm kiến thức chuẩn bị tốn tử tuyến tính khơng gian Banach số tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính với tốn tử Các kết chương trích dẫn từ tài liệu [1] 1.1 Một số kiến thức lý thuyết tốn tử giới nội khơng gian Banach 1.1.1 Những mệnh đề tổng quát hình học khơng gian Banach ánh xạ tuyến tính chúng Không gian định chuẩn không gian Banach Tập hợp L đươc gọi không gian định chuẩn thực (phức) L không gian tuyến tính (vector) trường số thực (phức) phần tử (vector) x ∈ L xác định số không âm kxk - chuẩn phần tử x- có tính chất sau: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung (a) kαxk = |α| kxk x ∈ L với số thực (phức) α (b) kx + yk ≤ kxk + kyk với x, y ∈ L (bất đẳng thức tam giác) (c) kxk = x = Hàm số ρ (x, y) = kx − yk xác định không gian định chuẩn metric, L không gian metric Dãy {xn } ⊂ L gọi dãy sở lim kxn − xm k = Không gian n,m→∞ định chuẩn gọi khơng gian Banach dãy sở có giới hạn, phần tử x ∈ L cho lim kxn − xk = (nói cách khác khơng n→∞ gian Banach L(=B) khơng gian đủ metric ρ (x, y) = kx − yk) 2.Tốn tử tuyến tính Giả sử B1 B2 không gian Banach Ánh xạ A : B1 → B2 gọi tốn tử tuyến tính nếu: A (αx + βy) = αAx+βAy với số α, β x, y ∈ B1 Toán tử tuyến tính liên tục liên tục x = Tính liên tục tương đương với tính giới nội tốn tử A, tức tính hữu hạn đại lượng def kAk = sup kAxk2 |x ∈ B1 , x 6= kxk1 = sup {kAxk2 |x ∈ B1 , kxk1 = 1} Tập tốn tử tuyến tính giới nội A : B1 → B2 kí hiệu [B1 ; B2 ] Tập không gian Banach với chuẩn định nghĩa với phép cộng phép nhân toán tử với số (A + B) x = Ax + Bx; (αA)x = α (Ax) Toán tử B : B2 → B1 gọi toán tử ngược toán tử A : B1 → B2 kí hiệu B = A−1 , AB = I2 ; BA = I1 , Ik tốn tử đồng Bk : Ik x = x với x ∈ Bk (k = 1, 2) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung Định lý 1.1.1 Giả sử toán tử A ∈ [B1 , B2 ] ánh xạ một-một tương ứng từ không gian Banach B1 tới khơng gian Banach B2 Khi tốn tử nghịch đảo A−1 tốn tử tuyến tính bị chặn A−1 ∈ [B1 , B2 ] Tập tốn tử giới nội khơng gian B vào kí hiệu ngắn gọn [B] Tổng trực tiếp không gian phép chiếu Một tập tuyến tính đóng khơng gian Banach B gọi không gian Ta nói khơng gian Banach B phân rã thành tổng trực tiếp không gian B1 B2 : · B = B1 + B2 (1.1) phần tử x ∈ B biểu diễn dạng x = x1 + x2 , (1.2) x1 ∈ B1 , x2 ∈ B2 Mỗi không gian B1 B2 phần bù trực tiếp không gian Phép khai triển (1.2) sinh hai toán tử Pk : B → Bk (k = 1, 2) xác định đẳng thức Pk x = xk (k = 1, 2); x1 x2 thành phần x khai triển (1.1) Các toán tử P1 P2 có tính chất Pk2 = Pk ; P1 + P2 = I; P1 P2 = P2 P1 = (1.3) Toán tử P ∈ [B] gọi phép chiếu P = P 1.1.2 Hàm tốn tử tuyến tính giới nội Phổ giải thức Giả sử B không gian Banach phức Điểm λ mặt phẳng phức gọi điểm qui tốn tử A ∈ B [B] tồn toán tử (giải thức toán tử A), Rλ = (A − λI)−1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung Tập hợp ρ (A) tất điểm qui tốn tử A mở Phần bù σ (A) gọi phổ toán tử Phổ σ (A) ln khác rỗng, đóng nằm hình trịn |λ| ≤ kAk Chính xác hơn, phổ σ (A) nằm hình trịn có bán kính rA rA = lim n→∞ p n kAn k (Sự tồn giới hạn dễ dàng suy từ hệ thức Am+n ≤ kAm k kAn k) ∞ P λ−(k+1) Ak hội tụ tuyệt đối metric Thật vậy, với λ với |λ| > rA chuỗi k=0 [B] , chuỗi tương ứng từ chuẩn làm trội cấp số nhân với công bội rA +ε |λ| với ε > 0, chỗ Khi nhân chuỗi với λI − A ta có I Vậy, |λ| > rA tồn giải thức, Rλ = − ∞ X (1.4) λ−(k+1) Ak k=0 Có thể đường trịn |λ| = rA ln có điểm phổ σ (A) p Vì giới hạn lim n kAn k gọi bán kính phổ tốn tử A n→∞ 1.1.3 Toán tử e-mũ Định nghĩa e-mũ tốn tử Trong lý thuyết phương trình vi phân tốn tử hàm eAt đóng vai trị đặc biệt quan trọng, đưa nhờ hai hệ thức Đầu tiên ma trận eA xác định A e = lim n→∞ A A2 An I+ + + + 1! 2! n! = , At e =− 2πi I ∞ X An n=0 n! eλt (A − λI)−1 dλ, (1.5) ΓA At e = ∞ X Ak tk k=0 k! (1.6) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung Lấy vi phân hệ thức (1.5) theo t dấu tích phân ta cơng thức deAt = AeAt dt (1.7) Thật vậy, deAt =− dt 2πi I λeλt (A − λI)−1 dλ ΓA = 1.1.4 − 2πi I −1 λ(A − λI) dλ ΓA × − 2πi I λt e (A − λI) −1 dλ ΓA = AeAt ] Ví dụ Ví dụ 1.1.1 Tìm etA , biết: (a)A = −1 ; (b)B = −1 1 −1 −1 Lời giải: a,Ta tính −1 A= ,A = −1 0 −1 ,A = Tương tự A5 = A, A6 = A2 , Từ ta được: 2 tA e = 0 1 −1 +t = − ∞ P n=0 ∞ P n=0 t2n (−1)n (2n)! 2n+1 t (−1)n (2n+1)! = t3 + 3! −1 0 −1 t + 2! ∞ P ,A = −1 t2n+1 (−1)n (2n+1)! n=0 ∞ P 2n n=0 cos t sin t − sin t cos t t (−1)n (2n)! Ở ta sử dụng công thức khai triển Taylor cos t = sin t = b, ∞ P n=0 A= 1 −1 −1 ,A = 0 0 ,A = 0 t4 + 4! =I 0 + ∞ P 2n n=0 t2n+1 (−1)n (2n+1)! 0 0 t (−1)n (2n)! , TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung La-Call J P(Mỹ), Levison N, Codoling E.A (Mỹ), Maccer H L, Yoshizawa T , Hale J K, Bell Man R , Rouche N Chúng tơi xin trích dẫn sau vài kết tiêu biểu Ổn định phận (V V Rumianxev 1957) Giả sử f : I × Ω × Rm → Rn g : I × Ω × Rm → Rm I = [τ, ∞) ⊂ R, Ω miền mở Rn có chứa gốc tọa độ, giả sử f (t, 0, 0) = g(t, 0, 0) = t ∈ I Xét hệ phương trình vi phân: ( · x = f (t, x, y) · y = g (t, x, y) (2.31) Ta định nghĩa hàm a : R+ → R+ , a (0) = gọi thuộc lớp κ -hàm liên tục tăng ngặt Sau ta thường kí hiệu a ∈ κ Định nghĩa 2.4.1 Ký hiệu z(t) = (x(t), y(t)) nghiệm hệ (2.31) Ta nói nghiệm z (t) ≡ ổn định (∀ε > 0) , (∀t0 ∈ I) , (∀z0 ∈ Bδ ) ∀t ∈ J + : kx (t, t0 , z0 )k < ε Định lý 2.4.4 Nếu tồn hàm V : I × Ω × Rm → R cho hàm a ∈ κ (t, x, y) ∈ I × Ω × Rm ta có: V (t, x, y) ≥ a (kxk) , V (t, 0, 0) = V (t, x, y) ≤ Thì nghiệm tầm thường ổn định theo quan hệ x Ngoài hàm b ∈ κ (t, x, y) ∈ I × Ω × Rm thỏa mãn điều kiện V (t, x, y) ≤ b (kxk + kyk) nghiệm tầm thường z (t) ≡ ổn định theo x Sự ổn định với nhiễu hằng: Giả sử I × Ω → Rn , f (t, 0) = 0, (∀t ∈ I) ta xét phương trình vi phân: x = f (t, x) , (2.32) 44 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung Cùng với phương trình (2.32) ta xét phương trình y = f (t, y) + g (t, y) (2.33) g : I × Ω → Rn , g (t, 0) = khơng thỏa mãn y(t) = không nghiệm (2.12) Định nghĩa 2.4.2 Nghiệm x = gọi ổn định tác động nhiễu ∀ε > 0, ∃δ1 , δ2 > 0, ∀y0 ∈ Bδ1 g , cho ∀t0 ∈ I, thỏa mãn điều kiện ∀t ≥ t0 , ∀x ∈ Bε k(g (t, x))k < δ2 điều kiện sau thỏa mãn ∀t ≥ t0 , y (t, t0 , y0 ) ∈ Bε Định lý 2.4.5 Nếu tồn C hàm V : I × Ω → R, tồn hàm a, b, c ∈ κ tồn số M cho (t, x) ∈ I × Ω; thỏa mãn điều kiện sau đây: a (kxk) ≤ V (t, x) ≤ b (kxk) V (t, x) ≤ −c (kxk) (V đạo hàm dọc theo nghiệm x(t) phương trình (2.11) ≤ M Khi nghiệm x = ổn định với nhiễu (t, x) ∂V ∂x 2.5 2.5.1 Một số mơ hình ứng dụng Sự ổn định trình chuyển động quay vật thể rắn Xem trang 24 tài liệu [7] Xét chuyển động vật thể hệ tọa độ Oxyz với điểm bất động gốc tọa độ O (khơng có ngoại lực tác động) Kí hiệu A, B C momen quán tính vật thể gốc tọa 45 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung độ O , kí hiệu ω -vector vận tốc góc hệ tọa độ xét Giả sử p, q, r hình chiếu vector ω lên trục chính, phương trình chuyển động Ơle có dạng A p = (B − C) qr B q = (C − A) rp C p = (A − B) pq Phương trình xác lập quay xung quanh trục thứ tương ứng với điểm p = p0 , q = 0, r = Sử dụng phép đổi biến x = p − p0 , y = q, z = r có điểm tới hạn gốc tọa độ nhận hệ phương trình rút gọn: x = y= z= B−C A yz C−A B (p0 A−B C (p0 + x) z + x) y +Nếu A < B ≤ C , trình quay thực quanh trục lớn ellipxoit qn tính Có thể lấy hàm Lyapunov V : R3 → R+ : 2 2 2 V = B (B − A) y + C (C − A) z + By + Cz + A x2 + 2xp0 ta kiểm V =0 tra hàm V thỏa mãn điều kiện định lí thứ Lyapunov (V (x, y, z) > 0, V (x, y, z) = 0) Vì suy nghiệm tầm thường ổn định chí + Nếu A > B ≥ C nhận kết tương tự ta chọn hàm 2 Lyapunov là: V = B (A − B) y + C (A − C) z + By + z + A x2 + 2xp0 2.5.2 Sự ổn định phi chuyển động Chúng ta quan sát phi bay (hoặc chim bay), giả sử mặt đối xứng trùng với mặt thẳng đứng hệ trục tọa độ thời điểm trình chuyển động Giả sử v tốc 46 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung độ trọng tâm vật thể, θ góc vector chuyển động với trục hồnh (trục nằm ngang) Giả sử trục chuyển động (trục hướng theo chiều dài phi cơ) ln tạo nên góc khơng đổi α với v Kí hiệu CD (α) CL (α) hệ số phản lực tùy ý lực đẳng Khi ta có phương trình biến thiên v θ có dạng: m v = −mg sin θ − CD (α) v , mv θ = −mg cos θ + CL (α) v Bằng cách đặt v02 = mg CL , τ = gt v0 , y dạng: ( v v0 = dy dτ dθ dτ α = CD CL ta đưa phương trình xét = − sin θ − ay (−cosθ+y 2) = y Trong trường hợp đầy đủ hồn chỉnh tham khảo tài liệu (N G Chetaev[1955]) Ở xét trường hợp đơn giản a = Hệ phương trình có điểm suy biến y0 = 1, θ0 = 2kπ (k ∈ N ),(các điểm tương ứng với trường hợp phi bay theo chiều ngang với vận tốc số) Ta cần xét trường hợp y0 = 1, θ0 = Dễ dàng kiểm tra V (y, θ) = y − y cos θ + 23 tích phân đầu hệ phương trình xét a = Ngoài ta nhận thấy lân cận điểm (1, 0) ta có: V (y, θ) > V (1, 0) = Hơn ta cịn chứng minh V (t, x) ≤ 0, chuyển động máy bay thời điểm ổn định 2.5.3 Mơ hình quần thể Xét mơ hình tương tác hai quần thể sinh học cho hệ phương trình dạng thú- mồi (Lotka-Volterra) dx dt dy dt = (a − by) x = (cx − e) y 47 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung a, b, c, e số dương Các vị trí cân hệ phương trình x0 = y0 = x0 = y0 = e c a b Đối với nghiệm x = 0, y = ta sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ để nghiên cứu Do phương trình dx dt dy dt = ax = −ey (2.34) không ổn định (λ1 = a > 0, λ2 = e < 0) nên hệ phương trình (2.10) có nghiệm x = 0, y = không ổn định Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm x∗ = e c y ∗ = a b ta dùng phép biến đổi x = u + ec , y = v + ab ta có phương trình rút gọn dạng: du be dt dv dt = − c −buv = ac b u + cuv Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm thường xét hàm Lyapunov: V (u, v) = cu + bv − e ln (e + cu) − a ln (a + bv) Trong lân cận đủ bé gốc tọa độ hàm V (u, v) liên tục, xác định dương Ngồi ta có V (u, v) = c − a e u +b − v e + cu a + bv Ta kiểm tra V (u, v) xác định dương V (u, v) ≤ 0, nghiệm tầm thườngu = 0, v = ổn định theo Lyapunov 48 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung Chương Về cân tiệm cận tương đương tiệm cận phương trình vi phân khơng gian Hilbert 3.1 Sự cân tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Hilbert Trong khơng gian Hilbert H ta xét phương trình x = A(t)x (3.1) Trong phần luôn giả thiết A(t) ∈ [H] , ∀t ∈ R+ thỏa mãn điều kiện bảo đảm tồn nghiệm toán Cauchy Định nghĩa 3.1.1 Ta nói phương trình (3.1) có cân tiệm cận nghiệm có giới hạn hữu hạn vô (khi t → +∞)và với u0 ∈ H tồn nghiệm x(t) (3.1) cho x(t) → u0 t → +∞ Định nghĩa 3.1.2 Cho A(t)=A*(t), t ≥ t0 ≥ x(t) gọi nghiệm mở rộng phương trình · x = A(t)x thỏa mãn phương trình d hx(t), yi = hx(t), A(t)yi , ∀y ∈ D (A) ; t ≥ to ≥ dt 49 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung (LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung(LUAN.van.THAC.si).su.dung.cac.phuong.phap.lyapunov.de.nghien.cuu.tinh.on.dinh.cua.cac.phuong.trinh.vi.phan.va.mot.so.mo.hinh.ung.dung Chúng xin nhắc lại A (t) h ∈ L1 [0, ∞) ∀h ∈ S (0, 1) tồn số T > số q ∈ (0, 1) cho ∀h ∈ S (0, 1) cho +∞ R kA (t) hkdt < q T Định lý 3.1.1 Cho h ∈ H, kA(t)hk ∈ L1 [0, +∞) toán tử A(t) toán tử tự liên hợp Khi nghiệm giới nội phương trình (3.1) có giới hạn (yếu) hữu hạn Hơn nữa, bao hàm kA(t)hk ∈ L1 [0, +∞) h ∈ S(0,1) , nghiệm bị chặn (3.1) có giới hạn hữu hạn vơ hạn Chứng minh Cho x(t) nghiệm bị chặn (3.1), nghĩa tồn M > cho kx(t)k ≤ M, ∀t ≥ Khi với h ∈ H ta có hx(t), hi = hx0 , hi + Zt hA (τ ) x (τ ) , hi dτ = hx0 , hi + t0 Zt hx (τ ) , A (τ ) hi dτ (3.2) t0 Ở x0 = x (t0 ) Do t t Z Z
Ngày đăng: 21/12/2023, 04:41
Xem thêm:
